Transcript Des problèmes pour apprendre,... partie didactique

Stage TUBUAI
DES PROBLÈMES POUR APPRENDRE,
DES PROBLÈMES POUR CHERCHER
PARTIE DIDACTIQUE
David Rolland, PEN Mathématiques
I. APPORTS THÉORIQUES : LES CONCEPTIONS
DE L’APPRENTISSAGE/ENSEIGNEMENT
- La conception transmissive (encore appelée
conception de la tête vide) :
L’enseignant présente clairement le savoir alors que
l’élève est attentif, écoute et prend des notes.
Les intérêts sont multiples : l’enseignant s’adresse
à un grand nombre d ’élèves, gain de temps, les
concepts sont structurés mais la communication est
limitée.
De plus, les élèves doivent être motivés et attentifs.
- La conception behavioriste
Le but est de modifier le comportement d’un individu
à la suite de stimuli et de réponses positives.
L’enseignant définit avec précision le concept
nouveau à acquérir, met en place des situations où
l’apprenant découvre ce nouveau concept, propose
des situations d’entraînement systématique. Il y a un
fort guidage de l’enseignant.
Le travail est centré sur l’apprenant, l’apprentissage
est individuel. Il y a construction de séquences, des
situations de réussites et des acquisitions
d’automatismes.
Les inconvénients sont qu’il est difficile de donner du
sens aux nouvelles conceptions, de les transférer et
d’intégrer les micros-objectifs.
- La conception socio-constructiviste
Apprendre, c’est passer d’une conception ancienne à
une conception nouvelle plus performante après
une remise en cause de sa conception ancienne qui
est à la fois point d’appui et obstacle à une nouvelle
connaissance.
La conception est fondée sur la situation-problème
qui doit être résolue en passant par plusieurs
phases : action, formulation, validation,
institutionnalisation (processus de formalisation, de
pérennisation et d'acceptation d'un système),
entraînement et réinvestissement.
Inconvénient : difficile à gérer en classe.
II/ COMMENT DEFINIR UN PROBLEME ?
Formuler et résoudre des problèmes constituent
l'activité essentielle de tout mathématicien, la science
mathématique s'étant progressivement constituée et
enrichie des problèmes que les mathématiciens se
sont donnés et se donnent encore à résoudre.
Comme l'indique Alain Bouvier, “ peut-on parler de
problème lorsqu'il n'y a pas défi, défi par rapport à soi
ou (et) défi par rapport à la connaissance ?" .
Contrairement au problème scolaire, pour le
mathématicien un problème est toujours une question
qui n'a encore été résolue par personne et qu'il a
choisi d'affronter.

Ainsi Jean Dieudonné précise que "la raison principale qui
pousse un mathématicien à faire de la recherche, c'est la
curiosité intellectuelle, l'attrait des énigmes, le besoin de
connaître la vérité".

Les problèmes que traite le mathématicien peuvent être très
divers. Il peut s'agir de questions d'ordre très pratique (le calcul
s'est par exemple largement développé pour répondre aux
besoins du commerce) ou de questions scientifiques
(notamment en physique, Galilée ne prétendait-il pas que "le
grand livre de l'univers est écrit en langage mathématique") : les
mathématiques interviennent alors pour modéliser la situation
étudiée de manière à pouvoir la traiter en termes
mathématiques.

Il peut aussi s'agir de questions posées à l'intérieur même des
mathématiques (cf. la recherche permanente de nouveaux
nombres premiers ou de nouvelles décimales pour le nombre Pi),
soit pour établir une conjecture (c’est-à-dire formuler un
théorème), soit pour en apporter la preuve au moyen d'une
démonstration.
Certains des problèmes que traitent les
mathématiciens ont des énoncés très complexes,
compréhensibles par les seuls spécialistes du
domaine traité.
Mais d'autres problèmes (parfois très anciens),
non encore résolus ou très récemment résolus,
peuvent être formulés en des termes
compréhensibles par des non-initiés. Le
théorème de Fermat en est un exemple, le
problème dit des quatre couleurs en est un autre
:
"Est-il possible de colorier n'importe quelle carte
avec 4 couleurs seulement, de telle sorte que
deux régions adjacentes ne soient jamais de la
même couleur ?".
1/ QU’ENTEND-ON PAR PROBLÈME SCOLAIRE ?
« Un problème est une tâche à réaliser dans
des conditions définies et pour laquelle on
ne connaît pas de mode de réalisation dans
ces conditions. On sait quel est le but à
atteindre, on connaît le contexte dans lequel
il doit être atteint, mais on ne connaît pas la
procédure pour l’atteindre »
Définition de J-F Richard, Les Activités mentales : comprendre,raisonner,
trouver des solutions, Armand Colin, 1990
2. D’autres définitions
Définition du problème scolaire par Jean
Brun : (le problème scolaire s’établit ici
dans un rapport sujet/situation)
« Un problème est généralement défini
comme une situation initiale, avec un but à
atteindre et en demandant au sujet
d’élaborer une suite d’actions ou
d’opérations pour atteindre ce but»
Définition de l’équipe ERMEL :
«Il y a problème dès qu’il y a réellement
quelque chose à chercher, que ce soit au
niveau des domaines ou du traitement et
qu’il n’est pas possible de mettre en jeu la
mémoire seule »
Définition de G. Vergnaud :
«Par problème, il faut entendre dans le sens large que lui
donne le psychologue, toute structuration dans laquelle il
faut découvrir des relations, développer des activités
d’exploration d’hypothèses et de vérification pour produire
une solution»
Définition du psychologue J.-M Hoc:
«Un problème est la représentation qu’un
système cognitif construit à partir d’une
tâche, sans disposer immédiatement
d’une procédure admissible pour atteindre
un but»
3. Quelques différences entre les problèmes du mathématicien et ceux de l’élève
D'une part, alors que le problème du mathématicien n'a encore été
résolu par personne, celui de l'élève a déjà été résolu de nombreuses fois,
et l'élève ne l'ignore pas !
Il faut donc le faire entrer dans un jeu où il accepte de chercher un
problème dont il sait que d'autres détiennent la solution.
D'autre part, alors que le temps de recherche pour le mathématicien
ne peut pas être déterminé à l'avance (trois siècles pour la démonstration
du théorème de Fermat), il est forcément compté pour l'élève : il faudra
donc peut-être apporter des solutions, même si chaque élève n'a pas
trouvé...
Retenons simplement pour l'instant que, dans cet esprit, il n'y a
problème que s'il y a réellement quelque chose à chercher... et que donc il
y a des énoncés qui, à coup sûr, ne sont pas des problèmes.

Retenons aussi qu'un énoncé peut être un problème pour certains élèves et
ne plus l'être pour d'autres élèves. Ainsi, l'énoncé suivant emprunté à
ERMEL (CE1) :
« Je veux partager 36 jetons en 3 paquets. Il doit y avoir autant de jetons
dans chaque paquet. Combien y aura-t-il de jetons par paquet ? ".
Au début du CE 1, il s'agit bien d'un problème, puisque les élèves ne
disposent pas d'une procédure immédiatement mobilisable : ils doivent
essayer, chercher, imaginer une solution originale.
Au CMI, face à cet énoncé, la plupart des élèves peuvent répondre
directement grâce à leurs connaissances sur la multiplication ou sur la
division : il n'y a alors plus problème au sens précédent.

