Transcript TERMOFYSIK 2012 I. Introduktion och första grundlagen

TERMOFYSIK 2012
Kai Nordlund, 2012
Dessa f¨orel¨asningar baserar sig p˚
a de traditionella Latex-anteckningarna som ursprungligen skrivits av Dan Olof Riska. Den senaste uppdatering
av Latex-versionen av honom ¨ar fr˚
an 1997, men de fanns redan d˚
a f¨
orel¨asaren sj¨alv gick p˚
a kursen 1990. De reviderades mycket av mig 2004,
och gjordes d˚
a om till pdflatex-presentationsformat.
˚
Ar 2006 f¨ornyades kapitel- och filindelningen helt fr˚
an det tidigare.
Alla bilder ¨ar till¨agg 2004 eller senare.
˚
Ar 2010 togs vissa delar bort d˚
a kursens omfattning sj¨onk fr˚
an 9 till 8 sp (de l¨amnades in i anteckningarna men med liten font).
• Kursens www-hemsida: http://www.acclab.helsinki.fi/∼knordlun/termo/
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
1
I. Introduktion och f¨
orsta
grundlagen
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
2
Viktiga m˚
als¨
attningar med detta kapitel
• Veta vad termofysik ¨ar
• F¨orst˚
a skillnaden mellan j¨amvikt och oj¨amvikt
• F¨orst˚
a idealgasens tillst˚
andsekvation
• L¨ara sig termodynamikens I grundlag
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
3
JJ J I II ×
4
¨
I.1. Overblick
och motivation
Termofysik, Kai Nordlund 2012
I.1.1. Vad behandlar denna kurs
Kursen i termofysik ¨ar dels klassisk termodynamik som beskriver temperatur, tryck mm, dels en
beskrivning av atomers statistiska fysik. Den klassiska termodynamiken utvecklades redan p˚
a 1700talet, och den statistiska fysiken dels under senare h¨alften av 1800-talet (klassisk statistisk fysik),
dels p˚
a 1930-talet (de kvantmekaniska aspekterna).
Dessa tv˚
a ¨amnen kan givetvis l˚
ata diametralt olika, men det fascinerande ¨ar att de kan kopplas direkt
ihop, s˚
a att de mikroskopiska atomniv˚
a-egenskaperna kan anv¨andas f¨
or att f¨
orklara alla huvuddrag
i den klassiska termodynamiken. Detta samband, som inom sina grundl¨aggande approximationers
gr¨anser fungerar otroligt bra, g¨or i sj¨alva verket att just termofysiken kan betraktas som ett av
fysikens st¨
orsta framg˚
angar genom tiderna.
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
5
I.1.2. Vem beh¨
over denna kurs inneh˚
all?
Detta ¨
ar f¨
orel¨
asarens egna erfarenheter och ˚
asikter.
Kursen i termofysik ¨ar speciell ocks˚
a i det h¨anseende att det ¨ar den f¨
orsta kursen under fysikstudierna
som ger f¨ardigheter som direkt beh¨ovs i de flesta (forskar)-fysikers arbete.
Grundstudierna ger givetvis grundkunskaper som alla fysiker b¨
or kunna, men det mesta ¨ar s˚
a enkelt
att en stor del av forskningen grundar sig p˚
a mer avancerade saker. Men termofysiken och speciellt
dess del om statistisk fysik beh¨ovs i n˚
agon form av de flesta forskare i fysik (och en del i kemi och
biokemi ocks˚
a).
Konkreta exempel p˚
a behov av termofysik:
• Kosmologi forskar mycket i fastransitioner, och deras teori ¨ar en del av statistiska fysiken
• Motoringenj¨orer b¨or k¨anna f¨orbr¨anningsgasernas tillst˚
andsekvationer
• Materialfysik baserar sig mycket p˚
a temperatur- och tryckbehandling av material, som ¨ar om¨ojlig
att f¨
orst˚
a utan termofysik
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
6
mm. mm.
Det sista exemplet leder oss till en viktig till¨aggsinsikt: grundkurser i termofysik behandlar mest
gaser och approximerar ocks˚
a dem oftast till idealgaser. Men ganska f˚
a fysiker arbetar egentligen
med gaser; m˚
anga fler jobbar med fasta material, v¨atskor, atomk¨arnor eller partiklar.
D¨armed kunde en studerande t¨anka att det ¨ar omotiverat att spendera s˚
a mycket tid p˚
a dessa gaser.
Men detta ¨ar helt fel; i sj¨alva verket ¨ar det n¨
odv¨andigt att f¨
orst˚
a idealgaser f¨
or att kunna behandla
fasta ¨amnen och v¨atskor ocks˚
a.
Ocks˚
a i k¨arnfysik och partikelfysik kan samma statistiska fysik som den som presenteras p˚
a denna
kurs ofta anv¨andas.
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
7
I.1.3. Gaser vs. v¨
atskor och fasta ¨
amnen
Ett enkelt men mycket viktigt exempel p˚
a varf¨
or idealgasers egenskaper ¨ar viktiga ocks˚
a f¨
or reella
gaser, v¨atskor och fasta ¨amnen ¨ar f¨oljande.
