Transcript PDF 2x2

vi har tv˚
a koordinatsystem, ett i vila och ett annat som r¨or sig med den konstanta hastigheten u.
17. Elektrodynamik och den speciella relativitetsteorin
Om vi v¨aljer koordinataxlarna i det ena systemet s˚
a att u ¨ar i riktningen x, s¨ager Galileitransformatinen att koordinaterna och tiden i det r¨orliga systemet 0 (prim) beror p˚
a det i det or¨orliga
som
[RMC 12; Jackson 11, Riskas anteckningar]
0
=
x − ut
(17.2)
y
0
=
y
(17.3)
z
0
=
z
(17.4)
0
=
t
(17.5)
x
t
(17.6)
Maxwell-ekvationerna leder som sagt till v˚
agekvationen. D˚
a ¨ar en naturligt fr˚
aga huruvida
v˚
agekvationen
1 ∂ 2φ
2
∇ φ= 2 2
(17.7)
c t
¨ar invariant under Galilei-transformationen?
Det ¨ar enkelt att visa att den inte ¨ar det. Om man t.ex. ers¨atter tidsderivatan med den i det primade
systemet (beaktande bara de transformerande x och t-riktningarna):
∂
∂x0 ∂
∂t0 ∂
∂
∂
=
+
=u 0+ 0
∂t
∂t ∂x0
∂t ∂t0
∂x
∂t
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.1
17.1. Historisk ¨
overblick
Det har redan flera g˚
anger under kursen dykt upp ekvationer som baserar sig p˚
a Maxwells ekvationer,
men liknar f¨orbluffande mycket ekvationer i den speciella relativitetsteorin. Detta ¨ar inte en slump.
Orsaken ¨ar att de tv˚
a teorierna h¨anger n¨ara ihop, och att i sj¨alva verket historiskt sett var det det
elektrodynamiken som ledde till den speciella relativetsteorin.
I det f¨
oljande ges det en ¨oversikt ¨over hur detta skedde.
Kring ˚
ar 1900 var den klassiska elektrodynamikens alla huvuddrag utvecklade, s˚
asom beskrivits
tidigare under denna kurs. En av de centrala dragena var ju insikten att Maxwells ekvationer leder
till en v˚
agekvation, som beskriver v˚
agor som fortskrider i vakuum med hastigheten
c=√
1
0µ0
(17.1)
D˚
a normala v˚
agor (till p˚
a havet eller i luften) ju som k¨ant r¨or sig i ett v¨aldefinierat material, ledde
beskrivning av v˚
agor i vakuum till hypotesen att universum inneh˚
aller ett medium, “etern”, som
finns ¨
overallt och vars vibrationer m¨ojligg¨or de elektromagnetiska v˚
agornas framskridning i det.
Eterhypotesen i sin tur leder till att det finns en unik referensfram, den d¨ar etern ¨ar i vila (station¨art).
Den andra centrala teorin p˚
a 1800-talet var ju Newtons mekanik. F¨or den g¨aller att
r¨
orelseekvationerna ¨ar of¨or¨andrade under Galilei-transformationen. Detta kan uttryckas s˚
a att
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.2
(17.8)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
∂
∂x0 ∂
∂t0 ∂
∂
∂t ∂t0 ∂
∂
1 ∂
=
+
=
+
=
+
0
0
0
∂x
∂x ∂x
∂x ∂t
∂x
∂x ∂t ∂t0
∂x0
u ∂t0
ser man att den nya v˚
agekvationen skulle bli (i x- och t-koordinater):
„
«„
«
„
«„
«
∂
∂φ
1
∂
∂φ
1 ∂
1 ∂φ
∂
∂φ
=
u
u
+
+
+
+
∂x0
u ∂t0
∂x0
u ∂t0
c2
∂x0
∂t0
∂x0
∂t0
∂ 2φ
1 ∂ 2φ
1 ∂ 2φ
1 ∂ 2φ
1
+
+
+
= 2
∂x02
u ∂x0∂t0
u ∂t0∂x0
u2 ∂t02
c
(1 −
17.3
(17.9)
(17.10)
!
φ
∂ 2φ
∂ 2φ
∂ 2φ
u
+ u 0 0 + u 0 0 + 02
∂x02
∂x ∂t
∂t ∂x
∂t
(17.11)
2∂
2
u2 ∂ 2 φ
2
u ∂ 2φ
) 02 + ( + 2 2 ) 0 0 =
2
c ∂x
u
c ∂x ∂t
„
1
1
− 2
c2
u
«
∂ 2φ
∂t02
(17.12)
Detta ¨ar uppenbart inte ekvivalent med den ursprungliga v˚
agekvationen. Allts˚
a ¨ar v˚
agekvationen
och Maxwells ekvationer inte invarianta under Galilei-transformationen, v.s.b.
Detta resultat g¨aller givetvis f¨or alla andra typer av v˚
agor ocks˚
a, t.ex. havsv˚
agor och ljudv˚
agor.
