Transcript Descargar - IES Virgen del Carmen

TRIGONOMETRÍA
(Primera parte)
Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
INTRODUCCIÓN
Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura
2
• NOCIONES PREVIAS
• SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.
• RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
AGUDO.
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.
• RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA
• R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
• CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
3
NOCIONES PREVIAS
1. a. Proporcionalidad de segmentos y
semejanza
b.TEOREMA DE TALES
2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
las respectivas alturas
H
s h

S H
h
S. árbol
pequeño (s)
A
Sombra del árbol grande (S)
H
B
h
A’
B’
S
s
O
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
en uno de sus viajes a Egipto
midió la altura de una pirámide
aprovechando el momento en
que su propia sombra medía
tanto como su estatura
OB
' BB
'

k
(
razón
de
proporcion
alidad
)
OA
' AA
'
5
1.b. TEOREMA DE TALES
r
Si varias paralelas determinan
segmentos iguales sobre una
recta r, determinan también
segmentos
iguales
sobre
cualquier otra recta r’ a la que
corten
E’
D’
C’
B’
E’’
D’’
C’’
A’
B’’
O
A
O
A
C
D
E
r’
A’
B’
B
B
TEOREMA DE TALES:
Los segmentos determinados por
rectas paralelas en dos rectas
concurrentes son proporcionales.
AB
A
'
B
'
OA
OA
'
 o
tambien

OB
OB
'
OB
OB
'
6
Medida de ángulos
Los ángulos pueden medirse en tres sistemas:
Sistema sexagesimal
Sistema centesimal
(En la calculadora MODE DEG)
(En la calculadora MODE GRAD)
Radianes (En la calculadora MODE RAD)
Ángulo
completo
Ángulo
llano
Ángulo
recto
Un
grado
Un
minuto
SEXAGESIMAL
360º
180º
90º
60’
60”
CENTESIMAL
400g
200g
100g
100m
100s
2

/2
RADIANES
7
Expresa los siguientes ángulos en los tres
sistemas de medida
S.sexagesimal
60 º
210º
50g
S. centesimal
Radianes
S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes
60g
100g
2π/3
5π/6
140º
240º
350g
90g
7π/8
25g
3
8
Ángulos en los tres sistemas de medida
60 º
45º
120º
54º
210º
90º
150º
66g
66m 66s
50g
133g
33m 33s
60g
233g
33m 33s
100g
166g
66m 66s

3

4
3
10
7
6

2
5
6
140º
315º
157º 30’
81º
240º
22º 30’
171º
53’14”
S. centesimal
155g
55m 55s
350g
175g
90g
266g
66m 66s
25g
190g
98m 59s
Radianes
14
18
7
4
7
8
9
20
4
3

8
3
S.sexagesimal
S. centesimal
Radianes
S.sexagesimal
2
3
9
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
B
A
B`
A`
Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes
B”
porque tienen los ángulos iguales.
A”
C
En consecuencia los lados son proporcionales :
AB A ' B' A " B"


 sen Ĉ
BC B' C B" C
BC B' C B" C


 cos ec Ĉ
AB A ' B' A " B"
AC A ' C A " C


 cos Ĉ
BC B' C B" C
BC B' C B" C


 sec Ĉ
AC A ' C A " C
AB A ' B' A " B"


 tg Ĉ
AC A ' C A " C
AC A ' C A " C


 cot g Ĉ
AB A ' B' A " B"
10
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.)
DE UN ÁNGULO AGUDO
c
Cateto opuesto de C
B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
Se definen seis razones trigonométricas
Cateto adyacente o contiguo a C
A
C
b
sen Ĉ 
cateto opuesto c