Ajoutons que le choix des valeurs données à certaines variables (ici par
exemple la taille des nombres) peut faire qu'un même énoncé soit ou non
un problème.
Dans le cas précédent, si 36 est remplacé par 6, il n'y a plus de problème
pour la plupart des élèves de CE1 !
2. Point de vue cognitif
La résolution de problèmes n’est pas un
processus linéaire, elle se situe parmi les
activités intellectuelles les plus complexes.
Lorsque nous cherchons un problème,
nous nous construisons progressivement
une certaine représentation de ce
problème. Notre processus de
compréhension est lié à la construction
d’une représentation.
Selon Jean Julo : « se représenter le problème,
c’est non seulement se représenter un objet
particulier mais aussi se représenter la tâche
particulière qui est associée à cet objet ».
La représentation du problème fait intervenir
trois processus qui interagissent simultanément,
à savoir :
- Le processus d’interprétation et de sélection
- Le processus de structuration
- Le processus d’opérationnalisation.
3. Procédures de résolution d’un même problème arithmétique
Face à un problème, un élève fait appel à une représentation mentale. On
distingue trois niveaux de représentation, chacun étant associé à un type de
procédures.
Procédures de niveau 1
Elles visent à simuler les actions décrites dans l’énoncé.
Ces procédures de niveau 1 sont celles que les débutants ou les plus jeunes
enfants utilisent. Leur avantage est que l’enfant peut résoudre des problèmes
sans référence aux connaissances formelles dont il ne dispose pas encore
(sans aucune connaissance des opérations).
Elles font appel à une représentation figurative de la solution : l’élève doit
simuler le réel mentalement soit par un dessin, soit par une manipulation
d’objets. L’élève utilise des techniques relevant du comptage. Il a une
représentation dépendant du contexte et de la réalité.
Ce niveau de représentation mentale est opératoire lorsque l’information
numérique est prise en compte mais ne l’est plus lorsqu’on dépasse les petits
nombres.
Procédures de niveau 2
Ce sont celles où les simulations subsistent en
étant intériorisées progressivement, et où le
recours au comptage devient de plus en plus
présent : ces procédures de niveau 2 sont
intermédiaires entre la simulation et l’emploi
d’opérations arithmétiques.
Elles font appel à une représentation
mathématique de la situation qui a été enseignée
à l’élève, dans laquelle ce dernier met en équation
le problème pour pouvoir travailler uniquement au
niveau des nombres. L’élève commence à
mobiliser des techniques relevant du calcul.
Procédures de niveau 3
Ce sont celles où le problème est reconnu comme
étant un problème qui relève de telle opération. Ces
procédures de niveau 3 deviennent plus
indépendantes des situations. L’élève est devenu
expert, il reconnaît que tel problème relève de telle
opération qui est pertinente et mobilise des
techniques relevant du calcul. Cela requiert de sa
part un long travail, qui commence dès le cycle 2, et
ne s’acquiert que très progressivement.
Comme l’illustre l’exemple ci-dessous, ces 3
procédures dépendent du niveau d’expertise des
élèves. L’élève novice utilise les deux premières
procédures; et l’élève expert, la dernière.
Exemple :
8 personnes viennent de
monter dans un autocar. Il y a
45 personnes dans l’autocar.
Combien y-avait-il de
personnes juste avant ?
Procédure 1.
L’élève novice ne reconnaît pas un problème relevant de la soustraction ou de
l’addition.
Il dessine 45 personnes, barre ou efface et compte les passagers restants.
Il peut également, résoudre par manipulation d’objets ou décompter de 8 en
partant de 45, en s’aidant éventuellement de ses doigts ou d’une bande
graduée, c’est-à-dire qu’il fait redescendre mentalement un par un les passagers
qui viennent de monter pour retrouver la situation initiale.
Procédure 2.
L’élève reconnaît un problème relevant de l’addition à trou, un problème de
recherche de l’état initial et résout en quelque sorte l’équation :
Il fait des essais pour aboutir au résultat.
PROCÉDURE 3
L’élève expert reconnaît un problème
relevant de la soustraction et le résout
mentalement par écrit.
En utilisant ces procédures, les élèves ont fait des
mathématiques en ce sens qu’ils ont articulé leurs
connaissances disponibles et les significations qu’ils
leur donnent avec la représentation ou la
reformulation qu’ils ont élaborée pour la situation
proposée.
LE DÉNOMBREMENT OU LA SOUSTRACTION SONT DES
OUTILS MATHÉMATIQUES. DANS CHACUNE DES TROIS
PROCÉDURES, IL EXISTE UN TRAVAIL MATHÉMATIQUE.
Dans les deux premières procédures, ce sont les
simulations ou les relations présentes dans l’énoncé qui
conduisent à la solution.
Dans la procédure 2 notamment, le symbolisme
arithmétique utilisé par les élèves est en accord avec ce
qui lui a été enseigné pour traduire une situation.
Ces deux procédures informelles sont qualifiées de
solutions personnelles dans les programmes de l’école
élémentaire (MEN, 2002).
DANS L’EXEMPLE PRÉCÉDENT, C’EST L’ÉQUIVALENCE DE
LA RECHERCHE DU RÉSULTAT D’UN RETRAIT ET DE LA
RECHERCHE D’UN AJOUT QUI FONDE L’EXISTENCE DE LA
SOUSTRACTION EN TANT QU’OPÉRATION ARITHMÉTIQUE.
Cette procédure est qualifiée de solution
experte dans les programmes de l’école
élémentaire (MEN, 2002).
REMARQUE :
Il est important d’accepter que les élèves
résolvent les problèmes à différents niveaux de
procédures, l’accès au niveau 3 ne pouvant avoir
lieu simultanément pour tous les élèves.
En effet, des études ont montré que, lorsque l’on
exige des élèves qu’ils résolvent un problème en
choisissant la bonne opération arithmétique, la
performance dans la résolution de ces
problèmes diminuait.
Certains élèves choisissent l’opération qui est
étudiée en classe à ce moment-là; d’autres se
réfèrent aux indices sémantiques, par exemple
lorsqu’un mot de l’énoncé est inducteur d’une
opération.
Il apparaît donc précoce, en cycle 2, de proposer des activités
de catégorisation d’énoncés en demandant de quelle opération
relève le problème. Pour éviter de tels dysfonctionnements, il est
nécessaire de tenir compte du développement de chaque enfant.
« Un même problème , suivant le moment où on le propose,
suivant les connaissances des élèves à qui on le destine et suivant la
gestion qui en est faîte, peut être résolu par élaborations de
procédures personnelles ou, plus tard, par reconnaissance et
utilisation d’une procédure experte appropriée.
Ainsi, au tout début de cycle 2, un problème comme : « de
cette enveloppe qui contient 7 images, on retire 3 images. Combien
l’enveloppe contient-elle d’images ? » est un véritable problème de
recherche pour beaucoup d’élèves, dans la mesure où ils ne
disposent pas encore de la procédure experte (utilisation de la
soustraction) pour le résoudre. Ils peuvent cependant répondre à la
question en utilisant des procédures personnelles (schématisation de
la situation et comptage par exemple). »
L’APPRENTISSAGE DE LA SOUSTRACTION, DE LA MULTIPLICATION
ET DE LA DIVISION DOIT COMMENCER TRÈS TÔT. C’EST EN PROPOSANT DE
TELS PROBLÈMES AUX ÉLÈVES, CONSIDÉRÉS ALORS COMME NOVICES,
QU’ILS POURRONT S’EN IMPRÉGNER, S’EN CONSTRUIRE UNE
REPRÉSENTATION MENTALE, EN UTILISANT DES PROCÉDURES DE NIVEAUX
1 ET 2.
Les enseignants doivent reconnaître que les
processus de résolution de problème s’acquièrent avec le
temps et que ceux-ci peuvent être améliorés.
C’est en fréquentant les problèmes qu’on apprend à les
résoudre.
« Lorsqu’un enfant est confronté à un problème dit de
multiplication, de soustraction ou de division avant d’avoir étudié
cette opération, c’est bien l’apprentissage de l’opération
arithmétique correspondante qui commence. Cet apprentissage
s’inscrit ainsi sur une longue durée » (Rémi Brissiaud, op. cit.,
CE1, p. 13)
III. CLASSIFICATION DES PROBLÈMES À PROPOSER AUX
ÉLÈVES
Il est possible de classer les problèmes :
- à partir des formes d’énoncés : texte, tableau,
texte+image, texte+ document…, problèmes
purement mathématiques, problèmes interdisciplinaires, problèmes de la vie courante
- à partir des notions mathématiques
- à partir des objectifs pédagogiques
Nous nous intéresserons aux problèmes classés
à partir d’objectifs pédagogiques.
Les problèmes de mathématiques présentés à l’école primaire se
répartissent en fonction des objectifs pédagogiques qui ne sont
d’ailleurs pas nécessairement exclusifs les uns des autres. On
distingue :
- les problèmes d’approches ou de découvertes
- les situations-problèmes, destinés à engager les élèves dans la
construction de nouvelles connaissances.
- les problèmes de réinvestissement, destinés à permettre aux
élèves l’utilisation des connaissances déjà étudiées.
- les problèmes d’approfondissement, destinés à permettre aux
élèves l’extension du champ d’utilisation d’une notion déjà
étudiée.
- les problèmes d’évaluation qui permettent de faire le point sur la
manière dont les connaissances sont maîtrisées.
- les problèmes ouverts, destinés à mettre l’élève en situation de
recherche.
- les problèmes complexes, dans lesquels les élèves doivent
utiliser conjointement plusieurs catégories de connaissances.
Les documents d’application les classent autrement :

problèmes dont la résolution vise la construction d’une nouvelle
connaissance ;

problèmes destinés à permettre le réinvestissement de connaissances
déjà travaillées, à les exercer ;

problèmes plus complexes que les précédents dont la résolution nécessite
la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances; solution experte.