Idealgasens tillst˚
andsekvation ¨ar som k¨ant redan fr˚
an skolan
P =
N kB T
V
(1)
(P ¨ar tryck, N antal partiklar, kB Boltzmanns konstant, T temperatur och V volym). En idealgas
a en gas som best˚
ar av icke-v¨axelverkande partiklar. I verkligheten existerar ingen s˚
adan gas,
¨ar allts˚
utan i alla verkliga ¨amnen v¨axelverkar atomerna med varandra med n˚
agra krafter F .
Men det visar sig att f¨or att best¨amma P f¨
or alla verkliga ¨amnen (oberoende av fas) r¨acker det
med att addera en term till idealgasekvationen:
P =
N kB T
+W
V
(2)
d¨ar W ¨ar den s˚
a kallade virialen. Dessutom visar det sig vidare att virialen kan i princip best¨ammas
relativt enkelt fr˚
an krafterna som verkar mellan atomerna F .
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
8
Liknande exempel finns m˚
anga fler. T.ex. g¨aller Maxwell-Boltzmann-hastighets-distributionen f¨or
idealgaser mycket bra ocks˚
a i fasta ¨amnen och v¨atskor.
Men man m˚
aste ocks˚
a k¨anna igen gr¨anserna f¨
or vad kan generaliseras: t.ex. ekvipartitionsteoremet
som h¨arleds p˚
a denna kurs f¨or molekyler i gaser g¨aller bra ocks˚
a i fasta kristallina ¨amnen, men inte
i v¨atskor.
Ett modernt exempel ¨ar extremt viktigt f¨
or datorsimulering av materialegenskaper.
Det klart viktigaste s¨attet f¨or att best¨amma termodynamiska storheter i ett material med datorer
kallas Metropolis-metoden. Vi beskriver inte den p˚
a denna kurs, men n¨amner en rolig egenskap
den har. I Metropolis-algoritmen behandlar man enbart partiklars potentialenergi U , inte alls deras
kinetiska energi K . Detta kan man g¨ora tack vara det att kinetiska energins bidrag ¨ar identisk med
den f¨
or idealgaser, och d¨armed kan man efter sj¨alva simulering addera kinetisk-energi-bidraget fr˚
an
de relativt enkla analytiska formler som l¨ars ut redan p˚
a denna kurs!
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
9
I.1.4. Statistisk fysik: mikro- vs. makrov¨
arlden
Den statistiska fysikens eller mekanikens uppgift ¨ar att h¨arleda de fysikaliska egenskaperna hos
makroskopiska system med utg˚
angspunkt i deras mikroskopiska best˚
andsdelars – atomer, molekyler
osv. – dynamiska egenskaper. Med makroskopiska system avses gaser, v¨atskor och fasta ¨amnen vars
dimensioner ¨ar av samma storleksordning som f¨
orem˚
al som upptr¨ader i vardagslivet - dvs. system
som ¨ar enormt mycket st¨orre ¨an sina atom¨ara best˚
andsdelar.
En normal makroskopisk kropp ¨ar ett m˚
angpartikelsystem som inneh˚
aller ett mycket stort antal
best˚
andsdelar - vars storleksordning anges av Avogadros tal
23
NA ≈ 6.02 · 10 .
(3)
I princip kunde man f¨orest¨alla sig att en makroskopisk kropp skulle kunna beskrivas fullst¨andigt
genom att vid ett visst ¨ogonblick ange alla kroppens molekylers position och hastighet. Kroppens
framtida beteende skulle sedan h¨arledas genom integration av de ∼ 1023 r¨
orelseekvationerna f¨or
kroppens alla molekyler.
En dylik beskrivning ¨ar dock om¨ojlig att realisera i praktiken. F¨
or att behandla ut 1023 siffror som
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
10
anger hastighet och position hos best˚
andsdelarna skulle det beh¨
ovas en dator med en minneskapacitet
24
ojligt att ˚
astadkomma. Lyckligtvis ¨ar denna
p˚
a ∼ 10 tecken (bytes), vilket ¨ar tillsvidare om¨
detaljerade mikroskopiska information om ett givet makroskopiskt system varken n¨
odv¨andig eller
onskv¨ard, d˚
a man av erfarenhet vet att makroskopiska kroppars tillst˚
and helt tillfredst¨allande kan
¨
beskrivas med ett f˚
atal variabler som t.ex. tryck, temperatur, volym osv.
Trots att det uppenbart ¨ar om¨ojligt att l¨osa ∼ 1023 r¨
orelseekvationer, ¨ar det intressant att uppskatta
hur m˚
anga atomers system man kan simulera med moderna datorer.
