Juros Compostos

Transcript Juros Compostos - Pagamentos Simples

Quando uma pessoa sente necessidade de dinheiro: Empregado : vai automaticamente procurar emprego Autônomo : vai freq ü entemente fazer algo s ó Dono : vai criar ou comprar um sistema que produz dinheiro Investidor : vai procurar uma oportunidade de investir num ativo que produza dinheiro Prof. BERTOLO

Valores Futuros ou Montante Na aula anterior vimos que:

Valor Futuro ou Montante – Quantia para a qual um investimento crescerá após receber juros.

Juros Compostos – Juros ganhos sobre o

total

(montante) a cada período.

Juros Simples – Juros ganhos somente sobre o

investimento original

Bertolo 2

Valores Futuros ou Montante

Exemplo – Juros Simples Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Juros Ganhos Por Ano = principal x .10 = $ 10

Bertolo 3

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Bertolo 4

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Hoje 1 2 Anos Futuros 3 4 5 Juros Ganhos Valor 1000

Bertolo 5

Valores Futuros

Exemplo – Juro Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Hoje Juros Ganhos Valor 1000 1 100 1100 2 Anos Futuros 3 4 5

Bertolo 6

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Valor Hoje Juros Ganhos 1 100 1000 1100 2 100 1200 Anos Futuros 3 4 5

Bertolo 7

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Valor Hoje Juros Ganhos 1 100 2 100 1000 1100 1200 Anos Futuros 3 100 1300 4 5

Bertolo 8

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Hoje Anos Futuros Juros Ganhos Valor 1 100 2 100 3 100 1000 1100 1200 1300 4 100 1400 5

Bertolo 9

Valores Futuros

Exemplo – Juros Simples Os juro ganhos a uma taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o principal de $1000.

Hoje Juros Ganhos Valor 100 1000 1 100 1100 2 100 1200 Anos Futuros 3 100 1300 4 100 1400 5

1500 Valor no fim do Ano 5 = $1500

Bertolo 10

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

11 Bertolo

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Juros Ganhos Por Ano = Saldo do Ano Anterior x .10

12 Bertolo

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Hoje 1

Juros Ganhos Valor 1000

2 Anos Futuros 3 4 5

Bertolo 13

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Juros Ganhos

Hoje 1

100.00

Anos Futuros 2 3 4

Valor 1000 1100.00

Bertolo 14

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Juros Ganhos Valor

Hoje

1000

100.00

Anos Futuros 2 3

110.00

1100.00 1210.00

4 5

Bertolo 15

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Hoje 1 Anos Futuros 2 3

Juros Ganhos 100.00 110.00 121.00

Valor 1000 1100.00 1210.00 1331.00

4 5

Bertolo 16

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Hoje 1 Anos Futuros 2 3 4

Juros Ganhos 100.00 110.00 121.00 133.10

Valor 1000 1100.00 1210.00 1331.00 1464.10

17 Bertolo

Valores Futuros

Exemplo – Juros Compostos Juros ganhos à taxa de 10% a.a. durante cinco anos sobre o saldo do ano anterior.

Hoje 1 Anos Futuros 2 3 4 5

Juros Ganhos Valor 1000 100.00

110.00 121.00 133.10 146.41

1100.00 1210.00 1331.00 1464.10

1610.51

Valor no final do Ano 5 = $161.51

Bertolo 18

Pagamentos Simples x Série Uniforme

Como dissemos anteriormente no sistema de Juros Compostos, os juros vão acumulando-se ao capital e rendendo juros também nos períodos seguintes. É o que chamamos de

juros sobre juros

Existem duas formas de capitalização composta: Pagamento Simples e Série Uniforme 19 Bertolo

Pagamento Simples

VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n

GRÁFICO:

VP Uma única aplicação e um único montante. O dinheiro foi rendendo juros sobre juros durante a aplicação.

