Transcript TENTAMEN - emmawiki

TENTAMEN
Matematiska institutionen
Optimeringsl¨ara
TAOP14/TEN1
¨
OPTIMERINGSLARA
GRUNDKURS f¨
or I och Ii
Datum:
Tid:
Hj¨
alpmedel:
Antal uppgifter:
24:e augusti 2012
08.00–13.00
Kurslitteratur av Lundgren m fl:
Optimeringsl¨ara gamla upplagan med h˚
ard p¨arm
Optimeringsl¨ara nya upplagan med mjuk p¨arm
Optimeringsl¨ara ¨ovningsbok
¨
Aldre
kurslitteratur kan f˚
a medtagas efter
tillst˚
and av examinator.
Mindre anteckningar, samt markering av sidor med sm˚
a
lappar med en kort notering p˚
a f˚
ar f¨orekomma i b¨ockerna.
6
Uppgifterna ¨ar inte ordnade efter sv˚
arighetsgrad.
Varje uppgift kan ge h¨ogst 3 eller 4 po¨ang.
F¨or godk¨ant kr¨avs 8 po¨ang.
Torbj¨orn Larsson
Torbj¨orn Larsson 013-28 24 35
Examinator:
Jourhavande l¨
arare:
Resultat meddelas per e-post
Tentamensinstruktioner
N¨
ar Du lo
¨ser uppgifterna
Redovisa Dina ber¨akningar och Din l¨osningsmetodik noga.
Motivera alla p˚
ast˚
aenden Du g¨or.
Anv¨and alltid de standardmetoder som genomg˚
atts p˚
a f¨orel¨asningar och lektioner.
Skriv endast p˚
a ena sidan av l¨osningsbladen. Anv¨and inte r¨odpenna.
Behandla ej fler ¨an en huvuduppgift p˚
a varje blad.
Vid skrivningens slut
Sortera Dina l¨osningsblad i uppgiftsordning.
Markera p˚
a omslaget de uppgifter Du behandlat.
Kontrollr¨akna antalet inl¨amnade blad och fyll i antalet p˚
a omslaget.
TAOP14
Tentamen 24:e augusti 2012
Uppgift 1.
Ett kl¨adf¨oretag st˚
ar inf¨or uppgiften att planera sin produktion av tre olika plagg f¨or
de kommande tv˚
a m˚
anaderna. F¨or att tillverka ett kl¨adesplagg beh¨ovs tv˚
a resurser.
Dels kr¨avs en viss m¨angd tyg och dels en viss tid f¨or att sy upp plagget. ˚
Atg˚
angen av
tyg och sytid ¨ar densamma f¨or de b˚
ada m˚
anaderna, medan tillg˚
angen och produktionskostnaden d¨aremot ¨andrar sig mellan m˚
anaderna. Tillg˚
angen p˚
a tyg ¨ar 1900 och
1800 enheter i m˚
anad 1 respektive m˚
anad 2. Tillg˚
angen p˚
a produktionstid ¨ar 2500
¨
respektive 2400 enheter i de tv˚
a m˚
anaderna. Ovrig information finns sammanst¨alld
i Tabell 1 nedan.
Byxa
Tr¨oja
Kavaj
Kostnad
1
2
60
75
50
40
100
75
Efterfr˚
agan
1
2
100
200
200
400
200
300
˚
Atg˚
ang
Tyg Sytid
3
3
2
3
2
4
Lagerplats
1.5
0.9
2.2
Tabell 1: Kostnader, efterfr˚
agan, ˚
atg˚
ang, och lagerplats f¨or de olika plaggen.
F¨oretaget kan ¨overproducera plagg en m˚
anad och spara dessa till n¨asta m˚
anad i
ett lagerutrymme. Plaggen tar upp olika mycket plats, enligt Tabell 1, och lagrets
kapacitet ¨ar begr¨ansat till 240 enheter varje m˚
anad. Vid b¨orjan av f¨orsta m˚
anaden
anadens slut.
¨ar lagret helt tomt, och det ska ¨aven vara helt tomt vid den andra m˚
Formulera en linj¨ar optimeringsmodell f¨or f¨oretagets problem att best¨amma den
produktion av varor som minimerar tillverkningskostnaderna och tillgodoser den
givna efterfr˚
agan.
