Transcript ELTEKNIK

ELTEKNIK
av
GUNNAR PETERSSON
Teoretisk Elektroteknik
Alfv´
enlaboratoriet
Kungl Tekniska H¨
ogskolan
100 44 Stockholm
Denna kursbok a¨r en n˚
agot f¨orkortad version av boken ELKRETSTEKNIK, som ett
flertal ˚
ar anv¨ants vid Kungl Tekniska H¨ogskolan, dels i civilingenj¨orsundervisningen i
grundl¨aggande kurserna i elkretsanalys p˚
a linjerna D, E och F, dels ocks˚
ai
ingenj¨orsutbildningen p˚
a flera h˚
all i landet. Sedan tidigare utg˚
ava har avsnitt om
operationsf¨orst¨arkaren med grundl¨aggande kopplingar och till¨ampningsexempel
tillkommit, samt ett om SPICE. Dessa till¨agg har utarbetats av Peter Fuks, som sedan
ett antal ˚
ar varit kursansvarig p˚
a elkretskurserna p˚
a D och E p˚
a KTH.
Kompendiet inneh˚
aller grundl¨aggande teori och ett stort antal till¨ampningsuppgifter.
Samtliga exempel har svar, ett stort urval av dem har ocks˚
a fullst¨andiga l¨osningar. Stor
vikt har lagts vid behandlingen av kretsar med hj¨alp av den komplexa metoden samt
enkla inkopplingsf¨orlopp, och till¨ampningar p˚
a s˚
av¨al filterkretsar, kopplade kretsar och
f¨orst¨arkarkretsar ing˚
ar.
c Gunnar Petersson
Stockholm, 2004
Boken kan best¨allas fr˚
an:
Alfv´enlaboratoriet
Kungl. Tekniska H¨ogskolan
100 44 Stockholm
Tel: 08 – 790 81 96
Kapitel 4
Allm¨
anna tidsf¨
orlopp
4.1
4.1.1
Inkopplingsf¨
orlopp
Spolen
N¨ar man ansluter en liksp¨anning U0 till en spole, (R, L) dr¨ojer det en stund innan
str¨ommen genom spolen antar sitt slutv¨arde, likstr¨ommen I0 = U0 /R.
Figuren visar str¨ommens utseende som
funktion av tiden. Tidpunkten f¨or
inkopplingen s¨atter vi till t = 0.
Ber¨akningen grundar sig p˚
a att sambandet
mellan str¨om och sp¨anning f¨or en spole med
induktansen L och resistansen R ¨ar
di
u(t) = Ri + L
dt
Denna 1:a ordningens differentialekvation skall vi nu
l¨osa med den inskr¨ankningen, att den anslutna
sp¨anningen f¨or t > 0 a¨r en liksp¨anning U0 och att
str¨ommen f¨ore inkopplingen var noll. Detta inneb¨ar
att det begynnelsev¨arde, som fordras f¨or l¨osningen
av v˚
ar 1:a ordningens differentialekvation a¨r
i(t) = 0 f¨or t = 0
Vi f˚
ar allts˚
a f¨oljande ”matematiska” modellproblem att l¨osa

di



+ Ri = U0
 L
f¨or
t>0



 i(t) = 0
f¨or
t=0
dt
75
dy
b
+ ay = b har den allm¨anna l¨osningen y = + Ae−ax
dx
a
d¨ar A a¨r en godtycklig konstant. Begynnelsev¨ardet y(0) ger sedan A ur sambandet
b
y(0) = + A.
a
I v˚
art problem har vi derivator med avseende p˚
a tiden, och efter division med L f˚
ar vi
di R
U0
+ i=
dt L
L
Allm¨anna l¨osningen blir d˚
a, analogt med den nyss presenterade
R
U0
i(t) =
+ Ae− L t
R
Skall nu i(t) = 0 vid t = 0, s˚
a g¨aller vid t = 0
Vi erinrar oss att en ekvation
U0
U0
+ A varur A = −
R
R
R
U0
(1 − e− L t )
Detta ger i(t) =
R
0=
I kurvan, som inledde detta avsnitt, satte vi
4.1.2
U0
= I0 .
R
Tidkonstanten
Som vi ser av uttrycket f¨or str¨ommen antar den sitt slutv¨arde, likstr¨omsv¨ardet, f¨orst
efter o¨andlig tid. Man kan karakterisera inkopplingsf¨orloppet genom att ta reda p˚
a den
s˚
a kallade tidkonstanten (τ ). Man har kommit o¨verens om att anv¨anda f¨oljande
definition:
τ ¨ar den tidpunkt, efter vilken avvikelsen fr˚
an slutv¨ardet
a¨r mindre a¨n 1/e (≈ 37%) av skillnaden mellan slutv¨arde
och begynnelsev¨arde.
R
L
F¨or spolen ser vi att detta intr¨affar, d˚
a exponenten − t = −1 dvs d˚
at=
= τ.
L
R
Allts˚
a:
L
Tidkonstanten f¨or en spole a¨r R
Exempel:
Visa att tidsderivatan av str¨ommen i inkopplings¨ogonblicket sk¨ar linjen
L
i(t) = I0 = U0 /R vid t = τ = .
