Transcript tallinjen mm år 8

1
Mer om tal
Mål
K
1
När eleverna har studerat det här kapitlet ska de:
• kunna multiplicera och dividera med positiva tal mi ndre än 1
• veta vad ett negativt tal är
• kunna addera och subtrahera negativa tal
• kunna skriva tal i potensform
Ingressen
Ingressen tar upp talet åtta på olika sätt. Att kunna betydelsen av ord som t.ex.
okto ger en kunskap som kan generera ny kunskap i många olika sammanhang.
Att oktober var den åttonde månaden i den romerska kalendern är då inte så
konstigt. November var den nionde månaden och december den tionde. Jämför
med deci–tiondel, deca–tio och decennium–årtionde.
Den klassiska historien om riskornen på schackbrädet introducerar potenser som
tas upp i kapitlet. I Utmaningen, som ligger sist i kapitlet, ska eleverna på olika
sätt räkna ut hur mycket ris det blir. I Verktygslådan får man tips om hur beräkningarna kan göras med hjälp av Excel. Det är inte ovanligt att en del elever kastar sig över problemet och vill räkna hur mycket ris det är på brädet redan när
de läser ingressen. Ta då vara på intresset. Varför inte låta dem göra utmaningen först?
Grunddel
Sidan 8. I vårt talsystem, tiosystemet, har vi 10 siffror och med dessa siffror kan vi
skriva oändligt många tal. 8 kan vara både en siffra och ett tal medan 88 är ett tal
som består av två siffror.
En del elever har svårt att förstå tal skrivna med decimaler. Det bottnar antagligen i en brist i förståelsen för hur vårt talsystem är uppbyggt. En bra övning är
att låta dessa elever arbeta med tallinjer. Använd gärna Arbetsbladen 1:1 och 1:2.
Låt dem också själv rita tallinjer och markera olika decimaltal. I Lärarhandledningen för år 7 finns det fler tallinjer på Arbetsblad 1:3 och 1:4.
Sidorna 12–13. Att något kan bli större när man dividerar har många elever har
svårt att acceptera. Det är inte heller så konstigt. Om man enbart tänker på division som ”delningsdivision” så är det riktigt att det inte kan bli större när man
delar. Det går heller inte att dela något 0,5 gånger.
För att division med ett positivt tal mindre ett ska ha en innebörd måste man
istället tänka på divisionen som en innehållsdivision. Man får tänka: ”Hur många
gånger går det i ….”. ”Hur många får plats i…”.
Följande exempel visar skillnaden mellan ”delningsdivision” och ”innehållsdivision”.
Mer om tal
11
”Delningsdivision”
”Innehållsdivision”
Ett rep som är 21 m långt ska
delas i 7 lika långa bitar. Hur lång
blir varje bit?
21 m
=3m
7
Hur många bitar som är 7 m kan
man få ut av ett rep som är 21 m
långt?
21 m
= 3 st
7m
Härifrån är det lätt att gå över till division med positiva tal som är mindre än 1.
Hur många bitar som är 0,7 m kan man få ut av ett rep som är 21 m långt?
21 m
= 30 st
0,7
Sidan 14. Här visas hur man kan skriva om bråk så att nämnaren blir ett heltal.
Introduktionen med enhetsbyte gör att eleverna lättare kan förstå att värdet på
bråket är detsamma när man multiplicerar eller dividerar täljare och nämnare
med samma tal. För mer övningar använd Arbetsblad 1:4.
K
1
Sidan 15. Multiplikation och division av positiva tal mindre än 1 i praktisk
användning. Fler övningar på att räkna ut priset och jämförpriset finns på
Arbetsblad 1:5 och 1:6.
Sidorna 16–19. Negativa tal är något som många elever har svårt att acceptera.
Inte kan väl något vara mindre än noll? Dessa elever är verkligen i fint sällskap.
