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LOS ORÍGENES
 Rama de las matemáticas que se ocupa de las
propiedades del espacio. En su forma más
elemental, la geometría se preocupa de
problemas métricos como el cálculo del área y
perímetro de figuras planas y de la superficie y
volumen de cuerpos sólidos.
 El hombre, mediante la observación de la
naturaleza y todo cuanto lo rodea, fue formando
conceptos de formas, figuras planas, cuerpos,
volúmenes, rectas y curvas.
De esa manera, a la Luna y al Sol los veía
proyectados como discos; el rayo de luz le dio la
idea de línea recta; los bordes de algunas hojas y
el arco iris, la idea de curva; los troncos de
algunos árboles y las montañas le dieron idea de
las formas mas diversas

De la construcción de las casas con paredes verticales y
sus techos horizontales surgió la noción de
perpendicularidad y paralelismo; se llegó a descubrir que
la distancia mas corta entre dos ciudades es el camino
recto
 Si bien en Egipto surgieron los conceptos de geometría en
forma práctica, fue en Grecia donde estos conceptos
adquirieron forma científica, alcanzando su máximo
esplendor estrechamente ligados a la filosofía; de tal
manera que para ingresar en la escuela filosófica de
Platón se debían tener conocimientos de geometría.
 En esta rama de la matemática se han destacado las
siguientes personas: Tales de Mileto ( 639-545 a. C. ), uno
de los siete sabios de Grecia, Pitágoras ( 580-496 a. C.),
famoso por le teorema que lleva su nombre, y Euclides,
que dio origen
a la geometría euclidiana. La palabra geometría es
un vocablo compuesto por geo, que significa tierra
y metría, que significa medir; es decir medir la
tierra
 En su forma más elemental, la geometría se
preocupa de problemas métricos como el cálculo
del área y perímetro de figuras planas y de la
superficie y volumen de cuerpos sólidos. Otros
campos de la geometría son la geometría
analítica, geometría descriptiva, topología,
geometría de espacios con cuatro o más
dimensiones, geometría fractal, y geometría no
euclídea.
GEOMETRIA PRIMITIVA
DEMOSTRATIVA
 El origen del término geometría es una
descripción precisa del trabajo de los primeros
geómetras, que se interesaban en problemas
como la medida del tamaño de los campos o el
trazado de ángulos rectos para las esquinas de
los edificios. Este tipo de geometría empírica, que
floreció en el Antiguo Egipto, Sumeria y Babilonia,
fue refinado y sistematizado por los griegos. En el
siglo VI a.C. el matemático Pitágoras colocó la
piedra angular de la geometría científica al
demostrar que las diversas leyes arbitrarias e
inconexas de la geometría empírica se pueden
deducir como conclusiones lógicas de un número
limitado de axiomas, o postulados
 Estos postulados fueron considerados por
Pitágoras y sus discípulos como verdades
evidentes; sin embargo, en el pensamiento
matemático moderno se consideran como un
conjunto de supuestos útiles pero arbitrarios.
 Un ejemplo típico de los postulados desarrollados
y aceptados por los matemáticos griegos es la
siguiente afirmación: "una línea recta es la
distancia más corta entre dos puntos". Un
conjunto de teoremas sobre las propiedades de
puntos, líneas, ángulos y planos se puede deducir
lógicamente a partir de estos axiomas. Entre estos
teoremas se encuentran: "la suma de los ángulos
de cualquier triángulo es igual a la suma de dos
ángulos rectos", y "el cuadrado de la hipotenusa
de un triángulo rectángulo es igual a la suma de
los cuadrados de los otros dos lados" (conocido
como teorema de Pitágoras).
 La geometría demostrativa de los griegos, que se
ocupaba de polígonos y círculos y de sus
correspondientes figuras tridimensionales, fue
mostrada rigurosamente por el matemático griego
Euclides, en su libro Los elementos. El texto de
Euclides, a pesar de sus imperfecciones, ha
servido como libro de texto básico de geometría
hasta casi nuestros días.
POSTULADOS O
AXIOMAS
PUNTO, RECTA Y PLANO
 Plano: es el conjunto de puntos que forman un
espacio de dos dimensiones. Al plano se lo
designa con una letra del alfabeto griego
 Recta: la intersección de dos planos es un
conjunto de puntos que forman un espacio de una
dimensión llamado recta
 Punto: es la intersección de dos rectas
Los puntos, rectas y planos deben satisfacer ciertas
propiedades que se aceptan sin demostrar y que
surgen de la observación y experiencia.
