Transcript ***** 1

Kvadrātvienādojumi
8.klase
matemātikas skolotāja O.Maļkova
Уравнение представляет собой
наиболее серьезную и важную вещь в
математике.
Пифагор
Vienādojumu, kuru var pierakstīt
ax  bx  c  0
2
kur x – mainīgais,
bet a, b, c – dotie skaitļi ( a  0) ,
sauc par kvadrātvienādojumu.
ах
2
+
b х+ с = 0
аx2 - kvadrātloceklis
bx - lineārais loceklis
c - brīvais loceklis
15х²
15 - 9
9х + 5 = 0
Kvadrātlocekļa
koeficients
Lineārais
koeficients
Brīvais
loceklis
• Kvadrātvienādojumu, kura visi trīs
koeficienti ir atšķirīgi no nulles, sauc
par pilnu kvadrātvienādojumu.
• Kvadrātvienādojumu, kura kaut viens
koeficients ir nulle, sauc par nepilnu
kvadrātvienādojumu.
Nepilnie
kvadrātvienādojumi
1)
ax  0
2)
ax  bx  0
3)
ax  c  0
2
b=0, c=0
2
2
b=0
c=0
• Pilnu kvadrātvienādojumu, kurā
kvadrātlocekļa koeficients a=1, sauc
par reducēto kvadrātvienādojumu
(приведённое).
Pierakstiet doto vienādojumu
koeficientus:
а
2 х 2  8х  9  0
4х2  9  0
4х2  0
х2  4х  0
2  3х 2  4 х  0
24  6 у 2  0
b
с
Pierakstiet doto vienādojumu
koeficientus:
а
b
с
2 х 2  8х  9  0
2
-8
9
4х2  9  0
4
0
-9
4х2  0
4
0
0
х2  4х  0
1
-4
0
2  3х 2  4 х  0
-3
4
2
24  6 у 2  0
6
0
24
Pierakstiet kvadrātvienādojumu, ja
doti tā koeficienti
c=0
3х  2 х  1  0
2
х  2х  0
b=0
с=4
3х  4  0
4. а = -4 b = 0
с=0
1. а = 3
b = -2
2. а = 1
b=2
3. а = 3
5. а = 9
b=0
6. а = 3 b = -4
с=1
2
2
 4х  0
2
c = -4
9х  4  0
c=0
3х  4 х  0
2
2
Pierakstiet vienādojumu
koeficientus
5х  9  0
2
5х  х  0
2
х  5х  4  0
2
509
510
514
Kvadrātvienādojumu
atrisināšana
Risināšanas plāns
1) V-mu pierakstīt pamatformā ax²+bx+c=0.
2) Noteikt koeficientus a, b, c.
3) Aprēķināt diskriminantu (дискриминант)
D = b²- 4ac
4) Salīdzina diskriminantu ar 0:
 Ja D < 0, v-mam sakņu nav;
 Ja D = 0, v-mam ir divas vienādas saknes;
 Ja D > 0, v-mam ir divas dažādas saknes.
5) Ja saknes eksistē, tās aprēķina pēc
formulas:
b D
x1,2 
2a
6) Saknes pārbauda.
7) Pieraksta atbildi.
Piemērs
a  2, b  5, c  3
2x  5x  3  0
2
D  b2  4ac  52  4  2  (3)  25  24  49  0  2корня
D  49  7
-b D 57

2a
22
 5  7  12
x1 

 3
4
4
x1,2 
57 2 1
x2 
 
4
4 2
1
Ответ : x1  3; x 2 
2
Piemērs 2x 2  6x  x  7
2 x 2  5x  7  0
a  2, b  5, c  7
D  b 2  4ac  52  4  2  (7)  25  56  81  0  2кор н
D 
81  9
-b
D
59

2a
22
59
 14
1


 3
4
4
2
x1, 2 
x1
x2 
59
4

1
4
4
Ответ : x1  3,5; x 2  1.
Ещё в древности люди пользовались ими не
зная, что это –квадратные уравнения.
В наше время невозможно представить себе
решение как простейших , так и сложных задач
не только в математике, но и в других точных
науках , без применения решения квадратных
уравнений.
Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь
новое.
Nepilnie
kvadrātvienādojumi
Vienādojums
2
ax
=0
Ja a ≠ 0, tad x2 = 0
x=0
Vienādojumam tikai viena sakne – skaitlis 0.
Vienādojums
ax2 + c = 0
ax2 = -c
2
ax
+c = 0
(a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0)
ja
< 0, tad sakņu nav
ja
> 0, tad ir 2 saknes
Piemērs
2x2 -72 = 0
2x2 = 72
x2 = 36
x1 = 6; x2 = -6
Vienādojums
2
ax
+bx = 0
ax2 + bx = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0)
x(ax + b) = 0
x = 0 vai ax + b = 0
ax = -b
Atbilde:
Piemērs
5x2 + 2x = 0
x(5x + 2) = 0
x = 0 vai 5x + 2 = 0
5x = -2
x = -0,4
Atbilde:
Kvadrāttrinoma
sadalīšana reizinātājos
2x
2
2x  5
2
-monoms
-binoms
2x  3x  4
2
-trinoms
• Polinomu, kuru var pierakstīt formā
ax²+bx+c, kur a, b un c nenulles skaitļi,
sauc par kvadrāttrinomu (квадратный
трёхчлен).
• Kvadrāttrinoma vērtība ir atkarīga no
mainīgā x vērtības.
x2 + x -6
ja x = 1, tad 12 + 1 - 6 = -4
ja x = 2, tad 22 + 2 - 6 = 6 – 6 = 0
ja x = -5, tad (-5)2 - 5 - 6 = 25 – 11 = 14
ja x = -3, tad (-3)2 - 3 - 6 = 9 – 9 = 0
• Те значения переменной х, при
которых численное значение квадр.
трёхчлена ax²+bx+c становится
равным нулю, называются корнями
квадр. трёхчлена.
x1 = 2 и x2 = -3
корни квадр. трёхчлена x²+x-6
• Ja x1 un x2 ir kvadrāttrinoma ax²+bx+c
saknes, tad to var sadalīt reizinātājos
pēc formulas:
ax²+bx+c = a (x-x1)(x-x2)
• ja a = 1, tad
x²+px+q = (x-x1)(x-x2)
Чтобы разложить квадр. трёхчлен на
множители, надо:
1) Записать соответствующее квадр.
уравнение
ax²+bx+c = 0
2) Вычислить корни этого уравнения x1 и x2
3) Разложить данный квадр.трёхчлен на
множители, подставив в формулу
ax²+bx+c = a (x-x1)(x-x2) полученные
значения x1 и x2
Piemērs:
• Sadalīt kvadrāttrinomu x2 + x -2
reizinātājos.
x2 + x -2 = 0
D = 12 -4(-2) = 9
x1 = 1; x2 = -2
x2 + x -2 = (x – 1)(x –(-2)) = (x – 1)(x + 2)