Bundna och obundna tillstånd.
Download
Report
Transcript Bundna och obundna tillstånd.
Bundna och obundna tillstånd.
U=∞
U=0
Ett förenklat fall är följande potentialbrunn:
U (x ) U0
0
, x 0
där U0 > 0
, 0x L
U = -U0
, x L
0
x
L
(Från detta förenklade fall kan vi dra slutsatser som senare kan appliceras på mer komplicerade potentialbrunnar i
t.ex. atomer och molekyler)
2
2
ˆψ(x ) d ψ(x ) U (x )ψ(x ) Eψ(x )
H
2m dx 2
Lösningar skall uppfylla Schrödingerekvationen (SE):
Rand- och kontinuitetsvillkor:
Bundna tillstånd
ψ(x 0) 0 ,
ψ(x L)
har E < U (x =∞) och kan inte nå x =∞
Obundna tillstånd har E > U (x =∞) och kan nå x =∞
och
dψ(x L)
kontinuerl iga
dx
ψ(x =∞) = 0
ψ(x =∞) ≠ 0
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Bundna tillstånd:
Studera lösningar i de tre delområdena längs x-axeln.
x < 0:
ψ=0
0 < x < L:
2 d 2ψ(x )
U0ψ(x ) Eψ(x )
2m dx 2
För bundna tillstånd är -U0 < E < 0
k0
2m
d 2ψ(x )
k02ψ(x ) där k02 2 (E U0 ) 0
dx 2
(inga lösningar finns med E < -U0 eftersom E = Ekin – U0 och Ekin 0)
2m (E U0 )
Vågfunktion:
ψ(x ) A sin k0x B cos k0x
B = 0 eftersom ψ(0) = 0
x > L:
2m ( E )
d 2ψ(x )
α2ψ(x ) där α
0
2
dx
2α2
E
2m
ψ(x ) C e αx D e αx
D = 0 eftersom ψ(∞) = 0
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
kontinuitet för ψ(x = L)
A sin k0L C e αL
kontinuitet för ψ’(x = L)
k0A cos k0L αC e αL
Dividera ekvationerna med varandra: k0 cot k0L -α
Icketriviala lösningar finns bara för vissa värden
på k0 och α kvantiserade energinivåer
Dessa värden beror av varandra genom
α
E
i enheter
av π/L
2α2 2k02
U0
2m
2m
Med w ur
U0
2w2
2m
k0 cot k0L -α
får vi ekv. systemet
Löses t.ex. grafiskt
k02 α2 w 2
I figuren ser vi att
π
w
inga lösningar
2L
π
3π
w
en lösning
2L
2L
i enheter av π/L
k0
3π
5π
w
2L
2L
två lösningar
...
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
I det klassiskt förbjudna området x > L är E < U (x), men kvantmekaniskt finns en
sannolikhet > 0 att hitta partikeln där:
2
ψ C e αx
δ = 1/α
2
kallas penetrationsdjupet
Bindningsenergin ges av (baserat på att ψ(x =∞) = 0 )
ε E
2α2
2
0
2m
2mδ2
Partikeln penetrerar djupare för låga bindningsenergier.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Obundna tillstånd
U=∞
E
Betrakta fallet E > 0
U=0
U = -U0
0
L
Antag att partiklar infaller från x = ∞ med
Ψ(x ,t ) ψ(x )e iEt /
och vågtal ur E
2k 2
2m
Tidsoberoende SE lösningar:
0 < x < L: som tidigare
x > L:
ψ’’ = -k 2 ψ
ψ(x ) A sin k0x
med k0
ψ(x) = C sin(kx + )
2m (E U0 )
(ingen cos komponent pga randvillkor i x =0)
där är ett fasskift
Kontinuitet i x = L hos ψ och ψ’ ger
A sin k0x C sinkx δ
ψ:
ψ':
k0 cot k0x k cotkx δ
Dividera
k0A cos k0x kC coskx δ
Lösningarna ger inte upphov till energikvantisering
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Vi kan skjuta in partiklar med vilken energi vi själva vill. För givet värde på E får vi k och k0 ur
E
2k02
2k 2
U0
2m
2m
Fasskiftet δ bestäms därefter ur
k0
cot k0L kL
k
k0 cot k0x k cotkx δ δ arc cot
Kollisionen ändrar inte partikelns energi (elastisk kollision),
men däremot ändras vågtal och hastighet:
v
p k
,
m m
v0
k0
m
,
x L
0 x L
Notera: k < k0 v0 > v , dvs partikeln färdas fortare i området med låg potential.
