Transcript Сума n перших членів арифметичної прогресії - Сайт

Використано матеріали Бібліотеки
електронних наочностей “Алгебра 79 клас”.
Робота вчителя СЗОШ І- ІІІ ступенів
№ 8 м. Хмельницького Кравчук Г.Т.
2011 рік
Тема 1. Числові нерівності.
Властивості числових нерівностей
Тема2. Розв’язування лінійних
нерівностей і систем нерівностей з
однією змінною
Для роботи виберіть потрібну тему, в
якій слід вказати тему уроку.
Для переходу між слайдами: 1 клік
миші, або використати
кнопки
Дл
керування діями
назад
вперед
на 1 слайд
(додому)
на початок
на кінець
повернутися
Тема 3. Функція. Квадратична
функція
Тема 4. Квадратні нерівності та
системи рівнянь другого степеня
Тема 5. Елементи прикладної
математики
Тема 6. Арифметична та
геометрична прогресії
Як рахував Гаусс.
Пригадайте
1). Який вигляд має формула
загального члена арифметичної
прогресії?
2). Як виразити через а1 і d член
арифметичної прогресії, номер
якого дорівнює n-k?
Розповідають, що незвичайні здібності видатного
німецького математика Карла Фрідріха Гаусса (17771855) почали виявлятися вже в ранньому віці.
Якось він здивував учителя, миттєво обчисливши
суму перших ста натуральних чисел.
Він, очевидно, помітив, що в послідовності
1; 2; 3; 4; ...; 97; 98; 99; 100
сума першого і останнього числа дорівнює
101 (1 + 100 = 101),
другого і передостаннього — теж
101 (2 + 99 = 101),
третього від початку і третього від кінця — теж
101 (3 + 98 = 101) і т.д.
Всього таких сум можна утворити 50 (остання — 50 + 51).
Отже, сума перших ста натуральних чисел дорівнює
101 • 50 = 5050.
Карл Гаус
( 1777 – 1855 )
«Математика – цариця всіх наук,
арифметика – цариця математики»
Німецький математик, астроном, геодезист,
фізик, вважається «королем математики».
Народився 30 квітня 1777 року в герцогстві
Брауншвейг у сім’ї садівника. Видатні математичні
здібності проявив вже у ранньому дитинстві.
ak + an-k+l = a1 + an.
Послідовність перших ста
натуральних чисел є скінченною
арифметичною прогресією, перший і
останній члени (або інакше, крайні
члени) якої дорівнюють відповідно 1 і
100, а різниця d = 1. Вона має
властивість, яку і помітив Гаусс:
сума будь-яких двох її членів,
рівновіддалених від крайніх членів,
дорівнює сумі крайніх членів (у
даному випадку 101)
Доведення
Нехай маємо скінченну арифметичну
прогресію
a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an .
Запишемо у загальному вигляді два
довільні члени прогресії, які
рівновіддалені від її крайніх членів,
наприклад, стоять на на k-му місці від
початку і від кінця.
На k- му місці від початку прогресії
знаходиться член ak .
Тепер встановимо номер члена, який
стоїть на k-мy місці від кінця прогресії.
Перед цим зауважимо, що сума номерів
крайніх членів і членів, рівновіддалених
від крайніх, на 1 більша від кількості n
членів прогресії і дорівнює n + 1.
a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an
ak + an-k+1 = a1 + an
Справді, сума:
номерів першого (a1) і останнього (an) членів
дорівнює 1 + n;
другого (а2) і передостаннього (an-1) — 2 + n - 1
= n + 1;
третього (а3) і третього від кінця (an-2) — 3 + n 2 = n + 1 і т.д.
Отже, сума номерів членів прогресії, що
стоять на k-му місці від початку і на k-му місці
від кінця, теж має дорівнювати n + 1
Порядковий номер члена, що стоїть на k-му
місці від початку, дорівнює k. Щоб знайти
номер члена, що стоїть на k-му місці від кінця
прогресії, треба від n + 1 відняти k:
n+1 - k = n-k+1.
Знайдемо суму членів ak і аn-k+1,
скориставшись формулою загального члена
арифметичної прогресії. Маємо:
ak = a1 + d(k - 1),
аn-k+1 = а1 + d(n - k + 1 - 1) = a1 + d(n - k);
ak + an-k+1 = a1 + d(k- 1) + a1 + d(n-k) =
= a1 + al + d(k-1 + n-k) = a1+ а1+d(n-1) = a1 + an.
Доведену властивість можна використати для встановлення формули обчислення суми n
перших членів арифметичної прогресії.
Нехай треба знайти суму членів арифметичної прогресії:
a1 , a2, a3, …, an-2 , an-1 , an .
Позначають таку суму зазвичай Sn.
Запишемо цю суму двома способами: у прямому і зворотному порядку розміщення доданків.
Маємо:
Sn = a1 + a2+ a3+ …+ an-2 + an-1 + an .