De flesta matematiker på 1500- och 1600-talet kände till negativa tal, men vägrade att acceptera dem som tal eller som lösningar till ekvationer. Man kallade dem
för ”absurda” eller ”uppdiktade” tal. Varken Descartes eller Fermat accepterade
dem som tal, eftersom man ansåg det absurt att försöka ta bort 4 från 2. Francis
Masères skrev 1759 att ”negativa rötter endast krånglar till det som egentligen är
enkelt”. Han önskade att ”negativa tal aldrig hade tillåtits i algebran och att de
borde förvisas därifrån”. (Nystedt: ”På tal om tal”.)
Vi introducerar negativa tal med exempel ur elevens vardag: Man kan ligga
minus på kontot. För att eleverna sedan ska kunna få en bild av de negativa talen
är det viktigt att de kan placera dem på tallinjen och då är en termometer ett
utmärkt exempel. Vi har valt att skriva de negativa talen med parentes, t.ex. (–3),
för att skilja de negativa talen från vanlig subtraktion.
På grunddelen nöjer vi oss med att räkna addition och subtraktion med negativa
tal. På Arbetsblad 1:8 finns fler övningar till att ”minus minus blir plus”.
På Arbetsblad 1:7 finns ett spel som övar addition och subtraktion med negativa
tal. Låt eleverna spela spel. De uppskattas nästan alltid och har en hög inlärningseffekt, speciellt om man gör eleverna uppmärksamma på vilken matematik
man vill lära ut genom spelet.
Sidan 20. Här introducerar vi tal i potensform. Mer om tiopotenser kommer i
kapitel 7. Det är bra om eleverna inser vad potensform innebär innan de arbetar
med tiopotenser. Annars blir det lätt att 23 kan bli 2 000. Eleverna tror att exponenten visar antalet nollor och inser inte att det endast gäller i specialfallet där
basen är 10.
Arbeta tillsammans
Sidan 9. Luffarschack med tal. Spelet är en introduktion till multiplikation med
positiva tal mindre än 1. Låt eleverna spela spelet! Det är mycket väl använd tid
eftersom de flesta av eleverna verkligen lär sig att multiplicera med positiva tal
mindre än 1 under spelets gång.
12
Mer om tal
Facit till diagnosen
Kommentar till uppgift 13 på diagnosen: En del elever kan behöva hjälp med vilket tal som ska stå istället för rutan. De kan sedan ta reda på vilket av uttrycken
som är lika stort som talet i rutan.
1 a) 1,1
b) 32
c) 8050
d) 0,62
s 24–25
2 a) 1,2
b) 4,05
c) 0,76
d) 2,4
s 24–25
3 a) 1,2
b) 0,34
c) 0,2
d) 1,2
s 26
4 a) 48 kr
b) 12,80 kr
c) 3,20 kr
s 27
5 a) 2 st
b) 10 st
c) 100 st
s 28
6 a) 28
b) 270
c) 800
s 28
7 a) 24,544
b) 304,44
c) 482,38
8 a) 37
b)
0,1
59
1,03
s 28
9 23°
10 (–12)
K
1
s 30
(–3)
0,7
47
11 a) 7
b) (–7)
12 a) 35
b) 73
13 a) 103
b) 42 + 1
s 29
c) 30
s 30
s 31
c) 53 –52 + 1
d) 34 – 62 – 5
s 31
Facit till kluringar
•
Hur gamla är dina barn?
Svar: Skriv upp multiplikationen av tre heltal vars produkt blir 36.
Skriv också upp summan av de tre talen:
1 · 1 · 36
1 + 1 + 36 = 38
1 · 2 · 18
1 + 2 + 18 = 21
1 · 3 · 12
1 + 3 + 12 = 16
1·4·9
1 + 4 + 9 = 14
1·6·6
1 + 6 + 6 = 13
2·2·9
2 + 2 + 9 = 13
2·3·6
2 + 3 + 6 = 11
3·3·4
3 + 3 + 4 = 10
Då finner man att både 1 · 6 · 6 och 2 · 2 · 9 ger summan 13. Det är den enda
summan som förekommer mer än en gång, det är därför som B inte klarar av att
svara på frågan utifrån husnumret. Husnumret bör alltså varit 13.