Typisk processor idag (2010): storleksordningen 10 miljarder r¨akneoperationer per sekund. P˚
a en
dag kan den allts˚
a g¨ora
10
15
24 × 60 × 60 × 10 ≈ 10
(4)
operationer. F¨or enkla atom¨ara v¨axelverkningsmodeller kan man uppskatta att det kr¨avs 100
r¨akneoperationer f¨or att l¨osa r¨orelseekvationen f¨
or en atom som v¨axelverkar med sina n¨armaste
grannar. Vid numerisk l¨osning av ekvationerna m˚
aste man iterera f¨
or att f˚
a en tidsberoende l¨
osning,
och man kan anta att f¨or att f˚
a en termodynamisk betydelsefull bild m˚
aste man iterera l¨ange, t.ex.
en miljon g˚
anger. D¨armed kommer man fram till att man kunde simulera ett system med
Natomer
Termofysik, Kai Nordlund 2012
1015
7
=
= 10 .
6
100 × 10
(5)
JJ J I II ×
11
Tio miljoner atomer ¨ar visserligen mycket mindre ¨an Avogadros tal, men tillr¨ackligt mycket att ge
en bra bild av termodynamiken i m˚
anga system, och d¨armed ¨ar det nuf¨
ortiden mycket popul¨art att
anv¨anda datorer till att unders¨oka atomers beteende. Hur detta g¨
ors l¨ars ut p˚
a kursen “Introduktion
till atomistiska simuleringar” som f¨orel¨ases vartannat ˚
ar.
Den statistiska fysikens uppgift kan d¨arf¨
or definieras som att s¨
oka sambandet mellan s˚
adana
makroskopiska variabler som t.ex. tryck, temperatur osv. och de mikroskopiska variabler, som
beskriver molekylernas eller best˚
andsdelarnas dynamik.
Det b¨
or noteras att de makroskopiska variablerna helt saknar mikroskopisk mening. De ¨ar d¨arf¨or
statistiska variabler som blir meningsfulla blott f¨
or stora system.
S˚
adana statistiska variabler kallas termodynamiska variabler och den del av fysiken som utreder
termodynamiska variablers relationer kallas termodynamik.
De statistiska variablerna representerar medelv¨arden av olika mikroskopiska best˚
andsdelars egenskaper.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
12
Makroskopiskt system
Mikroskopiska beståndsdelar
Exempel p˚
a mikroskopiska variabler
molekylernas massa
− ”−
impulsmoment
− ”−
v¨axelverkning
− ”−
position
− ”−
hastighet
Exempel p˚
a makroskopiska variabler
systemets volym
− ”−
tryck
− ”−
temperatur
− ”−
totala energi
I.1.4.1. Exempel: tryck
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
A
13
Ett enkelt exempel p˚
a vad sambandet mellan de mikroskopiska och makroskopiska
storheterna kan vara ges av trycket. Dess
makroskopiska definition ¨ar ju
<F >
.
(6)
A
Men medelkraften som verkar p˚
a arean A i princip kan ber¨aknas utg˚
aende fr˚
an molekylernas
f¨
or¨andring i r¨orelsem¨angd p d˚
a de tr¨affar ytan:
P =
1
< F >=
t
Z
0
t
0 dp
dt0
(7)
dt
Detta ¨ar en helt mikroskopisk ber¨akning.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
14
I.1.5. Makrov¨
arlden: den klassiska termodynamiken
I.1.5.1. J¨
amviktstermodynamik
Makroskopiska kroppar eller system som befinner sig i termisk j¨amvikt med sin omgivning ¨ar speciellt
l¨atta att beskriva med hj¨alp av termodynamiska variabler d˚
a inga makroskopiska f¨
or¨andringar sker i
dem utan yttre p˚
averkan.
Om omgivningen till ett system i j¨amvikt p˚
averkas eller f¨
or¨andras tillr¨ackligt l˚
angsamt kan systemen
antas fortfara att vara i j¨amvikt med omgivningen ocks˚
a under f¨
or¨andringen. L˚
angsamma f¨
or¨andringar
m¨
ojligg¨
or att tillf¨alliga lokala j¨amviktst¨
orningar snabbt utj¨amnas under processens g˚
ang. S˚
adana
l˚
angsamma processer kallas “reversibla processer”.
Den klassiska termodynamikens uteslutande uppgift ¨
ar studiet av makroskopiska system
som ¨
ar i j¨
amvikt med sina omgivningar.
I.1.5.2. Ickej¨
amviktstermodynamik
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
15
Studiet av system som inte ¨ar i j¨amvikt men str¨avar mot dem kallas irreversibel termodynamik,
ickej¨
amvikts-termodynamik eller transportteori. Studiet av de processer med vilka system str¨avar
mot j¨amvikt kallas kinetisk teori.
Det finns ocks˚
a system som ¨ar, och h˚
alls, helt utanf¨
or termodynamisk j¨amvikt p.g.a. n˚
agon yttre
p˚
averkan. S˚
adana kallas drivna system (eng. “driven systems”). Ifall tillst˚
andet i systemet ¨ar
tidsoberoende, kan man s¨aga att de ¨ar i dynamisk j¨
amvikt (eng. “steady state”). Dynamisk
j¨amvikt och termodynamisk j¨amvikt ¨ar helt olika saker (detta misstar sig tom. m˚
anga erfarna
yrkesfysiker p˚
a)!
