Transcript Beispiel PvV - Universität Siegen

Prinzip der virtuellen Verschiebung
Aufgabe :
Bestimmen Sie mit dem Prinzip der virtuellen Verschiebung (P.v.V.)
• die Auflagerreaktion AV
• die Auflagerreaktion BV
• Biegemoment M an der Stelle x = a
q
• Querkraft an der Stelle x = a
A
B
a
x
l
Entwurf: Ricarda Prior – Studentische Hilfskraft
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Auflagerreaktion AV
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q  l (Resultierende aus der Gleichlast q)
l/2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Auflager entfernen
l/2
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q  l (Resultierende aus der Gleichlast q)
Auflager entfernen,
System wird kinematisch:
l/2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
l/2
  0 (virtuelle
Formänderungsenergie)
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q l
_
1
l/2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
l/2
Aufbringen der virtuellen
Verschiebung 1
entgegengesetzt zur
gesuchten Auflagerreaktion.
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q l
_
1
l/2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Verformungsfigur des
beweglichen Systems
einzeichnen.
l/2
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q l
r
_
1
l/2
l/2
Mittels Strahlensatz lässt
sich die gesuchte Verformung unter der
Resultierenden bestimmen.
_
1
r
1 _

 r  1
l l/2
2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion AV
R  q l
r
_
Arbeitssatz anwenden um
1
l/2
l/2
Auflagerreaktion AV
 o
_
 AV  1 
_
( für kinematische Systeme)
zu bestimmen.
Rr  0
_
1
0
2
q l
AV 
2
 AV  1  q  l  1
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Auflagerreaktion BV
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Auflagerreaktion BV
R  q l
_
r
1
l/2
l/2
Vorgehensweise wie bei
Auflagerreaktion AV.
w0
_
 BV  1 R  r  0
q l
BV 
2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung des Biegemomentes M (x=a)
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Lagerung der Originalsystems
übernehmen.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
M
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
Durch das Einfügen des
korrespondierenden
Gelenkes an der Stelle x = a
lässt sich die gesuchte
Kraftgröße M ermitteln.
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a / 2
R2
b / 2
M
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
Die Gleichlast wird für die
Bereiche links und rechts des
Gelenkes getrennt betrachtet.
Bilden der Resultierenden R1
im Abschnitt a und R2 im
Abschnitt b.
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
R2
b/ 2
M
_
Knick 1
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
Aufbringen der virtuellen
Verschiebungsgröße
_
(Knick der Größe 1 )
entgegengesetzt zur gesuchten
Kraftgröße und einzeichnen
der Verformungsfigur des
beweglichen Systems.
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
R2
b/ 2
r2
r
M
l
r1

_
Antragen der unbekannten
Verformungen und Winkel
an allen relevanten
Stellen.
1
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
M
r1
b/ 2
r2
r
_
1
l
R2

l
r
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
b
Bestimmung der Verformung
am Biegemomentengelenk
mit Hilfe des Strahlensatzes.
Die unbekannte Länge
unterhalb des Auflagers B
lässt sich durch die
_
Beziehung tan l  tan  r  1
bestimmen
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
R2
b/ 2
M
l
r1
r
r2

l
r
1
?
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
Detail: rechts
r
_
l
c
b
d
tan l 
b
tan r 
b
c
Bestimmung der
unbekannten Länge
unterhalb Auflager B.
d
tan  

1
tan r  tan l
Gegenkathe te
Ankathete
1
  c  d 
b
b  (tan r  tan l )  c  d
_
 b 1
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
R2
b/ 2
r2
r
M
l
r1

l
r
_
1 b
a

b
_

1 b
( a  b)
a
r1


a/2 a
r2


b/2 b
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
Mittels Strahlensatz lassen
sich die gesuchten
Verformungen bestimmen.



a b
( a  b)
a b
r1 
2(a  b)
a b
r2 
2(a  b)

UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Biegemoment M an der Stelle x = a
R1
a/2
R2
b/ 2
r2
r
M
l
r1

Arbeitssatz anwenden um
l
r
_
1 b
das gesuchte Moment
zu bestimmen.
a
b
_
 M  1 R1  r1  R2  r2  0
a b
a b
 q b
0
2( a  b )
2( a  b )
a b
a b
M  q
.(a  b)  q 
2( a  b )
2
_
 M  1 q  a 
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Bestimmung der Querkraft Q (x=a)
mit dem Prinzip der virtuellen Verrückung (PvV)
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
Lagerung der Originalsystems
übernehmen.
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
Durch das Einfügen des
korrespondierenden
Gelenkes an der Stelle x = a
wird die gesuchte Kraftgröße Q
ausgelöst.
Q
Q
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
b/ 2
R2
Q
Die Gleichlast wird für die
Bereiche links und rechts des
Gelenkes getrennt betrachtet.
Q
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
Bilden der Resultierenden R1
im Abschnitt a und R2 im
Abschnitt b.
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
b/ 2
R2
Q
_
Q
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
1
Aufbringen der virtuellen
Verschiebungsgröße_
(Sprung der Größe 1)
entgegengesetzt zur gesuchten
Kraftgröße.
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
_
b/ 2
R2
Q
_
Q
1
1
Verformungsfigur des
beweglichen Systems
einzeichnen
_
1
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
_
b/2
R2
Q
r1
_
Q
1
r2
1
Antragen der unbekannten
Verformungen.
_
1
a
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
b
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
_
b/2
R2
1
Q
r1
_
Q
r2
1
_
1
Mittels Strahlensatz lassen
sich die gesuchten
Verformungen bestimmen.
b
a
_
1
r
 1
ab a/2

_
a
r1 
1
2( a  b )

_
b
r2 
1
2( a  b )
_
1
r
 2
ab b/2
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN
Prinzip der virtuellen Verschiebung
Querkraft an der Stelle x = a
R1
a/2
_
b/2
R2
1
Q
r1
_
Q
1
Arbeitssatz anwenden um
r2
_
Querkraft Q zu bestimmen.
1
b
a
_
 Q  1 R1  r1  R2  r2  0
_
 Q  1 q  a 
_
_
a
b
 1 q  b 
1  0
2( a  b )
2( a  b )
q  a2
q  b2
Q

2( a  b ) 2( a  b )
q
Q
 (b 2  a 2 )
2( a  b )
LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK
UNIVERSITÄT SIEGEN