Men f¨or dessa ¨ar det klart vad det station¨ara mediet ¨ar: materialet (t.ex. vatten eller luft) d¨ar
v˚
agorna r¨or sig, vars inre best˚
andsdelar har massa och antogs f¨olja mekanikens lagar och d¨armed
Galilei-transformation. D¨armed fanns det inget problem med att sj¨alva v˚
agekvationen inte f¨oljer det.
F¨or elektromagnetiska v˚
agor som kan fortskrida i vakuum postulerade man allts˚
a etern som det
analoga mediet.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.4
I slutet av 1800-talet fanns det flera olika m¨ojligheter f¨or hur etern och Maxwell-ekvationerna skulle
f¨
orh˚
alla sig gentemot Galilei-transformationen:
kunde vara konsistent med Maxwells elektrodynamik bara om man tog till mycket komplicerade
antaganden om eterns egenskaper.
1. Maxwells ekvationer ¨ar fel, och den korrekta teorin f¨or elektromagnetism ¨ar invariant under
Galilei-transformationen.
D¨armed kvarstod allts˚
a bara alternativ 3, men den var ocks˚
a mycket radikal i.o.m. att den inneb¨ar
att Newtons mekanik inte kan g¨alla allm¨ant, och ocks˚
a Newtons mekanik var ju extremt v¨altestad.
2. Det finns en unik f¨oredragen referensram, den d¨ar etern ¨ar i vila. Maxwells ekvationer kr¨aver
modifikation i andra ramer.
3. Maxwells ekvationer ¨ar samma i alla referens-ramer som r¨or sig med en konstant hastighet
gentemot varandra. Galilei-transformationen g¨aller inte.
17.1.1. Lorentztransformationen
˚
Ar 1892 uppt¨ackte H. A. Lorentz en transformation som h˚
aller formen av Maxwells ekvationer
of¨or¨andrade! Den ¨ar, under samma antagande som ovan f¨or Galileitransformationen om att de tv˚
a
koordinatsystem r¨or sig i f¨orh˚
allande till varandra i x-riktningen med hastigheten u:
Av dessa verkade alternativ 1 h¨ogst osannolik, d˚
a Maxwells ekvationer redan p˚
a 1800-talet hade
testats extensivt experimentellt.
0
x
Alternativ 2 kunde testas experimentellt. Detta gjordes i flera experiment.
1
=
p
1 − u2/c2
(x − ut)
y
0
=
y
z
0
=
z
=
„
«
u
t − 2x
p
c
1 − u2/c2
0
t
(17.13)
(17.14)
(17.15)
1
(17.16)
(17.17)
Dessa har uppenbart egenskapen att ifall u << c, reduceras de tillbaks till Galilei-transformationen.
Som sagt var Newtons mekanik v¨altestad, men bara f¨or hastigheter mycket mindre ¨an ljusets. D¨armed
kunde dessa anv¨andas ocks˚
a f¨or klassisk mekanik utan att det stridde mot empiriska fakta.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Ifall etern skulle existera, skulle den rimligtvis vara universell och oberoende av
solsystemet. D˚
a skulle jorden och solsystemet uts¨attas f¨or en “etervind” d˚
a de
r¨
or sig runt galaxens centrum (se bilden intill). Detta skulle inneb¨ara att d˚
a
man m¨ater elektrodynamiska v˚
agor p˚
a
jorden, borde de vara i r¨orelse d˚
a jorden ju r¨or sig med avseende p˚
a etern!
Allts˚
a om man skulle m¨ata t.ex. ljusets
hastighet, borde den vara olika i olika
riktningar!
17.5
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.7
Vi skall inte visa explicit att Lorentz-transformationen h˚
aller Maxwells ekvationer of¨or¨andrade, man
till¨ampar dem som ovan p˚
a v˚
agekvationen med transformation av x och t:
∂x0 ∂
∂t0 ∂
∂
+
=
0
∂t
∂t ∂x
∂t ∂t0
(17.18)
∂
∂x0 ∂
∂t0 ∂
=
+
∂x
∂x ∂x0
∂x ∂t0
Vi inf¨or (igen, jfr. kapitel 15) beteckningen
γ=p
[Wikimedia commons]
Michelson-Morley-experimentet (1887) gjorde just detta. Men de fann inget experimentellt bevis f¨or
etervinden: ljusets hastighet var samma i alla riktningar.
(17.19)
1
(17.20)
1 − u2/c2
samt β = u/c.
De partiella derivatorna som beh¨ovs blir
Detta ensamt r¨ackte inte till att d¨oda ’etern’, f¨or man kunde ju anta att etern p˚
a n˚
agot s¨att
dras med jorden eller andra fysiska medium. Men tidigare experiment av Fizeau (1859) hade redan
visat att ljusets hastighet p˚
averkas delvis av ett fysiskt mediums (vatten ursprungligen) r¨orelse.
Experiment p˚
a stj¨arnornas s.k. aberration, allts˚
a att deras position verkar ¨andras litet under ˚
arets
lopp propertionerligt mot v/c skulle inte vara konsistent med att etern dras med jorden.