Bertolo 20

Série Uniforme

GRÁFICO:

VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-3 n-2 n-1 n R R R R R R R R R R R Várias aplicações (ou retiradas) acumulando (ou sacadas).

iguais

que foram se Bertolo 21

Juros Compostos – Pagamentos Simples

Vamos inicialmente estudar os Juros Compostos sob o

regime de capitalização simples

22 Bertolo

FATOR DE ACUMULAÇÃO DE CAPITAL – FAC Pagamento Simples

PROBLEMA: Determinar a quantia

obtida pela aplicação do principal

que seria , à taxa de juro , durante

períodos. Ou seja, qual o montante

VF

acumulado a partir do principal

VP

?

Qual o Valor Futuro dado o Valor Presente?

23 Bertolo

VF 1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n

GRÁFICO: FÓRMULA:

VP Investindo VP a taxa i, tem-se: ao final do primeiro ao final do segundo período: VP + VP. i . 1 = VP. (1 +i) período: [ VP (1 + i)] (1 + i) = VP [(1 +i) (1 + i)] = VP (1 + i) 2 e, assim. sucessivamente, teremos:

VF = VP (1 + i)

: montante no regime de

juros compostos

, também representado por FV (Future Value)

: principal ou capital inicial, também representado por PV (Present Value)

(1 + i) n

: fator de acumulação de capital, também representado por

FAC’(n,i).

Bertolo 24

Valores Futuros ou Montante



$ 100



( 1



)

n Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% a.a., durante cinco anos?

Bertolo 25

Valores Futuros

 $ 100  ( 1 

)

n Exemplo - VF Qual é o valor futuro de $100 se o juro é composto anualmente à taxa de 6% a.a., durante cinco anos?

 $ 100  ( 1  .

06 ) 5  $ 133 , 82 Bertolo 26

Comparação entre Juros Simples e Compostos

Observe a Tabela 4.1, a qual mostra o crescimento de $1.000 na sua conta durante o período de cinco anos. A tabela mostra claramente que o total de juro ganho a cada ano é igual à quantia inicial multiplicada pela taxa de juros de 10%.

T tabela 4.1

Valor Futuro e Juros Compostos Ano 1 2 3 4 5 Quantia Inicial $1.000,00 1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 juros compostos $100,00 110,00 121,00 133,10 146,41 $610,51 Juros Simples $100 100 100 100 100 $500 Juros sobre os juros $0,00 10,00 21,00 33,10 46,41 $110,51 Quantia Final $1.100,00 1.210,00 1.331,00 1.464,10 1.610,51

Bertolo 27

Gráfico dos Valores Futuros e Juros Compostos

J.S.

Bertolo 28

Valores Futuros com Composição

7000 6000 5000 4000 3000 2000 1000 0 0 2 4

Taxas de Juros

0% 5% 10% 15% 6 8 10 12 14 16 18 Número de Anos 20

Bertolo

22 24 26 28 30

Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C

Suponha que você herdou $10.000 e você quer economizá-lo e usá-lo para viajar quando você se formar daqui a quatro anos. Você encontrou um investimento pagando 8 % de juros ao ano. Quanto será o valor do seu investimento daqui a 4 anos Bertolo 30

Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C

VF n VF 4 = VP × (1+ i) = $10.000 × n

ou,

(1+ 0,08) 4

A qual poderia ser resolvida simplesmente multiplicando-se $10.000 por 1,08 quatro vezes:

VF 4 = $10.000 $13.604,89 × (1+ ,08) × (1+ ,08) × (1+ ,08) × (1+ ,08) =

Este método é agradável se o período não for muito grande. Mas quando o número de períodos, n, torna-se grande, este método torna-se tedioso.

Bertolo 31

Calculando Valores Futuros – Fórmulas e Calculadora HP-12C

4 8 -1000

13.604,89

A calculadora não é mágica, ela simplesmente realiza a matemática financeira mais rapidamente do que fazemos na mão. Você ainda deve ficar ciente dos conceitos básicos do valor do dinheiro no tempo (VDT). Você terá de saber como montar o problema. Uma calculadora pode somente fazer a matemática para você, ela não pode montar o problema para você. Lembre-se do velho adágio “porcaria que entra é igual a porcaria que sai”. Se você não montar o problema corretamente, a calculadora NÃO fornecerá magicamente a resposta correta.

