Transcript PDF 1x2

10. Kretsar med l˚
angsamt varierande str¨
om
[RMC]
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.1
10.1. Villkor f¨
or ”l˚
angsamt varierande”
I detta kapitel behandlas den teori som kan anv¨andas f¨
or att analysera kretsar med l˚
angsamt
varierande str¨
om.
En str¨
om ¨ar ”l˚
angsamt varierande” om den inte ger upphov till signifikanta energif¨
orluster p.g.a.
str˚
alning.
Detta villkor ¨ar ekvivalent med att kr¨ava att kretsens linj¨ara dimension L ¨ar mycket mindre ¨an
v˚
agl¨angden λ i vakuum f¨or den drivande sp¨anningens vinkelfrekvens ω (i enheter av 1/s):
Lλ=
2π
c
c≡
ω
ν
(10.1)
d¨ar ν ¨ar frekvensen i enheter av hertz (Hz).
Om vi anv¨ander L = λ/10 som villkor, f˚
ar vi f¨
oljande linj¨ara maximidimensioner:
Frekvens (Hz)
50
106 (AM)
10 · 106
100 · 106 (FM, TV)
109 (mobiltelefoni)
1010 (mikrov˚
agor)
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
λ/10 (m)
6 × 105
30
3, 0
0, 30
0, 030
0, 0030
JJ J I II ×
10.2
F¨
or en normalstor krets kan vi med andra ord anv¨anda drivande sp¨anningar med frekvenser upp till
∼ 107 Hz, f¨orutsatt att analysen sker med de metoder som vi nu kommer att behandla.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.3
10.2. Transient och station¨
art beteende
D˚
a en krets kopplas till en periodisk eller konstant sp¨anning uppkommer en varierande — transient
— str¨
om, som s˚
a sm˚
aningom stabiliseras till en periodisk eller konstant str¨
om. Detta stabila tillst˚
and
kalls ocks˚
a station¨
art (eng. steady state).
Vi kommer i det f¨oljande att behandla transient beteende i kretsar med konstant drivande sp¨anning
och station¨art beteende f¨or harmoniska drivande sp¨anningar.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.4
10.3. Transient beteende f¨
or konstanta drivsp¨
anningar
Vi granskar nu det transienta beteendet hos n˚
agra element¨ara kretsar, som drivs av en konstant
sp¨anning.
10.3.1. RL-krets
Kirchhoffs II lag
(10.2)
E + V = RI
ger
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
V = RI + L
dI
dt
10.5
(10.3)
L¨
osningen till denna differentialekvation ¨ar
I(t) =
V
V
−t/(L/R)
−t/tc
− I1 e
≡
− I1e
R
R
(10.4)
d¨ar I1 ¨ar en konstant.
Vid starten t = t0 sluts kretsen, s˚
a I(t = t0) = 0:
0=
V
−t /t
− I1e 0 c
R
(10.5)
V t0/tc
e
R
(10.6)
Detta ger
I1 =
s˚
a att vi f˚
ar
I(t) =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
i
V h
−(t−t0 )/tc
1−e
R
(10.7)
JJ J I II ×
10.6
Tidskonstanten f¨or denna krets ¨ar allts˚
a
tc =
L
R
(10.8)
10.3.2. RLC -krets
Kirchhoffs II lag:
Q
1
0
V = RI + LI (t) +
= RI + LI (t) +
C
C
d¨ar vi betecknat I 0(t) = dI/dt.
0
Z
t
dtI(t)
(10.9)
0
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.7
Derivera en g˚
ang med avseende p˚
a tiden:
dV
I
0
00
= RI (t) + LI (t) +
=0
dt
C
(10.10)
eftersom sp¨anningen ¨ar konstant. Vi f˚
ar
00
I (t) +
R 0
1
I (t) +
I =0
L
LC
(10.11)
L¨
osningen ¨ar
d¨ar
iωt
−iωt
−t/(2L/R)
I(t) = Ae + Be
e
ω=
s
(10.12)
R2
1
−
LC
4L2
(10.13)
Vi b¨
or nu ta reda p˚
a v¨ardet p˚
a (de komplexv¨arda) konstanterna A, B .
