Transcript Juros Simples

“O tamanho do seu sucesso é
mensurado pela força do seu desejo,
pelo tamanho do seu sonho e como
você lida com o desapontamento no
seu caminho”
Capítulo II - JUROS
Capital = Qualquer valor expresso
em moeda e disponível
em determinada época.
Bertolo
1
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
Um jeito simples de pensar !

A maioria dos problemas
em Matemática Financeira
envolve receitas e
despesas que ocorrerem
em instantes de tempo
diferentes, por isso é útil
adotar-se uma
REPRESENTAÇÃO que
possibilite visualizar cada
alternativa
Bertolo
R
R
R
R
R
1
2
n -2
n -1
n
P
A escala horizontal representa o tempo
em ano, mês, semestre, trimestre
entradas de caixa ou receita:
saida de caixa ou despesa:
2
DIAGRAMA DE FLUXO DE CAIXA
1.
2.
3.
4.
Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um
investimento no valor de R$ 100.000,00 pelo qual o investidor recebeu
R$ 150.000,00 após 6 meses?
Como será representado no diagrama de fluxo de caixa um empréstimo
tomado de R$ 50.000,00 pelo qual o tomador pagará R$ 75.000,00,
após 5 meses?
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa de uma série de depósitos de R$
10.000,00 cada um, feitos no início de cada mês durante um ano numa
Caderneta de Poupança que rendeu, no fim do ano, um montante final
de R$ 200.000,00
Desenhe o diagrama de fluxo de caixa para uma pessoa que, durante 6
meses, fez depósitos de R$ 25.000,00 numa Caderneta de Poupança,
sempre no início de cada mês. Nos três meses que se seguiram, perdeu
o emprego e foi obrigada a fazer retiradas de R$ 60.000,00, também no
início de cada mês, tendo esgotado o seu saldo
Bertolo
3
JUROS
Definições


“É o dinheiro pago pelo uso
do dinheiro emprestado ou
como remuneração do
capital aplicado em
atividades produtivas”
Chama-se TAXA de JUROS
i a razão entre os juros que
serão cobrados no fim do
período e o capital
inicialmente empregado.
i =
J
P
As taxa de juros podem ser mensais, trimesrais, semestrais,
anuais.
EXEM PLO: - dívida R$ 1.500,00
- juros anuais R$ 150,00
Taxa de Juros anuais ... ia . a . = (150/1500) = 0,1 ou 10/100 ou 10%.
Bertolo
4
FATORES QUE DETERMINAM A
EXISTÊNCIA DOS JUROS




INFLAÇÃO - diminuição do poder aquisitivo da moeda
exige que o investimento produza retorno maior que o
capital investido
UTILIDADE - investir significa deixar de consumir hoje
para consumir amanhã, o que só é atraente quando o
capital recebe remuneração adequada
RISCO - existe sempre a possibilidade do investimento
não corresponder às expectativas
OPORTUNIDADE - os recursos disponíveis para
investir são limitados, motivo pelo qual ao se aceitar
determinado projeto perde-se oportunidades de ganhos
em outros; e é preciso que o primeiro ofereça retorno
satisfatório.
Bertolo
5
TIPOS DE JUROS
JUROS SIMPLES - só o pricipal rende juros ao longo da vida do investimento
JUROS COMPOSTOS - após cada período, os juros são incorporados ao
capital e passam, por sua vez, a render juros


EXEMPLO: Considere R$ 100,00 empregados a 10% ao ano.
Principal
após 1 ano
após 2 anos
após 3 anos
após 4 anos

Juros Simples
100,00
100 + 0,10 x 100
110 + 0,10 x 100
120 + 0,10 x 100
130 + 0,10 x 100
=
=
=
=
110
120
130
140
Juros Compostos
100,00
100 + 0,10 x 100 = 110
110 + 0,10 x 110 = 121
121 + 0,10 x 121 = 133,1
133,1+0,10x133,1 = 146,41
OBSERVAÇÃO: Na prática, no Brasil, empregam-se JUROS COMPOSTOS

Bertolo
6
Juros Simples x Juros Compostos
E VO LU Ç ÃO D O C APITAL SO B JU R O S
160
140
120
P R INC IPA L
100
80
60
40
S eqüê
nc ia1
S eqüê
nc ia2
20
0
1
2
3
4
5
n (T EM P O )
Bertolo
7
Exercícios
1.