∂x0
∂x
∂t0
∂x
∂x0
∂t
Tillsammans ledde dessa experiment redan mot slutet av 1800-talet till att att eterns existens
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.6
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
γ
=
−
=
−uγ
u
γ
c2
JJ J I II ×
17.8
∂t0
∂t
=
17.2. Den speciella relativitetsteorin
γ
och man f˚
ar f¨or de dubbla derivatorna
„
«„
«
2
2
2
2
2 2
∂ φ
∂
u ∂
∂φ
u ∂φ
2∂ φ
2u ∂ φ
2u ∂ φ
2u ∂ φ
= γ 0 − 2γ 0
γ 0 − 2γ 0 = γ
−γ 2 0 0 −γ 2 0 0 +γ 4 02
2
02
∂x
∂x
c ∂t
∂x
c ∂t
∂x
c ∂x ∂t
c ∂t ∂x
c ∂t
(17.21)
„
«
„
«
2
2
2
1 ∂ 2φ
∂
∂
∂φ
∂φ
u2 2 ∂ 2 φ
2u ∂ φ
2u ∂ φ
21 ∂ φ
= −uγ 0 + γ 0
−uγ 0 + γ 0 = 2 γ
−γ 2 0 0 −γ 2 0 0 +γ c 02
2
2
02
c ∂t
∂x
∂t
∂x
∂t
c
∂x
c ∂x ∂t
c ∂t ∂x
c ∂t
(17.22)
D˚
a man s¨atter in dessa tv˚
a i v˚
agekvationen kancellerar de blandade derivatorna omdelebart. Kvar
blir d˚
a man flytter ¨over x0-derivatorna p˚
a ena sidan och t0 p˚
a andra:
γ
2
2 2
2
φ
u2 2 ∂ 2 φ
2u ∂ φ
21 ∂ φ
− 2γ
= −γ 4 02 + γ c 02
02
02
∂x
c
∂x
c ∂t
c ∂t
!
!
1 2
u2 ∂ 2 φ
u2 ∂ 2 φ
2
γ
1− 2
= 2γ
1− 2
02
c
∂x
c
c
∂t02
2∂
och med beaktande av att γ = √
1
1−u2 /c2
(17.24)
f˚
ar man
∂ 2φ
1 ∂ 2φ
=
∂x02
c2 ∂t02
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(17.23)
(17.25)
JJ J I II ×
17.9
d.v.s. den ursprungliga v˚
agekvationen! .
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.11
17.3. Poincar´
es och Einsteins postulat
Lorentz uppt¨ackte alls˚
a transformationen ovan, men han ins˚
ag inte dess vidare betydelse, utan
f¨ors¨okte g¨ora den kompatibel med eter-hypotesen.
Det var H. Poincar´e som f¨orst ins˚
ag att Michelson-Morley-experimentet kunde ha en bredare
betydelse. Han formulerade ˚
ar 1899 relativitetsprincipen som att absolut r¨orelse inte kan observaras
av laboratorieexperiment p˚
a n˚
agot s¨att, och att detta implicerar att naturlagarna m˚
aste vara de
samma f¨or tv˚
a observat¨orer i relativ r¨orelse till varandra.
Han kom ocks˚
a fram till att en ny dynamik m˚
asta formuleras, och att denna b¨or inneh˚
alla villkoret
att ingen hastighet kan ¨overstiga ljushastigheten.
˚
Ar 1905 publicerade sedan A. Einstein den speciella relativitetsteorin i sitt papper som hade titteln
“Zur Elektrodynamik bewegter K¨orper” (Annalen der Physik 17: 891-921) - notera allts˚
a att titteln
p˚
a pappern h¨anvisar direkt till elektrodynamik!
Han framf¨orde tv˚
a postulat, av vilka den f¨orsta ¨ar Poincar´es relativitetsprincip. De ¨ar:
1. Naturens lagar ¨ar samma i alla koordinatsystem som r¨or sig med en likformig hastighet med
avseenda av varandra
2. Ljushastigheten i vakuum ¨ar samma i alla referenssystem och oberoende av ljusk¨allans
hastighet.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.10
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.12
Relativitetspostulaten f¨oruts¨atter att kombinationen c2t2 − r 2 har samma v¨arde i alla s˚
adana
koordinatsystem - inertialsystem - som r¨or sig med konstant hastighet i f¨orh˚
allande till varandra.
Fr˚
an detta krav kan man h¨arleda Lorentz-transformationen (som gavs ovan) mellan en punkts
koordinater i olika inertialsystem.
Utom det historiska sambandet, ¨ar det ocks˚
a intressant att notera att den klassiska elektrodynamiken kan skrivas i en matematiskt kompakt form med hj¨alp av samma notation som anv¨ands i
relativitetsteori. Vi g˚
ar nu igenom huvuddragen i detta.
0
γ
B −βγ
B
Λ=@
0
0
−βγ
γ
0
0
1
0
0 C
C
0 A
1
0
0
1
0
(17.36)
F¨or att ytterligare f¨orenkla notationen anv¨ands f¨or tensorer ofta den s.k. summeringskonventionen
d¨ar repeterade index summeras:
0µ
x
3
X
=
µ ν
µ ν
Λν x ≡ Λν x
(17.37)
ν=0
17.3.1. Fyr-vektorer och tensorer
4-vektorer i relativitetsteorin definieras som s˚
adana grupper av 4-storheter (A0, A1, A2, A3) som
transformeras p˚
a samma s¨att som koordinaterna (x0, x1, x2, x3) vid Lorentz-transformationer.