När han får ledtråden att det äldsta barnet är en flicka förstår han att barnen är
2 år, 2 år och 9 år. I det andra alternativet är det ju tvillingar som är äldst.
Mer om tal
13
•
Fisken
•
Kluring på engelska
Mandys gammelfarfar brukade säga att han var A år gammal året A2. Vilket år
föddes han? Ledtråd: A är ett tal mellan 40 och 50.
Lösning:
Man prövar sig fram genom att kvadrera 41, 42, 43 osv. 41, 42 och 43 innebär
att gammelfarfar skulle vara född 1681, 1764 eller 1844. Eftersom han står och
berättar detta, är det en omöjlighet. 44 ger år 1936. 45 och äldre ger ett årtal som
innebär att gammelfarfar ännu inte skulle vara född. Han är alltså född 1892.
K
1
Blå kurs
Fler övningar med fokus på talsystemet. Komplettera gärna med Arbetsbladen
som hör till kapitlet.
Röd kurs
Det är bra om eleverna arbetar med uppslagen i bokens ordning.
Sidorna 32–33 behandlar räkning med potenser. Fler övningar på Arbetsblad 1:9.
Sidorna 34–36 behandlar multiplikation och division med negativa tal. Fler
övningar på Arbetsblad 1:10.
Sidan 37 presenterar övningar på Fibonacci-tal. Det finns många olika övningar
på Fibonacci-tal i Bengt Ulins bok: ”Att finna ett spår”.
Sidorna 38–39. Uppslaget kan vara en utmaning även för de duktiga. Eleverna är
säkert bekanta med det binära talsystemet med ettor och nollor. Det blir svårare
när man inför ett annat talsystem, t.ex. femsystemet. Att omvandla från tiosystemet till femsystemet är lätt om man använder samma metod som i det lösta
exemplet överst på sidan 39, som omvandlar från tiosystemet till tvåsystemet.
Uppgift 49 a) löses då på följande sätt:
65
= 13
5
rest 0
13
=2
5
rest 3
2
=0
5
rest 2
65tio= 230fem
Utmaning
1 Överslaget ger 9 232 000 000 000 000 000 st riskorn på brädet. Räknar man
exakt blir svaret 9 223 372 036 854 780 000 st riskorn på den sista rutan.
2 Överslaget ger 18 464 000 000 000 000 000 st på den sista rutan. Exakt blir
svaret 18 446 744 073 709 600 000 st riskorn på brädet.
3 Riset skulle väga 184,5 miljarder ton.
4 Alla människor på jorden skulle få ca 30 ton ris var.
5 Cirka 300 år.
14
Mer om tal
Arbetsblad
Innehållsförteckning över Arbetsblad och koppling till motsvarande sidor i boken.
Namn
Sid
Nivå
1:1
Tal i decimalform
8, 24
blå
1:2
Decimaltal på tallinjen
8, 24
blå
1:3
Multiplikation med positiva tal mindre än 1
10-11, 26
blå–grön
1:4
Division med positiva tal mindre än 1
12–14, 28
grön
1:5
Räkna ut vad det kostar
15, 27
blå–grön
1:6
Räkna ut jämförpriset
15
grön
1:7
Vilken skillnad!