2.
Um investidor aplicou R$ 2.500,00 em Letras de Câmbio, por 60 dias, e,
ao resgatá-las, após esse prazo, recebeu a quantia de R$ 2.590,00.
a. Quanto recebeu de juros?
b. A que taxa esteve aplicado seu capital durante esse período?
Um industrial pediu um empréstimo de R$ 250.000,00 numa instituição
financeira, por certo tempo. No dia em que foi liberado o empréstimo,
pagou, antecipadamente, 22% de juros, conforme previa o contrato.
a. Quanto pagou de juros?
b. Se os juros foram retidos na data da liberação do empréstimo, qual
foi a quantia efetivamente liberada?
c. Considerando a quantia liberada como empréstimo real e o
pagamento final de R$ 250.000,00, qual a taxa efetiva de juros paga
pelo industrial?
Bertolo
8
Mais Exercícios
3.
4.
Um capital de R$ 80.000,00 ficou aplicado durante seis meses a 10%
ao mês. Calcule o montante no fim de cada mês nos regimes de
capitalização simples e composta.
Represente com um diagrama de fluxo de caixa as seguintes operações
financeiras:
a. Uma aplicação de R$ 50.000,00 pela qual o investidor recebe R$
80.000,00 após dois anos.
b. A compra de um objeto, cujo preço a vista é R$ 30.000,00, em 12
prestações mensais de R$ 2.600,00, vencendo a primeira na data da
compra.
c. Depósitos de R$ 5.000,00 na Caderneta de Poupança, no fim de cada
mês durante um ano, e retirada de R$ 61.677,81 dois meses após o
último depósito.
Bertolo
9
C AP ÍT U L O III
JU R O S S IM P L E S
A co mparação de flu xo s de caixa exig e quase sem pre sua transfo rmação em o ut ro s
equivalentes. T orna-se co nveniente, po rtanto, o estabelecim ento de fórm ulas e fatores de
conversão ap licáveis ao s flu xo s de caixa co mu m e nte enco ntrado s.
Inicialm ente vamo s tratar o reg im e de cap italização sim p les
III.1 – VALOR PRESENTE E VALOR FUTURO
Seja J o juro, VF o VALOR FUTURO (montante ou total a ser recebido), i a taxa de
juros[1] e n o número de períodos.[2]
J = VP . i . n
VF = VP + J
Equações
V F = V P (1 + i n)
[1] Existem duas formas de expressarmos a taxa de juros: - Taxa Percentual (%) e a Taxa Unitária.
Esta última consiste em dividirmos a taxa percentual por 100. Assim, 3% (forma percentual é
dado na forma unitária por 0.03).
[2] Os juros simples podem ser exatos (usa o calendário civil - ano com 365 ou 366 dias) e
ordinários (usa o calendário comercial - ano com 360 dias e mês com 30 dias). Este último é
usado nas instituições financeiras.
Bertolo
10
Exercício 1
Que montante receberá um investidor que
tenha aplicado R$ 280,00 durante 15 meses, à
taxa de 3% ao mês?
Bertolo
11
Exercício 1
1.
Q u e m on tan te r eceb er á um in vestid or q u e ten h a a plica do R $ 2 8 0 ,0 0 d uran te 1 5 m eses, à ta x a d e 3% a o m ês?
SOLUÇÃO
O problema pede
basta adicionar
o valor resgatado (montante) e não os juros.
os juros ao capital inicial. Assim, temos:
Para
VP = R$ 280,00.......capital inicial ou principal
n = 15 meses
i = 3% a . m. = 0,03 a . m.