Problèmes centrés sur le développement des capacités à chercher : en
général, pour résoudre ces problèmes, les élèves ne connaissent pas
encore de solution experte.
Dans ce dernier cas, on parlera de problèmes
pour chercher alors que les précédents sont
des problèmes pour apprendre.
Si une telle catégorisation est sans doute
utile à l’enseignant pour repérer des choix
possibles et guider son action pédagogique,
elle à cependant des limites qu’il convient
de souligner.
Tout d’abord, il n’est pas certain que tous les
problèmes y trouvent place.
Et, plus fondamentalement, un même
énoncé peut, selon le moment où il est
proposé, selon les connaissances initiales
des élèves, relever de l’une ou l’autre des
catégories.
EXEMPLE :
«Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces de monnaies. Il
n’y a que des pièces de 2 F et de 5 F.
Avec ces 32 pièces, j’ai 97 F.
Combien y-a-t-il de pièces de chaque sorte ? »
Cet exemple peut être un problème ouvert au
CM2, celui d’une situation-problème en troisième pour
l’enseignant qui veut l’utiliser pour amener les élèves à
travailler sur les systèmes d’équations, ou encore un
problème de réinvestissement pour les élèves de
troisième ou de lycée qui ont déjà étudié ce thème.
A. LES PROBLÈMES D’APPROCHES OU DE
DÉCOUVERTES.
L’objectif pédagogique de l’enseignant est
de choisir un problème qui engage les élèves
à utiliser leurs connaissances actuelles pour
commencer à en percevoir les limites. La
résolution du problème révèle les
représentations de l’élève compte tenu des
connaissances qu’il permet d’approcher.
C’est le cas, par exemple, de « Combien de
boîtes de 6 œufs pourra-t-on remplir avec 204
œufs ? » (Ermel, Apprentissage numérique,
CE2, Hatier), qui est un problème de partage
en CE2, pour favoriser l’approche de la
division.
Exemple 1 (CP) :
« En lançant deux dés à jouer bien distincts,
quelles sont toutes les façons d’obtenir 8 ? »
Matériel : deux dés de couleurs différentes
Exemple 2 (CE1) :
La directrice d’une école dit :
« Aujourd’hui, tournoi de basket ! Faites des
équipes de 5 ! »
Il y a 35 garçons et 22 filles qui doivent participer
à ce tournoi.
Combien peut-on former d’équipes de garçons ?
De filles ?
Matériel : papier, ardoise
B. LES SITUATIONS-PROBLÈMES.
L’objectif pédagogique de l’enseignant est de proposer un
problème que les enfants ne peuvent résoudre aisément avec
leurs connaissances actuelles.
C’est la prise de conscience qu’il y a un problème nouveau à
résoudre, qu’on est en présence d’une situation qui
« fait problème », qui va déclencher le besoin de nouvelles
connaissances. Cette pédagogie permet aux élèves d’avoir de
meilleurs résultats dans la mesure où elle donne du sens à
leurs apprentissages, ce qui est un élément primordial pour
l’apprenant. L’activité déployée pour venir à bout du problème
est l’occasion de la construction de connaissances nouvelles.
Les psychologues cognitifs ont souligné l’importance, pour
l’apprenant, de construire lui-même ses connaissances.
B1/ QU’EST-CE QU’UNE SITUATION-PROBLÈME ?
L’expression « situation-problème » est
apparue à la fin des années 70 et recouvrait
aussi bien les problèmes permettant l’expression
de nouvelles connaissances, que ceux
permettant de réinvestir et d’approfondir les
notions étudiées.
En fait, on qualifiait de situation-problème,
toute situation qui posait problème aux élèves,
c’est-à-dire toute question ou ensemble de
questions dont la réponse n’est pas évidente et
nécessite la mise en œuvre de concepts
mathématiques importants et incite l’élève à se
dépasser pour réussir.
Caractéristiques d’une situation-problème :
L’ élève doit pouvoir facilement s’engager dans la
résolution du problème. Il peut envisager ce qu’est une
réponse possible du problème.
« Il ne faut pas que les élèves restent secs sinon ils
n’investiront pas leurs connaissances, ils ne pourront donc
pas percevoir qu’elles sont insuffisantes. »
Les connaissances de l’élève doivent être insuffisantes
ou peu économiques pour résoudre ce problème.
« Sinon il n’y a pas d’acquisition nouvelle , il y a
réinvestissement de connaissances anciennes »
La situation- problème doit permettre à l’élève de décider
si une solution trouvée est convenable ou non.
La connaissance que l’on désire voir acquérir par l’élève
doit être l’outil le plus adapté pour la résolution du problème
au niveau de l’élève.
Deux types de situation-problème :
Celles pour lesquelles l’acquisition de connaissances passe
par la prise de conscience et le dépassement d’une procédure, qui,
jusqu’à présent, s’était avérée correcte et performante, et qui
devient insuffisante parce qu’elle est peu économique ou sources
d’erreurs de calculs, sans pour autant être fausse.
L’objectif sera alors de faire prendre conscience aux élèves de
ce manque de fiabilité ou d’économie. L’enseignant leur apporte
alors les connaissances nouvelles, plus économiques, plus fiables
pour résoudre le problème.
Exemple : invalider la procédure par addition réitérée au profit de la
procédure multiplicative.
Celles pour lesquelles l’acquisition de connaissances passe
par la confrontation à un obstacle en vue de la remise en cause
d’une conception erronée.
Exemple : invalider l’idée de lien entre agrandissement et addition.
B2/ Synthèse des objectifs d’une situation-problème ?
Les situations problèmes ont pour objectif :.
- d’amener chaque élève à prendre conscience d’un
problème;
- d’émettre des hypothèses;
- de remettre en cause le savoir antérieur;
- d’induire un comportement de recherche;
- de construire de nouveaux savoirs qui doivent être des
outils mieux adaptés pour résoudre le problème posé;
- de donner du sens aux savoirs nouveaux.
B3/ Poser la situation-problème ?
Le problème intéressant n’est pas celui qui sort du
manuel, avec une question à laquelle l’élève doit apporter la
réponse type.
Un problème intéressant (pédagogiquement) est plutôt
celui qui éveille la curiosité de l’élève, c’est en quelque sorte
l’énigme qui survient devant l’élève dans le contexte de son
expérience vécue.
Cette situation est en général construite et mise en place
par l’enseignant, dans le cadre de ses objectifs, mais en
respectant les principe suivants :
1.
L’objectif principal de la formation se trouve dans l’obstacle
à franchir et non dans la tâche à réaliser. Cependant, l’effort de l’élève est
orienté par la tâche alors que l’enseignant est guidé par l’objectif.
2.
La question (l’énigme) doit, si possible, émaner de l’élève
(ou de la classe). L’élève ne s’investira que si son travail l’aide à répondre
à sa propre question.
3.
La situation doit être familière et la « réponse » ne doit pas
être évidente, mais l ’élève doit « sentir » qu’il est capable de la découvrir.
Le problème doit se situer à la limite supérieure de la zone proximale du
développement de l’élève et sa résolution constitue un enjeu pour l’élève.
L’apprentissage visé est non seulement la mobilisation d’un savoir acquis,
mais aussi l’acquisition d’un savoir nouveau ou le développement d’un
savoir-faire. La détermination de l’obstacle dépend de l’état cognitif des
élèves et de la nature de la tâche à effectuer.
Puisque dans la zone proximale de développement l’élève doit se débrouiller sans
l’aide du maître.
D’après le psychologue Léon VYGOTSKI, c’est la distance entre ce que l’enfant peut
effectuer seul et ce qu’il peut faire avec l’aide d’un adulte, un espace sur lequel
l’apprentissage doit s’effectuer.
La pédagogie des situations-problèmes évite
« la pédagogie de la réponse » où les activités et
la parole sont accaparées par l’enseignant ou par
les élèves qui réussissent bien habituellement et
celle « du problème » où par exemple, pour les
nécessités d’une production réussie, on préfère
les activités des élèves-experts à celles des
débutants.
Une situation-problème est en définitive un
système qui interagit sur le problème et la réponse
pour que les apprentissages se fassent dans la
résolution du problème.
« cela impose que l’on s’assure à la fois, de l’existence
d’un problème à résoudre et de l’impossibilité de
résoudre le problème sans apprendre » (Ph. Meyrieu,
Apprendre… oui mais comment ?, ESF, 1999.
B4/ Le rôle de l’enseignant
En pratiquant la pédagogie des situations-problèmes, le rôle de
l’enseignant change car il est perçu par les élèves comme celui avec qui ils
parlent de ce qu’ils connaissent, de ce qu’ils doivent savoir et de la façon d’y
parvenir.
L’enseignant guide les choix méthodologiques des élèves par
questionnement :
- « Que fais-tu pour comprendre cette consigne ? »
- « Peux-tu la reformuler autrement, la revoir ou l’entendre mentalement ? »
- « Peux-tu souligner les mots qui te semblent importants, faire un schéma ? »
- « Que sais-tu déjà faire pour t’avancer dans la résolution du problème ? »
L’enseignant développe une pratique réflexive sur sa façon d’enseigner, il
se demande comment :
- adapter davantage d’obstacle et différenciation;
- améliorer les situations d’apprentissage pour qu’elles
correspondent mieux aux objectifs, et pour les faire comprendre aux
élèves;
- faire intérioriser le besoin d’un point de méthodologie et d’activités
de soutien …
B5/ Synthèse des objectifs d’une situation-problème
Amener l’élève à
prendre conscience
d’un problème
Donner du sens aux
savoirs nouveaux