R
76
L¨
osning:
di
U0
Str¨ommens derivata vid t = 0 a¨r
=
.
dt
L
Ekvationen f¨or en linje genom origo med
denna lutning a¨r
i=t·
U0
L
Denna sk¨ar linjen
i = I0 = U0 /R
i punkten t =
4.1.3
Ex4.1
¨
Ovningsexempel
En ideal spole med induktansen L ansluts vid tidpunkten t = 0 till en ideal
sp¨anningsk¨alla med emken U0 .
Best¨am str¨ommen.
Svar:
Ex4.2
L
, vilket just a¨r tidkonstanten τ .
R
U0
t
L
En spole med induktansen L och resistansen R ansluts vid t = 0 till en ideal
sp¨anningsk¨alla med emken U0 . Best¨am str¨ommen som funktion av tiden och rita in den
i ett diagram f¨or L = 1 mH , R = 10 Ω och U0 = 6 V.
Svar:
0, 6 (1 − e−10000t/[s] ) A
77
L
4.2
Kondensatorn
En uppladdad kondensator kommer, om den
kopplas bort fr˚
an batteriet, att laddas ur.
Urladdningskurvan blir en exponentialfunktion
av tiden, n¨amligen
1
u(t) = U0 e− RC t
d¨ar U0 ¨ar kondensatorns sp¨anning vid
tidpunkten t = 0.
C ¨ar kondensatorns kapacitans och R ¨ar dess
l¨ackresistans.
Denna l¨ackresistans h¨arr¨or fr˚
an det material, som
finns mellan kondensatorplattorna. Material har
an noll, och
alltid n˚
agon konduktivitet (σ) skild fr˚
denna ger en str¨om genom materialet.
Den avbildade ”plattkondensatorn” f˚
ar en j¨amnt f¨ordelad str¨om, som blir
1
1 l
i = u,
d¨ar R = ·
R
σ A
En modell av kondensatorn ges av kretsschemat, d¨ar man
har en kapacitans C parallellt med en resistans R .
Str¨ommen genom resistorn blir iR = u/R, medan
str¨ommen genom kapacitansen C blir
iC = C
du
dt
Kirchhoffs str¨omlag ger nu iC + iR = 0
dvs
C
1
du
+ u=0
dt
R
Denna 1:a ordningens differentialekvation a¨r av samma utseende som den vi fick f¨or
str¨ommen genom spolen i f¨oreg˚
aende avsnitt. Vi kan ju n¨amligen skriva uttrycket ovan
du
+ au = 0
dt
och l¨osningen till denna ekvation a¨r ju
(a =
1
)
RC
u = konstant · e−at
F¨or t = 0 skall kondensatorsp¨anningen vara U0 , och allts˚
a m˚
aste konstanten vara U0 . Vi
f˚
ar allts˚
a f¨or sp¨anningen o¨ver kondensatorn
1
u = U0 e−at = U0 e− RC t
78
vilket a¨r just det uttryck, som vi skrev upp i b¨orjan av kapitlet.
Skriver vi detta uttryck med hj¨alp av tidkonstanten τ , f˚
ar vi
u = U0 e−t/τ
H¨ar ser vi att τ = RC
Allts˚
a:
Tidkonstanten f¨or en kondensator a¨r RC
Exempel
Best¨am sp¨anningen o¨ver en ideal kondensator med kapacitansen C , om den ansluts
till en liksp¨anningsk¨alla U0 , via en resistans R . (Vi menar med en ideal kondensator
en, som saknar f¨orluster, dvs konduktiviteten σ = 0.)
L¨
osning:
F¨or t > 0 a¨r kretsschemat detta. Kirchhoffs
sp¨anningslag ger
U0 − Ri − u = 0
F¨or sambandet mellan str¨om och sp¨anning hos en
kondensator g¨aller
i=C
du
dt
Ins¨atts detta i ekvationen ovan, och flyttar vi om termerna , s˚
a f˚
ar vi
du
1
1
+
u=
U0
dt
RC
RC
Allm¨anna l¨osningen till den ekvationen a¨r
1
u = U0 + ke− RC t
d¨ar k ¨ar en konstant, som skall best¨ammas ur begynnelsev¨ardet p˚
a
kondensatorsp¨anningen vid t = 0 . Antar vi att denna sp¨anning var noll i
a blir
inkopplings¨ogonblicket, skall u = 0 f¨or t = 0, och detta ger k = −U0 . Allts˚
kondensatorsp¨anningen f¨or t > 0
1
u = U0 (1 − e− RC t )
79
4.3
Begynnelsevillkor. Kontinuitet
F¨or en ideal kondensator a¨r som bekant sambandet mellan str¨om och laddning
dq
i=
dt
Om vi antar, att s˚
avs¨al str¨om som sp¨anning alltid a¨r a¨ndliga, dvs ingen av storheterna i
dq
¨ derivatan av en funktion a¨ndlig, s˚
vara a¨ndlig. Ar
a kan
eller q ¨ar ∞ , s˚
a m˚
aste ocks˚
a
dt
inte funktionen sj¨alv g¨ora n˚
agot spr˚
ang. Detta inneb¨ar allts˚
a, att laddningen q m˚
aste
vara kontinuerlig.