hipotenusa
a
sec Ĉ 
cos Ĉ 
cateto adyacente b

hipotenusa
a
cos ec Ĉ 
tg Ĉ 
cateto opuesto
c

cateto adyacente b
hipotenusa
a

cateto adyacente b
cot g Ĉ 
sec Ĉ 
1
cos Ĉ
hipotenusa
a

cateto opuesto c
cos ec Ĉ 
cateto adyacente b

cateto opuesto
c
cot g Ĉ 
1
sen Ĉ
1
tg Ĉ
11
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO
c
Cateto opuesto de C
B
Sea ABC un triángulo rectángulo en A.
a
tg Ĉ 
Cateto adyacente o contiguo a C
A
b
c
sen Ĉ 
a
b
cos Ĉ 
a
c
c
sen Ĉ
tg Ĉ   a 
b b cos Ĉ
a
C
a
a
1
sec Ĉ   a 
b b cos Ĉ
a
a
a
1
cos ec Ĉ   a 
c c sen Ĉ
a
b
b
cos Ĉ
cot g Ĉ   a 
c c sen Ĉ
a
sen Ĉ
cos Ĉ
cos Ĉ
cot g Ĉ 
sec Ĉ 
sen Ĉ
1
cos Ĉ
cos ec Ĉ 
cot g Ĉ 
1
sen Ĉ
1
tg Ĉ
12
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO
En todo triángulo rectángulo los catetos son
menores que la hipotenusa.
B
a
C
A
0<c<a
Es decir:
0<b<a
En consecuencia:
C
b
0  sen Ĉ 
c
1
a
b
0  cos Ĉ   1
a
c
0  tg Ĉ   
b
sec Ĉ 
a
1
b
cos ec Ĉ 
a
1
c
0  cot g Ĉ 
b
 
c
13
RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE 30º,
45º y 60º
1. R.T. DE 30º y 60º
2. R.T. DE 45º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1)
C
Sea ABC un triángulo equilátero
Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide
60º
l
l
Trazamos una altura CH
A
En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide
60º
y el ángulo C mide
30º
El lado BH mide
B
H
l
l/2
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras
2
l 
x2  l2
2
2
l
x2 l2 
4
4l l
x2 
4
2
x2 
2
3l2
x
4
x
l
60º
2
3l
4
30º
x 
l
3
2
H
B
l/2
15
R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2)
l 3
l 3
3
sen 60º  2 

l
2l
2
C
l 3
2
30º
l
l
l
1
cos 60º  2  
l 2l 2
l 3
l 3
3
cos 30º  2 

l
2l
2
3
sen 60º
2 3
tg 60º 
 2 
 3
1
cos 60º
2
2
1
2
1
3
tg 30º  2 


3
3 2 3
3
2
60º
H
B
l/2
Observa que:
sen 60º = cos 30º
l
l
1
sen 30º  2  
l 2l 2
sec 60º 
1
2
cos 60º
sec 30º 
1
2

cos 30º
3
cos 60º = sen 30º
tg 60º = cotg 30º
cotg60º = tg 30º
sec 60º =cosec30º
Cosec 60º =sec30º
cos ec 60º 
1
2

sen 60º
3
1
1
3
cot g 60º 


tg 60º
3
3
cos ec 30º 
cot g 30º 
1
2
sen 30º
1
3
3 3


 3
tg 30º
3
3
16
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1)
C
D
Sea ABCD un cuadrado
Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º
l
Trazamos la diagonal AC
En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide
45º
y el ángulo C mide
A
B
l
45º
C
Podemos calcular x en función de l, aplicando el
Tª de Pitágoras
x
x l l
2
2
2
x  2l
2
45º
l
45º
x  2 l
2
2
x l
2
A
l
B
17
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2)
C
sen 45º 
l
l 2

