Transcript INFORMACJA! • Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym rzędzie dla wykładowców.

INFORMACJA!
• Udostępniane materiały pomocnicze do nauki przedmiotu
Wytrzymałość Materiałów są przeznaczone w pierwszym
rzędzie dla wykładowców. Dla właściwego ich
wykorzystania konieczny jest komentarz osoby
rozumiejącej treści zawarte w prezentacjach.
• Dla studentów jest to tylko materiał uzupełniający do
studiów w bezpośrednim kontakcie z prowadzącymi, a
także ułatwiający zrozumienie treści podręczników.
• Przedstawiana wersja jest pierwszą edycją wykładów
przeprowadzonych w roku ak. 2009/10 i wymagać może
poprawek i uzupełnień. Pobierający te materiały proszeni
są o przesyłanie swoich uwag na adres e-mailowy autora:
[email protected].
WM2_10/1
HIPOTEZY WYTĘŻENIOWE
Hipotezy wytężeniowe
Znajomość stanu naprężenia i deformacji w każdym punkcie konstrukcji
(naprężenia, odkształcenia i przemieszczenia) jest podstawą do wymiarowania
jej elementów, t.j. przyjęcia wymiarów zapewniających bezpieczną i funkcjonalną
użyteczność całej konstrukcji.
W najprostszym przypadku wytrzymałościowym, tj. w przypadku jednoosiowego
rozciągania zadanie to jest stosunkowo proste, gdyż zarówno macierz naprężeń jak
i odkształceń są reprezentowane prze z jeden składnik ( 1 lub  1 ), a
przemieszczenie w kierunku osi pręta jest równomiernie rozłożone na jego długości.
Łatwo jest również przeprowadzić
doświadczenie w celu wyznaczenia
charakterystyk materiałowych:
modułu Younga, współczynnika
Poissona, granicy sprężystości,
wytrzymałości doraźnej i ustalicć
wielkość dopuszczalnego naprężenia
eksploatacyjnego.
ekspl
?
1
Rm
ekspl<<Rm
ekspl<RH
ekspl = 1 =RH /s
RH
s-1
arctgE
1
współczynnik bezpieczeństwa
WM2_10/3
Hipotezy wytężeniowe
W przypadkach bardziej złożonych, w których występuje więcej niż jedna
składowa stanu naprężenia (np. w przypadku zginania poprzecznego) pojawia
się pytanie w jaki sposób określić stan niebezpieczny (w przypadku
wymiarowania w zakresie sprężystym – granicę stosowalności prawa Hooke’a).
txz
tzx
z
Czy musza być tu spełnione dwa warunki:
 x<  H
x
x
tzx
txz
t x< t H
gdzie H i tH byłyby niezależnymi granicami
sprężystości na rozciąganie i na ściskanie?
x
z
x
Przejście do układu naprężeń głównych również nie
wyjaśnia tej sprawy, gdyż np. suma obu naprężeń
głównych może dawać wektor naprężenia o module
większym niż RH …
Potrzebne jest więc przyjęcie HIPOTEZY,
określającej co decyduje o osiągnięciu stanu
niebezpiecznego
WM2_10/4
Hipotezy wytężeniowe
W najogólniejszym przypadku stanu naprężenia gdy wszystkie składowe stanu naprężenia
są nie-zerowe (nie-zerowe są wszystkie trzy naprężenia główne) wytężeniem można
nazwa pewną funkcję w przestrzeni 9-wymiarowej przestrzeni składowych macierzy
naprężeń (lub w 3-wymiaorwej przestrzeni naprężeń głównych)
W  F ( ij )  f ( ij )
Wniebezp
W jednoosiowym stanie naprężenia:
W0  F ( 0 )
Zażądamy, aby wytężenie w danym stanie przestrzennym było takie
same jak w stanie jednoosiowym:
Rozwiązanie tego równania ze względu na 0:
F ( ij )  F ( 0 )
 0   ( ij )
nazywamy naprężeniem zastępczym wg. przyjętej hipotezy, określającej postać
funkcji F a więc i funkcji 
WM2_10/5
Hipotezy – logika rozumowania
Niech miarą
wytężenia będzie:

p

mW  p
wektor, którego składowymi są
naprężenia główne
2
W0  
W  W0
2
0
Stosunek:
RN
f 1, 2 , 2 
12   22   32  0 RN
R  0
0 N
1
RN
określa „odległość” od stanu niebezpiecznego.
RN
RN
2
W  p   12   22   32
1
Tę odległośc możemy interpretować jako
„wytężenie” materiału w danym punkcie.
TAKA HIPOTEZA NIE JEST ZNANA
ALE ISTNIEJE BARDZO DO NIEJ „PODOBNA”
3
mW  max1 ,  2 ,  3 
JEST TO HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A
Dla tej hipotezy funkcja f jest nieanalityczna (nieciągłości pochodnych na krawędziach)
WM2_10/6
HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A
mW  max1 ,  2 ,  3 
1  RN
2
RN
 2  RN  RN   2  RN
 3  RN  RN   3  RN
 RN
1
 RN
RN
RN
3
 RN  1  RN
 RN
Widać, że jest to materiał o takich samych
własnościach wytrzymałościowych we
wszystkich kierunkach.
Ponieważ określenie materiał izotropowy jest
zarezerwowane dla odkształcalności (w
zakresie sprężystym: prawo Hooke’a ma
tylko dwie niezależne stałe materiałowe)
musimy tu użyć bardziej precyzyjnego
określenia: „materiał izotropowy ze
względu na wytrzymałość”
WM2_10/7
HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A
mW  max1 ,  2 ,  3 
2
RN
 RN
1  RN
1
 RN
RN
RN
3
 RN
 RN  1  RN
 2  RN  RN   2  RN
 3  RN  RN   3  RN
Materiał o własnościach wytrzymałościowych
odpowiadających tej hipotezie można nazwać nie tylko
izotropowym (wartości naprężeń niebezpiecznych są
takie same dla każdego kierunku) ale i izonomicznym
(wartość naprężenia niebezpiecznego jest taka sama
przy rozciąganiu jak i przy ściskaniu).
WM2_10/8
HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A
 2 RN
1
1
Wytężenie 100%
1
1 RN
Wytężenie 80%
Wytężenie 60%
Wytężenie 40%
Wytężenie 0%
 2 RN
1
1
1
1
1 RN
1
WM2_10/9
HIPOTEZA GALILEUSZA-CLEBSCHA-RANKINE’A
Materiał o cechach
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich samych w
obu kierunkach)
Iznomicznych (własności przy
rozciąganiu takie same jak przy
ściskaniu)
r
sc
2
RNr
RN  RN
RNr
sc
N
R
Materiał niewrażliwy na ściskania.
Odpowiada to hipotezie wytężeniowej
GALILEUSZA:
mW  max 1 ,  2 ,  3
gdzie
a
a gdy a>0
0 gdy a<0

1
RNsc
Materiał o cechach
wytrzymałościowych:
Izotropowych (takich samych
w obu kierunkach)
An-iznomicznych (własności
przy rozciąganiu inne niż jak
przy ściskaniu)
RNr  RNsc
WM2_10/10
HIPOTEZA COULOMBA-TRESCI-GUESTA
t 0 
T 

0 t 
 2  1  t
2
Jest to przypadek czystego
ścinania – np. skręcanie.
Wiele materiałów
wykazuje wrażliwość
właśnie na ściananie
 2  RNr
RNr
RNr
sc
N
R
Ten sześciobok przestawia hipotezę
Tresci-Guesta, wg. której miarą
wytężenia materiału jest największe
naprężenie styczne
Jednoosiowe
rozciąganie
RNsc
mW  maxt1 , t 2 , t 3 
 1   2  2   3  3  1 
mW  max
,
,

2
2 
 2
1
1  RNr
W jednoosiowym stanie naprężenia:
 o 
m  max 
 2 
0
W
 0  max1   2 ,  2   3 , WM2_10/11
 3  1 
HIPOTEZA HUBERA-MISESA-HENCKY’EGO
2
Nieznaczną z punktu widzenia ilościowego, ale znaczącą
poprawkę do hipotezy Tresci-Guesta wniosła hipoteza HuberaMisesa-Hencky’ego
RN
Wg tej hipotezy o wytężeniu decyduje wielkość
zgromadzonej energii odkształcenia postaciowego:
1
mW   f  D D
12
1
   f   v  D D  A A
2
2
Po wykorzystaniu prawa Hooke’a można ją
wyrazić przez naprężenia:
f 



RN
RN
1
RN
1
1
 1   2 2   2   3 2   3   1 2
 ij ij  3 m2 
4G
6G

W jednoosiowym stanie naprężenia:
 0f 
1
2 02
6G
0 
1
2
1   2 2   2   3 2   3  1 2
W przestrzeni naprężeń głównych jest to walec o osi równo nachylonych do osi układu. Jego
przecięciem z płaszczyzną  3  0 jest elipsa pokazana rysunku.
WM2_10/12
ZESTAWIENIE OMÓWIONYCH HIPOTEZ
Hipoteza
GCR
CTG
Największe .
napr. normalne
Miara
wytężenia
Największe
napr. styczne
Obraz 2D
2
2
RN
RN
RN
1
Naprężenie
dla belek
RN
 0  max(1 ,  2
0 

1
 x   x2  4t xy2
2
RN
RN
RN
Naprężenie
zastępcze
w 2D
Walec o osi równo
nachylonej do osi
układu
2
RN
RN
Energia odkszt.
postaciowego
Graniastosłup o
osi równo
nachylonej do osi
układu
Sześcian o
boku 2R
Obraz 3D
HMH
1
RN
RN
1
RN
 0  1   2  0   12   22   1 2

 0   x2  4t xy2
 0   x2  3t xy2
WM2_10/13