Vid t = 0 g¨aller I(t = 0) = 0:
0 = A + B =⇒ B = −A
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(10.14)
JJ J I II ×
10.8
s˚
a att
iωt
−iωt
−t/(2L/R)
−t/(2L/R)
I(t) = A e − e
e
= A2i sin(ωt)e
(10.15)
Str¨
ommen ¨ar reell, s˚
a A m˚
aste vara imagin¨ar. Definiera D = 2Ai s˚
a att vi f˚
ar
I(t) = D sin(ωt)e
−t/(2L/R)
(10.16)
D ¨ar fortfarande ok¨and. F¨or att best¨amma det ˚
aterg˚
ar vi till det ursprungliga uttrycket f¨
or V , vilket
ger:
1
V = RI(t) + LI (t) +
C
0
Z
t
(10.17)
dtI(t)
0
D˚
a t = 0 g¨aller I = 0 s˚
a man f˚
ar med att derivera I(t) som just best¨amts ovan:
1
−t/(2L/R) V = LI (t) = LD(ω cos(ωt) − sin(ωt)
)e
= LDω
2L/R
t=0
0
s˚
a att
D=
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
V
V
=p
ωL
L/C − R2/4
(10.18)
(10.19)
JJ J I II ×
10.9
Vi har nu f˚
att en oskillerande krets, trots att den drivande sp¨anningen ¨ar konstant. Dock avtar
amplituden med tiden, s˚
a denna oskillation d¨
or bort efter n˚
agra tidskonstanter tc. Denna ¨ar
tc =
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
2L
R
(10.20)
JJ J I II ×
10.10
10.4. Station¨
art beteende f¨
or harmoniska drivsp¨
anningar
Vi granskar nu det station¨ara beteendet hos n˚
agra element¨ara kretsar, som drivs av en harmonisk
(sinusoidal) sp¨anning.
I dylika r¨akningar ¨ar det mycket enklare att r¨akna med komplexv¨arda sp¨anningar och str¨
ommar,
eftersom de trigonometriska funktionerna d˚
a ers¨atts med exponentialfunktioner, som ¨ar l¨attare att
manipulera.
Om vi anv¨ander den drivande sp¨anningen
V (t) = V0e
iωt
(10.21)
f˚
ar vi ut en komplexv¨ard str¨om
I(t) = I0e
iωt
(10.22)
F¨
or att f˚
a den fysikaliska str¨ommen m˚
aste vi f¨
orst besluta om v˚
ar fysikaliska sp¨anning ¨ar real- eller
iωt
imagin¨ardelen av V0e . Om vi v¨aljer imagin¨ardelen har vi
VP (t) = Im[V (t)] = V0 sin(ωt)
(10.23)
Vi m˚
aste nu g¨ora samma val f¨or att f˚
a den fysikaliska str¨
ommen:
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
IP (t) = Im[I(t)]
?
?
10.11
(10.24)
?
Oftast v¨aljer man att V0 ¨ar reell, men detta betyder inte att I0 ¨ar det. I sj¨alva verket inkorporerar
man en eventuell fasf¨orskjutning mellan sp¨anning och str¨
om i den komplexa konstanten I0.
10.4.1. RLC -krets
Kirchhoffs II lag:
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.12
Z
1
V = RI + LI (t) +
C
0
t
(10.25)
dtI(t)
0
Derivera med avseende p˚
a t:
dV
I
0
00
= RI (t) + LI (t) +
dt
C
(10.26)
Detta ger nu
iωV0e
iωt
=
iωRI0e
iωt
2
− ω LI0e
iωt
+
I0 iωt
e
C
(10.27)
d¨ar vi har skrivit str¨ommen som I(t) = I0eiωt.
Dividera nu med iωeiωt:
V0
=
(R + iωL +
≡
ZI0
1
)I0
iωC
(10.28)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.13
d¨ar Z kallas impedans. F¨or denna seriekopplade krets har vi att
Z = R + iωL − i
1
≡ R + i(XL + XC )
ωC
(10.29)
d¨ar XL ¨ar den induktiva reaktansen och XC den kapacitiva reaktansen.
Impedansen kan alltid skrivas
Z ≡ |Z|e
iφ
(10.30)
d¨ar |Z| ¨ar impedansens storlek och φ en fasf¨
orskjutning.