Dichas propiedades se conocen con el nombre de
POSTULADOS O AXIOMAS:
1_ Existen infinitos puntos, infinitas rectas e infinitos
planos
2_ Por un punto pasan infinitas rectas
3_ Por una recta r pasan infinitos planos
4_ Dos puntos determinan una recta, a la cual
pertenecen
5_ Existen infinitos puntos que pertenecen a una recta y
existen infinitos puntos que no pertenecen a ella
6_ Una recta y un punto fuera de ella determinan un
plano, el cual contiene a dicha recta y a dicho punto
7_ La recta determinada por dos puntos de un plano
esta incluida en dicho plano
8_ Existen infinitos puntos que pertenecen a un plano y
existen también infinitos puntos fuera de él
PRIMEROS PROBLEMAS
GEOMÉTRICOS
 Los griegos introdujeron los problemas de
construcción, en los que cierta línea o figura debe ser
construida utilizando sólo una regla de borde recto y
un compás. Ejemplos sencillos son la construcción de
una línea recta dos veces más larga que una recta
dada, o de una recta que divide un ángulo dado en
dos ángulos iguales. Tres famosos problemas de
construcción que datan de la época griega se
resistieron al esfuerzo de muchas generaciones de
matemáticos que intentaron resolverlos: la duplicación
del cubo (construir un cubo de volumen doble al de un
determinado cubo), la cuadratura del círculo (construir
un cuadrado con área igual a un círculo determinado)
y la trisección del ángulo (dividir un ángulo dado en
tres partes iguales).
 Ninguna de estas construcciones es posible con la
regla y el compás, y la imposibilidad de la cuadratura
del círculo no fue finalmente demostrada hasta 1882.
 Los griegos, y en particular Apolonio de Perga,
estudiaron la familia de curvas conocidas como
cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades
fundamentales. Las cónicas son importantes en
muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo,
las órbitas de los planetas alrededor del Sol son
fundamentalmente cónicas.
 Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos,
hizo un considerable número de aportaciones a la
geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas
figuras curvas así como la superficie y el volumen de
sólidos limitados por superficies curvas, como
paraboloides y cilindros.
También elaboró un método para calcular una
aproximación del valor de pi (p), la proporción entre el
diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció
que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.
POLÍGONOS
La palabra polígono esta formada por dos voces de
origen griego: polys (mucho) y gonia ( ángulo )
POLIGONOS CONVEXOS
Dado tres o más puntos pertenecientes a un mismo
plano, tales que tres de ellos no estén alineados y
que las rectas determinadas por dos de los puntos
consecutivos dejen a los restantes en un mismo
semiplano: se llama polígono convexo a la
intersección de todos estos semiplanos
ELEMENTOS DE UN POLIGONO
• Ángulos: son los formados por sus lados, al cortarse
dos a dos
• Vértices: son los vértices de sus lados
• Diagonal: es la recta que une los dos vértices no
consecutivos
CLASIFICACION DE LOS POLIGONOS
Atendiendo al numero de lados, los polígonos se
clasifican de la siguiente manera:
• Polígono de tres lados: triángulo
• Polígono de cuatro lados: cuadrilátero
• Polígono de cinco lados: pentágono
• Polígono de seis lados: hexágono
• Polígono de siete lados: heptágono
• Polígono de ocho lados: octágono
 Polígono de nueve lados: eneágono
 Polígono de diez lados: decágono
 Polígono de once lados: undecágono
 Polígono de doce lados: dodecágono
 Polígono de quince lados: pentadecágono
 Polígono de veinte lados: icoságono
Los polígonos de n lados se llaman por el nombre de la
cantidad de lados. Así, el polígono de 22 lados se
llama ´´ polígono de veintidós lados ``
POLIGONO REGULAR
Un polígono convexo se llama regular cuando tiene sus
lados y sus ángulos iguales
TRIÁNGULO
Dados tres puntos del plano, no alineados y tales que
las rectas determinadas por dos de los puntos
consecutivos deje al restante en un mismo semiplano:
se llama triángulo a la intersección de todos esos
semiplanos
CLASIFICACION DE LOS TRIÁNGULOS
Según sus lados:
• Equilátero: tiene todos sus lados iguales
• Isósceles: tiene dos lados iguales y uno diferente
• Escaleno: ninguno de sus lados es igual
Según sus ángulos:
 Acutángulo: 3 ángulos agudos
 Rectángulo: 1 ángulo recto ( 90 grados )
 Obtusángulo: 1 ángulo obtuso
CUADRILÁTEROS
Los cuadriláteros son los polígonos que tienen cuatro lados
CLASIFICACION DE LOS CUADRILÁTEROS
Paralelogramo: cuadrado, paralelogramo propiamente dicho,
rombo, rectángulo
No Paralelogramo: trapecio, trapezoide, romboide
PARALELOGRAMOS
Es el cuadrilátero que tiene paralelos los pares de lados
opuestos. La base del paralelogramo es uno cualquiera.
