Transcript ***** 1
Домашняя работа Запишите числа 393, 700, 104, 25 в шестидесятиричной вавилонской системе счисления. Эти же числа в римской системе счисления. В римской системе счисления запишите даты: 2009, 1917, 1812, 1887. Римская (500 лет до н.э.) Цифры: I V X L C 1 5 10 50 100 D M 500 1000 Число обозначается набором подряд стоящих «цифр» Значение числа равно: 1). Сумме значений идущих подряд нескольких одинаковых «цифр»: ХХ=20 2). Разности значений двух «цифр», если слева от большей «цифры» стоит меньшая: Эта римская древняя табличка написана 2000 лет назад СМ = 1000 – 100 = 900 Представить число 444 в римской СС. 4 4 4 = (D-C) + (L-X) + (V-I) = 400 + 40 + 4 CD 400 XL 40 4 IV 444=CDXLIV Какое число спрятали римляне? MCMLXXIV = ? M C M L X X I V = 1974 1000 + (M-C) = 1000 - 100 = 900 + 50 + 20 + 4 Коротко о главном К НЕПОЗИЦИОННЫМ системам исчисления можно отнести системы исчисления древности: Римскую Старославянскую Вавилонскую Древнеегипетскую Китайскую Ацтеков, майя … НЕДОСТАТКИ: 1. 2. Очень сложно выполнять математические расчеты Необходимость большого числа различных знаков для записи чисел, особенно больших Позиционные системы счисления Из арабского языка заимствовано и слово "цифра" (по-арабски "сыфр"), означающее буквально "пустое место" Это слово применялось для названия знака пустого разряда, и этот смысл сохраняло до XVIII века, хотя еще в XV веке появился латинский термин "нуль" (nullum - ничто). Форма индийских цифр претерпевала изменения. Та форма, которой мы сейчас пользуемся установилась в XVI веке. По мнению марроканского историка Абделькари Боунжира арабским цифрам в их первоначальном варианте было придано значение в строгом соответствии с числом углов, которые образуют фигуры Позиционной называют систему счисления, в которой число представляется в виде последовательности цифр, количественное значение которых зависит от места (позиции), которое занимает каждая из них в числе. 4 позиция 2 позиция 1 позиция 3 позиция *1 * 1000 * 100 * 10 3333 1000 100 10 1 (103) (102) (101) (100) 1, 10, 102, 103, … , 10n 2, 23, … , 2n Двоичная система: 1, 2, 2 Базис позиционной системы счисления – это Десятичная система: P-ичная система: …, p-n, …, p-2каждое , p-1, pиз0,которых p1 , … последовательность чисел, , pn задает значение цифры «по месту» и «вес» каждого разряда. Свернутая форма записи числа Аp = an…a1a0, b-1…b-k...P 186,348 Развернутая форма записи числа А = anPn + an-1Pn-1 + … +a1P + a0 + b-1P-1 + b-2P-2 + … + b-kP-k + … 186,34810=1100+810+61+30,1+40,01+80,001= =1102+8101+6100+310-1+410-2+810-3 Так можно представить любое число в 10-ичной СС… 231,445=252+351+150+45-1+45-2 …а также любое число в р-ичной системе счисления Лейбниц в 1697 г. разработал правила двоичной арифметики. Он настолько был восхищен своим открытием, что в его честь выпустил специальную медаль, на которой были даны двоичные изображения начального ряда натуральных чисел — возможно, это был тот редкий случай в истории математики, когда Лейбниц, изрядное время уделивший С конца ХХ века, века компьютеризации, математическое открытие было удостоено такой высокой почести. человечество пользуется двоичной Лейбниц, однако, не рекомендовал двоичную арифметику для двоичной (бинарной) математике, практических вычислений вместо десятичной системы, но Лейбниц (Leibniz) системой ежедневно, так как вся видел в ней «… прообразс помощью творения». подчеркивал, что “вычисление двоек, то есть 0 и 1, Готфрид Вильгельм информация, обрабатываемая ЭВМ, (1646-1716) в вознаграждение его длиннот является для науки основным Он считал, что «единица в них в двоичном виде. немецкий философ, и порождаетхранится новые открытия, которые оказываются полезными математик, языковед представляет божественное начало, а в физик, впоследствии, даже в практике чисел, а особенно геометрии: причиной служит то Высшее обстоятельство, что при сведении чисел нольчего – небытие. Существо к простейшим началам, каковы 0 и 1, создает все сущее из небытия точно всюду выявляется чудесный порядок”. Блестящие предсказания Лейбница сбылись только через два таким же образом, как единица с с половиной столетия, когда выдающийся