Osnovne vrste naprezanja:

Aksijalno naprezanje Smicanje Uvijanje

Savijanje

Izvijanje

1

ČISTO PRAVO SAVIJANJE

Štap je opterećen na bazisima sa dva jednaka a suprotna sprega Мx koji leže u jednojod glavnih ravni М x A Z z-podužna osa štapa М x x М x М x y T poprečni presek štapa A Z М x T x y Мx-momenat u ravni y0z (jedna od glavnih ravni) y x i y-glavne centralne ose inercije Ovako opterećena greda je u stanju

čistog pravog savijanja

2

Napon kod čistog pravog savijanja

М x

skraćenje vlakana izduženje vlakana

М x y A Z x М x T x М x y - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + +

neutralna linija

y 3

a) b) c) d)

U analizi deformacija i naprezanja pri čistom savijanju pretpostavlja se sledeće:

Ravni poprečni preseci ostaju pri deformaciji štapa ravni i upravni na savijenu osu štapa (Bernoullieva hipoteza).

Materijal štapa smatramo homogenim i izotropnim.

Između uzdužnih vlakana nema nikakvog uzajamnog delovanja sila.

Normalni naponi proporcionalni su deformacijama (Hookeov zakon).

4

Napon u nekoj tački preseka kod čistog pravog savijanja je jednak

 z  M I x x  y x -y М x +y - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + y

gde su M x

–momenat savijanja u posmatranom preseku

I x

–momenat inercije za glavnu x osu y –rastojanje posmatrane tačke preseka od x ose + 5

Naponi su najveći u tački gde je najveće udaljenje od x ose

 max z  M I x x  y max x -y М x +y - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + y +   z max   z max Najveći napon zatezanja je u tački gde je y maksimalno na zategnutoj strani preseka   max z  M I x x  y  max  M x y I x  max W x    M W x x  Otporni momenat preseka na zategnutoj strani 6

Najveći napon pritiska je u tački gde je y maksimalno na pritisnutoj strani preseka   max z W x    M I x x  y  max  M x y I x  max  M W x x  Otporni momenat preseka na pritisnutoj strani

Rezime

Normalni napon kod čistog pravog savijanja u opštem obliku je jednak  z  M W x x

napon=Momenat kroz Otporni momenat

7

Neutralna linija kod čistog pravog savijanja

Neutralna linija je mesto tačaka preseka gde je napon jednak nuli  z  M I x M kako je x I x x  y   0 0 x -y М x +y - - - - - - - - - - - - - - - - - - + + + + + + + + + + + + + + y   z max

neutralna linija

+   z max sledi da je jednačina neutralne linije kod čistog pravog savijanja data jednačinom

y=0

a to je jednačina x ose

Neutralna linija se poklapa sa glavnom X osom 8

М x

ZNAK MOMENTA

М x Z

PRITISNUTA VLAKNA

y

ZATEGNUTA VLAKNA

Momenat je pozitivan kada zateže donju stranu

9

Primer 5.1

Greda poprečnih preseka kao na slici opterećena je pozitivnim momentom savijanja М x=54 kNm. Odrediti napone u naznačenim tačkama A, B i C.

a)

x A y B C 10 20 +  z n.l.

  z z   M I x 6667 54 x  10 2  0

I

x 

10



20

3

12



6667

tačka A: y=0

 z   y 54  10 2  y  0  0

tačka B: y=-10 tačka C: y=10

  z z   6667 54  10 2 6667 54  10 6667 2     10 10   8 ,   10 8 , 10 kN / kN cm 2 / cm

cm

4 2 10

b)

5 x 5 20 A 5 20 y 20 B C +  z  n.l.

C z  A z  B z  z  M I x x  y  0

I

x 

20



5

3

12



2



5



20

3

12

tačka A: y=10 tačka B: y=15 tačka C: y=-15



2



12 , 5

2 

20



5



35000 cm

4  z  z  z    54  10 35000 54  10 35000 54  10 2 35000 2 2  10  15   1 , 54  2 , 31   15   kN / cm 2 kN / cm 2  2 , 31 kN / cm 2 11

Primer 5.2

Poprečni presek grede od livenog gvožđa raspona l=4 m dat je na slici. Odrediti intenzitet sile P koja može da deluje na sredini raspona grede ako je dozvoljeni napon zatezanja  doz =16 kN/cm 2 . Koliki će pri tom biti napon pritiska.