Emettre des
hypothèses
SITUATION-PROBLEME
Construire de
nouveaux savoirs
Remettre en cause le
savoir ultérieur
Induire un
comportement de
recherche
B6/ MISE EN PRATIQUE DANS LES CLASSES
Le principe d’un séance d’apprentissage est
toujours de faire agir les élèves de manière
productive plutôt que réceptive. L’enseignant
met en œuvre une gestion particulière qui
intègre des concepts directement issus de la
didactique des mathématiques. Pendant le
travail autonome des élèves, l’enseignant
retrouve du temps pour intervenir plus
individuellement comme guide, animateur.
L’activité de situation-problème se déroule
en plusieurs phases :
PHASE 1 : DÉVOLUTION DU PROBLÈME
Le problème est présenté par l’enseignant.
Il annonce dès le départ le droit à l’erreur. La
précision de la consigne donnée aux élèves
revêt une importance essentielle : elle doit à
la fois définir la tâche à réaliser er créer
l’énigme qui initialisera le processus
d’apprentissage.
Phase 2 : action
Les élèves prennent conscience de l’insuffisance de
leurs connaissances.
Ils mettent en place les procédures de résolution en
utilisant leurs connaissances ancienne, le plus souvent en
groupes..
PHASE 3 : FORMULATION
Les élèves explicitent par écrit et oralement
les procédures utilisées et les solutions trouvées.
L’enseignant peut demander aux élèves de
produire des éléments personnels comme des
réponses, des suggestions, d’autres questions,
de simples constats, un projet, etc., avec
l’obligation (quand c’est possible) de les écrire et
de consigner par écrit le résultat de la recherche.
On suppose que cette exigence pousse les
élèves à affronter l’obstacle de la verbalisation et
à concrétiser le fruit de leur travail.
PHASE 4 : VALIDATION
Les différentes procédures sont exposées à la classe
entière, par groupe.
Les élèves doivent se convaincre les uns et les autres
de la pertinence de leur solution.
La confrontation des différentes procédures doit
permettre de faire émerger la procédure attendue.
L’enseignant demande à chaque élève ou groupe de
présenter ses propositions et de les justifier. Il prend soin
de ne pas donner des renseignements ni des réponses. Il
apporte plutôt des éléments contradictoires, afin de
provoquer un réexamen par l’élève ou le groupe.
Certaines procédures menant à des impasses sont
démontrées.
Une stratégie de résolution adaptée à la situation
s’amorce. On est toujours dans une phase d’émission
d’hypothèses et non de structuration.
PHASE 5 : INSTITUTIONNALISATION
L’enseignant identifie les nouveaux savoirs et savoir-faire,
précise les conventions de langage. Il s’agit d’homogénéiser les
connaissances de la classe et de préciser dans les savoirs
construits ceux qui sont à retenir, et sous quelle forme.
Les phases précédentes ont conduit chaque élève à réactiver
son savoir, à faire apparaître ses représentations (conceptions) et à
les confronter avec d’autres idées ou avec la réalité. C’est en
quelque sorte la « déstabilisation » indispensable à toute
formation. L’enseignant reprend les travaux privés afin de détecter
les difficultés et les représentations erronées, restructure toutes
les idées brassées pendant cette activité, construit une synthèse,
apporte les éléments d’informations nécessaires, fait un point
méthodologique.
Il peut rappeler les difficultés rencontrées, les différentes
façons d’aborder le problème, les stratégies mises en œuvre,
montrer l’articulation existant entre la méthode et le résultat.
PHASE 6 : ENTRAÎNEMENT ET RÉINVESTISSEMENT
Il s’agit d’aider les élèves à se familiariser
avec les nouveaux acquis, de les faire
fonctionner dans les différentes situations
pour qu’ils explorent leur champ d’application.
Les phases d’entraînement et de
réinvestissement sont suivies d’une
évaluation.
CONCLUSION :
Enseigner à partir de situations-problèmes est un
puissant levier d’évolution du système éducatif. En
effet, les élèves acceptent davantage le point de vue
de leurs pairs, comprennent mieux le rôle de
l’enseignant. Celui-ci modifie ses démarches pour les
rapprocher de l’état cognitif de ses élèves.
Les élèves deviennent autonomes et sont amenés
à échanger sur leurs idées, leurs connaissances, leurs
stratégies; enseignant et élèves partagent le savoir.
Cependant, il est important de rappeler qu’on ne
peut pas introduire toutes les connaissances et les
savoir-faire à l’aide de situations-problèmes, et que
pour les élèves en difficulté la décontextualisation ne
se fait pas toujours facilement.
B7/ EXEMPLES DE SITUATIONS-PROBLÈMES
- Introduire le tableau à double entrée (demander aux
élèves de trouver la carte qui manque dans un jeu de
7 familles auquel on a enlevé une carte)
- Introduire la nécessité de regroupement par 10
(invalider la procédure de comptage 1 à 1 et favoriser
la procédure de regroupement par 10)
- Introduire la notion d’addition (demander aux élèves
de fabriquer 12 € avec des pièces de 1 €, de 2 € et de
billets de 5 € alors qu’ils n’ont pas encore vu ce qu’est
une addition)
- Introduire les écritures additives et soustractives
- Introduire la multiplication
- Introduire la multiplication et la commutativité de la
multiplication
- Situations en géométrie :
- repérage dans l’espace ( découvrir la nécessité
du plan en tant que vue de dessus à partir d’une
maquette)
- repérage dans un quadrillage (la chasse au
trésor)
- Symétrie (approcher de manière perceptive que
la symétrie se définit par rapport à une droite et que,
dans une configuration symétrique les figures qui sont
de part et d’autre de l’axe de symétrie, ont la même
forme et la même taille)
- Figures planes (découvrir l’angle droit et utiliser
un gabarit pour montrer l’existence des 4 angles droits
dans le carré et le rectangle)
- Solides (reproduction d’un solide, introduire le
mot « face » et identifier le nombre de faces)
C. LES PROBLÈMES DE RÉINVESTISSEMENT.
L’enseignant choisit un problème pour
que les élèves utilisent des connaissances
antérieurs; ce problème peut être un
problème complexe puisque les élèves
peuvent mettre en œuvre plusieurs
catégories de savoirs et de savoir-faire.
Sans réactivation, il n’y a pas de
mémorisation possible, il y a connaissance
mais non apprentissage.
EXEMPLE 1 (CP) :
Voici des nombres : 26 62 76 37
J’ai choisi un nombre de cette liste.
Trouvez-le en utilisant les 3
renseignements que je vous donne :
- il est plus grand que 35
- le chiffre des dizaines n’est pas 7
- il est plus petit que 50
Matériel : ardoise et papier.
EXEMPLE 2 (CE1) :
Au zoo de Maubeuge, il y a 42 babouins,
14 perruches, 3 lionnes, 23 antilopes, 6
canards, 3 crocodiles.
Combien d’animaux à plumes y a-t-il ?
Combien d’animaux à poils y a-t-il ?
Combien d’animaux y a-t-il ?
D. LES PROBLÈMES D’APPROFONDISSEMENT.
Il semblerait que même si les élèves en difficulté
parviennent à résoudre une situation-problème, à
comprendre l’intérêt de cette nouvelle connaissance ainsi
construite, et à acquérir certaines connaissances dans un
certain contexte, ils éprouvent, toutefois, des difficultés au
niveau du transfert.
De même pour les élèves qui ne sont pas en difficultés,
les problèmes d’approfondissement ont leur importance,
une situation-problème proposée dans un contexte
particulier ne leur suffisant pas à l’ancrage de nouvelles
connaissances.
C’est pourquoi l’enseignant propose un problème dans un
autre contexte. C’est seulement lorsque l’élève sera
capable de mobiliser les connaissances ainsi construites,
à bon escient et de façon autonome, pour traiter de
nouveaux problèmes, que celles-ci pourront être
considérées comme réellement acquises.
E. LES PROBLÈMES D’ÉVALUATION.
L’objectif est de faire le point sur la
manière dont les connaissances
sont maîtrisées
F. LES PROBLÈMES OUVERTS
L’objectif pédagogique de ce type de
problèmes est qu’il est destiné à mettre l’élève
en situation de recherche et de développement
des compétences d’ordre méthodologique.
Il est conseillé à l’enseignant de proposer ce
genre de problèmes avant même de traiter des
situations-problèmes, cela permettra, aux
élèves, de développer des attitudes de
recherche dont ils pourront avoir besoin pour
résoudre des situations-problèmes.
L’expression problème ouvert est très
explicite : elle signifie qu’on propose aux
élèves une véritable recherche, très
partiellement guidée, ce qui nécessite
souvent de formuler des hypothèses ou de
mettre en œuvre des méthodes qui n’ont
pas été indiquées.
Ainsi, les élèves apprennent à lancer une
recherche, pour développer leur autonomie
et leur capacité à évaluer leurs résultats.
F1. QU’EST-CE QU’UN PROBLÈME OUVERT ?
L’équipe de l’IREM de Lyon propose la définition suivante :
« Un problème ouvert est un problème qui possède les
caractéristiques suivantes :
- L’énoncé est court.
- L‘énoncé n’induit ni la méthode ni la solution (pas de
questions intermédiaires ni de questions du type « montrer
que »). En aucun cas, cette solution ne doit se réduire à
l’utilisation ou à l’application immédiate des derniers
résultats présentés en cours.
- Le problème se trouve dans un domaine conceptuel
avec lequel les élèves ont assez de familiarité. Ainsi,
peuvent-ils prendre facilement « possession » de la situation
et s’engager dans des essais, des conjectures, des projets
de résolution, des contre-exemples. »
F2. LE PROBLÈME OUVERT, POURQUOI ?