(Vi kan skriva
∆q = q(t0 + ∆t) − q(t0 ) =
t0+∆t
i(t) dt ≈ i(t0 )∆t.
t0
N¨ar ∆t → 0 s˚
a kommer ju ocks˚
a ∆q → 0 )
I en kondensator ¨
ar alltid laddningen kontinuerlig.
Eftersom u = (1/C) q m˚
aste ocks˚
a sp¨anningen o¨ver en kondensator vara kontinuerlig.
I en kondensator ¨
ar sp¨
anningen alltid kontinuerlig.
F¨or en spole g¨aller sambandet
dΦ
u = Ri +
dt
dΦ
vara a¨ndligt — och d˚
a m˚
aste Φ vara kontinuerligt.
H¨ar skall
dt
I en spole ¨
ar alltid ߬
odet kontinuerligt.
Mellan fl¨ode och str¨om g¨aller sambandet Φ = L · i. Av detta f¨oljer att om fl¨odet a¨r
kontinuerligt, s˚
a a¨r ocks˚
a str¨ommen kontinuerlig.
I en spole ¨
ar str¨
ommen alltid kontinuerlig.
80
4.4
Omkopplingar
Vi skall nu till¨ampa v˚
ara kunskaper om spolens och kondensatorns egenskaper f¨or att
l¨osa n˚
agra problem, d¨ar man g¨or en omkoppling inuti n¨atet. Vi g¨or det genom att
studera tv˚
a enkla problem. Dessa handlar enbart om kondensatorkretsar, men i
¨ovningsexemplen i slutet av kapitlet finns uppgifter med spolar.
Exempel
I kretsen ¨ar en ideal liksp¨anning med
k¨allsp¨anningen E ansluten. Vid en tidpunkt
t = 0 , d˚
a station¨art tillst˚
and r˚
ader, sl˚
as
omkopplaren K till, varvid resistorn R ansluts
parallellt med kondensatorn.
Ber¨akna kondensatorsp¨anningen f¨or t > 0 !
L¨
osning
t<0
Vi best¨ammer f¨orst tillst˚
andet f¨or t < 0 . Kondensatorn a¨r d˚
a uppladdad till samma
sp¨anning som liksp¨anningsk¨allan har, n¨amligen E .
D˚
a kondensatorsp¨anningen a¨r kontinuerlig, blir den E ¨aven strax efter omkopplingen.
E ¨ar allts˚
a det begynnelsev¨arde, som skall anv¨andas f¨or kondensatorsp¨anningen f¨or
t > 0!
t>0
Efter omkopplingen har n¨atet detta utseende.
St¨all upp Kirchhoffs str¨omlag f¨or punkten a.
C
u
u−E
du
+ +
=0
dt
R
2R
F¨orenkling ger diff-ekvationen
du
3
E
+
u=
dt
2CR
2CR
Ekvationen har denna allm¨anna l¨osning
u=
E
+ k e−(3/2CR)t
3
E
¨ar partikul¨arl¨osningen
3
k e−(3/2CR)t ¨ar allm¨anna l¨osningen till homogena ekvationen, d¨ar k ¨ar en konstant.
81
Best¨amning av k :
Begynnelsev¨ardet u (0) a¨r enligt resonemanget ovan lika med kondensatorsp¨anningen
f¨ore omkopplingen, n¨amligen E . Vi s¨atter in t = 0 i ekvationen och f˚
ar
2E
E
+ k varur k =
3
3
Nu a¨r allt best¨amt, och vi skriver upp den specifika l¨osningen till v˚
art problem f¨or
t>0
3
E
u (t) = [1 + 2e− 2CR t ] =Svar
3
2CR
Tidkonstanten a¨r f¨or detta problem
.
3
u (0) =
Exempel
Vi ¨oppnar nu i st¨allet omkopplaren K och g¨or
d¨arigenom resistorn R str¨oml¨os. Kalla
tidpunkten f¨or omkopplingen t = 0 . Vi antar att
station¨art tillst˚
and r˚
ader f¨ore omkopplingen.
Best¨am kondensatorsp¨anningen f¨or t > 0 !
L¨
osning:
t<0
I station¨art tillst˚
and flyter en likstr¨om genom
resistorerna, medan str¨ommen i
kondensatorgrenen a¨r noll. Kondensatorn
p˚
averkar inte likstr¨omsber¨akningarna.
Sp¨anningsdelning ger sp¨anningen o¨ver R :
uR =
R
E
E=
R + 2R
3
Denna sp¨anning ligger ocks˚
a o¨ver kondensatorn, och vi finner allts˚
a, att f¨or t < 0
g¨aller
uC = uR =
E
3
E
Kondensatorns sp¨anning a¨r kontinuerlig vid omkopplingen, och den a¨r d˚
a
¨aven
3
strax efter omkopplingen.