Det g¨aller i detta fall ur grundl¨aggande komplexalgebra att
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
|Z|
=
tan φ
=
s
R2
+
ωL −
1
ωL −
ωC
2
(10.31)
1
ωC
(10.32)
R
JJ J I II ×
10.14
Str¨
ommen ¨ar nu
I(t) =
V (t)
V (t)
V0 iωt−iφ
=
=
e
Z
|Z|eiφ
|Z|
(10.33)
Den verkliga str¨ommen ¨ar
IP (t)
V (t)
]
Z
=
Im[I(t)] = Im[
=
V0
i(ωt−φ)
Im[e
]
|Z|
=
V0
sin(ωt − φ)
|Z|
(10.34)
I denna krets kommer str¨ommen att variera harmoniskt, s˚
a att den ¨ar f¨
ore eller efter sp¨anningen,
beroende p˚
a tecknet f¨or fasvinkeln φ.
L˚
at oss se hur resistansen, induktansen och kapacitansen kan p˚
averka str¨
ommens styrka var f¨
or sig.
Vi har ju
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
XL
ω2
ωL
=
=
XC
1/(ωC)
1/(LC)
10.15
(10.35)
Fr˚
an detta f˚
ar vi tv˚
a huvudsakliga asymptotiska fall:
√
(1) Om XL XC s˚
a g¨aller ω 1/ LC
|Z|
≈
tan φ
≈
och
p
R 2 + ω 2 L2
(10.36)
ωL
R
(10.37)
(1 a) Om nu R ωL s˚
a g¨aller ω R/L och
|Z|
≈
ωL
tan φ
≈
∞
(10.38)
⇒
φ ≈ π/2
(10.39)
I det h¨ar fallet ges str¨ommens amplitud allts˚
a av V0/(ωL). Om vinkelfrekvensen ¨ar tillr¨ackligt stor
(men s˚
a att den uppfyller villkoret f¨or ”l˚
angsamt varierande” str¨
om) s˚
a blir str¨
ommen liten.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.16
(1 b) Om ist¨allet R ωL s˚
a g¨aller ω R/L och
|Z|
≈
R
tan φ
≈
0
√
(2) Om XL XC s˚
a g¨aller ω 1/ LC
(10.40)
⇒
φ≈0
(10.41)
och
|Z|
≈
q
tan φ
≈
−
R2 + 1/(ω 2C 2)
(10.42)
1
ωRC
(10.43)
(2 a) Om nu R 1/(ωC) s˚
a g¨aller ω 1/(RC) och
|Z|
≈
1/(ωC)
tan φ
≈
−∞
(10.44)
⇒
φ ≈ −π/2
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(10.45)
10.17
Str¨
ommens amplitud blir nu ωCV0, d.v.s. ju st¨
orre kapacitans och vinkelfrekvens vi anv¨ander, desto
starkare blir str¨ommen.
(2 b) Om ist¨allet R 1/(ωC) s˚
a g¨aller ω 1/(RC) och
|Z|
≈
R
tan φ
≈
0
(10.46)
⇒
φ≈0
(10.47)
Resonans
Om den drivande sp¨anningen har en s˚
adan vinkelfrekvens ωR att φ = 0, kommer str¨
om och
sp¨anning att vara i fas (fall 1b och 2b ovan). Detta betyder att |Z| = R s˚
a att:
1
ωR = √
LC
(10.48)
Detta ger
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.18
IP (t) =
V0
sin(ωR t)
R
(10.49)
Str¨
ommen ser allts˚
a ut som str¨ommen i en ren R-krets, och sp¨anning och str¨
ommen s¨ags vara i
resonans.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.19
10.5. Serie- och parallellkoppling av impedanser
I f¨
oeg˚
aende sektion fick vi att f¨or en krets d¨ar R, L, C ¨ar kopplade i serie kan den drivande
sp¨anningen skrivas
V
iωt
=
V0e
=
ZI0e
=
≡
iωt
= ZI
1
)I
iωC
(ZR + ZL + ZC )I
(R + iωL +
(10.50)
eftersom R, L, C ¨ar i serie.