0
0
A = A + (γ − 1)(A · β)βˆ − γβA
00
(17.26)
Det upprepade indexet ν ¨ar summerat. Mer allm¨ant g¨aller att alla index d¨ar en ¨ar nere och den
andra uppe summeras.
Kontravarianta och kovarianta vektorer
Definiera en kovariant 4-vektor
0
A = γ{A − β · A}
(17.27)
4-vektorernas l¨angd:
0 2
1 2
2 2
3 2
A · A = (A ) − (A ) − (A ) − (A )
Aµ ≡ (A0, A1, A2, A3)
0
A0 = A
1
A1 = −A
2
A2 = −A
3
A3 = −A
(17.28)
4-vektor-rymden (Minkowski-rymden) ¨ar inte Euklidisk!
Fyrvektorer och tensorer brukar ofta betecknas oich behandlas med s.k. kontravariant notation
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.13
(17.38)
(17.39)
(17.40)
(17.41)
(17.42)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.15
komponenter av en normal eller kontravariant 4-vektor
d¨ar (fyr)vektorer betecknas med ¨overindex:
Aµ : kontravariant
µ
0
1
2
3
x ≡ (x , x , x , x )
(17.29)
Aµ : kovariant
Det vanligaste exemplet ¨ar (ct, x, y, z ).
Den invarianta skal¨arprodukten ¨ar
Lorentz-transformationen kan beskrivas i det allm¨anna fallet med en fyrmatris som
0µ
x
=
3
X
µ ν
Λν x
0 2
2
µ
µ
A · A = (A ) − A = AµA = A Aµ
µ
(17.30)
(17.43)
µ
A · B = Aµ B = A B µ
(17.44)
ν=0
d¨ar Λ ¨ar
Λ00
B Λ1
µ
0
Λν = B
@ Λ2
0
3
Λ0
0
Λ01
Λ11
Λ21
Λ31
Λ02
Λ12
Λ22
Λ32
Tensorer
1
Λ03
1 C
Λ3 C
Λ23 A
Λ33
(17.31)
a samma s¨att som koordinaAµ ¨ar en kontravariant 4-vektor om dess komponenter transformeras p˚
terna f¨or radiusvektorn (ct, r) vid Lorentz-transformationer.
A
0µ
µ
= Λν A
ν
(17.45)
Exempel: Lorentz-transformationen som gavs ovan f¨or x och t kan skrivas
00
0
1
x = γ(x − βx )
01
1
0
x = γ(x − βx )
02
2
x =x
03
3
x =x
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(17.32)
(17.33)
(17.34)
(17.35)
JJ J I II ×
17.14
En kombination av 16-storheter Aµν ¨ar en tensor av rang 2 om den transformeras som en
kontravariant 4-vektor med avseende p˚
a b¨agge indexen.
A
0µν
µ
ν
= ΛαΛβ A
αβ
(17.46)
Om Aµν = Aνµ ¨ar tensorn symmetrisk och har blott
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.16
16−4
2
Om A
16−4
2
Skal¨
arprodukten och den metriska tensorn
+ 4 = 10 oberoende komponenter
µν
= −A
νµ
¨ar tensorn antisymmetrisk och har
µ
µ
ν
µ
ν
ν
A Bµ = A gµν B = gµν A B = gµν A B
= 6 oberoende komponenter (diagonalelementen m˚
aste ju vara = 0)
2
µ
µ
ν
(17.54)
ν
A = A · A = AµA = gµν A A
Den metriska tensorn representerar regeln f¨or skal¨arprodukten eller l¨angdm˚
attet.
Aµν kontravariant tensor
Aµν kovariant tensor
(17.55)
D˚
a Lorentz-transformationen l¨amnar skal¨arprodukten invariant har g samma komponenter i alla
koordinatsystem.
Aµν blandad tensor
AµB µ = skal¨ar = tensor av rang 0
0µ 0
0
µ
0µ 0ν
x xµ = x xµ = gµν x x
AµB ν = T µν = kontravariant tensor av rang 2
02 2
01 2
µ ν
= gµν x x
02 2
(17.56)
03 2
= (x ) − (x ) − (x ) − (x )
0 2
1 2
2 2
3 2
= (x ) − (x ) − (x ) − (x )
AµB νµ = T ν = kontravariant vektor bildad av en vektor och en 2 rang’s tensor
AµB νδ = Tµνδ = tensor av rang 3.