Lembrando que VF = VP(1 + i n) vem:
VF = 280,00 (1 + 0,03*15) = 280,00 * 1,45 = 406,00 , isto é,
VF = R$ 406,00
Solução deste problema também pode ser obtida do seguinte
J = 280,00 * 0,03 * 15 = 126,00
como VF = VP + J = 280,00 + 126,00 = 406,00
ou seja
VF = R$ 406,00
Com
a
CALCULADORA
f FIN f 2
280 CHS PV
3 ENTER 12 x i
15 ENTER 30 x n
f INT
FINANCEIRA
HP
12C,
isso
modo:
temos:
...limpa os dados dos registros financeiros e estabelece o número
de casas decimais
...muda o valor atual para negativo e armazena em PV
...Devemos entrar com a taxa em percentual ao ano (3% x 12)
...Devemos entrar com o tempo em dias (15 x 30)
... Com este comando a calculadora apresentará, no visor, o valor
dos juros: R$ 126,00
Bertolo
12
Ainda o Exercício 1
Poderíamos construir uma PLANILHA EXCEL para resolver este todos os
problemas semelhantes introduzindo o Principal, a Taxa de Juros e o
número de Períodos. Assim, clicando na figura você terá esta planilha.
Bertolo
13
Exercício 2
Qual o capital inicial para se ter um montante
de R$ 148.000,00 daqui a 18 meses, a uma
taxa de 48% ao ano, no regime de juro
simples?
Bertolo
14
Exercício 2
2 . Q u a l o ca p ita l in icial p ara se ter um m on tan te d e R $ 1 48 .00 0 , 0 0 da q u i a 1 8 m eses, a u m a ta xa d e 4 8 % a o
an o, n o reg im e d e juro sim p les?
Solução
M = 148.000,00
VP = ?
n = 18 meses
i = 48% a . a . = 4% a . m.
VP =
VF = VP + J = VP(1 + in)
VF
148000
148000
148000



1  in
1  0 ,0 4 .1 8
1  0 ,7 2
1, 7 2
 8 6 . 0 4 7 ,0
Não tem jeito de resolver na HP-12C. Vejam que precisamos
saber fazer as coisas no braço !!!!
Bertolo
15
Exercício 3
Uma pessoa consegue um empréstimo de R$
86.400,00 e promete pagar ao credor, após 10
meses, a quantia de R$ 116.640,00. Determine
a taxa de juro anual cobrada?
Bertolo
16
Exercício 3
3.U m a pessoa con segue um em préstim o de R$ 86.400,00 e prom ete pagar ao credor, após 10 m eses, a quantia
de R$ 116.640,00. D eterm in e a taxa de juro anual cobrada?
Solução
VP = 86.400,00
VF = 116.000,00
i = ?
n = 10 meses
VF = VP (1 + in)  116.640,00 = 86.400,00(1 + i.10)
1 1 6 .6 4 0
= 1 + 10i
 1,35 = 1 + 10 . i  i = 0,035 a . m. = 3,5% a . m.
86400
equivalente a 12 x 3,5 = 42% a . a .
Para encontrar a taxa anual a partir da mensal é que existe na HP 12C a função
g 12x
Bertolo
17
Exercício 4
Por quanto tempo deve ser aplicado o capital de
R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao ano,
para obtermos um montante de R$ 832.000,00?
Bertolo
18
Exercício 4
4. Por quan to tem po deve ser aplicado o capital de R$ 800.000,00, à taxa de juro de 16% ao an o, para
obterm os um m on tan te de R$ 832.000,00?
SOLUÇÃO
n = ?
VP = 800.000,00
i = 16% a .a . = 0,16 a . a .
VF = 832.000,00
VF = VP (1 + in)  832.000,00 = 800.000 (1 + 0,16n)
1,04 = 1 + 0,16n
n = (0,04/0,16) = (1 / 4)ano = 12 meses/4 = 3 meses
Depois que você encontrou ¼ anos, que é a mesma coisa do que 0,25 anos,
basta usar g 12x para encontrar em meses.
