Transcript ***** 1
Kvadrātvienādojumi
8.klase
matemātikas skolotāja O.Maļkova
Уравнение представляет собой
наиболее серьезную и важную вещь в
математике.
Пифагор
Vienādojumu, kuru var pierakstīt
ax bx c 0
2
kur x – mainīgais,
bet a, b, c – dotie skaitļi ( a 0) ,
sauc par kvadrātvienādojumu.
ах
2
+
b х+ с = 0
аx2 - kvadrātloceklis
bx - lineārais loceklis
c - brīvais loceklis
15х²
15 - 9
9х + 5 = 0
Kvadrātlocekļa
koeficients
Lineārais
koeficients
Brīvais
loceklis
• Kvadrātvienādojumu, kura visi trīs
koeficienti ir atšķirīgi no nulles, sauc
par pilnu kvadrātvienādojumu.
• Kvadrātvienādojumu, kura kaut viens
koeficients ir nulle, sauc par nepilnu
kvadrātvienādojumu.
Nepilnie
kvadrātvienādojumi
1)
ax 0
2)
ax bx 0
3)
ax c 0
2
b=0, c=0
2
2
b=0
c=0
• Pilnu kvadrātvienādojumu, kurā
kvadrātlocekļa koeficients a=1, sauc
par reducēto kvadrātvienādojumu
(приведённое).
Pierakstiet doto vienādojumu
koeficientus:
а
2 х 2 8х 9 0
4х2 9 0
4х2 0
х2 4х 0
2 3х 2 4 х 0
24 6 у 2 0
b
с
Pierakstiet doto vienādojumu
koeficientus:
а
b
с
2 х 2 8х 9 0
2
-8
9
4х2 9 0
4
0
-9
4х2 0
4
0
0
х2 4х 0
1
-4
0
2 3х 2 4 х 0
-3
4
2
24 6 у 2 0
6
0
24
Pierakstiet kvadrātvienādojumu, ja
doti tā koeficienti
c=0
3х 2 х 1 0
2
х 2х 0
b=0
с=4
3х 4 0
4. а = -4 b = 0
с=0
1. а = 3
b = -2
2. а = 1
b=2
3. а = 3
5. а = 9
b=0
6. а = 3 b = -4
с=1
2
2
4х 0
2
c = -4
9х 4 0
c=0
3х 4 х 0
2
2
Pierakstiet vienādojumu
koeficientus
5х 9 0
2
5х х 0
2
х 5х 4 0
2
509
510
514
Kvadrātvienādojumu
atrisināšana
Risināšanas plāns
1) V-mu pierakstīt pamatformā ax²+bx+c=0.
2) Noteikt koeficientus a, b, c.
3) Aprēķināt diskriminantu (дискриминант)
D = b²- 4ac
4) Salīdzina diskriminantu ar 0:
Ja D < 0, v-mam sakņu nav;
Ja D = 0, v-mam ir divas vienādas saknes;
Ja D > 0, v-mam ir divas dažādas saknes.
5) Ja saknes eksistē, tās aprēķina pēc
formulas:
b D
x1,2
2a
6) Saknes pārbauda.
7) Pieraksta atbildi.
Piemērs
a 2, b 5, c 3
2x 5x 3 0
2
D b2 4ac 52 4 2 (3) 25 24 49 0 2корня
D 49 7
-b D 57
2a
22
5 7 12
x1
3
4
4
x1,2
57 2 1
x2
4
4 2
1
Ответ : x1 3; x 2
2
Piemērs 2x 2 6x x 7
2 x 2 5x 7 0
a 2, b 5, c 7
D b 2 4ac 52 4 2 (7) 25 56 81 0 2кор н
D
81 9
-b
D
59
2a
22
59
14
1
3
4
4
2
x1, 2
x1
x2
59
4
1
4
4
Ответ : x1 3,5; x 2 1.
Ещё в древности люди пользовались ими не
зная, что это –квадратные уравнения.
В наше время невозможно представить себе
решение как простейших , так и сложных задач
не только в математике, но и в других точных
науках , без применения решения квадратных
уравнений.
Надеюсь и вы открыли для себя что-нибудь
новое.
Nepilnie
kvadrātvienādojumi
Vienādojums
2
ax
=0
Ja a ≠ 0, tad x2 = 0
x=0
Vienādojumam tikai viena sakne – skaitlis 0.
Vienādojums
ax2 + c = 0
ax2 = -c
2
ax
+c = 0
(a ≠ 0, b = 0, c ≠ 0)
ja
< 0, tad sakņu nav
ja
> 0, tad ir 2 saknes
Piemērs
2x2 -72 = 0
2x2 = 72
x2 = 36
x1 = 6; x2 = -6
Vienādojums
2
ax
+bx = 0
ax2 + bx = 0 (a ≠ 0, b ≠ 0, c = 0)
x(ax + b) = 0
x = 0 vai ax + b = 0
ax = -b
Atbilde:
Piemērs
5x2 + 2x = 0
x(5x + 2) = 0
x = 0 vai 5x + 2 = 0
5x = -2
x = -0,4
Atbilde:
Kvadrāttrinoma
sadalīšana reizinātājos
2x
2
2x 5
2
-monoms
-binoms
2x 3x 4
2
-trinoms
• Polinomu, kuru var pierakstīt formā
ax²+bx+c, kur a, b un c nenulles skaitļi,
sauc par kvadrāttrinomu (квадратный
трёхчлен).
• Kvadrāttrinoma vērtība ir atkarīga no
mainīgā x vērtības.
x2 + x -6
ja x = 1, tad 12 + 1 - 6 = -4
ja x = 2, tad 22 + 2 - 6 = 6 – 6 = 0
ja x = -5, tad (-5)2 - 5 - 6 = 25 – 11 = 14
ja x = -3, tad (-3)2 - 3 - 6 = 9 – 9 = 0
• Те значения переменной х, при
которых численное значение квадр.
трёхчлена ax²+bx+c становится
равным нулю, называются корнями
квадр. трёхчлена.
x1 = 2 и x2 = -3
корни квадр. трёхчлена x²+x-6
• Ja x1 un x2 ir kvadrāttrinoma ax²+bx+c
saknes, tad to var sadalīt reizinātājos
pēc formulas:
ax²+bx+c = a (x-x1)(x-x2)
• ja a = 1, tad
x²+px+q = (x-x1)(x-x2)
Чтобы разложить квадр. трёхчлен на
множители, надо:
1) Записать соответствующее квадр.
уравнение
ax²+bx+c = 0
2) Вычислить корни этого уравнения x1 и x2
3) Разложить данный квадр.трёхчлен на
множители, подставив в формулу
ax²+bx+c = a (x-x1)(x-x2) полученные
значения x1 и x2
Piemērs:
• Sadalīt kvadrāttrinomu x2 + x -2
reizinātājos.
x2 + x -2 = 0
D = 12 -4(-2) = 9
x1 = 1; x2 = -2
x2 + x -2 = (x – 1)(x –(-2)) = (x – 1)(x + 2)