(17.57)
(17.58)
Transformationslagen f¨
or kovarianta vektorer
Speciella tensorer:
A
δ : Kronecker’s symbol
0
Aµ

µ
0
1
µ=
6 ν
µ=ν
ν
µ
δν =
(17.47)
0µ
µ
= Λν A
ν
(17.59)
0
0ν
0
ν β
= gµν A = gµν Λβ A
0
ν βα
= gµν Λβ g Aα
(17.60)
(17.61)
F¨or kovarianta vektorer vill vi skriva
µ
δν A = A
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
0
1
B 0
µ
B
δν = @
0
0
0
1
0
0
0
˜ α Aα
Aµ = Λ
µ
(17.48)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.19
s˚
a man ser att
1
0
0 C
C
0 A
1
0
0
1
0
17.17
(17.62)
(17.49)
˜ α = gµν Λν g βα
Λ
µ
β
(17.63)
˜
Transformationen Λ f˚
as genom att transponera Λ och ¨andra tecken p˚
a de blandade rums och
tidskomponenterna:
Den metriska tensorn g
Den metriska tensorn g ˚
astadkommes genom att h¨oja ett index i δνµ
0
g
µν
1
B 0
=B
@ 0
0
0
−1
0
0
0
0
−1
0
Λ00
B Λ1
0
Λ=B
@ Λ2
0
Λ30
0
1
0
0 C
C
0 A
−1
(17.50)
Λ01
Λ11
Λ21
Λ31
Λ02
Λ12
Λ22
Λ32
1
Λ03
Λ13 C
C
Λ23 A
Λ33
Λ00
B −Λ0
1
˜ =B
Λ
@ −Λ0
2
−Λ03
0
=⇒
−Λ10
Λ11
Λ12
Λ13
−Λ20
Λ21
Λ22
Λ23
1
−Λ30
Λ31 C
C
Λ32 A
Λ33
(17.64)
Lorentz-transformationens ortogonalitet
g µν tj¨anar som operator f¨or att g¨ora en kontravariant tensor av en kovariant:
µν
g Aν = A
µ
(!)
(17.51)
0µ 0
µ
µ ˜β α
µ
x xµ = x xµ = ΛαΛ
µ x xβ = x xµ
(17.65)
µ ˜β
β
ΛαΛ
µ = δα
(17.66)
ty man kan visa att
Definiera gµν s˚
a att gµν = g µν ;
(exempel p˚
a det senare:
D˚
a fungerar gµν som operator f¨or att s¨anka index:
ν
(17.52)
ν
(17.53)
Aµ = gµν A
gµαg
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
αν
= δµ
JJ J I II ×
17.18
0
γ
B βγ
B
@ 0
0
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
βγ
γ
0
0
0
0
1
0
1
0
0 C
C
0 A
1
0
γ
B −βγ
B
@ 0
0
−βγ
γ
0
0
0
0
1
0
1
0
0 C
C
0 A
1
JJ J I II ×
(17.67)
17.20
γ 2 − β 2γ 2 −γ 2β + βγ 2
B βγ 2 − βγ 2 −β 2γ 2 + γ 2
=B
@
0
0
0
0
0
1
1 0 0 0
B 0 1 0 0 C
C
=B
@ 0 0 1 0 A
0 0 0 1
0
f¨
or att γ 2 =
1
1−β 2
0
0
1
0
1
0
0 C
C
0 A
1
Kontinuitetsekvationen blir d˚
a
(17.68)
1∂
∂ρ
, ∇)(cρ, j) =
+∇·j =0
c ∂t
∂t
α
∂α j = (
(17.82)
allts˚
a:
α
∂α j = 0
(17.69)
(17.83)
j ¨ar en 4-vektor, dvs. j transformeras som xα, ty
s˚
a diagonalelementen = 1.
- j ¨ar en 3-vektor
- ρd3r = ρ0d3r 0 ¨ar en invariant som representerar laddningen i ett volymelement
Gradientvektorn
- dx0d3r = ¨ar ett Lorentz-invariant volymelement
∂
∂
≡(
; ∇)
∂xα
c∂t
∂
∂xβ ∂
= ( 0α ) β
0α
∂x
∂x ∂x
0α
α ν
x = Λν x
0α
µ
˜ Λµ xν = xµ
˜ αx = Λ
=⇒ Λ
| α{z ν}
β
x =
(17.70)
0 3 0
dx d r =
(17.71)
(17.72)
(17.73)
µ
δν
β 0α
˜
Λαx
A
0µ
µ
= Λν A
∂
∂xα
(17.86)
(17.87)
µ
JJ J I II ×
˜ β Λµ = δ β
Λ
µ α
α
∂
= ( c∂t
; ∇)
α
˜ ν = gµαg νβ Λα
Λ
µ
β
˜ ν Aν
=Λ
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Gradientvektorn transformeras som en kovariant vektor!
Notation: ∂α ≡
ν
0
Aµ
(17.75)
17.21
(17.85)
det (Λ) = +1 f¨or en “proper” Lorentz-transformation.