Om ett system rubbats fr˚
an sitt j¨amviktstillst˚
and, eller om den yttre p˚
averkan p˚
a ett drivet system
upph¨
or, uppn˚
ar det i allm¨anhet efter en typisk tidsperiod sitt j¨amviktsl¨age igen. Denna typiska
tidsperiod kallas systemets relaxationstid τ .
Om en f¨
or¨andring av omgivningen till ett termodynamiskt system skall vara tillr¨ackligt l˚
angsam
f¨
or att m¨
ojligg¨ora att systemet hela tiden under processen f¨
orblir i j¨amvikt med omgivningen b¨or
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
16
processen ske ¨
over tidsperioder t som ¨ar mycket st¨
orre ¨an relaxationstiden:
(8)
t >> τ
Processer vars steg k¨annetecknas av tider t >> τ ¨ar reversibla. I en reversibel process ¨ar systemet
hela tiden i ett tillf¨alligt j¨amviktstillst˚
and.
Magnituden p˚
a τ kan variera enormt. T.ex. f¨
or kemiska reaktioner kan den vara av storleksordningen
˚
1 fs. A andra sidan ¨ar m˚
anga material i princip i oj¨amvikt, men har relaxationstider som kan vara
hundratusentals ˚
ar eller tom. l¨angre ¨an Universums livstid!
Och att ett system ¨ar i termodynamisk oj¨amvikt beh¨
over inte betyda att de inte ¨ar h˚
allbara. Ett
exempel ¨ar st˚
alsorter som inneh˚
aller s.k. cementit-precipitat i princip i oj¨amvikt, men ju nog i
praktiken mycket stabila vid rumstemperatur.
I.1.5.3. Tillst˚
andsekvationer
F¨
or system i j¨amvikt ¨ar de makroskopiska statistiska variablerna inte oberoende av varandra ,utan
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
17
sammanbundna av en tillst˚
andsekvation, t.ex.
T = f (P, V )
(9)
P = g(T, V )
(10)
h(P, V, T ) = 0
(11)
eller
eller generellt
Ett systems j¨amviktstillst˚
and definieras av v¨ardena p˚
a de makroskopiska termodynamiska variablerna.
Vissa elektrodynamiska storheter har ocks˚
a karakt¨aren av makroskopiska termodynamiska variabler.
Ett systems magnetisation ¨ar medelv¨ardet av de molekyl¨ara dipolmomenten per volymenhet
M=
<m>
V
(12)
Elektrisk polarisation ¨ar medelv¨ardet av de elektriska molekyl¨ara dipolmomenten per volymenhet
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
18
P=
<d>
V
(13)
Magnetisationen beror av t.ex. P , T och H: det applicerade yttre magnetf¨altet
(14)
M = M(P, T, H)
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
19
I.2. Interlud: repetition av partiell derivering
Erfarenhet har visat att f¨or en del studeranden ¨ar en av de sv˚
araste delarna med denna kurs den
mycket frekvent anv¨anda partiella deriveringen. D¨arf¨
or tar vi nu och repeterar lite detta.
H¨ar presenteras bara problemen som r¨aknas, sj¨alva r¨akningen och svaret g¨
ors under f¨
orel¨asningen.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
20
I.2.1. Kedjeregeln
Vi upprepar f¨
orst den helt centrala kedjeregeln f¨
or derivering, “inre derivatan”:
d
df dg
f (g(x)) =
dx
dg dx
Termofysik, Kai Nordlund 2012
(15)
JJ J I II ×
21
I.2.2. Derivering med avseende p˚
a olika variabler
Det ¨ar viktigt att komma ih˚
ag att vilken parameter i en ekvation som helst kan i princip vara
variabeln med avseende p˚
a vilken deriveringen g¨
ors.
Vi antar i detta stycke att bara den storhet med avseende p˚
a vilken man deriverar ¨ar variabel i de
givna uttryckena
d 2 3
• dx
x y =
d 2 3
• dy
x y =
2
d −αx
• dx
e
=
2
d −αx
• dα
e
=
2
d −αx
• de
e
=
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
22
I.2.3. Partiell derivering
Ovan antogs att bara en variabel ˚
at g˚
angen ¨ar variabel. Detta beh¨
over givetvis inte vara fallet.
D¨armed ¨ar det mycket nyttigt att anv¨anda begreppet partiell derivata, som avser att man deriverar
med bara en variabel i taget under antagandet att ¨
ovriga storheter h˚
alls konstant.
• Anta att y = f x2, men att f ¨ar en obekant funktion av x. D˚
a kan man inte ber¨akna
dy
dx
(16)
men nog den partiella derivatan under antagandet att f ¨ar konstant:
∂y
= f 2x
∂x
(17)
Men om nu f skulle vara bekant och t.ex. = 1 + x2 kan man r¨akna
dy
3
= 2x + 4x
dx
(18)
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
23
som inte ¨ar lika med (1 + x2)2x. D¨armed ser man att
∂y
dy
inte n¨
odv¨andigtvis =
!