18-19, 30
grön
1:8
Räkna med tal i potensform
32–33
röd
1:9
Räkna med negativa tal
34–36
röd
Mer om tal
K
1
15
Arbetsblad 1:1
Tal i decimalform
34 tiondelar
567 tusendelar
103 hundradelar
102 hundradelar
2 004 tusendelar
d
Hu ela
nd r
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
on
Hu
de
on
Ti
En
3 047 tusendelar
7 tusendelar
27 tiondelar
10 tusendelar
48 tiondelar
100 tusendelar
123 hundradelar
450 tusendelar
375 hundradelar
983 tusendelar
462 tusendelar
1 003 tusendelar
6 tusendelar
75 tusendelar
11 tiondelar
Hu
de
la
3 tusendelar
on
l
F
Ti
Ti
nd
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
98 hundradelar
ta
Ti
la
84 tusendelar
r
11 hundradelar
ta
l
65 hundradelar
on
d
Hu ela
nd r
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
8 hundradelar
l
12 tiondelar
ta
Ti
ta
En
E
2 hundradelar
En
nd
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
34 hundradelar
r
15 tiondelar
Mer om tal
ta
l
2 tusendelar
on
d
Hu ela
nd r
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
10 tiondelar
l
5 hundradelar
C
16
6 tiondelar
9 tiondelar
B
En
Ti
0, 5
D
En
5 tiondelar
En
A
ta
l
K
1
on
d
Hu ela
nd r
r
Tu a d e
se
la
r
nd
el
ar
Skriv talen i decimalform. Skriv siffrorna i rätt position.
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 1:2
Decimaltal på tallinjen
Skriv rätt tal på linjen.
1
▼
▼
▼
▼
0
2
▼
▼
0
▼
▼
▼
▼
▼
▼
2
➤
3
5
▼
▼
2,6
▼
▼
➤
2,7
▼
1,1
▼
▼
1,2
7
▼
▼
▼
3,2
▼
▼
▼
▼
➤
0,02
▼
5,24
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
▼
▼
5,25
➤
➤
3,3
0,01
9
➤
1
▼
8
➤
2
0
6
▼
1
3
4
➤
1
▼
K
1
➤
Mer om tal
17
Arbetsblad 1:3
0,1 =
1
10
0,01 =
1
100
0,5 =
1
2
Multiplikation med positiva tal mindre än 1
Räkna med huvudräkning. Rätta sedan med din räknare.
1
K
1
2
a) 0,1 · 4 =
3
5
a) 0,01 · 6 =
b) 0,1 · 8 =
b) 0,01 · 9 =
b) 0,5 · 18 =
c) 0,1 · 23 =
c) 0,01 · 67 =
c) 0,5 · 90 =
a) 0,1 · 54 =
4
a) 0,01 · 124 =
6
10
a) 0,5 · 1,2 =
b) 0,1 · 6,3 =
b) 0,01 · 40,2 =
b) 0,5 · 12,2 =
c) 0,1 · 20,4 =
c) 0,01 · 607 =
c) 0,5 · 0,4 =
4 · 5 = 20
7
a) 0,5 · 12 =
a) 3 · 4 =
8
9
a) 6 · 8 =
0,4 · 5 = 2
a) 8 · 0,2 =
b) 0,3 · 4 =
b) 0,6 · 8 =
b) 6 · 0,4 =
c) 0,3 · 0,4 =
c) 0,6 · 0,8 =
c) 7 · 0,7 =
a) 9 · 0,2 =
11
a) 0,9 · 0,2 =
12
0,4 · 0,5 = 0,2
a) 0,3 · 0,5 =
b) 6 · 0,3 =
b) 0,6 · 0,3 =
b) 0,9 · 0,9 =
c) 7 · 0,6 =
c) 0,7 · 0,6 =
c) 0,6 · 0,6 =
13
a) 3,25 · 0,1 =
b) 80,56 · 0,1 =
c) 40,3 · 0,01 =
14
a) 0,03 · 2 =
b) 0,03 · 5 =
c) 0,03 · 12 =
15
a) 0,8 · 5 =
b) 0,7 · 0,6 =
c) 7 · 0,03 =
16
a) 45 · 0,2 =
b) 0,04 · 0,3 =
c) 0,8 · 0,02 =
17
a) 0,15 · 3 =
b) 0,25 · 4 =
c) 0,12 · 0,4 =
18
Mer om tal
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 1:4
Division med positiva tal mindre än 1
Skriv om bråket så att nämnaren blir ett heltal.