американский ученый, помощью нуляДжон выражает всепредложил числа». использовать физик и математик фон Нейман именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в электронных компьютерах. Двоичная система счисления Двоичная система счисления Основание системы: p=2 Базис Алфавит: 0, 1 …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23, 24, 25, …) Десятичная система счисления Алфавит: 0, 1, 2, …, 9 Основание системы: p=10 Базис …,0,1, 0,01, 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, … (…, 10-2, 10-1, 100, 101, 102, 103, 104, 105, …) Двоичная система счисления Основание системы: p=2 Базис Алфавит: 0, 1 …, ¼, ½, 1, 2, 4, 8, 16, 32, … (…, 2-2, 2-1, 20, 21, 22, 23, 24, 25, …) Перевод из двоичной системы счисления в десятичную: 1 0 1 0 0 12 = 120 + 021 + 022 + 123 + 024 + 125 = 1 + 8 + 32 = 4110 25 244 23 2221 20 Для того, чтобы перевести целое число из 2-ной (или любой недесятичной) системы счисления в десятичную, необходимо это число записать в развернутой форме, сложить все произведения и вычислить его значение. 1001012 =1 20+ 021 + 122 + 023 + 024 + 125 = 1 + 4 + 32 = 3710 Таблица степеней числа 2 N 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2N 1 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 Перевод из десятичной системы счисления в двоичную… 1. Последовательно выполнять деление данного целого остаток десятичного числа и полученных целых частных на 51 : 2 = 25 новой 1 системы … в любую другую систему основание счисления до тех пор, покасчисления не получим частное 25 : 2 = 12 1 меньше делителя, т.е. основания новой остаток системы. 12 : 2 = 6 0 2188 : 8начиная = 273 с4 2. Получить искомое число, для чего записать, 6 :2= 3 0 273остатки : 8 = 34в 1 последнего частного, полученные 1 3 : 2 = 1 последовательности. обратной 34 : 8 = 4 2 5110 = 1 1 0 0 1 1 2 218810 = 42148 Задание: переведите числа 156, 241 и 77 из 10-чной в 2-чную, 5-ную, 7-ную СС. Выполните проверку. Домашняя работа 168 : 2 = 84 Решение: Пример: 16810 =101010002 Проверка: остаток 0 84 : 2 = 42 0 42 : 2 = 21 0 21 : 2 = 10 1 10 : 2 = 5 0 5:2= 2 1 2:2= 1 0 16810 = 101010002 101010002=123+125+127= 8+32+128=16810 Системы счисления, используемые в компьютере Двоичная система счисления – это система, используемая компьютером, обусловленная способом организации памяти (вспомните, что ячейка памяти может иметь два значения 0 или 1) Однако, запись чисел в 2-ичной СС достаточно длинна и занимает очень много места Шестнадцатеричная и восьмеричная системы исчисления (системы счисления с основанием 2n) позволяют записывать двоичные коды более кратко и понятно , они широко используется для кодирования информации (текста, графики …) ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ СИСТЕМА ИСЧИСЛЕНИЯ Основание p = 16 10-я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16-я 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F Все правила перевода чисел, используемые для других оснований, применяются и для шестнадцатеричной системы: Переведем 212510 в шестнадцатеричную СС: остаток 2125 : 16 = 132 132 : 16 = 8 13 (D) 4 212510 = 84D16 Произведем проверку: 84D16=8·162+4·161+13·160=2048+64+13=212510 Перевод чисел из двоичной СС в СС с основанием 2n 10 с/с 2 с/с (n=1) 8 с/с (n=3) 16 с/с (n=4) 0 0000 0 0 1 0001 1 1 0010 2 2 3 0011 3 3 4 0100 4 4 5 0101 5 5 6 0110 6 6 7 0111 7 7 8 1000 10 8 9 1001 11 9 10 1010 12 А 11 1011 13 В 12 1100 14 С 13 1101 15 D 14 1110 16 E 15 1111 17 F 2 Арифметика в позиционных системах счисления Сложение и вычитание двоичных чисел. В позиционных системах счисления выполняются основные арифметические операции: +, -, ·, :. Сложение и вычитание двоичных чисел производится также как в десятичной системе счисления. 0+0=0 0-0=0 1+0=1 1-0=1 0+1=1 1-1=0 1 + 1 = 10 (единица переносится в 10 - 1 = 1 (единица занимается из следующий разряд) старшего разряда) ПРИМЕРЫ: 101 01 + 1011 01 0 0 - 1001 101 100 10,11 + 10,1 100,00 - 10,11 10,1 1,10 Умножение двоичных чисел: Умножение и деление двоичных чисел производится точно так же, как и десятичных. 0·0=0 1·0=1 1·1=1 1001 101 1001 + 0000 1001 101 101 + Деление двоичных чисел 11110 110 110 101 110 110 0