Permet de mettre l’accent sur des objectifs spécifiques, d’ordre
méthodologique :









Essayer.
Organiser sa démarche.
Mettre en oeuvre une solution originale et en évaluer l’efficacité.
Formuler des hypothèses et les tester.
Argumenter…
Offre une occasion de prendre en compte et d’exploiter les
différences entre élèves : les solutions peuvent être diverses et
utiliser des connaissances et des stratégies variées.
Permet confrontation et débat.
Permet à l’enseignant de mieux faire connaître aux élèves ses
attentes en matière de résolution de problème : il s’agit de
chercher, de prendre des initiatives.
La responsabilité de la solution appartient entièrement à
l’élève.
F3. LES OBJECTIFS VISÉS À TRAVERS UN TRAVAIL
DE RÉSOLUTION DE PROBLÈME OUVERT.
Les objectifs visés peuvent être de différents ordres :

Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) :







Des objectifs disciplinaires :







Observer les différentes procédures des élèves,
Recueillir des informations pour la mise en commun,
Les encourager et les rendre curieux,
Développer le travail en petits groupes,
Favoriser la communication et les échanges entre les élèves,
Mettre n place le contrat didactique.
Faire des hypothèses,
Imaginer des solutions,
Prendre conscience qu’un problème peut avoir plusieurs solutions,
Confronter des solutions, les valider,
Argumenter,
Utiliser des connaissances antérieures.
Des objectifs méthodologiques :