Bertolo
19
MESES
JAN
FEV
MAR
DIAS
AB
MAI
JUN
JUL
AGO
SET
OUT
NOV
DEZ
R
1
1
32
60
91
121
152
182
213
244
274
305
335
2
2
33
61
92
122
153
183
214
245
275
306
336
3
3
34
62
93
123
154
184
215
246
276
307
337
4
4
35
63
94
124
155
185
216
247
277
308
338
5
5
36
64
95
125
156
186
217
248
278
309
339
6
6
37
65
96
126
157
187
218
249
279
310
340
7
7
38
66
97
127
158
188
219
250
280
311
341
8
8
39
67
98
128
159
189
220
251
281
312
342
9
9
40
68
99
129
160
190
221
252
282
313
343
10
10
41
69
100
130
161
191
222
253
283
314
344
11
11
42
70
101
131
162
192
223
254
284
315
345
12
12
43
71
102
132
163
193
224
255
285
316
346
13
13
44
72
103
133
164
194
225
256
286
317
347
14
14
45
73
104
134
165
195
226
257
287
318
348
15
15
46
74
105
135
166
196
227
258
288
319
349
16
16
47
75
106
136
167
197
228
259
289
320
350
17
17
48
76
107
137
168
198
229
260
290
321
351
18
18
49
77
108
138
169
199
230
261
291
322
352
19
19
50
78
109
139
170
200
231
262
292
323
353
20
20
51
79
110
140
171
201
232
263
293
324
354
21
21
52
80
111
141
172
202
233
264
294
325
355
22
22
53
81
112
142
173
203
234
265
295
326
356
23
23
54
82
113
143
174
204
235
266
296
327
357
24
24
55
83
114
144
175
205
236
267
297
328
358
25
25
56
84
115
145
176
206
237
268
298
329
359
26
26
57
85
116
146
177
207
238
269
299
330
360
27
27
58
86
117
147
178
208
239
270
300
331
361
28
28
59
87
118
148
179
209
240
271
301
332
362
29
29
88
119
149
180
210
241
272
302
333
363
30
30
89
120
150
181
211
242
273
303
334
364
31
31
90
212
243
151
Bertolo
304
365
20
Exercício 5
5. Uma loja vende toca-fitas por R$ 15,00 à
vista. A prazo, vende por R$ 16,54 , sendo R$
4,00 de entrada e o restante após 4 meses.
Qual é a taxa de juro mensal cobrada?
Bertolo
21
Exercício 4
5.Um a loja ven de toca -fitas por R$ 15,00 à vista. A prazo, ven de por R$ 16,54 , sen do R$ 4,00 de entrada e o
restante após 4 m eses. Q ual é a taxa de juro m en sal cobrada?
15,00
SOLUÇÃO
VP = 15,00 à vista
R$ 16,54 é o seu valor a prazo que deve ser pago da seguinte maneira:
0
1
2
3
4
Como R$ 4,00 é desembolsado na entrada 
o que vai ser financiado é R$ 11,00 para
ser pago R$ 12,54 daí 4 meses. Então,
VF = VP (1 + in)  12,54 = 11 (1 + i4) 
4,00
1 2 ,5 4
12,54
1 1, 0 0
- 1 = 4i  i = 0,035 ou 3,5% a . m.
Aqui é saída de caixa para a entrada que deve ser subtraída do
valor R$ 15,00. Logo foi feto um financiamento de R$ 11,00
Bertolo
22
CONVERSÃO DE MOEDAS
NOM E
S ÍM B O L O
CO M PRA
C o ro a d in a m a rq u e s a
C o ro a n o ru e g u e s a
C o ro a s u e c a
D ó la r a m e r ic a n o
D ó la r a u s tr a lia n o
D ó la r c a n a d e n s e
E s c u d o p o rt u g u ê s
F lo r im h o la n d ê s
F r a n c o b e lg a
F r a n c o fra n c ê s
F r a n c o s u íç o
Ie n e j a p o n ê s
L ib r a e s te rlin a
L ir a ita lia n a
M a r c o a le m ã o
P e s e ta e s p a n h o la
X e lim a u s t ría c o
DKr
NKr
SKr
U S$
$A
C an$
Esc.
f.