82
t>0
Efter omkopplingen har n¨atet detta utseende. I
denna enkla krets blir d˚
a
du u − E
C
+
= 0 dvs
dt
2R
1
E
du
+
u=
dt
2CR
2CR
E
Begynnelsev¨ardet u (0) =
ger
3
E
=E+k
3
varur
k=−
2E
3
2 − 1 t
e 2CR ] =Svar
3
(Kontroll: Vid t = ∞ skall kondensatorn vara helt uppladdad och allts˚
a ha
sp¨anningen E . S¨atter man t = ∞ i uttrycket ovan f˚
ar man u (∞) = E )
L¨osningen blir f¨or t > 0
u (t) = E [1 −
Tidkonstanten vid brytningen blir 2RC !
4.4.1
Ex4.3
En kondensator med kapacitansen 1 µF ansluts vid tidpunkten t = 0 till en
likstr¨omsk¨alla, som levererar likstr¨ommen 100 mA. Best¨am sp¨anningen o¨ver
kondensatorn, om den f¨or t < 0
a) a¨r oladdad,
b) har laddningen 2 µC!
Svar:
Ex4.4
¨
Ovningsexempel
a) u(t) = 105 t/[s] V
b) u(t) = (2 + 105 t/[s]) V
I vidst˚
aende krets levererar sp¨anningsk¨allan
liksp¨anningen E = 12 V.
a) Best¨am kondensatorsp¨anningen som
funktion av tiden!
b) Best¨am str¨ommen som funktion av tiden!
I b˚
ada uppgifterna antas att kondensatorn a¨r
oladdad f¨or t < 0, samt att R = 10 kΩ och
C = 1000 µF. Rita de s¨okta storheterna i ett
diagram!
Svar:
L
a) 12 (1 − e−0,1 t/[s] ) V
b) 1, 2 e−0,1 t/[s] V
83
L
Ex4.5
En ideal kondensator p˚
a 1 µF ¨ar uppladdad till sp¨anningen U0 . Vid t = 0 ansluts till den
en resistor med resistansen 2 kΩ. Best¨am tidkonstanten, dvs den tid som ˚
atg˚
ar f¨or att
sp¨anningen skall hinna sjunka till 1/e av utg˚
angsv¨ardet!
Svar:
4.5
2 ms
Sammanfattning
Inkoppl. av spole:
Tidkonstant, spole:
Inkoppl. av kond.:
Tidkonstant, kond:
4.6
U0
· [1 − e−(R/L)t ]
R
L
τ=
R
i=
U0 −(1/RC)t
·e
R
τ = RC
i=
¨
Ovningsexempel
Blandade exempel
Ex4.6
Best¨am str¨ommen 0, 1 µs efter det att
liksp¨anningsk¨allan har anslutits till n¨atet!
Svar:
Ex4.7
0, 23 mA
Vid tiden t = 0 ansluts sp¨anningsk¨allan till
n¨atet. Best¨am momentanv¨ardet av str¨ommen
genom spolen f¨or t > 0 !
Ledning: Tv˚
apolsatsen.
Svar:
Ex4.8
L
1, 8 (1 − e−3000 t/[s] )A
I vidst˚
aende krets intr¨affar en kortslutning vid t = 0.
Best¨am str¨ommen i kortslutningsledningen som
funktion av tiden!
Svar:
R
U0
(3 − 2 e− L t/[s] )
6R
84
L
Ex4.9
Vid tiden t = 0 ansluts liksp¨anningsk¨allan till
n¨atet. Best¨am str¨ommen fr˚
an sp¨anningsk¨allan
i f¨orsta o¨gonblicket efter tillslaget, dvs i(0+) !
Svar:
Ex4.10
0, 67 A
Best¨am sp¨anningen o¨ver C2 som funktion av tiden,
om omkopplaren K sl˚
as till vid tidpunkten t = 0 !
F¨or t < 0 a¨r b˚
ada kondensatorerna urladdade.
R = 250 Ω , C1 = 10 µF , C2 = 40 µF och
E = 1, 5 V.
Svar:
4.7
0, 3 1 − e−500 t/[s] V
f¨or t > 0
Pulskretsar med operationsf¨
orst¨
arkare
En operationsf¨orst¨arkare best˚
ar av resistorer och transistorer, som kan modelleras med
¨ de ing˚
beroende generatorer och resistorer. Ar
aende komponenterna ideala har de inga
kapacitanser eller induktanser. En ideal op-amp har allts˚
a inget minne.
4.7.1
Komparatorn
F¨ors¨oker man anv¨anda sin op-amp utan
˚
aterkoppling f˚
ar man en komparator.
Figuren visar sambandet mellan in-och
utsp¨anningarna, dvs op-ampens f¨orst¨arkning.
I exemplet har op-ampen f¨orst¨arkningen
50 000 ggr och den a¨r kopplad som inverterare.
Matningssp¨anningarna a¨r +12 V och -12 V.
Alla sp¨anningar i f¨orst¨arkaren m˚
aste d˚
a ligga
inom dessa gr¨anser. Det linj¨ara omr˚
adet f¨or
a op-ampen fungerar som f¨orst¨arkare)
U1 (d˚
ligger mellan +0,24 mV och -0,24 mV. Ligger
insp¨anningen utanf¨or dessa gr¨anser kommer
utg˚
angen att anta plus eller minus 12 V,
oberoende av v¨ardet p˚
a U1 . Op-ampen
bottnar. Den negativa lutningen beror p˚
a att
insignalen kopplas till den inverterade
ing˚
angen.