Faire et gérer des essais, les traces écrites.
Trier, organiser les informations,
Organiser sa démarche,
Prendre des initiatives,
Oser se tromper.
F4. COMMENT CHOISIR DES ÉNONCÉS DE
PROBLÈMES OUVERTS ?
L’enseignant choisit un énoncé inédit en
fonction des connaissances des élèves et du
moment où il le propose dans la scolarité.
Les élèves ne disposent pas de procédure
de résolution préalablement enseignée.
En effet, un problème mettant en relation
deux inconnues est un problème ouvert à
l’école élémentaire et de réinvestissement
pour un élève de seconde.
La solution de ce problème ne doit pas être
immédiate pour un élève.
F5. QUELLES CONSIGNES FORMULER AUX
ÉLÈVES ?
L’enseignant demande aux élèves de
chercher, en utilisant leurs connaissances et
leur bon sens.
F6. Des critères pour valider la résolution.
Pour valider cette activité, l’enseignant va s’intéresser à la validation des
objectifs visés, par exemple :
- L’élève a-t-il été acteur de sa recherche ?
- A-t-il fait des essais ?
- A-t-il utilisé les différentes procédures et connaissances nécessaires à la
résolution ?
- A-t-il dégagé une méthodologie ?
- Cette activité a-t-elle permis aux élèves d’entrer dans un débat mathématique ?
- A-t-elle permis aux élèves d’échanger ?
F7. MISE EN OEUVRE D’UNE SÉANCE
Au cours de la séance, l’enseignant ne doit
donner aucun indice concernant les solutions,
ce sont les élèves qui vont débattre, évaluer et
valider leur solution.
Phase 1 : temps de familiarisation
C’est la phase de lancement de l’activité et
d’appropriation du problème par les élèves.
L’enseignant choisit soit d’énoncer le problème
oralement soit de distribuer ou d’afficher
l’énoncé, il peut présenter du matériel qui
pourrait être utile à certains lèves. Il doit
s’assurer que les élèves ont compris ce qu’’il
leur demande.
PHASE 2 : RECHERCHE INDIVIDUELLE
Elle est assez brève. L’enseignant n’intervient pas.
Chaque élève cherche à répondre à la question.
Phase 3 : recherche et échanges en petits groupes
L’enseignant observe les attitudes des élèves et
repère les différentes stratégies. Chaque élève doit
comprendre les solutions des autres membres du
groupe. Les élèves cherchent à convaincre et discutent
des solutions proposées. Les élèves réalisent ensuite
des affiches, fruits de leurs débats où ils exposent les
solutions retenues.
Cette phase est particulièrement riche car elle
permet aux élèves de prendre conscienceque le
problème peut avoir plusieurs solutions et procédures
de résolution, elle prépare la mise en commun.
PHASE 4 : MISE EN COMMUN
Les élèves réunis en grand groupe font l’inventaire des réponses
et des procédures utilisées. C’est un moment d’échanges et de
débats.
L’enseignant laisse les élèves prendre connaissance du contenu
de chaque affiche et leur demande d’avoir un avis critique. Les
solutions inexactes sont discutées et sont écartées par les élèves.
L’enseignant a un rôle d’animateur, il ne doit pas à ce moment
influencer les élèves, ni mettre en évidence la procédure la plus
rapide, celle à laquelle il a pensé ou celle considérée par les élèves
comme la plus efficace.
Phase 5 : synthèse
L’enseignant conclut sur les différentes procédures et fait un
point de méthodologie. Il rappelle aux élèves que ce type de
problème est très important car il leur permet d’apprendre à
chercher.
F8. Quelques recommandations
La difficulté ne doit pas résider dans la compréhension de la situation. La
recherche ne doit commencer que lorsque les termes et l’enjeu du problème
sont appropriés par tous les élèves. Facile à dire, plus difficile à réaliser : il faut
donner toutes les indications pour que le problème soit clairement défini et
aucun indication qui puisse esquisser une procédure possible de résolution.
Ajoutons que le problème n’est pas nécessairement présenté sous la forme
d’un énoncé écrit : il peut être formulé oralement ou même illustré
matériellement.
Exemple 1 : au CP, un problème de partage peut être un problème
ouvert. Supposons qu’il s’agisse de partager 18 objets en 3 personnes.
Le problème peut être présenté de la façon suivante. Le maître dispose de 18
images qu’il montre aux élèves en début de séquence, puis range dans une
boîte. Il remet à chaque enfant (ou à chaque groupe) 3 enveloppes et donne la
consigne suivante : « Je dois envoyer ces 18 images à 3 enfants. Pour cela, je
vous ai donné 3 enveloppes, une par enfant. Vous devez écrire sur l’enveloppe
le nombre d’images que je devrais mettre dans l’enveloppe. Attention, les 3
enfants doivent recevoir le même nombre d’images. Vous avez une feuille
blanche pour chercher.
On notera que, dans cette présentation, les élèves sont dispensés du contrôle
de l’une des variables : le nombre de parts.
Il reste encore à faire comprendre aux élèves les autres contraintes
du problème :
- il faut répartir la totalité des images (ici 18)
- chaque enfant doit en avoir le même nombre (partage équitable)
Si les échanges avec les élèves n’y suffisent pas, on peut
suggérer, dans une situation comparable (par exemple 6
images, 3 enveloppes) de présenter diverses solutions et de
demander si elles respectent les contraintes, par exemple (3
images, 3 images), (6 images, 6 images, 6 images), (2
images, 1 image, 3 images),
Exemple 2 : « Dans ma tirelire, j’ai 32 pièces de
monnaie. Il n’y a que des pièces de 2 F et de 5 F. Avec
ces 32 pièces, j’ai 97 F. Combien y-a-t-il de pièces de
chaque sorte ? » (Rencontres Pédagogiques, n°12,
INRP)
Ici un échange avec les élèves peut suffire à assurer la
compréhension de la situation proposée. Le respect des
contraintes n’est pas assuré pour autant, certaines
contraintes sont souvent oubliées en cours de recherche.
C’est le rôle de validation que de le mettre en évidence.
La phase de recherche doit appartenir aux
élèves.
Les interventions de l’enseignant doivent se
limiter à des encouragements, des réponses à
des questions portant strictement sur la
compréhension de l’énoncé, mais en aucun cas,
sur la validité d’une procédure, sur le fait que la
voie choisie est bonne ou mauvaise,…
Par contre, il est important, pour
l’enseignant, d’observer le travail des groupes,
en particulier pour recueillir les informations qui
l’aideront à préparer la phase de mise en
commun.
Le plus souvent, la recherche sera faite en
petits groupes. Mais il est utile que auparavant,
chaque élève ait pu se faire sa propre idée par
une courte phase de travail individuel.
La mise en commun est avant tout une
phase d’échanges et de débat autour des
solutions proposées par les élèves.
Le plus souvent, elle pourra se réaliser
autour des affiches que les élèves auront
réalisées à l’issue de leur recherche. Le rôle
de l’enseignant est d’abord de permettre un
véritable échange entre les élèves et non,
entre les élèves et lui, avec l’idée permanente
qu’il s’agit de confronter des solutions, de les
discuter, de les défendre, de les valider… et
non d’arriver à exhiber « la bonne solution »,
celle à laquelle avait pensé l’enseignant
.
La même situation peut être proposée à
nouveau aux élèves, après la phase de mise
en commun, avec des nombres différents par
exemple.
Cela permet à certains élèves d’essayer
une solution qu’ils n’ont pas élaborer euxmêmes, mais dont ils ont perçu l’intérêt au
cours des échanges.
Mais ce choix doit rester à leur initiative !
F9. Représenter par un schéma un problème
ouvert




Inciter les élèves à schématiser est une partie essentielle de
l’apprentissage de la résolution de problème.
Quand un élève n’arrive pas à se représenter la situation
adéquate, son activité tourne peu à peu vers une manipulation de
symbole dépourvue de signification.
La schématisation d’un énoncé peut aider à la mise en relation
des données pertinentes et favoriser la représentation
mathématique d’un problème.
La mise en place précoce de telles activités permet d’apprendre
aux enfants à représenter par un schéma la situation décrite dans
l’énoncé et contribue ainsi à développer chez l’enfant l’aptitude à
comprendre les relations qui se trouvent dans un énoncé
mathématique : il s’en construit une représentation mentale et
imagée.
Symboliser une situation revient à anticiper la solution pratique et
progresser vers l’abstraction, l’élève se donne les moyens de
raisonner sur des symboles.
F10. Exemple : le nombre de
pattes (CP)
Phase 1 : individuelle
 L’enseignant écrit un texte de problème
(énoncé sans questions) au tableau et le lit :

Enoncé : les enfants vont à la ferme. Il y a 6
poules, 3 vaches, 4 cochons, 2 canards, 1 coq.
Elle le fait reformuler par les enfants, elle
s’assure que tous les enfants ont compris le
texte. Puis elle distribue une feuille de
consigne :
 « Tu vas faire un dessin qui raconte cette
histoire . En regardant le dessin, je dois
comprendre l’histoire. »
 L’enseignant doit veiller à faire une
présélection lors du travail.

Phase 2 : collective
 Discussion autour de quelques dessins affichés par
l’enseignant.
 L’enseignant demande : « les dessins
correspondent-ils bien à ce que nous dit le texte ? »
 Un débat s’instaure, une classification des dessins
s’ensuit. Trois types de dessins sont produits :

- ceux qui tiennent compte du texte sans considérer les
valeurs numériques,
 - ceux qui tiennent compte des données et qui ont
rajouté des éléments extérieurs à l’énoncé
 - ceux qui tiennent du texte uniquement et des données
numériques.







Phase 3 : débat
Débat collectif autour des dessins qui permettent de répondre
à la question :
« Serais-tu capable de trouver le nombre de pattes de tous les
animaux réunis ? »
C’est un moment de langage, d’échange, de questions et
d’argumentation.
L’enseignant mène le débat, il désire que les enfants
explicitent la manière d’utiliser les dessins. Il intervient pour
préciser le sens de la démarche de certains élèves et pour
faire des liens.
Cette phase a pour objectif d’amener les enfants à constater
que certains dessins ne sont pas utilisables pour résoudre le
problème, notamment ceux qui rajoutent des informations ou
qui en oublient (ils illustrent l’histoire sans tenir compte des
nombres et des relations « 4 pattes pour un cochon ou une
vache, 2 pattes pour une poule …)
Phase 4: dessin support à la résolution
 Résolution du problème à l’aide de dessins.
 L’enseignant demande aux élèves de résoudre le
problème en se servant d’un dessin de leur choix.
 Les enfants travaillent individuellement ou par 2,
puis une phase de mise en commun est instituée
par l’enseignant de façon à ce que les élèves
présentent leurs procédures.
 Les solutions et schémas les moins efficaces au
début sont discutés, puis les autres solutions plus
efficaces.
 L’enseignant propose de répéter l’expérience plus
tard, mais avec des problèmes différents.

Prolongements
 Trois types de prolongements peuvent être
proposés :

 1/
Dessiner et écrire pour résoudre un véritable
problème, avec les phases d’appropriation de
l’énoncé, de recherche individuelle ou par équipe de
2, de mise en commun et de méthodologie-bilan
(consolidation des acquis : faire prendre conscience
aux élèves des caractéristiques d’une
schématisation efficace par contre-exemples et
exemples; noter la leçon dans le cahier.)