Bertolo 32

Observação Importante sobre a Composição

Os valores futuros dependem fortemente da taxa de juros usada e isto é especialmente verdadeiro para investimentos de longo prazo. A razão para isto é que os juros compostos são muito mais importantes em investimentos de longo prazo do que em investimentos de curto prazo. Por exemplo, vimos que $10.000 investidos por quatro anos a 8%, cresceram para $13.604,89. Dos $3.604,89 de juros totais, $3.200 ($800 × 4 anos), são juros simples (sobre o investimento) e apenas $404,89 são juros sobre juros. Mas o que acontecerá se investirmos os mesmos $10.000 por 25 anos? O valor futuro cresceria para $68.484,75:

VF25 = $10.000 × (1+ ,08)25 = $68.484,75

Destes $20.000, ($800 × 25 anos), são juros simples e $38.384,75 representam juros compostos ou juro sobre juro. No final deste investimento, você terá aproximadamente ganho duas vezes mais reinvestindo os juros do que você ganharia como juros simples sobre o original principal. Esta é a maravilha da composição!

Bertolo 33

Observação Importante sobre a Composição

Bertolo 34

Poupando para a Velhice

Você está com 20 anos e considerando aplicar $1.000 numa conta de poupança que está pagando 8% ao ano, por 45 anos. Quanto você deverá ter na conta, na idade de 65 anos? Quanto deste valor seria de juros simples, e quanto seria de juros compostos? Se você pudesse encontrar uma conta pagando 9% ao ano, quanto mais você terá na idade de 65?

Bertolo 35

Poupando para a Velhice

Devido ao original principal ser $1.000, o total de juro ganho é $30.920,45. Os juros simples são ou $3.600,00 ($80 × 45 = $3.600,00), enquanto os juros compostos são $ 27.320,45 A uma taxa de juros de 9% ao ano, encontramos:

VF 45 = $1000 × (1+ .09) 45 = $48.327,29

Assim, um crescimento aparentemente pequeno de 1% na taxa de juros resulta num extra de $16.406,84 ($48.327,45 $31.920,45) na idade de 65 anos. Isto é mais do que um aumento de 50% (16.406,84/31.920,45 = 0,514). O ponto principal deste exemplo é que uma pequena diferença na taxa de juros pode fazer uma grande diferença nos valores futuros sobre longos períodos de tempo.

Bertolo 36

Exemplo Extra

Aplico R$ 1.000,00, por 10 anos a juros de 5% a . a .Quanto terei no final?

SOLUÇÃO

FV 10

RS1000

VP = R$ 1.000,00 VF = VP (1 + i) n i = 5% = 5/100 = 0.05

= 1000 (1 + 0,05) 10 1000 (1,629) = 1.629 ou R$ 1.629,00 n = 10 = 1000 (1,05) 10 = Na HP-12C F FIN f 2 1000 CHS PV 5 i 10 n

Bertolo 37

Extra 2

Quanto teremos daqui a 12 meses se aplicarmos R$ 1.000,00 a 2,5% ao mês,

capitalizável mensalmente

SOLU Ç ÃO

Pela

F Ó RMULA

VP = R$ 1.000,00

VF = VP (1 + i) n

1.345,00 i = 2,5% a.m. n = 12 meses = 1.000,00 (1 + 0,025) 12 = 1.000,00 (1,025) 12 = Na HP-12C teremos: f FIN f 2 1 000 CHS PV 12 n 2.5 i FV 1.344,49 Bertolo 38

Extra 3

Qual o juro devido a um capital de R$ 1.000,00, colocado a juros compostos na taxa de 5,5% a . a . por um prazo de 10 anos?

SOLU Ç ÃO

O que se quer é o

rendimento

produzido por um capital em determinado tempo. J = VF - VP ou seja J = Valor Futuro (VF) - Valor Presente (VP) J = [1.000 (1 + 0,055)10 ] - 1.000 = [1.000 (1,055)10] 1.000 = [1.000 (1,7081)] -1.000 = 1.708,10 - 1.000 = 708,10 

J = R$ 708,10

Bertolo f FIN f 2 1000 CHS PV 5.5 i 10 n FV RCL PV + 39

Reinvestindo a Taxas Diferentes

Você tem $10.000 para investir por dois anos e se deparou com a seguinte decisão de investimento. Investir em CDBs de dois anos que está pagando 7% ao ano ou em CDBs de um ano que está pagando 6%. O que você faria?