FB
F
S w . F r.
¥
£
L it
DM
P ta s
S
0 ,1 7 6 5 8 5
0 ,1 5 7 8 7 1
0 ,1 5 1 8 5 7
1 ,0 1 1 1 0
1 ,3 7 3 3
0 ,0 0 6 6 3 7 7
1 ,6 6 3 6
0 ,0 3 3 1 5 8
0 ,1 9 9 7 2 2
0 ,8 3 8 3 9 1
0 ,0 0 9 3 2 2 8
1 ,5 6 7 7 3
0 ,0 0 0 6 6 4 4
0 ,6 8 3 2 5 0
0 ,0 0 8 0 2 0 6
0 ,0 9 6 9 8 6
V EN D A
1 ,0 1 1 9
0 ,2 1 2 2 9 9
0 ,8 9 1 3 4 1
0 ,0 0 9 9 2 7
1 ,6 6 3 3 1 4
Fonte Folha de Sào Paulo de 09/08/96
Quando importamos algo dos Estados Unidos, Alemanha ou da Inglaterra, efetuamos
o pagamento em dólares, marcos ou libras, respectivamente.
Esse procedimento dá origem ao câmbio, que é a operação de troca de moedas de
diferentes países. É evidente que para ser possível essa troca deve existir uma relação
de equivalência que é o preço da moeda estrangeira em termos da moeda nacional.
As taxas de câmbio são agrupadas em tabelas de cotações com dois valores: um de
Bertolo
compra e outro de venda.
23
Exercícios Propostos
1.
C alcule o m on tante de um a aplicação de R$ 50.000,00, à taxa de 2,5% ao m ês, durante 2 an os .
Resp:- R$ 80.000,00
2. Um a pessoa aplicou R$ 90.000,00 n o m ercado finan ceiro e, após 5 an os, recebeu o m on tante de R$
180.000,00. Q ual foi a taxa anual? Resp: 20%
3.Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao an o em 12/02/90. Em 03/05/90 foi efetuado o resgate n o valor de
R$ 107,80. Q ual o valor do capital in icial? Resp:- R$ 98,00
4. Um in vestidor aplicou R$ 200.000,0 0 n o dia 06/01/90, à taxa de 27% ao an o. E m que data esse capital
elevar-se-á a R$ 219.500,0? Resp:-16/05/90
5. Um n egocian te obteve R$ 441.000,00 de em préstim o, à taxa de 21% ao an o. A lgun s m eses depois ten d o
en con trado quem lh e oferecesse a m esm a im portân cia a 18% ao an o, assum iu o com prom isso com essa
pessoa e, na m esm a data, liquidou a dívida com a prim eira. Um an o depois de realizado o prim eiro
em préstim o, saldou o débito e verificou que pagou ao todo R $ 82.688,00 de juro. Calcule o prazo do prim eiro
em préstim o? Resp:- 3 m eses
Bertolo
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Taxas Proporcionais
D uas taxas são proporcionais quando os seus valores form am um a proporção direta com os tem pos a elas
referidos, reduzidos à m esm a un idade.
Sen do i a taxa de juro relativa a um período e i k a taxa proporcion al que querem os determ in ar,
relativa à fração 1/k do período, tem os:
ik
i
=
1
k
1
=
1
k

ik =
i
k
E X E M P L O : C alcule a tax a m ensal proporcion al a 30% ao an o
SOLUÇÃO
Lembrando que 1 ano = 12 meses, temos:
i 12 = 3 0 / 1 2 = 2 , 5 i s t o é 2 , 5 % a . m .
E X E R C ÍC IO : C alcule a taxa m en sal proporcion al a 0,08% ao dia. Resp:- 2,4% a . m .