85
L
Anv¨ander vi v˚
ar vanliga approximation,
A = ∞ (ideal op-amp), blir det linj¨ara
omr˚
adet f¨or U1 lika med 0.
Detta a¨r ingen f¨orst¨arkare, den har ju bara tv˚
a
diskreta tillst˚
and p˚
a utg˚
angen. Komparatorn
kan anv¨andas till att j¨amf¨ora (komparera) en
signal med en referens (i det h¨ar fallet 0 V).
Utg˚
angen kommer d˚
a att signalera om
insignalen a¨r st¨orre eller mindre a¨n referensen,
dock inte hur mycket st¨orre eller mindre.
Typisk anv¨andning a¨r niv˚
avakt (som t. ex. st¨anger en kran n¨ar tanken fyllts till en
f¨oreskriven niv˚
a eller s¨atter p˚
a kylsk˚
apets motor n¨ar temperaturen a¨r f¨or h¨og). Man kan
se komparatorn som en en-bits A/D-omvandlare (analog-digital-omvandlare).
En A/D-omvandlare g˚
ar att bygga ut till
godtyckligt m˚
anga bitar genom att anv¨anda fler
komparatorer med l¨ampliga referenssp¨anningar.
H¨ar visar vi en tv˚
abitarsvariant.
Den enkla komparatorn a¨r f¨oga anv¨andbar d¨arf¨or
att om insignalen a¨r n¨ara referenssp¨anningen och
¨ar brusig (och det a¨r den alltid i praktiken)
kommer utsp¨anningen att hela tiden sl˚
a mellan
matningssp¨anningarna.
En b¨attre komparator f˚
ar man med hj¨alp av
positiv ˚
aterkoppling.
Anta igen att matningssp¨anningarna a¨r
±12 V. Op-ampens utg˚
ang kan d˚
a ligga p˚
a
n˚
agon av dessa sp¨anningar. Anta att U2 ¨ar
+12 V. Sp¨anningsdelning ger
a den
U + = +12R2 /(R1 + R2 ) V p˚
¨
ickeinverterande ing˚
angen. Ar d˚
a U1 mindre
¨an U + h¨ander ingenting men passeras denna
niv˚
a hoppar U2 till −12 V och den
ickeinverterande ing˚
angen f˚
ar
U − = −12R2 /(R1 + R2 ) .
Nu a¨r utsignalen stabiliserad ty insignalen a¨r betydligt st¨orre a¨n U − . Utsignalen byter
ar komparatorns utg˚
ang om
tecken f¨orst n¨ar insignalen sjunker under U − . Som synes sl˚
vid olika in-niv˚
aer beroende p˚
a om insignalen a¨r p˚
a v¨ag upp eller ner.
86
Ett s˚
adant beteende kallas f¨or hysteres. Nu a¨r
kopplingen immun mot st¨orningar. Den kallas
f¨or Schmitt-trigger i digitala sammanhang.
Bredden p˚
a hysteresslingan (avst˚
andet mellan
U + och U − ) kan enkelt varieras och anpassas
till olika till¨ampningar. Schmitt-trigger
anv¨ands mycket ofta i digital kommunikation
f¨or att ˚
aterst¨alla distorderade och/eller
bruskontaminerade signaler. En
Schmitt-trigger kan ocks˚
a byggas i
ickeinverterande utf¨orande.
Observera att i b˚
ada varianterna a¨r
˚
aterkopplingsmotst˚
andet anslutet till den
ickeinverterande ing˚
angen. Detta ger positiv
˚
aterkoppling.
4.7.2
Inkopplingsf¨
orlopp
I operationsf¨orst¨arkartill¨ampningar a¨r man inte begr¨ansad till resistorer i
˚
aterkopplingsn¨atet. Man kan a¨ven anv¨anda kondensatorer och (mindre ofta, de a¨r dyra
och tar mycket plats) induktorer.
4.7.3
Integratorn
Betrakta f¨oljande koppling.
Detta a¨r en inverterande f¨orst¨arkare.Kretsen
kan a¨ven ses som en integrator.
u1
du2
iR = iC =
= −C
R
dt
1
u2 = −
u1 dt
RC
87
Kopplas en s˚
adan f¨orst¨arkarkoppling efter en fyrkantv˚
agsgenerator erh˚
alls en
triangelv˚
ag. Ytterligare en integrator ger en kurvform sammansatt av parabelsegment.
Den ¨ar ganska lik en sinusv˚
ag och anv¨ands ofta just i st¨allet f¨or denna. Det a¨r n¨amligen
mycket enklare att generera en fyrkantsv˚
ag (och integrera den tv˚
a g˚
anger) a¨n en
sinusformad.