Bertolo 40

Solução

Para tomar esta decisão você deve primeiro decidir como será a taxa de juros sobre CDBs de um ano, no próximo ano. Esta é chamada de taxa de re-investimento, isto é, a taxa de juros em que o dinheiro recebido antes do final do seu horizonte de planejamento possa ser reinvestido. Suponha que você tenha certeza que ela será 8% ao ano.

Agora podemos usar o conceito de valor futuro para tomar esta decisão de investimento. Você calcula o valor futuro sob cada investimento alternativo e escolhe aquele um que dá mais dinheiro no final dos dois anos. Com os CDBs de dois anos, o valor futuro será:

A LINHA DO TEMPO

T 0 i =7% VP = ($10,000) T 1 T 2 VF 2 = ? f FIN f2 1000 CHS PV 2 n 7 i FV ....11449.00

VF 2 = $10.000 × (1+ ,07) 2 = $11.449,00

41 Bertolo

Com a seqüência de

dois

Continuação

CDBs de um ano, o valor futuro pode ser calculado em duas partes:

A LINHA DO TEMPO

T 0 i =6% VP = ($10,000) T 1 i =8% VF 1 = ? T 2 VF 2 = ? Primeiramente investimos os $10.000 a 6% por um ano. Daí, designando uma taxa de juros esperada na linha de tempo para representar aquela taxa variável.

VF 1 = $10.000 × (1+ ,06)

Daí, re-investimos

VF 1 1 = $10.600,00

por mais um ano a 8% ao ano:

VF 2 = $10.600 × (1+ ,08) 1 = $ 11.448,00

Assim, você ficará um pouco melhor se investir em CDBs de dois anos onde você terminará com $11.449 em vez de $11.448. Você notou que podemos ter calculado o

VF 2 VF 2

dos dois CDB como segue:

= $10.000 × (1+ ,06) × (1+ ,08) = $ 11.448,00

Bertolo 42

Conclusão

Para calcular

VF 2

simplesmente multiplicamos o investimento de $10.000 por (1 + i

) e novamente por (1 + i

) onde

i 1

i 2

são as taxas de juros do pri meiro e segundo ano, respectivamente. Infelizmente este cálculo não pode ser feito diretamente com as funções financeiras de uma calculadora financeira. Para cálculos incorporando muitas variações de taxas de juros uma planilha seria muito valiosa.Nela po demos usar uma função financeira chamada VFPLANO (capital;plano). Esta função é muito interessante.

43 Bertolo

Ressarcindo um Empréstimo

Cinqüenta anos após a sua graduação, você recebeu uma carta de sua faculdade notificando que eles acabaram de descobrir que você não pagou sua última matrícula das atividades estudantis no valor de $100 naquela época. Devido a isto ter sido um engano da sua faculdade, ela decidiu cobrar de você uma taxa de juros de apenas 6% ao ano. Sua faculdade gostaria que você pagasse isso durante o qüinquagésimo encontro dos ex-alunos da sua turma de T 0 i =6% T 1 T 2 T 3 T 4 graduação. Como um bacharel fiel, você se sente obrigado a pagar. Quanto você deve a eles?

VP = ($100)

USANDO UMA CALCULADORA FINANCEIRA A LINHA DO TEMPO

T 50 VF 50 = ?

-100

VP PMT VF

$1842.02

44 Bertolo

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

Em 1626 Peter Minuit comprou a Ilha de Manhattam dos Nativos Americanos por cerca de $24 em bugigangas. Se a tribo tivesse ao invés disso exigido dinheiro e investido todo ele a 10% ao ano de juro composto anualmente, quanto a tribo teria em 2006, 380 anos mais tarde? Quanto do valor futuro é de juros simples? E quanto é de juros compostos? Resposta:  128 quatrilhões; $912,00; $ o que falta para 128 quatrilhões 2.