Multiplicera täljare och nämnare med 10, 100 eller 1 000.
5,6
5,6 · 10
56
=
=
= 14
0,4
0,4 · 10
4
1
a)
6
=
0,1
b)
9
=
0,1
2
a)
3
=
0,01
b)
45
=
0,01
3
a)
0,6
=
0,1
b)
35
=
0,01
4
a)
4,5
=
0,5
b)
7,5
=
0,5
5
a)
4,2
=
0,3
b)
5,4
=
0,6
6
a)
7,2
=
0,8
b)
7,2
=
0,4
7
a)
3,2
=
0,04
b)
6,4
=
0,08
8
a)
4,05
=
0,05
b)
1,08
=
0,03
9
a)
5,04
=
0,08
b)
5,22
=
0,06
10
a)
0,36
=
0,003
b)
4,5
=
0,005
11
a)
0,48
=
0,008
b)
0,18
=
0,006
12
a)
3,6
=
0,003
b)
0,45
=
0,015
13
a)
1,75
=
0,7
b)
3,06
=
0,09
14
a)
0,272
=
0,08
b)
0,324
=
0,06
15
a)
31,32
=
0,4
b)
5,95
=
0,007
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
K
1
Mer om tal
19
Arbetsblad 1:5
Räkna ut vad det kostar
Exempel
Kilopriset för äpplen är 15 kr/kg. Det betyder att 1 kilo äpplen kostar 15 kr.
325 gram kostar 0,325 · 15 kr =
K
1
1
2
3
4
5
Skriv vikten i kilo och multiplicera med kilopriset.
Hur mycket kostar
a) 3 kg _________________
c) 200 g __________________
b) 0,5 kg ________________
d) 3 hg __________________
Hur mycket kostar
a) 2,5 kg _______________
c) 475 g __________________
b) 0,4 kg ________________
d) 6 hg ___________________
Hur mycket kostar
a) 0,8 kg ________________
c) 625 g __________________
b) 0,75 kg _______________
d) 4,5 hg _________________
Hur mycket kostar
a) 1,4 kg ________________
c) 890 g __________________
b) 0,25 kg _______________
d) 7,4 hg _________________
Hur mycket kostar
a) 3 hg _________________
c) 1 245 g ________________
b) 645 g ________________
d) 705 g __________________
Här är jämförpriset
per hekto!
20
Mer om tal
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 1:6
Räkna ut jämförpriset
Läsk säljs i olika storlekar och förpackningar.
Det är ofta stor skillnad i literpris!
1
a) Hur många flaskor finns i en back? ______________
K
1
b) Varje flaska rymmer 33 cl. Hur många liter läsk
innehåller en back?________________________
c) Vad blir literpriset om man köper en back läsk? _______________________
2
a) Hur många förpackningar Mer behöver man
för att det ska bli en liter? ____________________
b) Vad är literpriset för Mer? _____________________
3
a) Vad är literpriset för halvlitersläsken? ___________________
b) Vad är literpriset för den stora läskflaskan? ___________________
kr / kg
Skriv om vikten till kilo och
dela priset med vikten så får
du kilopriset.
Vad blir kilopriset för
a) 300 grampåsen ___________________________________
b) 250 grampåsen ___________________________________
Exempel
450 g ostbågar kostar 32 kr.
450 g = 0,45 kg
32
≈ 71
0,45
Kilopriset är 71 kr.
c) 130 grampåsen ___________________________________
Vad blir kilopriset för
a) popcornpåsen ___________________________________
b) spispopcorn ______________________________________
c) micropopen _____________________________________
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
Mer om tal
21
Arbetsblad 1:7
Vilken skillnad!
2–(–3)=5
Temperaturskillnad
Vilken temperaturskillnad är
det mellan 2 °C och (–3) °C?
