Transcript Проверка статистических гипотез

Лекция 6
Проверка статистических
гипотез
Основные понятия и
терминология
Что такое статистическая
гипотеза?
Статистическая гипотеза
 Любое утверждение о виде или
свойствах закона распределения
наблюдаемых случайных
величин
 Всякий раз предполагаем, что у
нас имеются две
взаимоисключающие гипотезы:
основная и альтернативная
2
2
Нулевой (основной) гипотезой - H0
называют какое-либо конкретное
предположение о теоретической функции
распределения или предположение,
влекущее за собой важные практические
последствия
Альтернативная гипотеза H1 - любая
гипотеза, исключающая нулевую
3
3
Задача проверки статистической
гипотезы состоит в том, чтобы,
используя статистические данные
(выборку)
X1, X2, …, Xn,
принять или отклонить нулевую
гипотезу
4
4
Нулевые и альтернативные гипотезы
формулируются как утверждение о
принадлежности функций
распределения некоторой случайной
величины определенному классу
распределений

,

, 0


0
1
1



0
1
HF

; HF

0: x
0
1: x
1
5
5
Гипотеза называется простой, если
соответствующий класс
распределений содержит лишь
одно распределение, в противном
случае гипотеза будет сложной.
Гипотезы о параметрах
распределений называются
параметрическими
6
6
Статистикой критерия
называется функция от выборки
TX

 
значение которой для заданной
выборки служит основанием принятия
или отклонения основной гипотезы
7
7
Статистический критерий - правило,
позволяющее только по результатам
наблюдений
X1, X2, …, Xn
принять или отклонить нулевую
гипотезу
H0
8
8
Каждому критерию отвечает
разбиение области значений
статистики критерия на две
непересекающихся части:
• критическую область 1
• область принятия гипотезы 0
9
9
Критические области
Односторонние
1
0
1
Двусторонняя
t
c
t
0
1
c1
Неправдоподобно
маленькие значения
0
c
 1
c2
Приемлемые значения
t
Неправдоподобно
большие значения
10
10
Если значение статистики
критерия попадает в область
принятия гипотезы 0 , то
принимается нулевая гипотеза, в
противном случае она отвергается
(принимается альтернативная
гипотеза)
11 11
Задать статистический критерий
значит:
• задать статистику критерия
• задать критическую область
12 12
В ходе проверки гипотезы H0 можно
прийти к правильному выводу, либо
совершить два рода ошибок:
• ошибку первого рода -- отклонить H0,
когда она верна
• ошибку второго рода -- принять H0,
когда она не верна.
13 13
Так как статистика критерия
TX

 
есть случайная величина со своим
законом распределения, то
попадание её в ту или иную область
характеризуется соответствующими
вероятностями:
• вероятностью ошибки первого рода 
• вероятностью ошибки второго рода 
14 14
Ошибку первого рода  ещё называют
уровнем значимости критерия.
Часто пользуются понятием мощности
критерия W -- вероятности попадания
в критическую область при условии
справедливости альтернативной
гипотезы
W

1
15 15
В общем случае вводят функцию
мощности
W
1F
FPTX
 
W
, 
1W
F
F
0
1
WW
 F
1
16 16
При разработке статистического
критерия невозможно одновременно
минимизировать обе ошибки. Поэтому
поступают следующим образом: при
заданном числе испытаний n
устанавливается верхняя граница для
ошибки первого рода

Выбирается тот критерий, у которого
наименьшая ошибка второго рода.
17 17
Распределение статистики критерия для нулевой и
альтернативной гипотез (односторонний критерий)
18
Уровень значимости
 устанавливается
из значений следующего ряда:
0.05, 0.01, 0.005, …
события с такими вероятностями
считаются практически невозможными.
Допустимая величина уровня
значимости определяется теми
последствиями, которые наступают
после совершения ошибки.
19 19
Примеры формулировок статистических
гипотез
Гипотеза о виде распределения:
произведено n независимых измерений
случайной величины с неизвестной
функцией распределения F(x).
Следует проверить гипотезу:
H
:
F
x




0

0
20
20
Гипотеза однородности
Произведено k серий независимых испытаний
x
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x
,
x






1
2
n
1
1
2
n
21
n
k
1
2 2
k
Можно ли с достаточной надежностью
считать, что закон распределения
наблюдений от серии к серии не менялся?
Если это так, то статистические данные
однородны.
Проверяется гипотеза однородности:
H
:
F
x

F
x


F
x





0
1
2
k
21
21
Гипотеза независимости
Наблюдается двухмерная случайная
величина  = (1, 2) с неизвестной
функцией распределения F (x, y) и есть
основания полагать, что компоненты
1, 2 -- независимы.
В этом случае проверяется гипотеза
независимости:
H
:
F
x
,
y

F
x

F
y





0



1
2
22
22
Пять шагов проверки гипотезы
 1 шаг – выдвигается основная гипотеза
H0
 2 шаг – задается уровень значимости
α
 3 шаг – задается статистика критерия
T(X) с известным законом распределения
23
23
 4 шаг – из таблиц распределения
статистики критерия находятся квантили,
соответствующие границам критической
области
 5 шаг – для данной выборки
рассчитывается значение статистики
критерия
24
Если значение статистики критерия
попадает в область принятия гипотезы,
то нулевая гипотеза принимается на
уровне значимости α.
В противном случае принимается
альтернативная гипотеза (отвергается
нулевая гипотеза)
25
Среди критериев выделяются такие,
которые улавливают любые отклонения
от нулевой гипотезы.
Они называются
«
критерии согласия »
26
26
Критерий согласия Колмогорова
Применяется для проверки гипотезы о виде
распределения
H0: Fn X = F X
H1: F n X ≠ F X
При условии, что теоретическая функция
распределения непрерывная и полностью
определена
Критерий согласия Колмогорова
За меру близости распределений
принимается максимальное отклонение
эмпирической функции распределения
Fn(x) от теоретической F(x).
T X = n⋅ max vert F X − F n x vert
D n= max∣ F X − F n x ∣
28
28
1
0.8
0.6
i
N
c no rm Xi 0.4
 
0.2
0
Xi
29
Статистика критерия
T
X =
n  Dn =
n  max 
F
 X   Fn  X  
Распределение статистики Колмогорова
не зависит от F (x).
При больших
n оно стремится к
распределению Колмогорова.



l
i
m
P
n
D
X

t


1
e





n
n


2
2
i
2
i
t
i



30
31
Критерий согласия χ2 Пирсона
(хи-квадрат)
Первоначально разработан для
дискретных распределений
32
Простейшие параметрические
гипотезы
 Гипотезы о среднем значении
гауссовской случайной величины
 Гипотезы о сравнении дисперсий
33
33