Transcript Coulomb`s Law and Electric Field Intensity

Coulomb’s Law and Electric Field
Intensity
วัตถุประสงค์
• ทราบถึงธรรมชาติของประจุไฟฟ้ า
• ทราบและเข้าใจกฎของคูลอมบ์ และการประยุกต์ใช้
• ทราบระบบประจุลกั ษณะต่างๆรวมถึงการเกิดสนามไฟฟ้ าอันเนื่องมาจาก
ระบบประจุน้ นั ๆ
• ทราบถึงการหา สมการของStream Lines
ในบทนี้เราศึกษาปรากฏการของระบบประจุที่อยูใ่ น อวกาศอิสระ
ส่ วนในบทที่หา้ จะศึกษาที่ตวั กลางอื่น
2.1 Coulomb’s law
Colonel Charles Coulomb ทดลองและพบความสัมพันธ์ของ
แรงที่เกิดขึ้นเนื่องจากประจุไฟฟ้ าสองจุดคือ

Q1Q2
ˆ
F
a
2 r
4 0 R
 0  8.854 10
12
1

10 9 F/m
36



R
aˆr 
; F12  - F21
R

Q1Q2 
F
R
3
4 0 R
บ่อยครั้งเราใช้สูตรนี้สะดวกกว่า
2.2 Electric Field Intensity
พิจารณาประจุโดดๆหนึ่งประจุ Q1 วางอยูใ่ นอวกาศ ถ้านาประจุ
Qt มาวางที่ตาแหน่งไหนก็ตามจะพบว่ามันพร้อมที่จะมีแรงมา
กระทาต่อตัวมันเสมอ โดยอัตราส่ วนของแรงที่กระทาต่อตัวมันกับ
ขนาดของประจุ Qt เอง เราจะเรี ยกว่า สนามไฟฟ้ า
ดังนั้นในบริ เวณที่มีประจุ Q1 วางอยูจ่ ุดทุกจุดยกเว้นที่ Q1 ล้วน
มีสนามไฟฟ้ าทั้งสิ้ น ดังนั้นสนามไฟฟ้ าเป็ นเสมือนกับอิทธิพลของ
ระบบประจุที่มีผลต่อบริ เวณรอบข้าง
 Q1Qt

 
aˆ
2 r
Ft  4 0 R
Q1



aˆ
2 r
Qt
Qt
4 0 R


Q1
Q1 
aˆ 
R
2 r
3
4 0 R
4 0 R


ดังนั้นจุที่เราทราบค่าสนามไฟฟ้ า เมื่อมีประจุ
ใดๆมาวางอยู่ ณ จุดนั้น เราจะทราบแรงที่มา  Fก  Qก 
กระทาทันที
สาหรับการหาสนามไฟฟ้ าที่เกิดขึ้นเนื่องจากอิทธิพลของจุดประจุมากกว่า
หนึ่งตัว ก็คือการคิดแบบ Super Position กับทุกจุดประจุ

(r ) 
Qn
Q1
Q2
  2 aˆ1 
  2 aˆ2  ...
  2 aˆn
4 0 r  r1
4 0 r  r2
4 0 r  rn
n

( r )  
Qm
  2 aˆm
m 1 4 0 r  rm
จุดประจุ 3 nC วางอยู่ 4 จุดคือ P1(1,1,0), P2(-1,1,0), P3(1,-1,0) และ P4(-1,1,0) จงหาสนามไฟฟ้ าที่จุด P(1,1,1)
Vector บอกตาแหน่งจากจุด Origin สู่จุด P

r  aˆ x  aˆ y  aˆ z
Vector บอกตาแหน่งจากจุด Origin สู่จุด P1

r1  aˆ x  aˆ y
 
 r  r1  aˆ z
Vector บอกตาแหน่งจากจุด Origin สู่จุด P2
 

r2  aˆ x  aˆ y r  r2  2aˆ x  aˆ z
Vector บอกตาแหน่งจากจุด Origin สู่จุด P3

r3  aˆ x  aˆ y r  r3  2aˆx  2aˆ y  aˆz
Vector บอกตาแหน่งจากจุด Origin สู่จุด P4
 

r4  aˆ x  aˆ y r Q r4  2aˆ y  aˆ z Q
(r ) 
Qn
2
ˆ
ˆ
a

a

...

 2 1
 2 2
  2 aˆn
4 0 r  r1
4 0 r  r2
4 0 r  rn
1

(r ) 
Qn
Q1
Q2
ˆ
ˆ
a

a

...

 2 1
 2 2
  2 aˆn
4 0 r  r1
4 0 r  r2
4 0 r  rn
 
 
 
 
Q
r
 r4  5
r  r3  3

 26.96 r  r1  1 r  r2  5
4 0

2aˆ x  2aˆ y  aˆ z 1 2aˆ y  aˆ z 1 
 aˆ z 1 2aˆ x  aˆ z 1
   26.96



2
2
2
2
1
1
3
3
5
(
5
)
5
(
5
)



   6.82aˆ x  6.82aˆ y  32.8aˆ z V/m
2.3 Field due to a continuous
volume charge distribution
นิยามของความหนาแน่นประจุเชิงปริ มาตร (volume charge density)
 v  lim
v  0
Q
v
Q    v dv
vol
If v  2 C/m3 find totalchargein cylinder
0.04 2 0.01
Q
 
6
2

10
dddz

0.02 0 0
Q  2  10 6
0.04 2 0.01
   dddz
0.02 0 0
(.012  0)
Q  2 10 (.04  .02)(2 )
 .04 1010
2
6
If v  z( x2  y2 ) C/m3 find totalchargein cylinder
 v  z( x  y )   z
2
2
2
0.04 2 0.01
Q

3

 zdddz
0.02 0 0
 0.042  0.022   0.014 
  

Q  (2 )  
2

  4 
(.0012)(1108 )
Q  (2 )
 3 1012 C
8
Q1
Q1 
aˆ 
R
2 r
3
4 0 R
4 0 R
 

v v
Q
r  r
(r ) 
  2 r  r 
 2
40 r  r
4 0 r  r



(r ) 
 
v (r)dv r  r
vol 4 r  r 2 r  r
0
Q
 
r  r
 
r  r
 
r  r
2.4 Field of line charge
ความหนาแน่นประจุเชิงเส้น อาจพิจารณาจาก ลาของ electron ในหลอด
 
รังสี คาโทด ซึ่ งสมมุติวา่ ลอยอยูใ่ นสภาวะนิ่ ง สมมุติวา่ ลา electron
พิจารณา dQ จากรู ปทาให้เกิดสนามไฟฟ้ า

d  dE aˆ   dEz aˆ z
  L dzr  r
d 
 3
40 r  r


r  aˆ  r   zaˆ z
 
r  r   aˆ   zaˆ z
  L dz aˆ   z aˆ z 
d 
3
2
2
4 0 (   z  ) 2
จากรู ป จะเห็นว่าส่ วนประกอบสนามแนว z จะต้องรวมกันเป็ นศูนย์
dE 
 L dz
4 0 (   z )
2

E 
 4

2
3
2
 L dz
(   z )
2
0
2
3
2
L 
dz
E 
4 0  (  2  z2 ) 3 2
L
1 
z
E 
 2
4 0    2  z2


L
aˆ 
2 0 




 
ในกรณี ที่ ความหนาแน่นประจุเชิง
เส้น ไม่ได้อยูใ่ นแนวแกน z
(อาจจะในตาแหน่งอื่น หรื อใน
แนวแกนอื่น) จะต้องพิจารณา
 , aˆ
ใหม่