Ett problem man l¨att f˚
ar med en integrator a¨r att ing˚
angarna p˚
a op-ampen f¨or att
fungera beh¨over sm˚
a str¨ommar som kallas f¨or bias-str¨ommar. Dessa a¨r mycket sm˚
a och
ofta f¨orsumbara, dock inte i en integratorkoppling. Om ingenting g¨ors kommer
ing˚
angsstr¨ommen till den inverterande ing˚
angen att ladda upp kondensatorn, och s˚
a
sm˚
aningom kommer op-ampen att bottna.
Vi tar en titt p˚
a en vanlig inverterande
f¨orst¨arkare. Vi antar att insignalen a¨r 0 V. D˚
a
¨ar a¨ven utsignalen 0 V. Resistanserna R1 och
a parallellkopplade och en biasstr¨om
R2 ¨ar d˚
till den inverterande ing˚
angen producerar ett
sp¨anningsfall o¨ver dessa. Sp¨anningsfallet ligger
mellan jorden (den ickeinverterande ing˚
angen)
och den inverterande ing˚
angen. Den ˚
aterfinns
p˚
a utg˚
angen multiplicerad med den mycket
stora f¨orst¨arkningen.
Ett enkelt s¨att att kompensera f¨or detta a¨r att
koppla en resistans R mellan den
ickeinverterande ing˚
angen och jorden. V¨aljs
resistansen R lika med det parallellkoplade R1
och R2 f˚
as ett lika stort sp¨anningsfall p˚
a den
ickeinverterande ing˚
angen, under f¨oruts¨attning
att biasstr¨ommarna a¨r lika stora. Normalt a¨r
op-ampen symmetriskt uppbyggd och
sp¨anningarna tar ut varandra n¨astan helt.
88
0
F¨or att begr¨ansa den eventuella
restosymmetrin hos integratorn m˚
aste man
begr¨ansa likstr¨omsf¨orst¨arkningen. I en
integrator a¨r ju denna lika med
r˚
af¨orst¨arkningen. Man l¨oser problemet enkelt
med genom att koppla in en resistor parallellt
med kondensatorn.
4.7.4
Differentiatorn
Den till integratorn komplement¨ara kretsen,
differentiator, erh˚
alls om R och C byter
plats.
du1
1
iC = iR = C
= − u2
dt
R
du1
u2 = −RC
dt
Utsp¨anningen blir proportionell mot
insp¨anningens derivata.
4.7.5
Praktiska uppgifter
Exempel
Osqulda skall byta batteriet i sin fickr¨aknare. Hon vill inte att minnesinneh˚
allet skall
g˚
a f¨orlorat. Batteriet ger 3 V men minnet kr¨aver endast 1, 6 V vid 10 µA. N¨ar
Osqulda o¨ppnar sin fickr¨aknare ser hon en back-up-kondensator p˚
a 100 µF. Ber¨akna
tiden som hon har p˚
a sig f¨or att genomf¨ora batteriebytet. Ledning: Minnet kan ses
som en konstant resistans med ett sp¨anningsfall p˚
a 1,6 V vid en str¨om p˚
a 10 µA.
89
L¨
osning
¨ man endast intresserad av fickr¨aknarens
Ar
str¨omkonsumption kan den ers¨attas med f¨oljande
ekvivlent n¨at.
Vid tiden t ≤ 0 a¨r kondensatorsp¨anningen 3 V.
Vid t = 0 tas batteriet ut. Nu b¨orjar
kondensatorn urladdas genom R (minnet).
duC
uC = Ri = RC
dt
1
duC
+
uC = 0
dt
RC
Allm¨anna l¨osningen till denna ekvation a¨r uC (t) = Ae−t/RC
Begynnelsevillkoret vid t = 0 ger A = 3 V
Kondensatorsp¨anningen sjunker till U1 = 1, 6 V efter tiden T
U1 = Ae−T /RC
T = RC ln
ger
T
A
= ln
RC
U1
varur
A
= 10 s
U1
Exempel
Inspirerad av ”Det elektriska huset”,
en filmklassiker med Buster Keaton,
skall Osquar koppla br¨odrosten till sin
dator. Han vill anv¨anda seriell
f¨orbindelse, f¨or d˚
a blir kabeln billigare.
Han v¨aljer datakabel typ 2461 med
kapacitansen 167 pF/m. Br¨odrosten
st˚
ar i k¨oket. Datorn har Osquar
naturligtvis i sovrummet. Osquar vill
dra kabeln snyggt och d˚
a visar det sig
att han beh¨over 32 m kabel.
90
+
Trots det l˚
aga meterpriset blir hans ekonomi anstr¨angd och han tvingas v¨alja det
billigaste kommunikationsprotokollet, TTL. Ing˚
angsresistansen Rin f¨or grindar som
sitter i br¨odrosten a¨r mycket h¨og. Enligt TTL specifikationen betraktas sp¨anningar
¨over 2, 0 V som h¨oga. Utg˚
angsimpedansen f¨or datorns TTL-kretsar a¨r n¨ara noll vid
l˚
ag niv˚
a ut och R = 200 Ω vid h¨og niv˚
a ut. Osquar vill naturligtvis ha s˚
a h¨og
kommunikationshastighet som m¨ojligt, vilket kr¨aver korta pulser.