La altura es perpendicular trazada desde un vértice al lado
opuesto ( o a su prolongación )
PROPIEDADES de los PARALELOGRAMOS
1_ En todo paralelogramo los lados opuestos son
iguales
2_ En todo paralelogramo los ángulos opuestos son
iguales
3_ En todo paralelogramo los ángulos consecutivos son
suplementarios
4_ En todo paralelogramo las diagonales se cortan,
mutuamente, en partes iguales
5_ Si un cuadrilátero tiene un par de lados paralelos e
iguales, el cuadrilátero es un paralelogramo
6_ El punto de intersección de las diagonales de un
paralelogramo es centro de simetría del mismo
7_ Base media de un paralelogramo es el segmento
comprendido entre los puntos medios de los
lados opuestos.
RECTÁNGULO
Es el paralelogramo con los lados opuestos iguales y los
cuatro ángulos recto. Si un paralelogramo tiene un
ángulo recto, los demás ángulos también son rectos.
Entonces, la condición necesaria y suficiente para que
un paralelogramo sea rectángulo es que tenga un
ángulo recto. El rectángulo, por ser un paralelogramo,
goza de las propiedades del mismo. Además, goza de
las siguientes particularidades:
1_ Las diagonales del rectángulo son iguales
2_ Las bases medias del rectángulo son ejes de
simetría del mismo
ROMBO
Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y
los ángulos opuestos iguales dos a dos. Si un
paralelogramo tiene dos lados consecutivos iguales,
los cuatro lados son iguales
En consecuencia, la condición necesaria y suficiente
para que un paralelogramo sea rombo es que tenga
dos lados consecutivos iguales. El rombo, por ser
paralelogramo, goza de todas sus propiedades. Sus
propiedades especiales son:
1_ Las diagonales del rombo son perpendiculares en su
punto medio y bisectrices de los ángulos que unen
2_ Las diagonales del rombo son ejes de simetría del
mismo
CUADRADO
Es el paralelogramo que tiene los cuatro lados iguales y
los cuatro ángulos rectos. Por ser un paralelogramo,
el cuadrado goza de todas sus propiedades. Además:
1_ Por tener 4 lados iguales es un rombo y goza de las
propiedades del mismo
2_ Por tener 4 ángulos rectos es un rectángulo y goza
de las propiedades del mismo
En consecuencia, todo cuadrado es rombo y todo
cuadrado es rectángulo
Sus propiedades especiales son:
1_ Las diagonales y las bases medias del cuadrado son
ejes de simetría
2_ La diagonal del cuadrado es bisectriz
NO PARALELOGRAMOS
TRAPECIO
Es el cuadrilátero que tiene un par de lados paralelos.
Los trapecios pueden ser: rectángulos, isósceles, o
escalenos
TRAPEZOIDE
Es el cuadrilátero que no tiene ningún par de lados
paralelos
ROMBOIDE
Es el trapezoide especial que tiene dos lados
consecutivos iguales y los otros dos lados iguales,
pero distintos de los anteriores
Geometría analítica.
Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la
investigación de las propiedades de las figuras
geométricas que no varían cuando las figuras son
proyectadas de un plano a otro. Si los puntos A,
B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de
una cónica, por ejemplo una circunferencia, y
dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y
C con b y a, los tres puntos de las intersecciones
de dichas líneas están en una recta.