∂x
dx
(19)
I termodynamiken ¨ar detta av speciell vikt, f¨
or man jobbar ofta med flera olika tillst˚
andsvariabler,
och de kan vara konstanta eller variabla beroende p˚
a vilken fysikalisk process som sker. D¨armed f˚
ar
det vad som ¨ar konstant i en partiell derivata extra vikt!
F¨
or att man med insikt i fysiken kan veta att n˚
agon storhet h˚
alls konstant i en viss process (t.ex.
temperaturen T i en isotermisk process) brukar man beteckna den konstanta storheten p˚
a f¨
oljande
s¨att:
∂y
∂y
≡
(20)
∂x f =konstant
∂x f
d¨ar f avser den konstanta storheten.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
24
I.2.4. Differential
Differentialen av en funktion g med flera variabler definieras t.ex. f¨
or en 2-variabelfunktion g(x, y)
som
∂g
∂g
dg =
dx +
dy
(21)
∂x
∂y
som ocks˚
a kan skrivas om man vill betona konstansen av de andra variablerna:
dg =
∂g
∂x
dx +
y
∂g
∂y
(22)
dy
x
Om man t.ex. betraktar en tillst˚
andsekvation av typen T=f(P,V) ser man att differentialen p˚
a
temperaturen ¨ar
∂f
∂f
dP +
dV
(23)
dT =
∂P
∂V
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
25
I.2.5. Kedjeregeln f¨
or partiella derivator
Vi h¨arleder nu en r¨akneregel f¨or partiella derivator som blir nyttig under kursen.
Betrakta en helt allm¨an funktion
z = z(x, y)
Dess differential eller totala derivata dz kan allts˚
a enligt ovan skrivas som
∂z
∂z
dz =
dx +
dy
∂x y
∂y x
(24)
(25)
Om nu x = konstant f˚
as:
∂z
)xdy
∂y
varur f˚
as med att ta partialderivatan av b˚
ada ledena med avseende p˚
a z:
dx = 0 ⇒ dz = (
1=(
Allts˚
a f˚
as
(
Termofysik, Kai Nordlund 2012
(26)
∂z
∂y
)x ( )x
∂y
∂z
(27)
∂z
1
)x = ∂y
∂y
( ∂z ) x
(28)
JJ J I II ×
26
Om sedan ˚
a andra sidan
(29)
dz = 0
f˚
ar man
∂z
∂z
)y dx + ( )xdy
∂x
∂y
∂z
∂z
− ( )y dx = ( )xdy
∂x
∂y
vilket ger om man tar partialderivatan med avseende p˚
a y av b˚
ada ledena
(30)
0=(
(
(31)
∂x ∂z
∂z
)z ( )y = −( )x
∂y
∂x
∂y
(32)
Om man nu i detta till slut anv¨ander sig av resultatet 28 f˚
as
(
∂x ∂y
∂z
)z ( )x( )y = −1
∂y
∂z
∂x
(33)
vilket ¨ar kedjeregeln f¨or partiella derivator.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
27
Notera att den inte ¨ar alls sj¨alvklar: trivial f¨
orkortning av derivator skulle ju ge +1, vilket ¨ar allts˚
a
fel!!
F¨
or att f˚
a en k¨ansla f¨or hur detta fungerar ¨ar det nyttigt att ber¨akna det explicit f¨
or n˚
agon enkel
funktion, t.ex. z = xy !
•( ∂x
∂y )z =
•( ∂y
∂z )x =
∂z
•( ∂x
)y =
• och d¨armed deras produkt =
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
28
I.3. Temperatur
Temperatur ¨ar den makroskopiska variabel som anger graden av uppv¨armdhet eller termisk agitation
hos ett makroskopiskt system. Uppv¨armdheten eller den termiska agitationen ¨ar ett m˚
att p˚
a
energiinneh˚
allet i de molekyl¨ara r¨orelser som f¨
orekommer i ett stort system.
Ju h¨
ogre grad av agitation eller kinetisk energi best˚
andsdelarna i ett system har, desto st¨
orre ¨ar dess
villighet eller ben¨agenhet att avge energi vid ber¨
oring och d¨arav kommer intrycket av uppv¨armdhet.
• T ∼ graden av molekyl¨ar agitation
∼ systemets kinetiska energiinneh˚
all
Den klassiska definitionen av temperatur ¨ar baserad p˚
a iakttagelsen att hos tunna gaser
PV ≈ konstant vid of¨or¨andrad grad av uppv¨armdhet
Vi kan definiera ett abstrakt system - den s.k. idealgasen f¨
or vilket relationen ¨ar exakt:
(34)
P V = konstant
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
29
Alla reella gaser n¨armar sig idealgasens egenskaper d˚
a uttunningen v¨axer ¨
over alla gr¨anser.