2/ Travailler sur un autre énoncé.
 Exemple
:
 Si les enfants vont à la piscine : les 21 enfants de la classe vont
à la piscine. Ils doivent tous avoir des palmes. Combien faut-il
de palmes ?
 L’enseignant fait un retour sur la séance précédente afin
d’activer les connaissances antérieures. Les élèves sont en
action. En équipe de 2, ils doivent trouver la solution au
problème et une façon d’expliquer aux autres équipes la
démarche qui leur a permis de trouver la solution.
 L’objectif est de mettre en action les nouveaux acquis.
 Tout en conservant les mêmes équipes de travail qu’à la
dernière séance, l’enseignant présente à chacun des groupes
le problème.
 Les problèmes sont lus et la compréhension du vocabulaire est
vérifiée.
 L’enseignant met les élèves au défi de trouver la solution…
 3/
Réfléchir aux schématisations de problèmes
produites par des élèves fictifs.
 Dans ces activités, les enfants sont confrontés aux
erreurs les plus fréquentes pour un type de
problème donné.
 Les enfants apprennent beaucoup en utilisant un
raisonnement par différence : « L’analyse de ces
erreurs est souvent source de progrès » (Rémi
Brissiaud, J’apprends les maths – CE1 et le livre du
maître p. 15)
F10. quelques problèmes ouverts de cycle 2
- le nombre de doigts dans la classe
- « quand utilise-t-on le moins d’eau : quand on prend un bain de 170
litres d’eau ou, quand on prend 5 douches de 30 litres » (J’apprends les
maths, CE1)
- Avec des pièces de 1 F, 2 F et 5 F, trouvez plusieurs façons d’avoir 17 F.
(Ermel, CP, 1991)
- Je pense à 2 nombres qui se suivent. Je les additionne, je trouve 23.
Quels sont ces 2 nombres ?
Problèmes de partage :
- une maîtresse d’une classe de CP a 24 élèves. Elle veut faire travailler
ses élèves par groupes de 3. Combien peut-elle faire de groupes ?
- André, Bruno et Claire ont ramassés des coquillages : André en a 25,
Bruno en a 33 et Claire en a 20. Ils veulent en avoir autant chacun.
Combien chacun en aura-t-il ? (Ermel, CP)
- Aurélien, Bruno et Claude se partagent équitablement 19 bonbons. Que
peut-on chercher ? (Ermel, CE1)
- Je veux afficher des images dans la classe. Pour les petites images, j’ai
besoin de 4 aimants; pour les grandes, j’en ai besoin de 6. je dispose de
36 aimants. Combien d’images puis-je afficher ? (J’apprends les maths,
CE1)
Problèmes multiplicatifs :
- Rémi est malade. Le médecin lui a donné un
médicament. Il doit prendre 2 comprimés par jour
pendant 7 jours. Dans la boîte que la pharmacienne
lui a donnée, il y a 15 comprimés. Aura-t-il assez de
comprimés pour suivre son traitement?
- Tous les jours de la semaine, Jean dépose 3 euros
dans sa tirelire. Combien d’argent dépose-t-il par
semaine dans sa tirelire?
- Hervé a eu pour Noël un très beau livre. Pendant le
mois de janvier, il lit 2 pages par jour. Combien de
pages a-t-il lu à la fin du mois ?
- Un clown a 3 chemises : une rouge, une bleue, une
verte et 3 pantalons : un jaune, un violet, un marron.
Recherche les différentes manières de l’habiller
(problème de dénombrement)
Approche de simple proportionnalité :
Un bouquet de fleur coûte 5 euros. Combien de
bouquets puis-je acheter avec 30 euros?
Sur la notion de moitié :
Recette du quatre-quarts (pour 2 personnes) :
- 1 verre de farine
- 1 verre de beurre fondu
- 1 verre de sucre en poudre
- 1 œuf
Laura veut inviter 5 personnes. Combien lui
faudra t-il d’œufs, de verres de farine, de beurre
fondu et de sucre?
F11. quelques problèmes ouverts de cycle 3
- On dispose de pièces de 50 c, de 20 c et de 5 c. Peut-on constituer
la somme de 5 F avec exactement 20 pièces ? (Aides pédagogiques
pour le CM)
Ce problème n’a pas de solution…A partir de ce constat, on peut
relancer la recherche en se demandant quelles sont les sommes
possibles et les sommes impossibles à réaliser, avec les mêmes
conditions.
- On a une ficelle de 26 cm de longueur. On veut construire avec
cette ficelle, un rectangle dont l’aire soit la plus grande possible.
Quelles sont les dimensions de ce rectangle ? (Des problèmes pour
apprendre en CM2 et sixième)
- Un rectangle a un périmètre égal à 34 cm et une aire égale de 60
cm². Trouver sa longueur et sa largeur.
- Combien existe-t-il de nombres de 3 chiffres tels que le produit des
chiffres soit compris entre 500 et 520?
- Parmi les nombres de 0 à 999, combien de nombres contiennent le
chiffre 7 ?
F12. Conclusion
Résoudre des problèmes de recherche
dits « ouverts » permet aux élèves
d’acquérir un comportement de recherche,
de devenir autonomes, d’utiliser la pensée
divergent comme démarche mentale … et
répond aux attentes du programme de cycle
3 en particulier.
Il est intéressant d’en proposer
régulièrement tout au long de l’année. Les
élèves acquièrent des compétences
méthodologiques relatives à des savoir-faire
qu’ils vont rencontrer dans toutes les
disciplines et qui pourront être transférées.
G. exemples
de jeux et de « problèmes pour chercher » (pour
développer chez les élèves le goût de la recherche et les
capacités à chercher)
a) Activité « atteindre un nombre »
On part de 5.
On peut soit ajouter 9 soit enlever 6 et ceci autant de fois qu’on veut.
- Essayer d’atteindre 17.
Exemple de solution :
5 + 9 + 9 – 6 = 17
- Essayer d’atteindre 18.
Le problème n’a pas de solution.
Complément : Recherche des nombres qu’on peut atteindre
35
32
-6
14
+9
5
29
26
23
+9
+9
23
-6
11
8
-6
+9
2
-6
20
-6
+9
+9
-6
+9
17
-6
-6
+9
-6
+9
+9
14
-6
+9
5
On peut atteindre les nombres : 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29, 32, 35, etc.
b) Jeu à deux « atteindre 15 »
Le but du jeu est de fabriquer le premier le nombre 15 en ajoutant TROIS nombres
compris entre 1 et 9.
On dispose de neuf jetons sur lesquels sont inscrits les nombres entiers de 1 à 9.
On tire au sort le joueur qui commence le premier.
Chaque joueur choisit un jeton à tour de rôle parmi les jetons qui n’ont pas encore été
choisis.
Première version du jeu : chaque joueur ne tire pas plus de trois jetons (si un des
joueurs voit qu’il obtient 15 en tirant son troisième jeton, il a gagné. Sinon, c’est match
nul).
9
8
7
6
4
5
2
3
1
Joueur 2
Joueur 1
8
3
4
Le joueur 1 a gagné.
2
9
Deuxième version du jeu : On joue comme dans la première version mais si
aucun joueur n’obtient 15 en tirant son troisième jeton, les joueurs continuent de choisir
un jeton l'un après l'autre. Mais la règle ne change pas : il faut toujours obtenir 15 avec
TROIS jetons. Dès qu'un joueur voit qu’il peut réaliser la somme 15 avec TROIS jetons
PARMI les jetons qu'il a en sa possession, il a gagné.
1
2
4
3
Joueur 2
Joueur 1
8
3
1
7
6
5
6
2
4
Le joueur 1 a gagné.
Remarques :
-si un joueur ne voit pas qu’il a obtenu 15, le jeu continue.
-si aucun joueur n’arrive à obtenir 15, il y a match nul.
7
8
9
Complément concernant le jeu « Atteindre 15 » :
Quel nombre a intérêt à choisir le joueur qui commence ?
- Recherche de toutes les décompositions additives de 15 utilisant trois nombres
inférieurs à 10
15 = 1 + 5 + 9
15 = 2 + 4 + 9
15 = 3 + 4 + 8
15 = 1 + 6 + 8
15 = 2 + 5 + 8
15 = 3 + 5 + 7
15 = 4 + 5 + 6
15 = 2 + 6 + 7
- Recherche du nombre de fois où apparaît chacun des nombres
de 1 à 9 dans les décompositions précédentes :
Nombre
1 2 3 4 5 6 7 8 9
Nombre
2 3 2 3 4 3 2 3 2
d'apparitions
- Remarque : réalisation d'un carré magique avec les entiers de 1 à 9 (les sommes des
nombres de chaque ligne de chaque colonne et de chaque diagonale doit valoir 15)
Exemple :
2
9
4
7 5
3
6 1
8
Le 5 qui est apparaît 4 fois dans les
décompositions de 15 doit être au centre.
Dans chaque coin, il doit y avoir un nombre
qui apparaît 3 fois dans les décompositions de
15.
H. LES PROBLEMES COMPLEXES
H1. Mobiliser plusieurs catégories de connaissances
Un problème complexe est un problème dont la résolution nécessite
la mobilisation de plusieurs catégories de connaissances.
De ce fait, un problème complexe est un problème de
réinvestissement.
La résolution d’un tel problème exige de scinder le problème en
sous-problèmes, de comparer plusieurs solutions et/ou hypothèses.
L’énoncé peut comporter plusieurs informations placées dans
différents endroits, ces informations peuvent être données dans le
texte, dans un graphique, dans un schéma ou fournies oralement .
La tâche d’appropriation du problème est donc complexe, puisque
l’élève doit à la fois trouver l’interprétation adéquate, prendre en
compte un nombre élevé d’informations, isoler les données utiles à
la résolution du problème et mettre en évidence différentes étapes
de la résolution, tout en mobilisant plusieurs connaissances.
H2. Pourquoi un travail de résolution de problème
complexe ?
Résoudre un problème complexe permet de :
- proposer à l’élève une véritable activité
mathématique
- faire prendre conscience aux élèves que ce sont
eux les responsables de recherche,
indépendamment de l’enseignant
- faire abandonner aux élèves l’idée selon laquelle
pour résoudre un problème, il faut appliquer
directement les connaissances déjà étudiées;
et donc prendre des initiatives.
H3. Quels objectifs ?
Les objectifs peuvent être de différents ordres :