Suponhamos que Peter Minuit não tivesse se tornado o primeiro magnata imobiliário de Nova Iorque, mas que em vez disso tivesse investido seus $ 24 a uma taxa de juros de 5% a.a. no Banco Econômico de Nova Amsterdã. Quanto ele teria de saldo em sua conta de pois de 5 anos? E de 50 anos?

A Novos Empreendimentos teve vendas no passado de apenas $0,5 milhão. No entanto, um analista da bolsa de valores está otimista sobre a empresa e prevê que as vendas dobrarão a cada ano por 4 anos. De quanto são as vendas projetadas até o final desse período?

Alan investiu $10.000 num fundo de investimento. Exatamente quatro meses depois resgatou $10.877,34. O gerente do fundo informou que as taxas de rentabilidade mensais do fundo durante o prazo do investimento de Alan foram 1,8%, 2%, 2,2% e 2,5% ao mês. Alan gostaria de verificar se o resgate recebido correponde realmente às taxas mensais de juro informadas e qual foi a taxa de juro efetiva durante o período de quatro meses?

O excesso de caixa de uma empresa $ 18.000 foi aplicado em um fundo durante cinco dias coma taxa de juro de 0,3% aos cinco dias. A seguir o valor resgatado foi reaplicado em renda fixa durante oito dias com taxa de juro de 0,48% aos oito dias. Finalmente, o valor resgatado da aplicação em renda fixa foi aplicado durante doze dias com taxa de juro de 0,75% aos doze dias. Qual o resgate dessa operação? Resp: VF = $ 18.276,71 6.

Continuando com o problema 5, qual a taxa total de juro desta operação? Resp: i = 1,5373% aos vinte e cinco dias 7.

Foram aplicados $760.000 durante dez dias com taxa total de juro de 0,8%. O valor resgatado foi reaplicado durante seis dias com taxa total de juro de 0,4%. O valor resgatado da segunda aplicação foi reaplicado durante doze dias com taxa total de juro de 1,05%. A quarta aplicação foi realizada durante sete dias com taxa total de juro de 0,5%. Quais os valores da taxa de juro e o resgate no final da quarta aplicação? Resp: i = 2,78% aos trinta e cinco dias e VF = $781.106,44 8.

John manteve $10.000 em Caderneta de Poupança durante dez meses seguidos. Analisando o valor resgatado, John verificou que a taxa total de juro da operação foi 9,65% aos dez meses. Se a taxa de juro durante os primeiros seis meses da operação foi 5,33% aos seis meses, qual a taxa de juros dos últimos quatro meses? Resp: i = 4,10% aos quatro meses.

Bertolo 45

Venda da Ilha de Manhattan

Peter Minuit comprou dos índios a Ilha de Manhattan por $24 em 1626, pagando com mercadorias e quinquilharias. Este foi um bom negócio?

Para responder, determine quanto vale aqueles $24 no ano de 2006, composto a 10%.

VF



$ 24



( 1



.

10 )

380 

$ 128 , 66

quatrilhõe s

OBS – Isto é muito dinheiro. Daria para comprar os Estados Unidos todo. Com o troco, daria ainda para comprar o resto do mundo!.

Bertolo 46

Venda da Ilha de Manhattan

Embora divertida, na verdade essa análise é um tanto enganosa. Primeiro, a taxa de juros de 10% que usamos para comparar valores futuros é bastante alta com relação aos padrões históricos. A uma taxa de juros de 3,5% a.a., mais consistente com a experiência histórica, o valor futuro dos $ 24 seria drasticamente mais baixo, apenas $ 24 x(1,035) 380 $11.416.793, ou seja 11,5 bilhões de dólares! Segundo, nós = subestimamos os retornos para o Sr. Minuit e seus sucessores: ignoramos toda a renda proveniente de aluguel que as terras da ilha têm gerado nos últimos três ou quatro séculos. Considerando tudo, se estivéssemos vivos em 1626, teríamos pago os $24 pela ilha com muito prazer.