1
2

2
2
45º
cos 45º 
l
l 2

l
1
2

2
2
l
tg 45º   1
l
2
l
45º
A
1
2
2 2


 2
cos 45º
2
2
1
2
cos ec 45º 

 2
sen 45º
2
l
B
sec 45º 
cot g 45º 
1
1
 1
tg 45º 1
Observa que:
sen 45º = cos 45º
tg 45º = cotg 45º
sec 45º =cosec45º
18
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
 y 90 º 
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
90 º 
Si el ángulo B mide α grados,
el ángulo C mide
a
b
90 º 
α
B
c
sen (90º  ) 
c
 cos 
a
sec 90º   
cos 90º   
b
 sen
a
cos ec 90º   
1
1

 sec 
sen 90º   cos 
c
 cot g
b
cot g 90º   
1
1

 tg
tg 90º   cot g
tg 90º   
A
1
1

 cos ec
cos 90º   sen
19
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
 y


2
C
Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A
Si el ángulo B mide α radianes,
el ángulo C mide
a


2
b
α
B

c
sen (   )   cos 
2
a


2
c
A
1
1


sec     

 cos ec

2
sen




 cos
  
2


 b
cos       sen
2
 a
1
1


cos ec     

 sec 

2
cos




 sen
  
2


 c
tg       cot g
2
 b
1
1


cot g     

 tg

2
cot
g




 tg
  
20
2

RELACIÓN FUNDAMENTAL DE
TRIGONOMETRÍA sen2  cos2   1
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b c a
2
2
Si dividimos la expresión anterior por a2
2
2
a
2
b
c
a


a2 a2 a2
Expresándolo de otra forma:
2
C
2
2
b c
    1
a a
O lo que es lo mismo:
Que normalmente expresaremos
de la forma:
b
α
B
c
A
sen 2  cos  2  1
sen   cos   1
2
2
21
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES
C
Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de
Pitágoras, tenemos:
b c a
2
2
Si dividimos la expresión anterior por
2
b
c
A
2
B
2
a
b2
o por
α
c2
b2 c 2 a2
 2  2
2
c
c
c
2
b
c
a


b2 b2 b2
Expresándolo de otra forma:
1  cot g   cos ec  
2
2
1  cot g2  cos ec 2 
1  tg   sec  
2
2
1  tg2  sec 2 
22
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º
Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno
va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto
sen 90º = 1
Y
A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0
sen 

sen 0º = 0
radio=1
O
cos 
Observa que al ir disminuyendo el
ángulo hasta 0º el seno va
disminuyendo, hasta llegar a ser 0,
mientras que el coseno va
aumentando hasta valer 1. Es decir,
P(x,y)
sen 
sen 
sen 
sen 
cos 90º = 0
X
cos 0º = 1
23
Circunferencia goniométrica
1.
R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA
2.
VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN
ÁNGULO
3.
VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA
COTANGENTE
4.
R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
5.
R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
6.
R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
7.
R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
CIRCUNFERENCIA
GONIOMÉTRICA
Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un
sistema de coordenadas
Uno de los lados del ángulo
Y
deberá coincidir con el
semieje positivo de las x, el
vértice en el origen de
coordenadas y el otro lado
donde corresponda
a
O
1
X
A esta circunferencia donde
situaremos los ángulos la
llamaremos circunferencia
goniométrica.
25
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE
UN ÁNGULO CUALQUIERA
Y
sen  
ordenada y' y
  y
radio
r 1
Q(x’,y’)
P(x,y)
cos  
a
O
1
abscisa x' x
  x
radio
r 1
r
X
tg  
ordenada y' y
 