(3p)
Uppgift 2.
a) L¨os f¨oljande linj¨ara optimeringsproblem med simplexmetoden.
z ∗ = max z = 3x1 + 5x2 + 8x3
d˚
a x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 48
x1 + 2x2 + 4x3 ≤ 60
x1 , x2 , x3 ≥ 0
(2p)
b) Teckna komplementvillkoren och anv¨and dessa f¨or att ber¨akna den optimala
duall¨osningen.
(1p)
2
TAOP14
Tentamen 24:e augusti 2012
Uppgift 3.
Betrakta optimeringsproblemet
max z = 12x1 + 20x2 + 15x3
d˚
a
2x1
x1
+
+
x1
,
5x2
x2
x2
x2
+
+
3x3
x3
,
x3
≤ 49
≤ 12
≤ 5
≥ 0
som med slackvariablerna s1 , s2 och s3 har f¨oljande optimaltabl˚
a.
x1
x2
x3
s1
s2
s3
¯b
3
0
0
0
15
5
205
s1 −1
0
0
1
−3
−2
3
x3
1
0
1
0
1
−1
7
x2
0
1
0
0
0
1
5
z
a) Best¨am intervallet f¨or h¨ogerledet b2 inom vilket den aktuella basl¨osningen ¨ar
fortsatt optimal.
(1p)
b) Best¨am intervallet f¨or m˚
alfunktionskoefficienten c2 inom vilket den aktuella
basl¨osningen ¨ar fortsatt optimal. Vad kan man f¨oruts¨aga om det optimala
m˚
alfunktionsv¨ardet d˚
a v¨ardet p˚
a c2 ¨andras till 10?
(2p)
c) L¨os problemet f¨or c2 = 10 utg˚
aende fr˚
an den givna optimaltabl˚
an. St¨ammer
det optimala m˚
alfunktionsv¨ardet med f¨oruts¨agelsen?
(1p)
3
TAOP14
Tentamen 24:e augusti 2012
Uppgift 4.
a) Avg¨or om problemet
min f (x, y) = e|x−6| + x2 + 4y 2 − 4xy − 6y
d˚
a
(
|x − 3| + |y − 4|
2
x + y
2
≤
2
− 6x − 7y ≤ −18
¨ar konvext eller ej. F¨or funktioner med en variabel r¨acker det med grafiska
funktionsstudier f¨or att avg¨ora konvexitetsegenskaper.
(2p)
b) L˚
at de tv˚
a funktionerna f1 (x) och f2 (x) b˚
ada vara konvexa och definierade p˚
a
den konvexa m¨angden X. Visa att funktionen g(x) = f1 (x) · f2 (x) d˚
a alltid a¨r
konvex p˚
a X eller ge ett motexempel till att detta alltid g¨aller.
(2p)
Uppgift 5.
Givet det obegr¨ansade konvexa problemet
min2 f (x) = 8x21 + 4x1 x2 + 5x22
x∈R
med den station¨ara punkten (0, 0)T .
a) Antag att detta problem angrips med brantaste lutningsmetoden fr˚
an start1
1 T
0
punkten x = ( 2 , − 2 ) . Visa att brantaste lutningsriktningen inte pekar mot
den station¨ara punkten.
(1p)
b) G¨or variabeltransformationen
x1 = y1 + 2y2
x2 = 2y1 − 2y2 .
L˚
at g(y) = f (x(y)) och betrakta problemet
min g(y).
y∈R2
Visa att brantaste lutningsmetoden finner en station¨ar punkt till g(y) p˚
a en
iteration, oberoende av startpunkt.
(2p)
4
TAOP14
Tentamen 24:e augusti 2012
Uppgift 6.
Betrakta problemet
max f (x) = λ(−x1 + x2 ) + (1 − λ)(2x1 + x2 )
d˚
a x21 + 6x2 ≤ 33
−4x1 + x22 − 2x2 ≤ −4,
d¨ar parametern λ ∈ [0, 1]. Observera att problemets m˚
alfunktion kan tolkas som en
konvexkombination av tv˚
a olika m˚
alfunktioner.
a) Teckna Karush-Kuhn-Tucker-villkoren f¨or problemet.
b) Visa att f¨or λ =
2
3
¨ar x¯ = (3, 4)T en Karush-Kuhn-Tucker-punkt.
c) F¨or vilka v¨arden p˚
a λ ∈ [0, 1] ¨ar x¯ en Karush-Kuhn-Tucker-punkt?
5
(1p)
(1p)
(2p)