Bertolo 47

Sobre o Peter Minuit

5 anos ......$ 30,63 50 anos .....$ 275,22

Imóveis são excelentes investimentos a longo prazo!

48 Bertolo

Valor Presente (VP): Descontando Fluxos de Caixa Futuros PROBLEMA:

Determinar a quantia

que deve ser investida, a juros

, para que se tenha o montante

após n períodos de capitalização, ou seja, determinar o

valor atual

de

.

Qual o Valor Presente (ou Atual) dado o Valor Futuro?

49 Bertolo

FATOR DE VALOR ATUAL - FVA

GRÁFICO:

= ?

1 2 3 4 5 6 7 8 n-4 n-3 n-2 n-1 n

FÓRMULA:

VF = VP (1 + i) n VP = VF / (1 + i) n O fator FAV’ (i, n) = 1/(1 + i) n é também chamado

taxa de desconto

no regime de juros compostos.

P VP (1 + i ) n VF ( 1 + i ) - n Bertolo 50

Exemplo Extra 1

Qual o capital que, aplicado a 10% ao semestre , capitalizado semestralmente, produz o montante de R$ 1.331,00 após 3 semestres?

SOLU Ç ÃO

VP = ? VF = R$ 1.331,00 n = 3 semestres i = 10% a . s. = 0,1 ao semestre Pela

F Ó RMULA

: VP = VF/(1+i) n = 1331/(1+0,1) 3 1331*0,751315 = 1000 VP = R$ 1.000,00 = 1331/1,331 = FIN f 2 1331 CHS FV 10 i 3 n PV Bertolo 51

EXERCÍCIOS

Suponhamos que você precise de $ 3.000 no ano que vem para comprar um computador novo. A taxa de juros é de 8% ao ano. Quanto dinheiro você deveria alocar para poder pagar pela compra? E se adiarmos a compra do mesmo computador para daqui a dois anos?

Na calculadora faremos: f FIN f 2 3000 CHS FV 8 1 i n Este procedimento se chama DESCONTAR um fluxo de caixa futuro.

PV........2.777,78 Para resolvermos a segunda parte do exercício, apenas colocamos 2 em n e pressionamos a tecla PV novamente e obtemos: 2.572,02.

52 Bertolo

EXERCÍCIO 2

Em 1995, a Coca-Cola precisou tomar quase um quarto de bilhão de dólares emprestado por 25 anos. Ela fez isso vendendo IOU * , cada uma simplesmente prometendo pagar $1.000 ao portador no final de 25 anos. A taxa de juros do mercado naquela época era de 8,53%. Quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU da empresa?

* IOU = I Owe You = “Eu Devo a Você”. É o apelido das OBRIGAÇÕES (ou BONDS), onde os investidores recebem um pagamento regular de juros ou um cupom. As IOU da Coca Cola fará apenas um único pagamento no final do ano 25. Portanto, era chamada de uma

obrigação de cupom zero

. Falaremos mais sobre

Obrigações

em capítulos posteriores.

Bertolo 53

SOLUÇÃO

Para calcular o valor presente, faremos:

 ( 1  $ 1 .

000 0 , 0853 ) 25  $ 129 Este é o maior valor que poderíamos pagar hoje por uma IOU da Coca-Cola!!!

54 Bertolo

Mais um pouco sobre a IOU da Coca-Cola Suponhamos que a Coca-cola tivesse prometido pagar $ 1.000 ao final de 10 anos. Se a taxa de juros do mercado fosse de 8,53%, quanto você estaria disposto a pagar por uma IOU de $ 1.000 por 10 anos?

10 anos .......$ 441,06 55 Bertolo

EXERCÍCIO 3 - Calculando o valor de uma promoção

A Canguru Autos está oferecendo uma promoção para os carros de $ 10.000. Você paga $ 4.000 de entrada e o saldo no final de 2 anos. A loja ao lado, a Tartaruga Motors, não oferece essa facilidade, mas desconta $ 500 do preço de tabela. Se a taxa de juros for de 10%, qual das empresas está oferecendo o melhor negócio?