(17.74)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(17.84)
dx0 d3 r
+1
β
∂x
˜ β =⇒ ∂ = Λ
˜β ∂
=Λ
α
α
∂x0α
∂x0α
∂xβ
∂(x00, ..dx03)
0
3
, dx ..dx
∂(x0, ..dx3)
0
3
..dx
= det(Λ) dx
| {z } | {z }
(17.88)
βκ
∂ =g
αβ
∂β ≡
∂
∂
=(
; −∇)
∂xα
c∂t
ν µ
β
g gµν ΛκΛα = δα
T
T
(g)βκ(Λ )κν (g )νµ(Λ)µα =
T
T
(17.76)
(17.89)
(δ)βα
(17.90)
det(g) det(Λ ) det(g ) det(Λ) = 1
| {z }
| {z }
−1
(17.91)
−1
T
∂ 0
A +∇·A
c∂t
∂
α
∂ =(
; −∇)
c∂t
1 ∂2
α
2
∂α ∂ = 2 2 − ∇
c ∂t
α
∂α A =
det(Λ )detΛ = 1
(17.77)
(17.92)
2
(detΛ) = 1 detΛ = ±1
(17.78)
(17.79)
17.23
(17.93)
detΛ = +1 egentliga Lorentz-transformationer (rotationer utan reflexion)
dx0(ρd3r) ∼ transformeras som en tidskomponent
0 3
ρ |dx{zd} r ∼ transformeras som en tidskomponent
Detta ¨ar differentialoperatorn f¨or v˚
agekvationen, som ¨ar Lorentz-invariant
inv.
ρ ∼ transformeras som en tidskomponent!
j α = (ρ, j): 4-vektor!
17.3.2. Elektrodynamiken i kovariant form
Nu kan vi anv¨anda notationerna som introduceras till att skriva om elektrpodynamiken!
Kontinuitetsekvationen:
Laddningskonservering:
Z
Q=
∂ρ
+∇·j =0
∂t
(17.80)
Vi konstruerar en 4-str¨omt¨athetsvektor j α:
α
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(17.81)
JJ J I II ×
17.22
0
3 dj
1
c
Z
3
d rj
0
(17.94)
0
dQ
1
3 dj
=
d r
=
d r 0
dt Z c
dt
dx
I
3
=−
d r∇ · j = −
da · j
Z
j = (cρ, j)
3
d rρ =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Z
(17.95)
(17.96)
JJ J I II ×
17.24
= 0 f¨or en lokaliserad laddning!
Ur dessa ser man att komponenterna f¨or el- och magnetvektorerna kan skrivas som
V˚
agekvationerna i Lorentz-m˚
attet
Ex
Vi hade ju v˚
agekvationerna f¨or vektorpotentialen A samt skal¨arpotentialen φ:
1 ∂ 2A
2
− ∇ A = µ0j
c2 ∂t2
1 ∂ 2φ
ρ
2
−∇ φ=
c2 ∂t2
0
Lorentz-villkoret ger: ∇ · A +
1 ∂φ
c2 ∂t
(17.97)
1
1
0
(17.110)
0
2
2
0
(17.111)
0
3
3
0
(17.112)
2
3
3
2
−(∂ A − ∂ A )
(17.113)
3
1
1
3
(17.114)
1
2
2
1
(17.115)
Ey
=
−c∂ A + c∂ A
Ez
=
−c∂ A + c∂ A
Bx
=
By
(17.98)
0
−c∂ A + c∂ A
=
−(∂ A − ∂ A )
=
Bz
−(∂ A − ∂ A )
=
=0
(17.116)
Vi definierar nu en “fyr-version” av ∇:
≡
1 ∂2
2
α
− ∇ = ∂α ∂
c2 ∂t2
(17.99)
s˚
a man ser att
E
c
och B ¨ar komponenter av tensorn ∂ αAβ − ∂ β Aα
Nu kan man definiera den elektromagnetiska f¨alttensorn som
som kallas “box” eller d’Alemberts operator. Med den kan man skriva:
A = µ0j
φ =
F
(17.100)
ρ
j0
=
0
c0
(17.101)
αβ
α
β
β
≡∂ A −∂ A
α
(17.117)
och samma tensor med kovarianta index ¨ar
eller lite omskrivet:
A = µ0j
Fαβ = gαµgβν F
(17.102)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
1 0
φ
0
( ) = 2 j = µ0j
c
c 0
17.25
(17.103)
α
∂α A = 0 = ∇ · A +
2
F
αβ
(17.104)
1 ∂φ
c2 ∂t2
0
6 Ex/c
6
=4
Ey /c
Ez /c
Fαβ
(17.105)
V˚
agekvationen f¨or Aα blir
α
A = µ0j
−Ex/c
0
Bz
−By
Ex/c
0
Bz
−By
Ey /c
−Bz
0
Bx
3
−Ez /c
7
By
7
−Bx 5
0
(17.119)
3
Ez /c
By 7
7
−Bx 5
0
(17.120)
(17.106)
∂A
∂
0
= −∇(cA ) −
(cA)
∂t
∂x0
∂
B = ∇ × A, ∂α = (
, ∇)
c∂t
∂
α
∂ =(
, −∇)
c∂t
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
0
6 −Ex/c
=6
4 −Ey /c
−Ez /c
−Ey /c
−Bz
0
Bx
Definiera den 4-dimensionella Levi-Civita-symbolen som
α
De elektriska och magnetiska f¨
alten
E = −∇φ −
17.27
I komponentform utskrivet ¨ar detta:
2
Lorentz-villkoret blir
(17.118)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Om vi nu summerar dessa tv˚
a ekvationer, ser man att de h¨ogra membrum bildar en 4-vektor µ0j α.