Des objectifs relationnels (élèves-enseignants, élèves-mathématiques) :
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Développer un comportement de chercheur
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Montrer qu’il est possible de concilier un enseignement collectif
(échanges dans la classe) et une gestion plus individualisée d’une
partie des apprentissages
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Des objectifs disciplinaires :
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Aborder une démarche scientifique : essais, conjectures, validation
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Traduire des contraintes
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Mettre en relation les données
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Utiliser des connaissances antérieures
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Justifier les résultats
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Des objectifs méthodologiques :
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Donner des méthodes de traitement de l’information
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Savoir prendre des informations dans un texte, un graphique ou un
schéma, trier, organiser les informations
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Traiter les informations pour partager le problème en sous-problèmes
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Gérer les traces écrites et les essais
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Produire les résultats intermédiaires
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Communiquer les résultats
H4. Quelle consigne formuler?
L’enseignant demandera aux élèves de rédiger sur leur
feuille les différentes étapes de leur recherche, c’est-àdire d’expliquer comment ils font pour résoudre un
problème au fur et à mesure de leur recherche.
Il précisera que ceux-ci doivent mettre en relation les
données pour entrer dans la phase de résolution.
H5. Comment valider la résolution d’un problème
complexe?
- L’élève s’est-il interrogé sur l’énoncé ?
- A-t-il reformulé le problème en le décomposant en sous-problèmes ?
- A-t-il produit des résultats intermédiaires ?
- A-t-il su traiter les diverses informations ?
- A-t-il su traduire les contraintes, mettre en relation les données ?
- L’élève a-t-il fait des essais, tâtonné ?
- A-t-il utilisé les différentes connaissances nécessaires à la résolution ?
- A-t-il fait preuve de cohérence dans le raisonnement et l’enchaînement
des actions ?
- L’élève a-t-il développé son esprit critique, fait des vérifications qui l’ont
incité à prendre conscience d’éventuelles erreurs?
H6. Quelle mise en pratique dans la classe?
Séance 1 :
Lors de cette première séance, les élèves travaillent seuls.
Phase de dévolution : lancement de l’activité
L’enseignant présente l’activité et donne les consignes à suivre aux
élèves. Il distribue l’énoncé du problème ou l’affiche au tableau.
Il le fait reformuler par les élèves.
Les élèves commencent par s’approprier le problème : ils le lisent de
façon silencieuse, le reformulent individuellement. L’enseignant peut
alors proposer de retourner l’énoncé et de le raconter.
Ensuite, ils peuvent vérifier leurs dires en regardant à nouveau
l’énoncé.
Phase d’action : recherche individuelle
Les élèves prennent des informations dans les différents
supports de l’énoncé, repèrent, traduisent les contraintes et mettent en
relation les données.
Ils sont amenés à partager le problème en sous-problèmes et
font appel à leurs connaissances.
Phase de formulation
Les élèves explicitent par écrit, par dessin, par manipulation
de matériel ou oralement les procédures utilisées et les solutions
trouvées, c’est-à-dire comment ils font pour résoudre le problème, au
fur et à mesure de leur recherche..
Phase de validation : mise en commun
C’est la mise en commun durant laquelle les différentes
procédures sont exposées, par groupe, à la classe entière.
L’objectif de l’enseignant est de faire l’inventaire des
différentes stratégies des élèves et des méthodes qu’ils ont utilisées
pour prendre en compte les informations, les contraintes, pour
partager le problème en sous-problèmes.
Phase d’institutionnalisation
L’enseignant cherche à dégager des invariants d’ordre
méthodologique de façon à ce que les enfants puissent les réinvestir
lors d’activités ultérieures.
Séance 2 :
Il s’agit d’une séance de résolution de problèmes complexes
devant laquelle les élèves travaillent en groupe.
L’enseignant demande à chaque groupe de produire une
affiche et de nommer un rapporteur.
Les phases sont identiques à celles de la séance 1; la phase
d’action se scinde en deux : une phase de recherche individuelle
suivie d’une phase de recherche en groupe.
C‘est le rapporteur qui expose la procédure choisie par son
groupe à l’ensemble de la classe
Remarque :
Les élèves comprennent qu’un problème n’est pas une
application directe du cours : ils doivent acquérir des compétences
mathématiques de chercheur et adopter une méthodologie qu’ils
développent, chemin faisant, en se l’appropriant.
H7. Exemples.
Exemple 1 : CE1
6 œufs d’oie coûtent 12 euros. 12 œufs de poule
coûtent 6 euros. Cédric veut acheter 12 œufs d’oie
et 6 œufs de poule.
Combien va-t-il payer ?
Exemple 2 : CE1
Le phare du Soleil levant mesure 70 mètres de hauteur. Il
possède 420 marches. Il est ouvert de 9h à 17 h du 1er mars au
30 septembre .
1. Alex et Leïla ont déjà monté la moitié des marches.
Combien de marches ont-ils monté ?
2. Moustik est fatigué. Il n’a monté que 100 marches.
Combien de marches doit-il encore monter pour arriver en
haut du phare ?
3. Il existe des phares beaucoup plus haut que celui-ci. Le
phare d’Antifer mesure 128 mètres de haut. De combien de
mètres dépasse-t-il le phare du Soleil levant ?
Exemple 3 : CE1
Dans le panier d’Alex, il y a 60 fruits.
Il y a des pommes et des poires.
Le nombre de poires est le double de celui du nombre des
pommes.
Combien y a-t-il de pommes ?
Combien y a-t-il de poires?
Exemple 4 : CM1
3 chameliers conduisent chacun 3 chameaux.
Sur chaque chameau, il y a 3 paniers.
Dans chaque panier, il y a 3 chattes.
Chacune de ces chattes est accompagnée de 3 châtons.
Cela fait beaucoup de pattes.
Combien en comptes-tu dans cette caravane ?
Trouve une solution.
Exemple 5 : CE1
Le marathon de New-York est retransmis à la télévision. Une
journaliste sportif commente :
« Hercules est en tête : il ne lui reste plus que 20 km à
parcourir.
Marcus est deuxième : il a déjà parcouru 27 km.
Sam est troisième : sur les 50 km de course, il n’en a parcouru
que la moitié. »
Es-tu d’accord avec le classement du commentateur ?
Justifie ta réponse.
« DES PROBLÈMES POUR APPRENDRE,
DES PROBLÈMES POUR CHERCHER »
FIN
David Rolland, professeur de mathématiques à
l’Ecole Normale Mixte de Polynésie Française