Transcript Обратная задача выделения циклических компонент из

Обратная задача выделения циклических
компонент из экспериментальных
данных
В.А. Губанов, ИНП РАН (ЦМАКП)
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Прямые и обратные задачи
 Прямая задача – известна причина, требуется
определить следствие
Большинство задач естествознания, когда в рамках заданных
допущений модель системы известна. Задачи корректны по Адамару.
 Обратная задача – известно следствие, требуется
определить причину
Модель системы неизвестна и необходимы априорные сведения для
отбора решений. Задачи не корректны по Адамару.
 Актуальные сферы исследований
Теория рассеяния волн и частиц, геофизика, астрофизика, медицина,
экономика.
 Пример М. Каца: Как услышать форму барабана?
Обратная задача с неизвестными параметрами системы.
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Обратные задачи обработки и интерпретации
экспериментальных данных в экономике
 Характеристика задачи
Проблема декомпозиции временных рядов на
различные составляющие принадлежит к классу обратных
задач обработки и интерпретации экспериментальных
данных.
Для экономических показателей – это сезонная
корректировка, выделение тренда, выделение
конъюнктурных циклов.
 Способы решения
На основе априорной модели ARIMA: X-12-ARIMA US
Census Bureau’s, в дальнейшем X-12 – США и Канада,
TRAMO/ SEATS (Time series Regression with ARIMA noise,
Missing observations, and Outliers & Signal Extraction in
ARIMA Time Series) - Испания.
На основе базисных вариационных
принципов: Adjust Z5 ИНП РАН
(ЦМАКП)
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Представление исходного временного
экономического ряда - ЭВР
yt  zt 

 
ct
 G
y t - исходный ЭВР ,
zt
 
- тренд (trend-cycles component),
c t - множество циклических компонент,
t 1 n
  G - периоды циклических компонент   12 , 6 , 4 , 3 , 2 
• Основное соотношение для декомпозиции ЭВР
y t  x t  c
T
(1)
x t - скорректированная компонента
• Для экономических временных рядов декомпозиция (1) называется
сезонной корректировкой
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Определение циклических компонент
Условие цикличности:
 
 
c k ,1  c k  1,1
(2)
Условие нулевого среднего за период:
1

c


 
k ,t
0
(3)
t 1
Выделение циклической компоненты с заданным периодом T возможно двумя способами:
• определением неизвестных параметров априорно заданной
модели,
• определением модели (с параметрами) на основе базовых
вариационных принципов (процедура Adjust_Z5)
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Базовые принципы выделения циклической
компоненты из экономических временных рядов
 Принцип наименьшего действия для взвешенной исходной
реализации ЭВР:
W
k 
T

K

t1
k l
 y
l 
t
k 
 ct
l

2

min
k 
c
Результат – стационарная циклическая компонента для
взвешенной реализации
 Принцип наименьшей суммарной кривизны (принцип Герца)
J 
1   c t   x t    c t  c t  c  min
 xt  
 c t  
n2




2
xt
t1
T K 1

  c

k 1
t
t
2
- кривизна скорректированного ряда
k 
 ct
 - кривизна циклической компоненты
2
t1 k 1
 c t   c t / x t
- коэффициент сезонности
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Формирование модельных ЭВР
• Качество работы алгоритмов может быть определено только на
модельных рядах, когда априори известен тренд, циклическая
компонента и нерегулярная компонента (шум) .
• Проверка эффективности алгоритмов X-12, T/S и Adjust_Z5 на
модельных рядах.
Примеры компонент модельных рядов
1
2.1
0.8
1.9
0.6
1.7
0.4
0.2
1.5
1.3
0
-0.2 1
1.1
-0.4
10
19
28
37
46
55
64
73
82
91 100 109 118
-0.6
0.9
1
11
21
31
41
51
61 71
Номер точки
Кусочно-линейный тренд
Восходящий тренд
81
91
101 111
121
-0.8
-1
Полиномиальный тренд
Нисходящий тренд
Рис. 1. Модельные тренды
Волновой пакет
Спадающая волна
Рис. 2. Модельные циклические компоненты
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Критерий сравнения результатов декомпозиции ЭВР
разными алгоритмами
0.15
2.5
0.1
2.1
0.05
1.7
0
-0.05
1.3
1
10 19 28
37 46 55
64 73 82
91 100 109 118
0.9
-0.1
0.5
1
-0.15
10
19
28
37
46
55
64
73
82
91 100 109 118
Модельный ряд
Шум/Волна - 20%
Рис.3. Нерегулярная компонента
s 
yt  xt
Рис.4. Пример модельного ряда
 c   t
T
Сравнение процедур декомпозиции осуществлялось по норме
отклонения выделенного тренда от модельного тренда:
 
  xt s  xt
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
(4)
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Результаты сравнения разных алгоритмов декомпозиции
Спадающая волна, ш/c=20%
Спадающая волна, ш/c=10%
0.9
1
0.8
0.8
0.7
0.6
0.6
0.5
0.4
0.4
0.3
0.2
0.2
0.1
0
0
1
2
X-12
3
T/S
4
1
Z5
Рис.5. Отклонения от модельного
тренда с для разных типов волн
(ш/с=10%)
2
X-12
3
T/S
4
Z5
Рис.6. Отклонения от модельного
тренда с для разных типов волн
(ш/с=20%)
Основные выводы
1. Решение задачи декомпозиции ЭВР возможно на основе базовых принципов.
2. Алгоритмы обработки данных основанные на проективных операторах
имеют преимущество по сравнению с алгоритмами сглаживания при
наличии шумовой компоненты.
3. Разработанный алгоритм Adjust_Z5 используется на протяжении восьми
лет в Центре макроэкономического анализа (ЦМАКП), в Министерстве
экономического развития, а также при формировании данных для
Министерства промышленности.
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010
Обратная задача выделения циклических компонент из экспериментальных данных
Спасибо за внимание
ИНП РАН (ЦМАКП), 2010