D˚
a m˚
aste v¨anstra membrum ocks˚
a bilda en 4-vektor, vilket ger oss en naturlig definition:
1
α
A ≡ ( φ, A)
c
µν
αβµν
8
< 0
=
1
:
−1
om tv˚
a eller flere index ¨ar lika
om αβµν ¨ar en j¨amn permutation av 0123
om αβµν ¨ar en udda permutation av 0123
(17.121)
(17.107)
(17.108)
Den duala f¨alttensorn definieras som
F
(17.109)
JJ J I II ×
17.26
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
αβ
=
1 αβµν
Fµν
2
(17.122)
JJ J I II ×
17.28
2
0
6 Bx
=6
4 By
Bz
−Bx
0
−Ez /c
Ey /c
3
−Bz
−Ey /c 7
7
Ex/c 5
0
−By
Ez /c
0
−Ex/c
detta ekvationspar kan erh˚
allas fr˚
an det f¨orsta med utbytena
(17.123)
j, ρ → 0
(17.135)
B → −E/c
(17.136)
E → cB
(17.137)
Man ser att Ek = cF k0.
samma utbyte i f¨alttensorn F ger den duala tensorn F!
Maxwell’s ekvationer i kovariant form
2
0
−Ex/c −Ey /c
6 Ex/c
0
−Bz
αβ
F
=6
4 Ey /c
Bz
0
Ez /c
−By
Bx
2
0
−Bx
−By − Bz
6 Bx
0
Ez /c
αβ
6
F =4
By −Ez /c
0
Bz
Ey /c
−Ex/c
Nu kan vi skriva om Maxwells ekvationer. Vi betraktar dessa i tv˚
a delar:
∇ · E = ρ/0
∇×H =j+
ff
k¨allekvationerna
(17.124)
1 ∂E
∂E
= µ0j + 2
∂t
c ∂t
(17.125)
∂D
∂t
eller
∇ × B = µ0j + µ00
D˚
a vi hade
Ek = cF
k0
f˚
ar man
(17.127)
1 0
0
= 2 j = µ0j
c 0
→ ∂k F
(17.128)
=
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.29
D˚
a F 00 = 0 kan denna ekvation generaliseras till
∂µ F
µ0
∂α F
= µ0j
αβ
(17.140)
=0
(17.141)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
0
17.31
(17.129)
αβ
0 = ∂α F
(17.130)
=
αβ
=
1 ∂Ex
1
→− 2
+ (∇ × B)x = µ0j
c ∂t
Detta ¨ar x-komponenten av den allm¨anna ekvationen!
β
= µ0j ,
(17.132)
∂B
∂t
(17.133)
=
1
αβµν
∂α Fµν
2
1
αβγδ
Fγδ
∂α 2
=
Det ˚
aterst˚
aende paret av Maxwell-ekvationer ¨ar
∇·B =0
1 αβµν
Fµν
2
1
αβγδ
µν
∂α gγµgδν F
2
1
αβ µν
= ∂αµν F
2
1
κ αβ µν
= gακ∂ µν F
2
1 β
κ µν
= κµν ∂ F
2
1 βϕ
κ µν
= g κϕµν ∂ F = 0
2
(17.131)
K¨allekvationerna kan allts˚
a sammanfattas med en ekvation:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
β
Denna ekvation sammanfattar d˚
a de ˚
aterst˚
aende tv˚
a Maxwell-ekvationerna!
(∇×B)x
∇×E =+
= µ0j
Den sistn¨amnda ekvationen kan ocks˚
a uttryckas med F men p˚
a ett mer klumpigt s¨att.
1 01
∂ 11
∂
∂
21
31
F +
F +
F +
F
|{z}
c∂t
∂x
∂y |{z}
∂z
Bz
−By
|
{z
}
αβ
αβ
∂α F
F
∂α F
(17.139)
I ekvationen
Prova nu ∂µF µ1 = µ0j 1
=
−Ey /c 7
7
Ex/c 5
0
(17.138)
leder transformationen till
ρ
j0
=
0
c0
k0
∇ · E = c∂k F
k0
(17.126)
3
−Ez /c
7
By
7
5
Bx
0
3
(17.144)
(17.145)
(17.146)
(17.147)
(17.148)
(17.149)
κ
µν
=0
(17.150)
β
µν
=0
(17.151)
⇒ κϕµν ∂ F
17.30
(17.143)
g βϕ: diagonal
(17.134)
JJ J I II ×
(17.142)
⇒ αβµν ∂ F
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.32
β
αβµν [∂ F
µν
µ
ν
ν
+∂ F β+∂ F
βµ
=0
0
= cdt
(17.152)
(17.164)
0
s˚
a man ser att
→ cdt = invariant
β
∂ F
µν
µ
ν
ν
+∂ F β+∂ F
βµ
=0
(17.153)
¨ar ekvivalent med
∂α F
αβ
= 0.
(17.154)
→ tiden i vilokoordinatsystemet ¨ar invariant.
dτ ≡ dt0 egentid (proper time)
Man ser allts˚
a att dτ = γ1 dt dt > dτ vilket ¨ar relativitetsteorins begrepp om tidsdilatation.