K
1
2 – (–3) = 2 + 3 = 5 °C
(–4)–(–10)=6
Vilken temperaturskillnad är
det mellan (–4) °C och (–10) °C?
(–4) – (–10) = –4 + 10 = 6 °C
1
Vilken är temperaturskillnaden mellan
a) 12 °C och 4 °C
_________________________
b) 4 °C och (–5) °C
_________________________
c) (–3) °C och (–10) °C
_________________________
Räkna ut
22
2
a) 4 – (–3) =
b) 5 – (–3) =
c) 14 – (–6) =
3
a) 10 – (–7) =
b) (–10) – (–7) =
c) (–3) – (–15) =
4
a) (–12) – (–25) =
b) (–9) – (–13) =
c) (–14 ) – (–23) =
5
a) (–8) – (–5) =
b) 45 – (–13) =
c) (–12) – (–50) =
6
a) 89 – (–15) =
b) (–92) – (–12) =
c) (–43) – (–22) =
7
a) 12 – (–18) =
b) (–65) – (–50) =
c) (–108 ) – (–220) =
Mer om tal
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
Arbetsblad 1:8
Räkna med tal i potensform
Skriv som en potens.
1
a) 24 · 23 =
b) 27 · 25 =
c) 68 · 63 =
2
a) 0,43 · 0,47 =
b) 0,75 · 0,73 =
c) 0,96 · 0,93 =
3
a) y6 · y5 =
b) z3 · z12 =
c) p2 · p7 =
K
1
Räkna ut och skriv på vanligt sätt.
4
a) 51 · 53 =
b) 102 · 104 =
5
a) 123 · 114 =
b) 22 · 23 =
Skriv som en potens.
6
a)
68
=
65
b)
64
=
63
c)
85
=
82
7
a)
0,48
=
0,45
b)
1118
=
1112
c)
103
=
103
8
a)
a4 =
a2
b)
x8 =
x6
c)
y6 =
y6
Skriv först som en potens och räkna sedan ut.
9
a)
26 · 23
=
25
b)
10
a)
177
=
173 · 174
b)
125 · 123
=
126
58
52 · 54
=
Tänk dig för!
Räkna ut.
11
a) 103 + 53 =
b) 81 + 252 – 33 =
12
a) 20 · 44 =
b) 0,52 + 30 – 0,12 =
13
a)
26 + 82
=
103
b)
92
=
2 + 60
14
a)
16 · 106
=
103
b)
22 + 62
=
102
15
a)
86 · 84
810
b)
42 + 24
=
52 + 7
=
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna
3
Mer om tal
23
Arbetsblad 1:9
Räkna med negativa tal
1
a) 14 + (–8) =
b) 32 + (–15) =
2
a) 25 – (–14) =
b) 89 – (–16) =
3
a) (–52) + (–24) =
b) (–45) + (–23) =
4
a) (–24) – ( –32) =
b) (–65) – (–32) =
5
a) 17 – (–12) =
b) (–18) – (–8) =
6
a) 5 · (–3) =
b) (–5) · (–3) =
c) 8 · (–5) =
7
a) (–8) · (–4) =
b) 6 · (–7) =
c) (–6) · (–5) =
8
a) (–2)2 =
b) (–2)3 =
c) (–2)4 =
9
a)
(–12)
=
4
b)
(–49)
=
(–7)
c)
36
=
(–4)
10
a)
(–18)
=
(–2)
b)
56
=
(–8)
c)
(–60)
=
12
11
a) 8 · (–8) +
12
a)
150
+ (–6 ) · (–4) –12 =
(–3)
b) 16 + (–10 ) + 2,5 · (–3) –
13
a)
(–36)
65
+
+ (–5)2 =
(–12)
(–13)
b)
K
1
24
Mer om tal
(–80)
– (–80) =
10
b) 12 · (–3) –
16
+12 =
(–2)
(–8)
=
4
7
+ 0,1 · (–82) – (–200) =
(–0,1)
© Matte Direkt år 8, Bonnier Utbildning och författarna