Den formella definitionen av idealgastemperaturen ¨ar d˚
a
T = konstant × lim (P V )
(35)
P →0
Allts˚
a betyder detta att om man har samma m¨angd molekyler idealgas i 3 beh˚
allare med fixerad
volym
V1 < V 2 < V 3
(36)
P1 > P 2 > P 3
(37)
T = konstant × P V
(38)
vid samma temperatur g¨aller d˚
a ocks˚
a
F¨
or idealgasen g¨aller
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
30
Konstanten i idealgastemperaturen kan best¨ammas s˚
a att idealgastemperaturen ¨ar lika med Celsiustemperaturen t.ex. vid vattnets trippelpunkt, som betecknas med (Tt, Pt):
Tt = 0.01oC
T0oC = 273.15K
Tt = 273.16K
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
31
vilket ¨ar temperatur-tryck-kombinationen d¨ar vatten, vattengas och is ¨ar i j¨amvikt. Denna temperatur
ar 1954 som den internationella definitionen
¨ar helt entydigt best¨amd och d¨arf¨or antogs 273.16 K ˚
p˚
a trippelpunkten (det motsvarande trycket Pt ¨ar 4.58 mmHg (611.73 Pa), allts˚
a mycket under
normaltryck).
vatten
is
gas
i jämvikt
idealgas som har
samma T som
vattenbehållaren
P,V m¨ats
PV = (konstant) (×273.16K )
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
32
Om man betraktar en mol av en gas kan man skriva
P V = RT (1 mol)
(39)
d¨ar konstanten R f¨or att uppfylla kriteriet ovan f˚
ar v¨ardet: R = 8.31 J/mol K = 8.31 107 erg/mol
K
Mera allm¨ant kan ekvationen skrivas
(40)
P V = κRT
d¨ar κ anger antalet mol i gasen
Ett alternativt och fysikaliskt mera intuitiv s¨att att beskriva samma sak f˚
ar man d˚
a man p˚
aminner
sig om att en mol av ett ¨amne inneh˚
aller
23
NA = 6.02 · 10 molekyler/mol
(41)
Nu kan man definiera en ny konstant
kB =
R
−16
−23
= 1.3810
· erg/K = 1.38 · 10 J/K
N0
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
(42)
33
som kallas Boltzmann’s konstant.
Nu kan man skriva om ekvation 40 som
(43)
P V = (κN0)kB T
och per definitionen p˚
a mol ser man att det totala antalet molekyler i gasen ¨ar
κN0 ≡ N
(44)
och f˚
ar d˚
a
P V = N kB T
idealgasens tillst˚
andsekvation
(45)
Denna ekvation b¨or alla fysiker k¨anna som om de skulle ha f˚
att den fr˚
an modersmj¨
olken!
Vi betraktar ¨annu enheterna i ekvationen. D˚
a P = F/A och
[F ] =
Termofysik, Kai Nordlund 2012
kgm
s2
(46)
JJ J I II ×
34
f˚
as
[P V ] =
kgm 1
s2 m 2
3
m =
kgm2
=J
s2
(47)
och vidare d˚
a
[N ] = 1
(48)
⇒ [kB T ] = J
(49)
Detta ¨ar konsistent med enheten f¨or kB som gavs ovan. Allts˚
a har kombinationen kB T dimensionen
energi.
Eftersom temperaturen alltid upptr¨ader multiplicerad med kB i kombinationen kB T kunde man
m¨ata temperaturen med energienheter:
θ = kB T
(50)
[θ] = J
(51)
θ ¨ar ett lika bra m˚
att p˚
a temperatur som variabeln T - blott enheten ¨ar olika.
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
35
Idealgaslagen kunde lika v¨al skrivas i formen
(52)
P V = Nθ
d¨ar θ ¨ar temperaturen angiven i energienheter.
Det finns allts˚
a ingen fysikalisk tv˚
ang att anv¨anda begreppet temperatur, allt kunde g¨oras i
energienheter. Men i icke-j¨amviktstermodynamik finns det system d¨ar partiklarna nog har kinetisk
energi, men ¨ar helt utanf¨or termodynamisk j¨amvikt. F¨
or dessa borde man strikt taget inte ange en
temperatur d˚
a de inte uppfyller kravet p˚
a termodynamisk j¨amvikt. D¨armed kan ett skilt begrepp p˚
a
temperatur vara nyttigt f¨or att anv¨andning av temperatur implicit p˚
aminner om att systemet d˚
a ¨ar
i eller n¨ara termodynamisk j¨amvikt.
Men givetvis ¨ar den fr¨amsta orsaken att begreppet temperatur anv¨ands historisk.
.
Vi betraktar ¨annu hur mycket en Kelvin ¨ar i andra enheter.
1K ⇒ θ = kB × 1K = 1.38 · 10
Termofysik, Kai Nordlund 2012
−23
(53)
J
JJ J I II ×
36
Den naturliga enheten f¨or sm˚
a energier ¨ar eV:
1eV = 1.60 · 10
Rumstemperaturen ¨ar T = 300K
−19
(54)
J
θ = 1eV ⇒ T = 11600 K
⇒θ=
(55)
300K
3
1
=
eV '
eV.