Naturligt eftersom Ekin = E – U är större desto mindre U är.
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Spridning mot potentialbarriär.
Potentialmodell (idealiserad):
UB
0
U (x )
U = UB
, 0x L
transmitterade
infallande
, för övrigt
U=0
reflekterade
0
x
L
Kvantmekaniskt kommer en partikel med vissa sannolikheter att reflekteras och transmitteras,
både för E > UB och E < UB vilket inte är klassiskt möjligt !!!
ψ(x ) Aeikx Be ikx ,
x < 0: Infallande fritt partikeltillstånd med energi E
infallande reflekterad
intensitet:
|A|2
E
2k 2
2m
|B|2
Inuti barriären 0 < x < L: (2 fall)
1) E U ψ'' κψ ,
B
E
2α2
UB
2m
E
2α2
UB
2m
ψ C ei αx D e i αx
2) E UB ψ'' κψ ,
ψ C e αx D e αx
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
x > L: Transmitterad partikel
ψ(x ) Feikx
intensitet:
|F|2
Notera: U (x) =0 både för x < 0 och x > L ger samma k
Vi kan då definiera
2
Transmissionskoefficienten
T
F
2
A
Reflektionskoefficienten
R
B
2
A
2
En inkommande partikel måste antingen reflekteras eller transmitteras T + R = 1
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Tunnling.
U = UB
E
Intressanta fallet: E < UB
U=0
U=0
0
x
L
Kontinuitet hos ψ(x) och ψ’(x) ger
x 0 A B C D
(1)
ikA ikB κC κD
x L C e
αL
D e
αC e
αL
αL
F e
αD e
αL
(2)
ikL
(3)
ikF e
ikL
( 4)
Ur dessa ekvationer vill vi nu få ett förhållande mellan F och A för att beräkna transmissioskoefficienten
Eliminera B ur (1) & (2):
2ikA (α ik )C (α ik )D
αL
Eliminera D ur (3) & (4):
2αCe
Eliminera F ur (3) & (4):
α ik Ce
(α ik )Fe
αL
ikL
(α ik )De
(6)
αL
0
α ik
D
C e 2 αL
α ik
(7 )
2ikA (α ik )C (α ik )D
Insättning av 6 & 7 i 5 ger:
(5)
(α ik )2
(α ik )2
F e(ikL αL )
F e(ikL αL )
2α
2α
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH
Vi kan nu beräkna
T
4
2
F
2
A
k
α2k 2
2
α2
sinh2 (αL) 4
k
2
R
α2k 2
2
α2
2
2
B
1 T
2
A
sinh2 (αL)
α2k 2
sinh2 (αL) 4
2
k α2
2
Om vi istället tar fram en approximativ lösning som gäller för en bred barriär: L >> 1/α
e 2αL 1
D C
enl (7)
(5) 2ikA α ik C
(6) F eikL
T
4ikα
A e αL
α ik
2
F
16α2k 2 2αL
e
2
A
k 2 α2 2
med k 2
2mE
2
och α2
2m UB E
2
T
16E UB E
UB 2
e 2αL
Approximativt giltig då e 2αL 1
Det exponetiella beroendet på inträngningsparameter α och bärriärvidden L är viktiga
egenskaperna hos tunnling
SH1009, modern fysik, VT2013, KTH