Vi definierar 4-vektor-hastigheten uα:
17.3.3. Lorentz-kraften i kovariant form
Till slut ser vi p˚
a kraftekvationen:
F = q(E + v × B)
u=
dx
dx dt
=
= γv
dτ
dt dτ
(17.165)
0
dx0
dt
=c
= γc
dτ
dτ
(17.166)
(17.155)
( εc , p) bildar en 4-vektor enligt den speciella relativitetsteorin, d¨ar
u =
dε
= qv · E
dt
(17.156)
F¨or att skriva om Lorentz-kraften anv¨ander vi oss nu av τ :
dp
dp
dp dt
⇒
=
= γq[E + v × B]
dt
dτ
dt dτ
(17.167)
E
= q{ γ E + γv ×B} = q{u0 + u × B}
|{z}
|{z}
c
(17.168)
or¨andringen per tidsenhet hos den laddning som drivs av ett elektriskt f¨alt E .
¨ar energif¨
Lorentz-kraften ¨ar
dp
= F = q(E + v × B).
dt
(17.157)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
17.33
F¨
or att dessa ekvationer skall f˚
a en uppenbar Lorentz-invariant form m˚
aste den koordinatsystemsberoende tidsvariabeln t ers¨attes med den invarianta tidsvariabeln τ : egentid, tid m¨att i vilosystemet.
0
Om laddningen befinner sig i vila i origo i systemet K , x = 0, blir
x0 =
0
γx0
0
→ t = γt
dε
1 dε dt
γ
q
E
dp0
=
=
= qv · E = u · E = qu · ( )
dτ
cdτ
c dt dτ
c
c
c
(17.169)
Ek
k0
0k
= F = −F
c
(17.170)
D˚
a
kan man skriva
u·
(17.159)
X k
E
0k
0β
=
u (−)F = uβ F
c
och d¨armed
dp0
0β
= quβ F
dτ
t0 ¨ar den tid som m¨ats av en klocka som r¨or sig med partikeln.
Under ett tidsintervall dt r¨or sig partikeln en str¨acka dx i K :
dx = vdt
I vilokoordinatsystemet K 0 ¨ar motsvarande tidsintervall
0
dt =
=
p
1 − β 2dt,
0
|dt | < |dt|
dp1
dτ
=
(17.162)
=
ds =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
=
(17.161)
Invariant avst˚
and:
p
c2dt02 − dx02
(17.171)
(17.172)
F¨or t.ex. x-komponenten g¨aller:
(17.160)
1
0
dt (dx = 0)
γ
17.35
F¨or 0-komponenten i fyr-r¨orelsem¨angden ( εc , p) g¨aller
0
0
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Definition av egentiden f¨or en partikel som r¨or sig med hastigheten v :
Antag koordinatsystemet K r¨or sig med konstant hastighet v i f¨orh˚
allande till K . L˚
at q vara en
laddning som ¨ar station¨ar i K 0:
0
0
x0 = γ(x0 + β · x )
(17.158)
u
u0 /c
=
(17.163)
JJ J I II ×
17.34
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
0 E1
+ (u × B)1}
c
2
3
0 E1
q{u
+ u B3 − u B2 }
c
0 E1
2 21
3 31
q{u
+u F +u F }
c
q{u
0
q{u F
quβ F
10
1β
2
−u F
12
3
13
−u F }
(17.173)
(17.174)
(17.175)
(17.176)
(17.177)
JJ J I II ×
17.36
H¨arav ser man att den allm¨anna formen blir:
α
dp
αβ
= quβ F
dτ
(17.178)
Nu har vi allts˚
a skrivit om hela elektrodynamiken i tensorform, med kompatibel notation med den
speciella relativitetsteorin: ekvationerna 17.83, 17.132, 17.141 och 17.178.
F¨orutom att magnetiska monopoler skulle ge h¨ogre matematisk symmetri, har Dirac dessutom visat
att om en enda magnetisk monopol skulle existera i universum, skulle det f¨orklara varf¨or elektrisk
laddning ¨ar kvantiserat!
P.g.a. dessa attraktiva egenskaper p˚
ag˚
ar det st¨andigt helt seri¨osa s¨okningar f¨or magnetiska monopoler. Tyv¨arr har de tillsvidare inte gett resultat.
17.3.4. Magnetiska monopoler??
[Jackson 6.12]
Vid detta skede kan vi notera att f¨or att ˚
astadkomma den kovarianta formen av Maxwell-ekvationerna
2 och 3, gjorde vi operationen “j, ρ → 0” f¨or att f˚
a dessa att vara av liknande form som ekvationerna
1 och 4. Men ser nu att ifall det skulle existera magnetiska monopoler, skulle ekvationerna 2 och 3
ha formen (vi ignorerar nu konstanterna ε0, µ0):
∇ · B = ρm
(17.179)
∂B
(17.180)
∂t
d¨ar ρm, jm ¨ar den magnetiska monopolt¨atheten och -str¨ommen. Nu ¨ar dessa ekvationer helt
symmetriska med 1 och 4.
∇ × E = jm +
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.37
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
17.38