abscisa
x' x
A partir de ahora trabajaremos
con la circunferencia de radio 1
(Circunferencia goniométrica)
26
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
Y1
B
sen 
-1
b
g
cos 
cos 
a
O
d
C
-1
sen 
cos 
A
cos 
D
0
1
 1  sen   1
1
sen 
sen 
El seno y el coseno de cualquier
ángulo toma valores mayores o
iguales a –1 y menores o iguales a 1
X
 1  cos   1
+
_ +
_
_ +
_
+
SIGNO DEL SENO
27
SIGNO DEL COSENO
-1
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO
CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO.
cotg 
cotg 
cotg 
Y
cotg 
tg 
B
A
a
1
d
La tangente y la
cotangente de un
ángulo puede tomar
cualquier valor .
D
tg 
tg 
O
C
   tg   
tg 
b
g
X
   cot g   
_
+
_
+
TANGENTE Y
COTANGENTE
28
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º
Y1
A
A’
En la circunferencia goniométrica dibujamos
120º (quitamos 60º a 180º)
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
y
120º
60º
60º
-1
-x
sen120º  y  sen 60º 
y
O
cos 120º   x   cos 60º 
x
1
X
tg120º 
-1
sec 120º  2
3
2
cos ec 120º 
2 3
3
1
2
y
y
    tg 60º   3
x
x
cot g120º  
3
3
29
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
135º (quitamos 45º a 180º)
A’
A
45º
-1
-x
sen135º  y  sen 45º 
y
135º
y
Dibujamos el ángulo de 45º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.
45º
O
x
cos 135º   x   cos 45º 
1
X
tg135º 
-1
sec 135º   2
2
2
cos ec 135º  2
2
2
y
y
    tg 45º   1
x
x
cot g135º  1
30
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
150º (quitamos 30º a 180º)
A’
A
150º
y
sen150º  y  sen 30º 
y
30º
30º
-1
Dibujamos el ángulo de 30º y las
líneas que representan sus razones
trigonométricas.
x
-x
O
cos 150º   x   cos 30º  3
1
-1
cos ec 150º  2
2
X
tg150º 
2 3
sec 150º  
3
1
2
y
y
    tg 30º   3
x
x
3
cot g150º   3
31
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS
a y 180º- a
ay
p-a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º- a
180º-a
y
y
-1
sen 180º    y  sen 
A
A’
-x
a
a
O
x
1
cos 180º     x   cos 
X
tg 180º   
-1
sen      sen 
cos      cos 
y
y
    tg 
x
x
tg 180º    tg 
32
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
210º (añadimos 30º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
1
2
3
cos 210º   x  cos 30º 
2
A
sen 210º   y  sen 30º 
210º
y
-1
-y
30º
-x 30º
O
A’
x
1
X
tg 210º 
-1
2 3
sec 210º  
3
cos ec 210º  2
y
y
3
  tg 30º 
x
x
3
cot g 210º  3
33
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º
En la circunferencia goniométrica dibujamos
225º (añadimos 45º a 180º).
Y1
Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
225º
45º
-x
-1
45º
O
2
2
cos 225º   x   cos 45º  2
2
1
sen 225º   y  sen 45º  
X
-y
tg 225º 
-1
sec 225º   2
cos ec 225º   2
y
y


x
x
tg 45º 
cot g 225º  1
1
34
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º
Y1
En la circunferencia goniométrica dibujamos
240º (añadimos 60º a 180º).
Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que
representan sus razones trigonométricas.
sen 240º   sen 60º  
240º
-1
O
1
X
cos 240º   cos 60º  
tg 240º 
-1
sec 240º  2
cos ec 240º  
2 3
3
3
2
tg 60º 
cot g 240º 
1
2
3
3
3
35
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º
a y 180º+ a
ay
p+a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 180º+a
sen 180º      y  sen 
A
180º+a
y
-1
-y
-x
a
a
O
A’
x
1
cos 180º      x   cos 
X
tg 180º   
-1
sen      sen 
cos       cos 
y
y

x
x
tg      tg 
 tg 
36
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º).
300º
-1
1
O
sen 300º   sen 60º  
3
2
cos 300º  cos 60º 
1
2
X
tg 300º   tg 60º   3
-1
sec 300º  2
cos ec 300º  
2 3
3
cot g 300º  
3
3
37
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 315º (quitamos 45º a
360º).
sen 315º   sen 45º  
315º
-1
cos 315º  cos 45º 
O
1
X
2
2
2
2
tg 315º   tg 45º  1
-1
sec 315º  2
cos ec 315º   2
cot g 315º  1
38
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º
(las mismas que las de –30º)
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos 330º (quitamos 30º a
360º).
sen 330º   sen 30º 
cos 330º  cos 30º 
-1
O
1
X
tg 330º   tg 30º  
2 3
sec 330º 
3
-1
cos ec 330º  2
cot g 330º   3

