Transcript 广义算术平均值及权

数字测图原理及方法
Principle and Methods of Digital Mapping
武汉大学测绘学院
第五章误差理论与数据处理
5.1 误差理论
5.2 误差传播定律及应用
5.3 权及权倒数传播定律
5.4 数据处理理论基础
数字测图原理及方法
5.3权及权倒数传播定律
数字测图原理及方法
一
广义算术平均值
 如果对某个未知量进行n次同精度观测，则其最或然值即为
n次观测量的算术平均值：
1
X (
n
数字测图原理及方法
1
 2  n ) 
1
n
l l
l
n
l i
i 1
一
广义算术平均值
A
B
h
1
h
h
2
E
h
3
4
D
数字测图原理及方法
C
一
广义算术平均值
在相同条件下对某段长度进行两组丈量：
• 第一组
l l
• 第二组
l l
1,
5,
算术平均值分别为
l
2,
6,
l
L
,
1
10
L
1
1 4
li
L1  4 (l1  l 2    l 4)  4 
i 1
1
1 10
l
L2  6 (l 5  l 6    l10)  6 
j
j 5
数字测图原理及方法
4
2
一
广义算术平均值
其中误差分别为：
m
m L1 
4
m
m L2 
6
mL  mL ,
1
2
2
4
数字测图原理及方法
m
m L1
2
2
6
m
m L2
2
一
广义算术平均值
 全部同精度观测值的最或然值为：
X 
l  
10
4
10
i 1
j 5
li  l j
m L
mL
m
mL
1
2
2
1
1
6
46
2
m L
mL
 m
mL

1
2
数字测图原理及方法

L
10
2

4
2
2
2
2
2
2
L
2
一
广义算术平均值
 令 p  m  
X
i
2
2
m Li m Li
p
 L
L
p
X 
p 1
p
2
2

p1 L1  p2 L2
p1  p2
1
1
2
2
1
2
p 值的大小体现了 L 在
称 p 为 L 的权。
i
i
i
数字测图原理及方法
i
X
中比重的大小，
 若有不同精度观测值
p,p
1
X
1
,
p
n
,
L , L , L ,
1
2
n
该量的最或然值可扩充为：
p1 L1  p2 L2   pn Ln  pL

 p
p1  p2   pn
称之为广义算术平均值。
数字测图原理及方法
其权分别为
 当各观测值精度相同时
m1  m2    mn  m
p1  p2    pn  p
n
X 
数字测图原理及方法
p( L1  L2    Ln)
p(1  1    1)

 Li
i 1
n
二、权
• 定权的基本公式：
pi 
当观测值
L
i
称为单位权，
2
i
m
中误差
m  ， p
i
i
1
L 为单位权观测值，  称为
单位权中误差。
数字测图原理及方法

2
i
二、权
可见，用中误差衡量精度是绝对的，而用
权衡量精度是相对的，即权是衡量精度的相对
标准。
p1 : p 2 :  : p n 
数字测图原理及方法
1
:
2
1
:

:
2
m1 m2
1
m
2
n
二、权
 权的特性
p1 : p2 :  : pn



:
2
2
2
1
2
2
m m

:  :
2
2
n
m

1
2
1
:
1
2
2
m m
:  :
1
2
n
m
1 反映了观测值的相互精度关系。
2  值的 大小，对X值毫无影响。
3 不在乎权本身数值的大小，而在于相互的比例关系 。
数字测图原理及方法
二、权
μ
μ
:p 
:
m m
2
p :p :
1
2
4 若
n
2
2
:
2
1
2
μ
:
m
2
2
n

1
:
2
1
m m
1
:
2
2
:
1
m
Li 同类量的观测值，此时，权无单位。若
Li 是不同类量的观测值，权是否有单位不能
一概而论，而视具体情况而定。
数字测图原理及方法
2
n
二、权
例：已知L1,L2,L3,的中误差分别为：
m1  3m m, m2  4m m, m3  5m m
设   m1  3mm 设
  m  4mm
2