Vi har ni visat att impedanserna f¨
or en resistor, induktor och kondensator ¨ar
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.20
ZR
=
R
(10.51)
ZL
=
iωL
(10.52)
ZC
=
i
1
=−
iωC
ωC
(10.53)
Impedansen f¨
or en seriekoppling av N impedanser ¨ar allts˚
a
Z=
N
X
(10.54)
Zi
i=1
Om impedanserna ¨ar kopplade parallellt s˚
a har vi att sp¨anningen ¨
over dem ¨ar densamma, Vi = Vj ,
s˚
a att
⇒
V = Vi = Vj
ZiIi = Zj Ij
(10.55)
(10.56)
Men totalstr¨
ommen ¨ar
V
I =
= Ii + Ij = V
Z
1
1
+
Zi
Zj
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.21
s˚
a att
1
=
Z
1
1
+
Zi
Zj
(10.57)
Impedansen f¨or en parallellkoppling av N impedanser ges allts˚
a av uttrycket
N
X
1
1
=
Z
Zi
i=1
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
(10.58)
JJ J I II ×
10.22
Exempel : R och C parallellkopplade. Best¨am str¨ommarna.
Kirchhoffs II lag:
V (t) = V0e
iωt
1
= RI1(t) =
C
Z
t
dtI2(t)
(10.59)
0
d¨ar
(10.60)
I(t) = I1(t) + I2(t)
Vi f˚
ar
I1(t) =
V0 iωt
e
R
(10.61)
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.23
och
V0 e
iωt
=
1
C
Z
t
(10.62)
dtI2(t)
0
Derivera med avseende p˚
a tiden:
iωV0e
iωt
=
1
I2(t)
C
(10.63)
Vi f˚
ar
I2(t) = iωCV0e
iωt
= ωCV0e
i(ωt+π/2)
(10.64)
Totala str¨
ommen ¨ar
I(t) = V0
1
iπ/2
+ ωCe
R
e
iωt
(10.65)
Om den fysikaliska drivsp¨anningen ¨ar V (t)P = V0 sin(ωt) f˚
as nu str¨
ommarna
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
I1,P (t)
=
(V0/R) sin(ωt)
(10.66)
I2,P (t)
=
ωCV0 sin(ωt + π/2)
(10.67)
JJ J I II ×
10.24
Med ν = 100 Hz, R = 100 Ω, C = 10−6 F och V0 = 10 V f˚
as f¨
oljande graf:
0.15
I1
I2
Itotal
Strom (A)
0.1
0.05
0.0
-0.05
-0.1
-0.15
0
1
2
3
Fas, t
4
5
6
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.25
Om kapacitansen h¨ojs med en faktor 10 till C = 10−5 F:
0.15
I1
I2
Itotal
Strom (A)
0.1
0.05
0.0
-0.05
-0.1
-0.15
0
1
2
3
Fas, t
4
5
6
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.26
10.6. Effektfaktor
Den momentana effekt som konsumeras av en belastning (eng. load ) eller belastande komponent/krets i en v¨axelstr¨omskrets ¨ar
(10.68)
P (t) = IP (t)VP (t)
F¨
or en harmonisk drivande sp¨anning g¨aller (jfr. ekvationerna 10.23 och 10.34):
P (t) = V0|I0| sin(ωt) sin(ωt − φ)
(10.69)
Observera att denna effekt kan vara b˚
ade positiv och negativ. Negativ effekt betyder att kretsen ger
effekt tillbaka till sp¨anningsk¨allan.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
1.0
= - 90
= - 60
= - 30
=0
0.8
0.6
Momentan effekt, P(t)/(V0 |I0|)
Momentan effekt, P(t)/(V0 |I0|)
1.0
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
0
1
2
3
4
Fas, t
5
6
7
10.27
=0
= 30
= 60
= 90
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0
-0.2
-0.4
8
0
1
2
3
4
Fas, t
5
6
7
Tidsmedelv¨ardet ¨over en period T = 1/ν = 2π/ω ¨ar
hP (t)i
=
=
=
1
V0|I0|
T
1
V0|I0|
T
1
V0|I0|
T
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
Z
Z
T
dt sin(ωt) sin(ωt − φ)
0
T
0
dt sin(ωt)(sin(ωt) cos φ − cos(ωt) sin φ)
cos φ
Z
T
0
2
dt sin (ωt) − sin φ
Z
T
dt sin(ωt) cos(ωt)
0
JJ J I II ×
!