10 5 2,5 20 5 25 12

Potrebno je prvo odrediti položaj težišta poprečnog preseka y T Podelili smo složenu površinu na tri proste površine 1 T1 Površina je simetrična oko y ose pa pa je težište po x pravcu određeno 2 Odredićemo položaj pojedinačnih težišta po y pravcu T2 x T y T1 =5+20+2,5=27,5 cm y T2 =5+10=15 cm 3 T3 y T3 =2,5 cm Pojedinačne površine su A 1 =10  5=50 cm 2 A 2 =20  2,5=50 cm 2 A 3 =25  5=125 cm 2 y T2 y T3 y T1 y y

Položaj težišta je

T   A  i  A i y Ti  50  27 , 5  50  50  15  125  2 , 5 50  125 y T  10 , 8 cm 13 T

x Određujemo sada aksijalni momenat inercije oko ose x I x  I S x  I P x  10  5 3 12  25  5 3 12  125   10  , 8 50   27 , 5  10 , 8  2  2 , 5  2  25470  2 , 5  20 3 12 cm 2  z  50   15  10 , 8  2 19,2 T n.l.

10,8 + y 14

Otporni momenti na zategnutoj i pritisnutoj ivici su W x   y I  x max  25470 10 , 8  2358 , 33 cm 3 W x   y I  x max  25470 19 , 2  1326 , 56 cm 3

Određivanje statičkih uticaja za nosač

P M=Pl/4 2 2 +  z  M

W

x x   dop M=Pl/4 M x 

W

x    dop 15

W x   2358 , 33 cm 3 x  x 

2358 , 33



16



37733 , 28

 x  P  l 4

P



377 , 33

 P  4  x l

kN

T 19,2 10,8 n.l.

kNcm

 4  377 , 33 4 +  z 

377 , 33 P

28,44   z napon pritiska   W x x    z   z 

kNm

jedinice

kNm



kN m

 377 , 33  10 2 1326 , 56  28 , 44  kN / cm 2 16,0 16

ČISTO KOSO SAVIJANJE

Štap je opterećen na bazisima sa dva jednaka a suprotna sprega Мx koji ne leže u glavnoj ravni A z-podužna osa štapa М T Z М М x М y Z М poprečni presek štapa  A  T x  Мx-momenat u ravni   y čija normala zaklapa ugao  y sa x osom x i y-glavne centralne ose inercije Ovako opterećena greda je u stanju

čistog kosog savijanja

17

Napon kod čistog pravog savijanja

М М y  A Spreg razlažemo na dva upravna sprega М x i М y koji prave dva čista prava savijanja  T x М x  y Napon je tada jednak  z  M I x x  y  M I y y  x odnosno M M x  M  cos  y  M  sin   z  M W x x zamenimo u izraz za napon  z  M  cos   y  M I x  sin   x  M I y  M W y y cos   y  I x sin   x I y 18

Položaj neutralne linije

U tačkama neutralne linije napon je jednak nuli, pa zato izjednačimo izraz za napon sa nulom M cos   y  I x sin   x I y  0 momenat savijanja je različit od nule pa ostaje cos   y  I x sin   x  0 I y jednačina neutralne linije y   I x I y tg   x To je prava koja prolazi kroz koordinatni početak odnosno težište poprečnog preseka i zaklapa ugao  sa pozitivnim delom x ose y  tg   x tg    I x I y tg  19

x  М М x   М y T y   z 20

EKSCENTRIČNO NAPREZANJE GREDE

Štap je opterećen na bazisima sa dva jednake sile suprotnog smera koje ne deluju u težištu poprečnog preseka F x x y poprečni presek štapa e y A T e x y T F Z z-podužna osa štapa A-napadna tačka sile sa koordinatama A(e x ;e y ) e x i e y -ekscentriciteti napadne tečke sile u odnosu na težište poprečnog preseka 21

Redukujemo silu F na težište i dobijamo 1. Istu tu silu F 2. Dva momenta oko težišnih osa M x i M y gde su M x   F  e y M y   F  e x A T x e y e x y e x i e y -ekscentriciteti napadne tečke sile u odnosu na težište poprečnog preseka Ukupan napon sada je jednak (važi princip superpozicije)  z   F A  M I x x  y  M I y y  x aksijalno naprezanje čisto koso savijanje 22

 z   F A  M I x x  y  M I y y  x M x   F  e y Zamenimo M x  z   F A i M y  F  e y I x u izraz za napon i dobijemo  y  F  e x I y  x Uvodimo sada minimalni poluprečnik inercije i x  I x A  i 2 x  I x A  I x  A  i 2 x i y  I y A  i 2 y  I y A  I y  A  i 2 y pa je sada  z   F A  F  e y A  i 2 x  y  F  A e x  i 2 y  x   F A   1  e y i 2 x  y  e i 2 y x  x   M y   F  e x 23

