Transcript Trójkąty - ich właściwości i rodzaje

Trójkąty - ich
właściwości i rodzaje
Trójkąty – ich właściwości
i rodzaje
Co to jest trójkąt?
Podstawowe pojęcia związane z trójkątami
Podział trójkątów
Własności wybranych trójkątów
Twierdzenie Pitagorasa
Przystawanie trójkątów
Co to jest trójkąt?
Trójkąt to figura mająca trzy boki.
W trójkącie jeden bok (dowolny) nazywa
się podstawą a pozostałe dwa – ramionami.
Ramię
Ramię
Podstawa
Podstawowe pojęcia
związane z trójkątami
Co to jest:
a) wysokość
b) dwusieczna kąta
c) odcinek środkowy
d) środkowa trójkąta.
Wysokość trójkąta
Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony
prostopadle z wierzchołka do przeciwległego boku lub jego
przedłużenia. Każdy trójkąt ma trzy wysokości. Punkt
wspólny wysokości i boku trójkąta (lub jego przedłużenia),
na który została opuszczona wysokość, nazywa się
spodkiem tej wysokości.
Wysokości w trójkącie ostrokątnym
Wysokości w trójkącie prostokątnym
Wysokości w trójkącie rozwartokątnym
Wysokości w trójkącie
ostrokątnym
Wysokość
Wysokość
Wysokość
Wysokości w trójkącie
prostokątnym
Wysokość
Wysokość
Wysokość
Wysokości w trójkącie
rozwartokątnym
Wysokość
Wysokość
Wysokość
Dwusieczna kąta w trójkącie
Dwusieczna kąta to półprosta dzieląca kąt na dwa kąty
równe. Przez dwusieczną kąta w trójkącie należy
rozumieć odcinek będący częścią wspólną trójkąta i
dwusiecznej odpowiedniego kąta wewnętrznego.
½α ½α
Dwusieczna kąta α
Odcinek środkowy w
trójkącie
Odcinek środkowy to odcinek łączący środki
dowolnych dwóch boków w trójkącie. W dowolnym
trójkącie odcinek środkowy jest równoległy do
trzeciego boku i jego długość jest równa połowie
długości boku trzeciego.
odcinek środkowy
Środkowa trójkąta
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący
wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w
jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku
1:2, licząc od środka boku.
środkowa
Podział trójkątów
Trójkąty możemy podzielić ze względu na:
a)rodzaje kątów,
b)długości boków.
Podział trójkątów ze względu
na długości boków
Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:
a) różnoboczne, jeśli wszystkie
boki są różnej długości,
a
b
c
b) równoramienne, jeżeli co
najmniej dwa boki mają tę samą
długość,
a
c) równoboczne, jeżeli trzy boki
a
mają tę samą długość,
a
b
a
a
Własności wybranych
trójkątów
Własności trójkąta:
a) równobocznego,
Środkowa trójkąta
Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący
wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.
W dowolnym trójkącie trzy środkowe przecinają się w
jednym punkcie, który dzieli każdą z nich w stosunku
1:2, licząc od środka boku.
środkowa
Podział trójkątów ze względu
na długości boków
Ze względu na długości boków trójkąty dzielą się na:
a) różnoboczne, jeśli wszystkie
boki są różnej długości,
a
b
c
b) równoramienne, jeżeli co
najmniej dwa boki mają tę samą
długość,
a
c) równoboczne, jeżeli trzy boki
a
mają tę samą długość,
a
b
a
a
Podział trójkątów ze względu
na rodzaje kątów
Ze względu na rodzaje kątów trójkąty dzielą się na:
a) ostrokątne, jeśli wszystkie kąty
są ostre ,
γ
α
β
α, β, γ < 90°
b) prostokątne, jeżeli jeden z kątów
jest prosty (ma miarę 90°),
γ
α
β
β = 90°
c) rozwartokątne, jeśli jeden z
kątów jest rozwarty,
γ
α
β
γ > 90°
Własności trójkąta
równobocznego
Trójkąt równoboczny ma wszystkie boki równej
długości i wszystkie kąty równe 60°.
γ
A
A
H
α
β
A
H 
A 3
2
α, β, γ = 60°
P 
A
2
2
3
Twierdzenie Pitagorasa
Jeżeli trójkąt jest prostokątny, to
kwadrat długości przeciwprostokątnej
jest równy sumie kwadratów długości
przyprostokątnych.
Rysunek odzwierciedlający Twierdzenie Pitagorasa
Kim był Pitagoras?
Twierdzenie Pitagorasa
b2 b
c
a2
a
a 2 + b2 = c 2
Kim był Pitagoras?
PITAGORAS (ok. 572 - 497), gr.
matematyk i filozof z Samos;
półlegendarny założyciel
słynnej szkoły pitagorejczyków
w Krotonie; jest uważany
również za twórcę początków
teorii liczb, autora twierdzenia
Pitagorasa, koncepcji harmonii
kosmosu.
Przystawanie trójkątów
Dwa trójkąty są przystające, jeżeli boki i kąty jednego z
nich są równe odpowiednim bokom i kątom drugiego.
C
A
C1
B
A1
I cecha przystawania trójkątów (bbb)
II cecha przystawania trójkątów (bkb)
III cecha przystawania trójkątów (kbk)
Cecha przystawania trójkątów prostokątnych
B1
I cecha przystawania
trójkątów (bbb)
Jeżeli długości trzech boków w jednym trójkącie są
odpowiednio równe długościom trzech boków w
drugim trójkącie, to te trójkąty są przystające.
C
A
C1
B
A1
∆ ABC ≡ ∆ A1B1C1
B1
II cecha przystawania
trójkątów (bkb)
Jeżeli dwa boki i kąt zawarty między tymi bokami
w jednym trójkącie są równe odpowiednio dwóm
bokom i kątowi zawartemu między tymi bokami w
drugim trójkącie to trójkąty te są przystające.
C
A
C1
B
A1
∆ ABC ≡ ∆ A1B1C1
B1
III cecha przystawania
trójkątów (kbk)
Jeżeli bok i dwa przyległe do niego kąty w jednym
trójkącie są odpowiednio równe bokowi i dwóm
przyległym do niego kątom w drugim trójkącie, to
trójkąty te są przystające.
C
A
C1
B
A1
∆ ABC ≡ ∆ A1B1C1
B1
Cecha przystawania
trójkątów prostokątnych
Jeżeli przeciwprostokątna i przyprostokątna
jednego trójkąta równają się odpowiednio
przeciwprostokątnej i przyprostokątnej drugiego
trójkąta, to trójkąty te są przystające.
C
C1
90°
A
90°
B
A1
∆ ABC ≡ ∆ A1B1C1
B1