Bertolo 56

SOLUÇÃO

Observe que você pagar á mais no total se comprar da Canguru, mas , como parte do pagamento é adiado, você poder á guardar esse dinheiro no banco, onde continuar á a render juros. Para comparar as duas ofertas, você precisa calcular o valor presente dos pagamentos para a Canguru. O diagrama de fluxo de caixa a seguir, mostra os pagamentos em dinheiro para a Canguru.

57 Bertolo

SOLUÇÃO cont.

6.000

4.000

O primeiro pagamento, de $ 4.000, ocorre hoje. O segundo pagamento, de $ 6.000, ocorrer á no final de 2 anos. Portanto, o valor presente do total dos pagamentos da Canguru é de: Bertolo 58

SOLUÇÃO cont.

 $ 4 .

000  $ 6 .

000 ( 1  0 , 10 ) 2  $ 4 .

000  $ 4 .

958 , 68  $ 8 .

958 , 68 Suponhamos que você comece com $ 8.958,68. Você dá uma entrada de $ 4.000 para a Canguru Autos e investe o saldo de $ 4.958,68. A uma taxa de juros de 10%, isso aumentará durante os próximos 2 anos para $ 6.000, exatamente o que você precisa para fazer o pagamento final de seu automóvel. O custo total de $ 8.958,68 é melhor negócio do que os $9.500 cobrados pela Tartaruga Motors.

Bertolo 59

Valores Presentes

Valor Presente Fator de Desconto

Valor hoje de um fluxo de caixa futuro.

Valor presente de um pagamento futuro de $1.

Taxa de Desconto

Taxa de juro usada para calcular valores presentes de fluxos de caixa futuros .

Bertolo 60

Aplicações

A fórmula VP tem muitas aplicações. Dadas 3 variáveis na equação, você pode encontrar a variável restante.



( 1 

)

n

Bertolo 61

Aplicações

Propaganda Enganosa!

Recentemente, alguma empresas têm dito coisas como “Venha experimentar nosso produto. Se vier, lhe daremos $ 100 apenas por ter vindo!” Se você ler as letras miúdas, descobrirá que eles lhe darão um certificado de poupança que lhe pagará $ 100 daqui a 25 anos ou coisa parecida. Se a taxa de juros de tais certificados for 10% a.a., quanto você iria realmente receber hoje?

 ( 1  100 0 , 1 ) 25  $ 9 , 23 62 Bertolo

Economizando para cursar a Faculdade

Você precisará por volta de $ 80.000 para enviar seu filho à universidade daqui a 8 anos. Hoje você tem $ 35.000. Qual a taxa de juros para alcançar este objetivo a partir dos $ 35.000?

80000



35000 ( 1



i

)

i



10 , 89 %



( 1



i

)

8 

2 , 2857



1



i



1 , 1089

63 Bertolo

Aposentadoria

Você deseja aposentar-se daqui a 50 anos, como milionário. Se você tem $ 10.000 hoje, qual a taxa de rendimento para atingir $ 1.000.000?

10000  1 .

000 .

000 ( 1 

) 50  ( 1 

) 50  100 

 9 , 65 %

Bertolo 64

VP de Fluxos de Caixa Múltiplos

Exemplo Seu fornecedor de automóveis deu a você a chance de escolher entre pagar $15,500 agora, ou fazer três pagamentos: $8,000 agora e $4,000 ao final dos dois anos seguintes. Se o custo do seu dinheiro é 8%, o que você prefere?

pagament o imediat o :

8,000.00

VP VP

2 1  4 , 000 ( 1  .

08 ) 1  4 , 000 ( 1  .

08 ) 2 

3 , 703 .

70



3 , 429 .

36 Total VP



$15,133.06

65 Bertolo

EXERCÍCIOS PROPOSTOS

1.Quanto se deveria pagar hoje para se ter o direito de receber R$ 10.000,00 daqui a 5 anos, a juros compostos de 10% ao ano? Resp:- R$ 6.209,00 2.Uma pessoa recebe a proposta de investir, hoje, uma quantia de R$ 120.000,00 para receber R$ 161.270,00 daqui a 10 meses. Qual a taxa de rentabilidade mensal do investimento proposto no regime de juro composto? Resp:- 3% a . m..