Hj¨alp Osquar att ber¨akna l¨angden p˚
a den kortaste positiva TTL-puls han kan
¨overf¨ora i sitt system.
Str¨ombrytarna Tr1 och Tr2 (transistorer i verkliga TTL-grindar) a¨r aldrig i samma
tillst˚
and samtidigt.
L¨
osning
N¨ar Tr2 ¨ar sluten och Tr1 ¨oppen
(starttillst˚
andet) a¨r kabeln oladdad. Vid tiden
t = 0 sluter vi Tr1 och o¨ppnar samtidigt Tr2 .
Kabeln med kapacitansen C b¨orjar laddas genom
resistansen R och sp¨anningen o¨ver den stiger.
Det a¨r denna sp¨anning, uC som
br¨odrosten/kaffekokaren k¨anner av. Kirchhoffs
sp¨anningslag ger
E = uC + uR
F¨or resistansen g¨aller uR = Ri,
F¨or kapacitansen g¨aller
i=C
Ins¨attning ger diffekvationen
som har l¨osningen
duC
dt
duC
E
1
+
uC =
dt
RC
RC
uC = E + Ae−t/RC
A ¨ar en konstant som ber¨aknas ur begynnelsevillkoret f¨or t = 0 , n¨amligen uC (0) = 0 ,
vilket ger A = −E .
L¨osningen blir allts˚
a
uC = E(1 − e−t/RC )
uC
E − uC
=
E
E
Om uc inte hinner blir lika med 2 V innan pulsen tar slut kommer den inte att
registreras som h¨og niv˚
a (logisk 1) av mottagargrinden.
E
T
= ln
RC
E − uC
Vidare a¨r
e−t/RC = 1 −
91
Ins¨attning av talv¨arden, dvs
E = 5 V , UC = 2 V , R = 200 Ω , C = 32 · 167 pF = 5, 3 nF ger
T
5
= ln = 0, 51
−6
1, 07 · 10 s
3
T = 0, 55 µs
vilket ger den s¨okta tiden
N¨ar den logiska ettan har registrerats kan pulsen avslutas utan att informationen g˚
ar
f¨orlorad. Tr2 ¨oppnas och Tr1 sluts. Kabeln urladdas praktiskt taget momentant.
4.7.6
Ex4.11
¨
Ovningsexempel
N¨ar man skall omvandla en analog signal till digital form anv¨ander man en
Sample&Hold-krets f¨ore omvandlaren. Kretsen har till uppgift att ta momentana prover
p˚
a signalen och h˚
alla dessa konstanta under den tid omvandlaren beh¨over f¨or att
digitalisera.
L
Detta realiseras genom att en kondensator f¨orst under
en mycket kort tid kopplas mellan tv˚
a noder d¨ar
sp¨anningen skall m¨atas och sedan kopplas till
omvandlarens ing˚
ang. Kondensatorns kapacitans v¨aljs
s˚
a liten som m¨ojligt f¨or att uppladdningen skall g˚
a fort
och f¨or att inte st¨ora m¨atobjektet.
N¨ar den a¨r kopplad till omvandlaren skall
tidkonstanten vara stor.
Vi vill att str¨ommen som dras fr˚
an m¨atobjektet skall vara mindre a¨n 40 µA 10 ns efter
anslutningen. M¨atobjektet kan ses som en tv˚
apolekvivalent med tomg˚
angssp¨anningen
E = 4 V och inre resistansen R1 = 100 Ω.
a. Dimensionera C ! (Kondensatorn antas vara urladdad fr˚
an b¨orjan. Vi tittar p˚
a den
f¨orsta samplingen.)
N¨ar sedan kondensatorn kopplas till omvandlaren kommer den att urladdas via dennas
ing˚
angsresistans, som a¨r R2 = 10 MΩ.
b. Ber¨akna hur l˚
ang tid omvandlaren har p˚
a sig f¨or att digitalisera signalen!
Kondensatorns sp¨anning f˚
ar inte sjunka mer a¨n 1% fr˚
an startv¨ardet.
Svar:
Ex4.12
a) C = 14, 5 pF
b) t2 = 1, 45 µs
Ett rel¨a a¨r en elektromekanisk komponent d¨ar ett system av kontakter man¨ovreras med
hj¨alp av en elektromagnet. D˚
a kan till- och fr˚
anslag av stora str¨ommar och sp¨anningar
styras med sm˚
a effekter. Emil skall bygga ett tjuvlarm till sin bil. Han har ett rel¨a d¨ar
spolens resistans a¨r 4 kΩ . Spolens induktans kan f¨orsummas.
Kontakterna a¨r normalt o¨ppna. F¨or att aktivera kontakterna kr¨avs en spolsp¨anning av
8 V och de f¨orblir slutna tills sp¨anningen sjunker till 6 V. Emil ansluter en siren till
bilbatteriet via ett kontaktpar. Han vill att sirenen skall tjuta i tio sekunder efter det
att tjuven vridit om startnyckeln eller tjuvkopplat. Emil, som inte har l¨ast Elteknik men
tror sig a¨ga n¨odig k¨annedom om elektriska kretsar, kopplar enligt f¨oljande:
92
L
Hj¨alp Emil att ber¨akna det erforderliga v¨ardet
p˚
a kapacitansen. Kan man med mycket enkla
medel g¨ora en grov uppskattning av detta
v¨arde? Bilbatteriet har tomg˚
angssp¨anningen
E = 12, 0 V. Inre resistansen kan f¨orsummas.