11600K(eV)
116
40
(56)
F¨
or j¨amf¨
orelses skull kan man n¨amna att molekylernas och fasta ¨amnenas bindningar typiskt ¨ar av
storleksordningen 1 eV. Rumstemperatur ¨ar allts˚
a ganska lite j¨amf¨
ort med detta.
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
37
I.4. Termodynamikens f¨
orsta grundlag
D˚
a alla makroskopiska system ¨ar uppbyggda av mikroskopiska best˚
andsdelar - atomer eller molekyler
- som r¨
or sig i enlighet med partikelmekanikens lagar, ¨ar ett makroskopiskt systems totala energi
konstant om det l¨amnas ost¨ort:
E=
XX
X p2
i
+
V (ri − rj ).
2m
i
i
i
j>i
(57)
H¨ar ¨ar p ¨ar r¨
orelsem¨angden och m massan f¨
or partikeln i i systemet, och V potentialenergin mellan
atomerna i och j . Vi antar f¨or enkelhets skull att partiklarna inte har inre energi.
F¨
or ost¨
orda system ¨ar
(58)
∆E = 0
Den totala energin ¨ar en funktion av v¨ardena p˚
a de makroskopiska eller termodynamiska variablerna
(59)
E = E(P, V ) eller E = E(T, V ).
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
38
Ett makroskopiskt system ¨ar isolerat om dess molekyler inte kan avge eller uppta energi direkt fr˚
an
omgivningen:
E = konstant
isolerat
system
∆ E (vakuum vs. system) = 0
vakuum
Man kan vidare t¨anka sig isolerade system som kan v¨axelverka med sin omgivning genom en enkel
mekanisk koppling som inte m¨ojligg¨or direkt molekyl¨ar energi¨
overf¨
oring:
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
39
växelverkan med
omgivningen via
en termiskt
isolerad kolv
Ett dylikt systems energi kan f¨or¨andras genom att det utf¨
or mekaniskt arbete p˚
a sin omgivning
∆E = −∆W.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
(60)
JJ J I II ×
40
Vid expansion g¨aller ∆W = P ∆V
F
A∆x = F ∆x,
A
(61)
f¨
orutsatt att volymf¨or¨andringen ¨ar s˚
a liten att trycket kan betraktas som of¨
or¨andrat (annars b¨or
man ha en integral o¨ver P i ber¨akningen, men detta ¨andrar inte grundargumentet s˚
a vi ignorerar
det h¨ar).
I differentialform kan samma sak skrivas
och d˚
a dE = −dW f˚
as
dW = P dV
(62)
dE = −P dV
(63)
System som inte ¨ar isolerade fr˚
an sin omgivning kan ¨andra sin energi ocks˚
a genom direkt ¨
overf¨oring
av energi via molekyl¨ara v¨axelverkningar vid systemets gr¨anser (v¨aggar). S˚
adana direkt¨
overf¨orda
energim¨angder kallas ”v¨armem¨angder”. Generellt g¨aller m.a.o. f¨
or icke-isolerade system att
∆E = ∆Q − ∆W
(64)
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
41
d¨ar allts˚
a
∆W = utf¨ort mekaniskt arbete
∆Q = v¨armem¨angd upptagen genom molekyl¨ara v¨axelverkningar
(65)
(66)
Denna princip kallas termodynamikens I grundlag.
∆E = ∆Q − ∆W
(67)
som allts˚
a ¨ar en direkt konsekvens av att energin bevaras.
I differentialform skrivs den I grundlagen ofta som
¯ − dW.
¯
dE = dQ
(68)
Tv¨arstrecken p˚
a differentialerna av Q och W har l¨aggts till f¨
or att betona att det inte ¨ar fr˚
aga
om differentialer av systemfunktioner: medan E kan skrivas som en funktion av termodynamiska
variabler, t.ex. E = E(P, V ) ¨ar Q och W storheter som beror av vilken process systemet
underg˚
ar!
Ett kanske bra s¨att att f¨orst˚
a skillnaden ¨ar att t¨anka sig att att alla f¨
or¨andringar i ett system skulle
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
42
pl¨
otsligt stoppas. D˚
a skulle Q = 0 och W = 0, men systemfunktionen E skulle fortfarande ha det
v¨arde som den hade just f¨ore stoppet, f¨or det ¨ar en inre egenskap hos systemet.
En speciellt viktig kategori av termodynamiska processer, dvs. processer som leder till energif¨
or¨andring i makroskopiska system ¨ar s.k. reversibla processer.
En reversibel process ¨ar en process som sker s˚
a l˚
angsamt i j¨amf¨
orelse med systemets relaxationstider
τ att systemet i varje skede av processen kan antas vara i j¨amvikt.
t0
t1
t2
t3
t4
t5 ... tN
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
t1 − t0 = ∆t ;
43
(69)
∆t >> τ
D˚
a ett system under varje skede av en reversibel process ¨ar i j¨amvikt ¨ar de termodynamiska
variablerna hela tiden v¨aldefinierade och processen kan beskrivs med en kurva i ett P - V diagram:
P
A
B
V
F¨
or reversibla process g¨aller t.ex. att
(70)
dW = P dV
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
44
F¨
or att ber¨akna det utf¨orda arbetet m˚
aste P(V) vara k¨and.