Bertolo
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Taxas Equivalentes
D uas taxas são equivalentes quan do, aplicadas a um m esm o capital, durante o m esm o período, produzem o
m esm o juro.
E X E M P L O : Calcular o juro produzido pelo capital de R$ 20.000,00

à taxa de 4% ao mês, durante 6 meses
 à taxa de 12% ao trimestre, durante 2 trimestres
SOLUÇÃO
No prim eiro caso, temos J = 20.000,00 x 0,04 x 6 = 4.800,00
No segundo caso, temos J = 20.000,00 x 0,12 x 2 = 4.800,00
C om o os juros são iguais, podem os dizer que 4% a . m . e 12% a . t., são taxas equivalentes
Bertolo
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Exercícios Propostos
1 . T r an sfor m ar 2 an os, 3 m eses e 1 2 d ia s em :
a . an os b. m eses c. dia s R esp :- 2 ,28 an os; 2 7,4 m eses; 8 3 2 d ia s
2 . Q u a l a ta x a an u al pr op or cion a l a 1,4 % a o m ês? R esp :- 1 6 ,8 % a . a .
3 . C a lcu lar os jur os d e u m in vestim en to d e R $ 2 .50 0 ,0 0 , à ta xa d e 3 % a o m ês, p elo pr az o d e 1 an o, 4 m eses
e 1 0 dia s. R esp :- R $ 1.2 2 5,0 0
4 . U m in vestim en to d e R $ 2 .8 0 0,0 0 r en d eu em 1 an o, 5 m eses e 3 d ia s a im p ortân cia d e R $ 2.8 7 2,8 0.
C a lcu lar a ta x a m en sal d essa r en ta bilida d e. R esp :- 6% a . m .
5 . Q u e q u an tia d eve-se in vestir à ta xa d e 3 % a . m ., p ara qu e se ten h a a o fin a l d e 1 an o, 4 m eses e 6 dia s
u m a r en d a d e R $ 97 .2 00 ,00 ? R esp :- R $ 2 0 0 .0 0 0,0 0
6 . C a lcu lar os jur os e o m on tan te d e um a a plica çã o d e R $ 2 0 0 .00 0 ,0 0 a 4,8 % a . m ., p elo pr az o d e 2 an os, 3
m eses e 1 2 d ia s. R esp :- R $ 2 6 3.0 4 0,0 0 e R $ 4 6 3.0 4 0,0 0
7 . U m in vestid or a p lica 2/5 d e seu ca p ital a 3 ,5% a . m . e o r estan te a 24 % a o sem estr e. D ecorr id os 2 an os,
3 m eses e 1 5 d ia s, r ece be u m total d e R $ 3 1 3.5 0 0,0 0 d e jur os. C a lcu lar o seu ca p ita l. R esp :- R $
3 0 0 .0 00 ,00
8 . U m in vestid or a p licou R $ 1 2 0 .0 00 ,00 a 42 % a . a .. D ecor r ido u m certo tem p o, a tax a foi d im in u íd a p ara
3 % a o m ês. C alcu lar o pr az o em q u e vig or ou a ta x a d e 3 % ao m ês, sa ben d o q u e em 7 m eses os ju r os
tota liz aram R $ 27 .0 00 ,00 . R esp :- 4 m eses
9 . D u a s ap lica çõe s, u m a à ta x a d e 4,8 % a o m ês e a ou tr a a 3,6 ao m ês, r en d eram , em 1 an o e 3 m eses, R $
9 9 .0 0 0,0 0 d e jur os. C a lcu lar ca d a um a d essa s a plica ções, sa ben d o q u e os ju r os da prim eira ex ced er a m os
d a seg un da em R $ 1.8 0 0,0 0 R esp :- 7 0.0 0 0,0 0 e 9 0.0 0 0,0 0
1 0 . A q u e ta xa d evem os in vestir para q u e, em 1 0 an os, o m on tan te seja o d obr o d a a plica çã o in icia l? R esp :10% a . a .
Bertolo
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