1
2
3
2
3
3
39
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE SUMAN 360º
a y 360º-a
a y 2 p-a
Y1
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 360º- a
sen 360º     y  sen 
A
360º-a
-1
y
O
a
a
x
1
-y
A’
-1
sen 2     sen 
cos 360º    x  cos 
X
tg 360º   
cos 2     cos 
y
y
    tg 
x
x
tg 2     tg 
40
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS
OPUESTOS
Y1
ay -a
En la circunferencia
goniométrica dibujamos a y - a
A
y
-1
O
a
-a
x
sen     sen 
 sen 
cos     x
 cos 
1
-y X
A’
-1
sen      y
cos     cos 
tg    
y
y
    tg 
x
x
tg      tg 
41
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
DE UN ÁNGULO MAYOR DE
UNA CIRCUNFERENCIA
Y1
a
-1
sen 360º     sen 
k
sen 2     sen 
A
y
O
  2k,
k
Las razones trigonométricas de un
ángulo mayor que una circunferencia
( a+360ºk, donde k es un número
entero) son las mismas que las del
ángulo a
2p+
-1
  360º k,
x
1
cos 2     cos 
X
cos 360º     cos 
tg 2    
tg 
tg 360º    tg 
42
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 270º
a y 270º+a
 y
Y1
3

2
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 270º+ a
sen 270º      x  cos 
A
270º+a
-1
y
O
y
a
x
-x
-1
 3

sen 
     cos 
 2

1
cos 270º     y  sen 
X
tg 270º   
x
x
    cot g 
y
y
A’
 3

cos 
    sen 
 2

 3

tg 
     cot g 
 2

43
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES
TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS
Y1
a y 90º - a
 y


2
A’
En la circunferencia goniométrica
dibujamos a y 90º- a
x
sen 90º    x  cos 
A
90º-a
-1
O
y
a
y
x
1
cos 90º    y  sen 
X
tg 90º   
-1


sen      cos 
2



cos      sen 
2

x
 cot g 
y


tg      cot g 
2

44
SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno
va creciendo, de 0 a 1.
Y
sen 0º = 0
1
sen 90º = 1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno
va decreciendo, de 1 a 0.
sen 180º = 0
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno
va decreciendo, de 0 a -1.
sen 270º = -1
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0.
sen 360º = 0
45
COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
el coseno va decreciendo, de 1 a 0.
Y
cosen 0º = 1
1
cosen 90º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el
coseno va decreciendo, de 0 a -1.
cosen 180º = -1
-1
O
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
coseno va creciendo, de -1 a 0.
cosen 270º = 0
-1
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1.
cosen 360º = 1
46
TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y
360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º
a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞.
Y
tg 0º = 0
1
tg 90º  + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
tangente va creciendo, de - ∞. a 0.
tg 90º  - ∞
-1
O
-1
1X
tg 180º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el
tangente va creciendo, de 0 a +∞. .
tg 270º  + ∞.
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el
coseno va creciendo, de - ∞ a 0.
tg 270º  - ∞
tg 360º = 0
47
COTANGENTE DE 0º , 90º,180º,
270º y 360º
Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 0º  + ∞
Y
cotg 90º =0
1
Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la
cotangente va creciendo, de 0 a - ∞
cotg 180º  - ∞
-1
O
-1
1X
Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º
la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0
cotg 180º  + ∞
cotg 270º = 0
Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de
0a-∞
cotg 360º  - ∞
48
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES
TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO
 1  sen   1
cos ec   1
 1  cos   1
sec   1
   tg   
   cot g   
+
_ +
_
SIGNO DEL SENO Y
DE LA COSECANTE
_ +
_
+
SIGNO DEL COSENO
Y DE LA SECANTE
cos ec   1
sec   1
_ +
_
+
SIGNO DE LA
TANGENTE Y
COTANGENTE
49