F¨
or isotermiska processer i idealgaser g¨aller t.ex. att
dW = P dV
P =
N kT
V
N kT = konstant
= N kT dV
V
och d¨armed
∆W =
Z
WB
dW =
WA
Z
VB
N kT
VA
VB
dV
= N kT (ln VB − ln VA) = N kT ln( )
V
VA
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
P
C2
A
C1
B
V
(71)
45
Arbetet utf¨
ort av systemet i en reversibel
process beror av processens v¨ag (notera
att i motsats till det f¨
oreg˚
aende exemplet ¨ar dessa processer inte n¨
odv¨andigtvis
isotermiska)
RB
WI = A,C P dV
1
RB
WII = A,C P dV
2
WI 6= WII
I en cyklisk process ˚
aterg˚
ar systemet till utg˚
angspunkten. Det utf¨
orda arbetet ¨ar inte 0 i en cyklisk
process ty
W = WI − WII 6= 0.
(72)
˚
A andra sidan ¨ar energif¨or¨andringen i ett system i en cyklisk process 0, ty energin ¨ar en tillst˚
andsvariabel som enbart beror p˚
a systempunktens plats i P - V diagrammet:
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
46
I
(73)
dE = 0
D˚
a i allm¨anhet
∆E = ∆Q − ∆W
(74)
och ∆E = 0 f¨or cykliska processer ¨ar
∆Q = ∆W i en cyklisk process.
Dvs. det utf¨
orda arbetet motsvarar den tillf¨
orda v¨armem¨angden.
Givetvis g¨aller ocks˚
a det motsatta, att om systemet tillf¨
ors v¨arme internt kan den g¨
ora arbete; detta
˚
aterv¨ander vi till senare under kursen d˚
a vi behandlar motorer.
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
47
I.4.1. Specifikt v¨
arme
F¨
or reversibla processer g¨aller att
(75)
dQ = dE + P dV.
CV = den v¨armem¨angd som m˚
aste tillf¨oras ett system f¨
or att ¨
oka dess temperatur med 1 grad eller
v¨arme¨
okningen per temperaturenhet vid konstant volym (dV = 0)
CV = (
dQ
)V
dT
⇐⇒
CV = (
(76)
dQ = CV dT
∂E
)V
∂T
(77)
CP = den v¨armem¨angd som m˚
aste tillf¨
oras f¨
or att h¨
oja temperaturen med en grad vid konstant
tryck:
CP = (
Termofysik, Kai Nordlund 2012
dQ
∂E
∂V
)P = (
)P + P (
)P
dT
∂T
∂T
(78)
JJ J I II ×
48
I.4.2. Olika slag av processer
1) Isochoriska processer
V = konstant
P, T
t.ex. uppvärmning: ∆ E = ∆ Q
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
49
2) Isobariska processer
P = konstant
fritt rörlig kolv som
möjliggör tryckkonstans
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
50
3) Isotermiska processer
T = konstant
T
fritt rörlig kolv som
möjliggör tryckkontroll
JJ J I II ×
Termofysik, Kai Nordlund 2012
51
4) Adiabatiska processer
∆Q=0
fritt rörlig termiskt isolerad kolv
som möjliggör tryckkontroll
vakuum
Reversibla processer i termiskt isolerade system kallas adiabatiska processer. Vi beskrev redan ovan
att f¨
or ett isolerat system med en kolv g¨aller
dE = −dW
Termofysik, Kai Nordlund 2012
och d˚
a
dW = P dV =⇒ dE = −P dV
JJ J I II ×
(79)
52
D˚
a man kombinerar detta med den I grundlagen
dE = dQ − dW
(80)
ser man att f¨or adiabatiska processer dQ = 0, vilket ju iofs. ¨ar uppenbart d˚
a systemet ¨ar termiskt
isolerat...
Med adiabatisk v¨
agg menas en v¨agg som inte leder n˚
agon v¨arme igenom sig. I verkligheten finns
inga s˚
adana v¨aggar, men vakuum- (“termos”)-flaskor kommer ofta tillr¨ackligt n¨ara f¨
or praktiskt
bruk.
I modern forskning anv¨ands “adiabatisk” ofta just f¨
or att betona reversibiliteten, dvs. att processen
sker s˚
a l˚
angsamt att den hinner hitta lokal j¨amvikt f¨
orr¨an n˚
agon global f¨
or¨andring sker. I detta bruk
av begreppet l¨agger man mindre vikt p˚
a villkoret dQ = 0.
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
53
Vad har du ˚
atminstone l¨
art dig i detta kapitel?
• Du vet vad termofysik ¨ar
• Du f¨orst˚
ar skillnaden mellan j¨amvikt och oj¨amvikt
• P V = N kB T och dess inneb¨ord
• Termodynamikens I grundlag ¨ar en form av energins bevarelselag
Termofysik, Kai Nordlund 2012
JJ J I II ×
54