3
1
p1  2 
2
m1 3

p2
2
2



3
9


2
2
m2  4 16


数字测图原理及方法
2
16
16
P  , p  1 , p 
1
3
9 2
25
2
p3


2
2
3
m
3  9
2
5 25
2

p:p :p
1
2
3

'
'
'
1
2
3
p:p :p
 1 : 0.56 : 0.36
•常用定权公式
1 水准路线观测高差的权
A
例：
B
h
1
h
h
2
E
h
3
4
D
数字测图原理及方法
C
二、权
四条水准路线分别观测了3, 4, 6, 5 测站：
mh  n m
i
i
pi 

2

2
ni m
 

m

ni
2



  c
ni
  c m2
2
当各测站观测高差的精度相同时，水准路线观测
高差的权与测站数成反比。
数字测图原理及方法
二、权
p
令c=3,
1

c
3
 1
3
n
1

2
 3m

p
2
3
c
n
3
p
令c=4,

2
/
1
 4m
p
2
3
/
p
3

6
p
n
3
n
4

c
n
4
4


n1 3


3

4
2
c
c
2
c
p
/
2

c
n
2
4

6
p
/
4

c
n
4
/
/
/
/
1
2
3
4
3

5
4

4

4
5
p : p : p : p  p : p : p : p  1: 0.75: 0.50: 0.60
1
数字测图原理及方法
2
3
4
二、权
s1, s2 , s3 , s4
水准路线的长分别为
设每公里水准测量观测的中误差为
m
km
mhi  si mkm
  




m
km 


si
2
pi 

数字测图原理及方法

2

2
si mkm
二、权
  


 mkm 
2
c
pi 

2
 c mkm
2
c
si
当每公里水准测量的精度相同时，水准路线观测的
权与路线长度成反比。
数字测图原理及方法
二、权
c  10
c
10
p1   4
s1
c
10
p3   2
s3
数字测图原理及方法
c
10
p2   2
s2
p
4

c
s
4
10

3
当
c
p   1, s  c  10,
s
m10公里 

10 mkm
c mkm  10 mkm  m10公里
S=C=10公里 的水准路线的观测高差为单位权观测。
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二、权
每测站观测高差精度相同时：
c

pi
ni
每公里观测高差精度相同时：
pi 
数字测图原理及方法
c
si
二、权
2 不同个数的同精度观测值求得的算术平均
值的权。
例
对某角作三组同精度观测：
第一组测4测回，算术平均值为  1
第二组测6测回，算术平均值为
2
第三组测8测回，算术平均值为  3
2
m
m
n
2
i
i
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二、权
p
i


2
m
2
i


2
m
n
2
i
m

pi
2
2
 c,

ni
 

n
m
i
2

2
m
c
c
由不同个数的同精度观测值求得的算术平均值，其权
与观测值个数成正比。
数字测图原理及方法
二、权
pi

ni
c  4
令
c
4
1
p1 
4
6
 1.5
p2 
4
8
2
p3 
4
X 
p
1
p  p
pp p
1

1
数字测图原理及方法
2
2
2
3
3
3
二、权
总结
水准测量中，当每测站高差中误差相同时，则各条
水准路线高差观测值的权与测站成反比
c
(i  1,2n)
pi 
Ni
水准测量中，当每公里高差中误差相同时，则
各条水准路线高差观测值的权与路线长度成反比

pi 
数字测图原理及方法
c
Li
(i  1,2 n)
二、权
 角度测量中，当每测回角度观测中误差相同时，各
角度观测值的权与其测回数成正比
pi  C N i
距离测量中，当单位距离测量的中误差相同时，各
段距离观测值的权与其长度成反比。

pi 
数字测图原理及方法
c
si
三 权倒数传播定律
数字测图原理及方法
内容总结
※ 广义算术平均值：
※权
• 定权的基本公式：
X 
p1 L1  p2 L2   pn Ln  pL

 p
p1  p2   pn
pi

• 权的特点
• 常用定权公式：
数字测图原理及方法
pi


2
m
c
si
n
i

pi
c
2
i
pi

c
ni
数字测图原理及方法