NAPON KOD EKSCENTRIČNOG PRITISKA JE  z   F A   1  e y i 2 x  y  e i 2 y x  x   Neutralna linija je data izrazom  z   F A   1  e y i 2 x  y  e i 2 y x  x    0 odnosno   1  e y i 2 x  y  e i 2 y x  x    0 jednačina neutralne linije 24

x e y   1  e y i 2 x  y  e i 2 y x  x    0 A T y e x y x jednačina neutralne linije To je prava koja ne prolazi kroz težište (koordinatni početak) Presek te prave sa x osom dobija se kada se u jednačinu za neutralnu liniju stavi y=0 1  i e 2 y x  x  0  x   i 2 y e x odsečak na x osi Presek te prave sa y osom dobija se kada se u jednačinu za neutralnu liniju stavi x=0 1  e y i 2 x  y  0  y   i 2 x e y odsečak na y osi 25

x e y A T y e x x y Dijagram napona Odredimopoložaj neutralne linije Dijagram napona crtamo upravno na neutralnu liniju Pravila 1. Neutralna linija je uvek sa druge strane težišta u odnosu na napadnu tačku sile 2. Napon pritiska je sa one strane neutralne linije na kojoj je sila pritiska 26

x

Primer 7.1

Napadna tačka sile pritiska ima koordinate A(5;5). Poprečni presek štapa je pravugaonik 20x40 cm. Sila je F=20 kN.

Odrediti maksimalne napone pritiska i zatezanja.

A 20 T y 40 A(5;5) e e x y =5 =5 Postupak 1. Odredimo težište i aksijalne momente inercije 2. Odredimo centralne poluprečnike inercije 3. Odredimo neutralnu liniju 4. Odredimo napone i nacrtamo dijagram napona

1. Određivanje težište i aksijalnih momenata inercije

I x Težište je poznato, a aksijalni momemti inercije su  20  40 12 3  106666 , 67 cm 4 I y  20 3  12 40  26666 , 67 cm 4 27

2. Centralni poluprečnici inercije

i 2 x  I x A  106666 , 67 20  40  133 , 33 cm 2 i 2 y  I y A  26666 , 67 20  40  33 , 33 cm 2

3. Određivanje neutralne linije

  1  e y i 2 x x y    i 2 y  e x i 2 x e y  y  e i 2 y x  x    0   33 , 33 5   6 , 67   133 , 33 5   26 jednačina neutralne linije cm , 67 cm odsečak na x osi odsečak na y osi 28

26,67 x B 6,67 A T y C

4. Određivanje napona i crtanje dijagrama napona

Kroz krajnje tačke preseka povučemo tangente na poprečni presek paralelne sa neutralnom linijom Ekstremne vrednosti napona su u tačkama B i C.

Potrebno je odrediti koordinate tačaka B i C u odnosu na težište B(10;20) C(-10;-20)

naponi

 z   F A   1  e i 2 x y  y  e i 2 y x  x   Izraz za napon zamenimo umesto x i y koordinate tačaka B i C i dobijemo napone u tim tačkama  B z   20 800   1  5 33 , 33  10  5 133 , 33  20     0 , 081 kN / cm 2 29

26,67 x B 6,67 A T y C  C z   20 800   1  5 33 , 33  (  10 )  5 133 , 33  (  20 )     0 , 031 kN / cm 2 Proveravamo pravila 1. Neutralna linija je uvek sa druge strane težišta u odnosu na napadnu tačku sile 2. Napon pritiska je sa one strane neutralne linije na kojoj je sila pritiska 30

x

Primer 7.2

Ako je jednačina neutralne linije y=5, odrediti položaj napadne tačke sile. Poprečni presek je isto pravougaonik 20/40 cm

A

 z y=5 -prava paralelna x osi na rastojanju od 5

-

y=5 T n.l.

+

x   i 2 y e x y   i 2 x e y odsečak na y osi y x   i 2 y e x y   i 2 x e y  e x   i 2 y x  e y   i 2 x y za x= ∞  za y=5  e x  0 e y

A(0;-26,67)

  133 , 33 5   26 , 67 cm 31

y=13,33 x uzmimo sada jednačinu neutralne linije y=10  z y=10 -prava paralelna x osi na rastojanju od 10 y=10 T

A

n.l.

-

e x  0 e y   133 , 33 10

A(0;-13,33)

  13 , 33 cm

+

y x uzmimo sada jednačinu neutralne linije y=20- na ivici preseka  z y=20 -prava paralelna x osi na rastojanju od 20 y=6.67

y=20 T

A -

n.l.

e x  0 e y

A(0;-6,67)

  133 , 33 20    6 .