10.28
8
=
=
=
1
V0|I0|
T
V0|I0|
cos φ
1
cos φ
T
1
V0|I0| cos φ
2
Z
Z
T
0
T
t=T !
1
2
sin (ωt)
dt sin (ωt) − sin φ
2ω
t=0
2
2
dt sin (ωt)
0
(10.70)
eftersom sin(ωT ) = sin(2πνT ) = sin(2π) = 0. Den trigonometriska integralen kan l¨attast
utf¨
oras genom att skriva om sin(ωt) med exponentialfunktioner.
I ekvationen ovan kallas cos φ f¨or effekt-faktorn.
Observera att formeln ovan g¨aller endast f¨
or sinusoidala drivsp¨anningar och str¨
ommar.
JJ J I II ×
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
10.29
Exempel : F¨or en RLC -krets d¨ar resistansen dominerar ¨over reaktansen g¨aller
hP (t)i =
1 21
1 21
V0 cos 0 = V0
2 R
2 R
(10.71)
1 2 1
π
V0
cos = 0
2 ωL
2
(10.72)
Om den induktiva reaktansen dominerar:
hP (t)i =
Om den kapacitiva reaktansen dominerar f˚
as igen 0 p.g.a. fasvinkeln.
Man definierar ocks˚
a effektiv- eller rms-v¨
arden f¨
or sp¨anning Veff och str¨
om Ieff s˚
a att
hP (t)i =
1
V0I0 cos φ = VrmsIrms cos φ
2
(10.73)
rms ¨ar f¨
orkortning f¨or root-mean-square.
Ekvationen ovan ger
Vrms
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
=
V0
√
2
(10.74)
JJ J I II ×
10.30
Irms
=
I0
√
2
(10.75)
Den konsumerade effekten ¨ar maximal om impedansen ¨ar en ren resistans, eller om sp¨anningen och
str¨
ommen ¨ar i resonans p.g.a. l¨amplig kombination av induktiv och kapacitiv reaktans. I b˚
ada fallen
f˚
as φ = 0.
F¨
or att effekten i en str¨om ber¨or p˚
a fasskillnaden φ mellan V och I , och denna inte alltid ¨ar l¨att
att best¨amma i praktiska fall, anv¨ander man i praktiskt bruk ofta ocks˚
a enheten VA (volt-ampere)
f¨or att beskriva v¨axelstr¨om. Denna storhet, som betecknas helt enkelt VA, definieras som
(10.76)
V A = VrmsIrms
och ¨ar allts˚
a lika med effekten P endast ifall φ = 0. Oftast anges VA som kilo-VA och betecknas
KVA (notera det stora “K”:et!)
Skillnaden mellan effekt och VA ¨ar allts˚
a effektfaktorn och definieras i praktiskt bruk som
PF =
P
VA
(10.77)
Uppenbart g¨aller att
(10.78)
P F = cos φ
[http://www.powerstream.com/VA-Watts.htm]
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.31
Exempel : Typiskt anv¨ands KVA i reservstr¨omk¨allor som UPS:ar (“uninterrupted power source”).
F¨
or att tillverkaren av dessa om¨ojligen kan i f¨
orv¨ag veta vad fasfaktorn i maskinerna som UPS:en
kopplas till ¨ar, anger de g¨arna ist¨allet kapaciteten som KVA, som allts˚
a anger hur mycket effekt
UPS:en ger ifall den kopplas till ett rent resistiv system med φ = 0. F¨
or alla andra fall ges mindre
effekt, och anv¨andaren m˚
aste veta sin effektfaktor f¨
or att veta UPS:ens kapacitet.
Vanlig n¨atstr¨
om i Finland anges ju ha sp¨anningen 220 V. Detta ¨ar i sj¨alva verket just rms-sp¨anningen,
maximisp¨anningen ¨ar allts˚
a h¨ogre, ung. 310 V.
Elektrodynamik, vt 2013, Kai Nordlund
JJ J I II ×
10.32