Transcript Арифметична і геометрична прогресії.

Мета:
сформулювати поняття послідовності,
арифметичної та геометричної
прогресій; сформулювати суму членів
арифметичної прогресії та суму членів
геометричної прогресії; розвивати
уміння і навички аналізувати умову
завдання; сприяти вихованню
старанності і охайності під час запису.
засвоєння
нових
знань
Нехай маємо послідовність
натуральних чисел
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 … .
Число 1 – її перший член, 2 – другий,
10 – десятий і т.д.
Перегляд мультфільму про послідовність
Нехай дано послідовність, перший член
якої 5, а кожний інший член на 3 більший
від попереднього:
5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26, 29,…
Це – арифметична прогресія з першим
числом 5 і різницею 3.
Арифметична
прогресія
послідовність, кожний
член якої, починаючи з другого,
дорівнює попередньому члену, до
якого додають одне і те саме число.
Щоб одержати будь-який член арифметичної
прогресії, починаючи з другого, треба до
попереднього члена додати різницю d.Тому
якщо перший член і різниця арифметичної
прогресії дорівнює відповідно a1 і d, то
перші члени цієї арифметичної прогресії:
a1,a1+d,a1+2d,a1+3d,a1+4d….,
тобто
a2=a1+d,a3=a1+2d,a4=a1+3d,a5=a1+3d,..
Зверніть увагу
Коефіцієнт при d на 1 менший від
порядкового номера члена прогресії.
an=a1(n-1)d.
Це формула n-го члена арифметичної
прогресії.
Сума членів скінченної
арифметичної прогресії, дорівнює
півсумі крайніх її членів,
помноженій на число членів.
Перевіримо засвоєнні знання
Приклад. Знайти члени а6, а100, а1001
арифметичної прогресії, в якій а1=-1
і d=7.
Розв'язання: За допомогою формули
аn=а1+(n-1)d знаходимо
а6=а1+(6-1)d=-1+5*7=34,
а100=а1+99d=-1+99*7=692,
а1001=а1+(1001-1)d=1+1000*7=6999
Відповідь: а6=34,а100=692,а1001=6999.
Приклад. Сума третього і дев'ятого членів
арифметичної прогресії дорівнює 8. Знайти
суму 11 перших членів цієї прогресії.
Розв'язання: за умовою задачі відомо, що
а3+а9=8. Потрібно знайти S11.
Відповідно до другої властивості
арифметичної прогресії а3+а9=а1+а11,тоді
Відповідь :S11=44
Геометрична
прогресія
послідовність, кожний член
якої, починаючи з другого, дорівнює
попередньому члену, помноженому на
одне і те ж саме число.
Перший член b1і q знаменник
геометричної прогресії можуть бути
будь-якими числами, відмінними від
нуля.
Наведемо приклади геометричних прогресій:
3, 6,12, 24, 48, 96, … (b1=3,q=2);
1, -3, 9, -27, 81, -243, … (b1=1,q=-3);
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, … (b1=7,q=1).
Геометрична прогресія з першим
членом b1 і q знаменником має такі
перші члени:
b1,b1q,b1q²,b1q³,….
Її другий членb2=b1q, третій членb3=b1q²,
а n–й член
bn=b1qⁿ⁻¹
Це формула n–го члена геометричної
прогресії
Це формула суми перших членів
геометричної прогресії з першим
членом і знаменником.
Закріпимо вивчений матеріал:
Приклад. Знайти члени b3,b8,b12
геометричної прогресії, у якій
b1=1/2 i q=2.
Розв'язання. Відповідно до
формули bn=b1qⁿ⁻¹ знаходимо
b3=b1q²=1/2*2²=2,
b8=b1q⁷=1/2*2⁷=64,
b12=b1q¹¹=1/2*2¹¹=1024.
Відповідь: b3=2,b8=64,b12=1024.
Приклад. Знайти суму
Розв'язання. Дана сума являє собою суму
скінченної геометричної прогресії з
b1=1,bn=1/3ⁿ⁻¹ і q=1/3.Тому застосовуючи
формулу
одержимо:
Відповідь:
Домашня робота:



За конспектом і підручником вивчити теоретичний матеріал;
Самостійно скласти по 2приклади арифметичної і
геометричної прогресій;
Додатково виконати завдання:
В арифметичній прогресії a1=9,d=4. Знайдіть.a15,a32
Чи є арифметичною прогресією послідовність, n-й член якої:
а) an=3n+1; б) bn=5-4n.
Знайдіть суму перших ста натуральних чисел.
Напишіть сім перших членів геометричної прогресії, у якої:
а) b1=1,q=34; б) b1=-5,q=2.
Знайдіть суму 15 перших членів геометричної прогресії:
а) 1,2,4,8….; б) 1024,512,256,… .