Svar
Ex4.13
C = 3, 6 mF
Grov uppskattning ger C ≈ 2, 5 mF
Jonas sambo fick en st¨ot n¨ar hon vidr¨orde stickproppen p˚
a en nyss anv¨and elvisp. F¨or
att bevisa att det bara var inbillning startar Osquar vispen igen, st¨anger av den, drar ut
stickproppen och k¨anner p˚
a dess stift. Han f˚
ar en a¨nnu kraftigare st¨ot! Nu blir han
nyfiken och unders¨oker fenomenet. Han upprepar experimentet och noterar att effekten
¨ar olika stark vid olika tillf¨allen trots att han ber¨or stiften omedelbart efter
fr˚
ankopplingen. Han skruvar is¨ar vispen och finner f¨oljande koppling:
L
C ¨ar en s.k. avst¨orningskondensator som
kr¨avs f¨or EU:s CE-m¨arkning.
a. Varf¨or a¨r st¨oten inte lika kraftig varje g˚
ang?
b. Med hj¨alp av sitt oscilloskop m¨ater Osquar
sp¨anningen mellan stickproppens stift. Det
visar sig att den minskar till h¨alften efter sex
sekunder. Efter hur l˚
ang tid minskar den till
1%?
Ledning: En icke ideal kondensator kan ses som en parallellkoppling av en ideal
kapacitans och en resistans.
Svar:
Ex4.14
Efter 40 s
I figuren visas en del av ett digitalt n¨at.
Konstrukt¨oren, som beh¨arskar den digitala tekniken
men har brister p˚
a den analoga sidan, placerade tv˚
a
parallella ledare med l¨angden n¨ara varandra med
kapacitansen per l¨angd C = 400 pF/m som f¨oljd.
N¨ar signalen i den o¨vre ledningen g˚
ar fr˚
an 0 V till 5 V f˚
ar man en st¨orning i den andra
ledningen. Hur l˚
ang f˚
ar den parallella sektionen vara innan st¨orningen resulterar i att en
falsk puls registreras av grinden B? Vi antar att det kr¨avs minst 2, 5 V f¨or detta.
93
L
Ledning: Kopplingen kan modelleras mha
detta n¨at, d¨ar C2 = 4 pF a¨r B-grindens
ing˚
angskapacitans, R = 100 Ω a¨r A-grindens
utresistans och C1 = C · ¨ar den o¨onskade
kapacitansen mellan ledarna.
U = 5 V.
Laddningarna hos kondensatorerna a¨r lika
stora.
Svar:
Ex4.15
Polisen utreder ett mord. F¨or att fastst¨alla tidpunkten m¨ater man temperaturen p˚
a
◦
◦
kylarvattnet i offrets bil. Den a¨r 60 n¨ar polisen anl¨ander och 40 en och en halv timme
senare. Ber¨akna n¨ar bilens motor st¨angdes av (d˚
a var temperaturen 95◦ ). Omgivande
luftens temperatur a¨r 20◦ .
Ledning: G¨or f¨oljande analogi: temperatur ⇔ potential, temperaturskillnad ⇔
sp¨anning, v¨armefl¨ode ⇔ str¨omstyrka, kylsystemmets massa ⇔ kapacitans och den
termiska resistansen mot omgivningen ⇔ resistans.
Svar:
Ex4.16
1 cm
82 min f¨ore f¨orsta m¨atningen.
L
P˚
a grund av n˚
agra tunga kurser har
Osqulda f¨orsummat sina krukv¨axter. F¨or
att rationalisera hanteringen bygger hon
en fuktindikator som skall p˚
aminna n¨ar
det ¨ar dags att vattna. Hon sticker tv˚
a
tr˚
adar ner i krukan. Resistansen mellan
tr˚
adarna a¨r en funktion av vattenhalten
(torr jord a¨r praktiskt taget oledande).
F¨or att f˚
a entydig indikering vill hon
anv¨anda en komparator. Den skall
j¨amf¨ora sp¨anningsfallet mellan tr˚
adarna i
krukan U1 med sp¨anningsfallet U2 ¨over
en k¨and resistans Rr som kan v¨aljas
olika stor (olika v¨axter kr¨aver olika
mycket vatten).
R2 = Rr = 10 kΩ . Genom experiment med sin favoritfikus fann Osqulda att den trivs
b¨ast n¨ar jordens resistans mellan tr˚
adarna a¨r R > 6 kΩ . Den beh¨over allts˚
a vattnas n¨ar
¨ jorden f¨or torr skall lampan som kopplas till komparatorns utg˚
R < 6 kΩ . Ar
ang lysa.
a komparatorns
Ber¨akna R1 samt komplettera kopplingsschemat med r¨att tecken p˚
ing˚
angar och lampans andra anslutning.
Svar:
L
R1 = 6 kΩ
94