67 cm javlja se samo napon pritiska u preseku y 32

Zaključci 1. Ako je neutralna linija u beskonačnosti, napadna tačka sile je u težištu 2. Ako se neutralna linija udaljava od težišta, napadna tačka sile se približava težištu 3. Ako je neutralna linija paralelna x osi, napadna tačka sile je na y osi 4. Ako je neutralna linija na obodu preseka u preseku se javlja samo napon pritiska 33

Jezgro preseka

Neki materijali mogu dosta više da podnesu pritisak od zatezanje pa se postavlja pitanje u kojoj oblasti u preseku može da deluje sila a da u celom preseku bude napon pritiska. Videli smo da kada neutralna linija tangira poprečni presek ceo presek je pritisnut. Postavimo neutralne linije po obimu pravougaonika bxd i odredimo napadne tačke sila.

i 2 x  I x A  b  d 3 b 12  d  d 2 12 i 2 y  I y A  b 3  d b 12  d  b 2 12

1

x d/6 T y n 1 za n1-n1 y=d/2 -n 1 e y   i 2 x y d 2   12 d 2   d 6 e x  0

1(0;-d/6)

34

n 2 -n 2 d/2 x d/6 T

2

b/2 y b/6 za n 2 -n 2 e y   i 2 x y

y=-d/2

d 2   12  d 2  d 6 e x  0

2(0;d/6)

x T

3

y za n 3 -n 3 e x   i 2 y x

x=b/2

b 2   12 b 2   b 6 e y  0

3(-b/6;0)

35

x b/6 b/2

4

T y za n 4 -n 4 e x   i 2 y x

x=-b/2

b 2   12  b 2  b 6 e y  0

4(b/6;0)

jezgro preseka

1 4 2 3

ako sila deluje unutar jezgra preseka ceo presek je pritisnut 36

Primer 7.3

Za zadati poprečni presek odrediti i nacrtati jezgro preseka 60 12 Na jezgro preseka ne utiču spoljnje sile-to je čisto geometrijska karakteristika 19,33 x 12 T 48 6 36 Geometrijske karakteristike preseka Površina: A=60  12+48  12=1296 cm 2 težište po y pravcu u odnosu na gornju ivicu y T y T   A  i  A i y Ti  19 , 33 cm  60  12  6  48  12  36 1296 y 37

glavni centralni momenti inercije

6 19,33 x T 36 I  I x x  60 12  12 12 12  48 3 3   407232  60 48  12   36 cm 4  12   19 , 33  6  2  19 , 33  2  y I y  60 3  12 12  12 3  12 48  222912 cm 4

glavni poluprečnici inercije

i 2 x  I x A  407232 1296  314 , 22 cm 2 i 2 y  I y A  222912 1296  172 cm 2 38

x

jezgro preseka n 1 -n 1

3 2 1

T

4

za n 1 -n 1 e y   i 2 x y e x  0

y=-19,33

  314 , 22  19 , 33  16 , 26

1(0;16,26)

cm za n 2 -n 2 e y   i 2 x y e x  0

y=40,67

  314 , 22 40 , 67

2(0;-7,72)

  7 , 72 cm

n 2 -n 2

y za n 3 -n 3 e x e y   i 2 y  0 x

x=-30

  172  30  5 , 73

3(5,73;0)

cm za n 4 -n 4

x=30

neutralna linija je simetrična sa n 3 -n 3 pa je i teme jezgra preseka simetrično sa tačkom 3 39

x

jezgro preseka n 1 -n 1 n 2 -n 2

3 2 1

T

4

C(-6;40,67)

za n 5 -n 5

Neutralnu liniju postavljamo kroz tačke B i C B(-30;-7,33) To je prava kroz dve tačke. Njena jednačina je x x 2   x 1 x 1  y y 2   y 1 y 1  x 6       30 30    40 y  , 67    7 , 33    7 , 33  y x y  30 24  2 x  y  7 , 33 48  52 , 67  2 x  60 jednačina n.l.

 y  7 , 33 e x za x  0 ; y  52 , 67 za   y x i 2 y  0  ;  x  172  26 , 34  26 , 34  6 , 53 cm 40

jezgro preseka n 1 -n 1

x

n 2 -n 2

5 3 2 1

y T

4 6

C(-6;40,67) B(-30;-7,33) e x e y y

n 5 -n 5

 2 x  52 , 67 jednačina n.l.

za x  0 ; y  52 , 67 za   y x i 2 y  0  ;  x  172  26 , 34  26 , 34  6 , 53 cm   i 2 x y   314 , 22 52 , 67   5 , 97 cm

n 6 -n 6

simetrično u odnosu na n 5 -n 5

5(6,53;-5,97) 6(-6,53;-5,97)

Spojimo tačke 1-6 i površina koja je oivičena predstavlja jezgro preseka

41