3.O capital de R$ 87.000,00, colocado a juros compostos à taxa de 3,5% ao mês, elevou-se no fim de certo tempo a R$ 114.563,00. Calcule esse tempo. Resp:- 8 meses 66 Bertolo

10 + 10 = 21

Imagine que você invista $ 100, que ganha 10% esse ano e 10% no ano que vem. Quanto você ganhou? O ganho de 10% desse ano faz seus $ 100 virarem $ 110. No ano seguinte, você também ganha 10%, mas começa o ano com $110. Resultado? Você ganha $ 11, aumentando sua riqueza para $ 121.

Assim, sua carteira ganhou um retorno

cumulativo

de 21% sobre os dois anos, mas o retorno anualizado é de apenas 10%. O fato de que 21% é mais do que o dobro de 10% pode ser atribuído ao efeito de capitalização do investimento, a maneira em que você ganha dinheiro, a cada ano, não apenas em seu investimento original, mas também nos ganhos dos anos anteriores que você reinvestiu.

67 Bertolo

A regra do 72 Para ter uma boa idéia de capitalização, tente a Regra dos 72. O que é isso? Se você dividir 72 por um retorno anual em particular, descobrirá quantos anos levará para dobrar seu dinheiro. Assim, a 10% a.a., um investimento dobrará de valor em pouco mais de 7 anos.

Bertolo 68

O que desce volta a subir lentamente

No mundo dos investimentos, ganhar é legal, mas perdas podem realmente doer. Vamos dizer que você invista $ 100, que perca 10% no primeiro ano, mas no ano seguinte volte ganhando 10%. Empatado? Nem sonhando. Na verdade, você chegou apenas a $ 99.

Eis o porquê. A perda inicial de 10% derruba seus $ 100 para $ 90. Mas o ganho subseqüente de 10% lhe dará apenas $ 9, aumentando o valor de sua conta para $ 99. No final das contas: para recuperar qualquer porcentagem de perda, você precisa de um ganho percentual ainda maior. Por exemplo, se você perder 25%, vai precisar de 33% para empatar de novo.

69 Bertolo

Nem todas as perdas são iguais

O que prejudica menos: inflação de 50% ou uma queda de 50% no valor de sua carteira?

Se você disse a inflação, então acaba de ganhar outro 10.

Confuso? Considere o seguinte exemplo: Se você tiver $ 100 para gastar em

capuccino

, e seu

capuccino

favorito custa $ 1, você poderá comprar 100 xícaras. E se seus $ 100 perderem valor e valerem apenas $ 50? Você poderá comprar apenas 50 xícaras.

E se o preço do

capuccino

aumentar 50%, para $ 1,50?

Se você dividir $ por $1,50, descobrirá que poderá comprar 66 xícaras e ainda deixar uma gorjeta.

70 Bertolo

Exercícios extras

Em 1880, cinco rastreadores aborígenes receberam a promessa de ganhar o equivalente a $ 100 australianos cada por ajudar a capturar o famoso bandido Ned Kelley. Em 1993, as netas de dois dos rastreadores reivindicaram que esse prêmio não havia sido pago. O primeiro-ministro de Victória disse que se isso fosse verdade, o governo ficaria feliz em pagar os $ 100. No entanto, as netas também reivindicaram que tinham o direito aos juros compostos. A quanto cada uma tinha direito se a taxa de juros fosse de 5%? E se fosse de 10%?

Você deposita $ 1.000 em sua conta bancária. Se o banco pagar 4% de juros simples, quanto você terá em sua conta após 10 anos? E se o banco pagar juros compostos? Quanto de seus ganhos serão de juros sobre juros?

Você preferiria receber $ 1.000 por ano por 10 anos ou $ 800 por ano por 15 anos a. a uma taxa de juros de 5%?

b. a uma taxa de juros de 20%?

c. Por que suas respostas para (a) e (b) diferem?

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