De la misma manera, si se dibujan seis
tangentes cualesquiera a una cónica, y se
trazan rectas que unan dos intersecciones
opuestas de las tangentes, estas líneas se
cortan en un punto único. Este teorema se
denomina proyectivo, pues es cierto para todas
las cónicas, y éstas se pueden transformar de
una a otra utilizando las proyecciones
apropiadas, que muestra que la proyección de
una circunferencia es una elipse en el otro
plano.
Casi al mismo tiempo, el matemático británico
Arthur Cayley desarrolló la geometría para
espacios con más de tres dimensiones.
Imaginemos que una línea es un espacio
unidimensional. Si cada uno de los puntos de la
línea se sustituye por una línea perpendicular a
ella, se crea un plano, o espacio bidimensional.
De la misma manera, si cada punto del plano se
sustituye por una línea perpendicular a él, se
genera un espacio tridimensional. Yendo más
lejos, si cada punto del espacio tridimensional
se sustituye por una línea perpendicular,
tendremos un espacio tetradimensional.
Aunque éste es físicamente imposible, e
inimaginable, es conceptualmente sólido. El
uso de conceptos con más de tres dimensiones
tiene un importante número de aplicaciones en
las ciencias
físicas, en particular en el desarrollo
.
de teorías de la relatividad. También se han
utilizado métodos analíticos para estudiar las
figuras geométricas regulares en cuatro o más
dimensiones y compararlas con figuras similares
en tres o menos dimensiones.
Esta geometría se conoce como geometría
estructural. Un ejemplo sencillo de este enfoque
de la geometría es la definición de la figura
geométrica más sencilla que se puede dibujar
en espacios con cero, una, dos, tres, cuatro o
más dimensiones. En el espacio de cuatro
dimensiones, se puede demostrar que la figura
más sencilla está compuesta por cinco puntos
como vértices, diez segmentos como aristas,
diez triángulos como caras y cinco tetraedros.
El tetraedro, analizado de la misma
manera, está compuesto por cuatro
vértices, seis segmentos y cuatro
triángulos.
Otro concepto dimensional, el de
dimensiones fraccionarias, apareció en el
siglo XIX. En la década de 1970 el
concepto se desarrolló como la geometría
fractal.
RESEÑA DE ALGUNOS
GRANDES
MATEMÁTICOS QUE SE
ESPECILALIZARON EN
LA GEOMETRÍA
PITÁGORAS
 Pitágoras (c. 582-c. 500 a.C.), filósofo y matemático
griego, cuyas doctrinas influyeron mucho en Platón.
Nacido en la isla de Samos, Pitágoras fue instruido en
las enseñanzas de los primeros filósofos jonios Tales
de Mileto, Anaximandro y Anaxímenes. Se dice que
Pitágoras había sido condenado a exiliarse de Samos
por su aversión a la tiranía de Polícrates. Hacia el 530
a.C. se instaló en Crotona, una colonia griega al sur
de Italia, donde fundó un movimiento con propósitos
religiosos, políticos y filosóficos, conocido como
pitagorismo. La filosofía de Pitágoras se conoce sólo
a través de la obra de sus discípulos.
EUCLIDES
 Euclides (matemático) (fl. 300 a.C.), matemático
griego, cuya obra principal, Elementos de geometría,
es un extenso tratado de matemáticas en 13
volúmenes sobre materias tales como geometría
plana, proporciones en general, propiedades de los
números, magnitudes inconmensurables y geometría
del espacio. Probablemente estudió en Atenas con
discípulos de Platón. Enseñó geometría en Alejandría
y allí fundó una escuela de matemáticas. Los Cálculos
(una colección de teoremas geométricos), los
Fenómenos (una descripción del firmamento), la
Óptica, la División del canon (un estudio matemático
de la música) y otros libros se han atribuido durante
mucho tiempo a Euclides.
 Sin embargo, la mayoría de los historiadores cree
que alguna o todas estas obras (aparte de los
Elementos) se le han adjudicado erróneamente.
Los historiadores también cuestionan la
originalidad de algunas de sus aportaciones.
Probablemente las secciones geométricas de los
Elementos fueron en un principio una revisión de
las obras de matemáticos anteriores, como
Eudoxo, pero se considera que Euclides hizo
diversos descubrimientos en la teoría de números
Integrantes del grupo:
β
β
β
β
Carrión Emiliano.
Carrión Leonel.
Garro Andrés.
Giordana Pablo.
Profesor: Hugo Valderrey