Sn = an + an-1 + an-2+... + a3 + a2 + a1,
Додамо почленно ці дві рівності.
Маємо:
2 Sn = (а1 + аn) + (a2 + аn-1) + (a3 + an-2)+ ... +(an-2 + a3)+ (аn-1 + a2 )+(аn + а1).
За доведеною властивістю кожна із сум у дужках дорівнює а1 + аn
Кількість таких сум дорівнює n.
Отже, 2Sn = (а1 + аn)n.
Звідси:
Враховуючи те, що аn = а1 +d(n - 1), формулу суми
членів арифметичної прогресії можна записати і в
такому вигляді:
За встановленою формулою суму ста перших
натуральних чисел можна обчислити так:
1) Яку властивість скінченної арифметичної
прогресії використовують для встановлення
формули суми n перших її членів?
2) Запишіть у зошиті два варіанти формули суми n
перших членів арифметичної прогресії. В якому
випадку, на ваш погляд, доцільніше
використовувати один з них, а в якому випадку —
інший?
Усні вправи
1. В послідовності
(хn):
3; 0; -3; -6; -9; -12;...
вкажіть перший,
третій і шостий
члени.
2. Послідовність (аn)
задана формулою
аn =
6n - 1.
Знайдіть a1, а2, a3 ;
а20, а100, аk.
Усні вправи
3. Назвіть п’ять
перших членів
послідовності (сn),
якщо:
с1 = 32;
сn+1 = 0,5сn
32;16; 8; 4; 2; …
4. Продовжіть дану
послідовність:
а)1; 5; 9; 13; 17; …
б)1; 5; 9; 13; 17; 21; 25;
29; 33;…
Усні вправи
5. Відомо, що а1 = 1,
d = 1. Задайте цю
прогресію
6. Відомо, що а1 = 1,
d = 2. Задайте цю
прогресію
Усні вправи
7. Послідовність(аn) – арифметична
прогресія, в якій
а1 = 4; d = 2.
Знайдіть 50-ий член цієї прогресії.
Усні вправи
8. Бригада стіклодувів
виготовила в січні 80
виробів, а кожного
наступного місяця
виготовляла на 17
виробів більше, ніж за
попередній. Скільки
виробів виготовила
бригада в червні?
1. Дайте означення арифметичної
прогресії.
Відповідь: Арифметичною прогресією
називається числова послідовність,
кожний член якої, начинаючи з другого,
дорівнює попередньому, до якого
додається одне й те ж число.
а n 1  a n  d
2. Що називають різницею
арифметичної прогресії? Як
позначають?
Відповідь:
це число, яке показує на
скільки кожний наступний член більший
або менший попереднього. Позначають
буквою d.
3. Назвати формулу n-ого члена
арифметичної прогресії.
a n  a 1  ( n  1)  d
4. Які властивості арифметичної
прогресії?
• Відповідь: Кожний член арифметичної
прогресії, починаючи з другого дорівнює
середньому арифметичному двох сусідніх з
ним членів.
аn 
a n  1  a n 1
2
4. Які властивості арифметичної
прогресії?
• Відповідь: Сума будь-яких двох членів
скінченної арифметичної прогресії, які
рівновіддалені від її крайніх членів,
дорівнює сумі крайніх членів цієї прогресії.
6. Які бувають арифметичні
прогресії?
Відповідь:
Якщо в арифметичній прогресії різниця
d > 0, то прогресія є зростаючою.
Якщо в арифметичній прогресії різниця
d <0, то прогресія є спадною.
Якщо в арифметичній прогресії d = 0, то
прогресія є сталою.
Які із послідовностей є арифметичними
прогресіями?
3, 6, 9, 12,…..
d=3
5, 12, 18, 24, 30,…..
7, 14, 28, 35, 49,….
5, 15, 25,….,95…. d = 10
1000, 1001, 1002, 1003,….d = 1
1, 2, 4, 7, 9, 11…..
5, 4, 3, 2, 1, 0, -1, -2,…. d = - 1
Знайти різницю арифметичної прогресії:
1; 5; 9………
105; 100….
-13; -15; -17……
11;
; 19,….
1. В арифметичній прогресії
2,4; 2,6;… різниця дорівнює 2.
2. Четвертий член арифметичної прогресії
0,3; 0,7; 1,1,… дорівнює 1,5
3. 11-ий член арифметичної прогресії, для
якої a 1   4 , 2 ; d  0 , 4 дорівнює 0,2
Між числами 6 і 21 вставте 4 числа так,
щоб разом з даними числами вони
утворили арифметичну прогресію.
Розв’язання: = 6,
= 21,
d = (21 – 6)/ (6 – 1)= 3,
6, 9, 12, 15, 18, 21.
Висновок
Формула суми
n перших членів арифметичної
прогресії.
Sn 
a1  a n
2
n