Transcript Energitekniska formler med kommentarer

Energitekniska formler
med kommentarer
Energiteknik del 2
Anders Bengtsson
19 januari 2011
Sammanfattning
Det finns egentligen inga formler som alltid kan anv¨andas. Med
en formel t¨anker man sig ofta en kombination av bokst¨aver som man
hittar i en formelsamling som man stoppar in siffror i f¨or att r¨akna
ut ett svar. Men s˚
a fungerar det inte. En formel ¨ar alltid omgiven av
en ber¨attelse som talar om vad den kan anv¨andas till och hur den ska
anv¨andas. En formel m˚
aste anpassas till ett sammanhang. Att l¨osa
problem handlar om att ber¨atta den ber¨attelsen!
Ni har sett att det ¨ar s˚
a jag g¨or p˚
a tavlan. Jag skulle kunna
r¨akna genom alla uppgifter hemma och sedan p˚
a tavlan bara skriva ner det ”r¨atta” formlerna, stoppa in ”siffrorna” och sedan knappa
p˚
a r¨aknaren. D˚
a skulle vi ”hinna” m˚
anga uppgifter. Men skulle ni l¨ara
er n˚
agot?
Jag tror inte det. N¨ar jag l¨oser ett problem ber¨attar jag en ber¨attelse.
Jag ritar figurer, jag tar reda p˚
a vad vi vet om systemet, inte bara givna data, utan ocks˚
a annat som inte uttrycks i siffror i uppgiftstexten.
Jag tar reda p˚
a vad som ska r¨aknas ut. Jag f¨ors¨oker f¨orst˚
a hur systemet fungerar egentligen. S˚
a sm˚
aningom klarnar det vilka formler som
kan anpassas till och till¨ampas p˚
a problemet.
Att skriva en formelsamling blir d˚
a ocks˚
a att ber¨atta en historia.
Den kommer h¨ar.
1
1 Enkel modell f¨
or energitekniska system
Figuren visar en starkt schematiskt modell av ett v¨armetekniskt system d¨ar energiutbytet med systemets omgivning i form av v¨arme och
arbete visas.
W
in
U
Qut
Qin
Wut
Figur 1: Modell av v¨armetekniskt system.
H¨ar r¨aknas energifl¨odena positiva i pilarnas riktning.
Energiprincipen (termodynamikens fo
¨rsta lag)
Energi kan inte skapas eller f¨orintas, bara omvandlas mellan olika former. Till¨ampat p˚
a ett v¨armetekniskt system d¨ar vi r¨aknar p˚
a energiformerna v¨arme och arbete blir energibalansen
Qin + Win − Qut − Wut = ∆U
(1)
Netto-infl¨odet (utfl¨odet) av olika energiformer till systemet ger en
o¨kning (minskning) av den inre energin: ∆U > 0 (∆U < 0).
Vi r¨aknar netto-v¨arme som tillf¨
ors systemet positivt, och nettoarbete som systemet utr¨
attar p˚
a omgivningen som positivt1
Qin − Qut = ∆Q
(2)
Wut − Win = ∆W
(3)
1
Ibland r¨
aknas arbete som utr¨
attas av systemet p˚
a omgivningen ist¨
allet som negativt,
men det ger mer kr˚
angel med minustecken.
2
Energiprincipen kan d˚
a skrivas som
∆Q = ∆U + ∆W
(4)
Ett v¨armetekniskt system s¨ags befinna sig i olika tillst˚
and som
karakteriseras av olika tillst˚
andsvariabler. Exempel f¨or en gas kan vara
tryck, volym och temperatur. N¨ar tillst˚
andet f¨or¨andras talar man om
en process.
2 Ber¨
akning av v¨
armeutbytet (∆Q) med
omgivningen
Hur stort v¨armeutbytet med omgivningen blir vid en process beror
p˚
a hur processen g˚
ar till. ∆Q ¨ar allts˚
a ingen tillst˚
andsvariabel, utan
snarare en processvariabel.
I det fall att inget annat energiutbytet sker med omgivningen, det
vill s¨aga d˚
a ∆W = 0, ger energiprincipen att ∆Q = ∆U . D˚
a g¨aller f¨or
m˚
anga system med h¨og noggrannhet att
∆U = c · m · ∆T
(5)
H¨ar ¨ar c den s˚
a kallade specifika v¨
armekapaciteten. Den m¨ats i
J/kgK. I denna form anv¨ands formeln f¨or fasta ¨amnen och v¨atskor,
som ju inte utvidgas s˚
a mycket vid en temperaturh¨ojning (det utr¨attade
arbetet kan f¨orsummas). F¨or gaser a¨r det lite mer komplicerat som vi
strax ska se.
Formeln (5) kan ocks˚
a skrivas
∆U = C · n · ∆T
(6)
d¨ar nu ”stora” C ¨ar den molara specifika v¨armekapaciteten och n ¨ar
antalet mol materia. C m¨ats s˚
aledes i J/molK. Denna form anv¨andes
mest f¨or gaser. F¨or gaser som kan a¨ndra sin volym kraftigt vid uppv¨armning, m˚
aste man r¨akna med olika v¨armekapaciteter beroende p˚
a
om processen sker vi konstant volym eller vid konstant tryck. Mer om
detta senare.
Kontentan av allt detta ¨ar att vid uppv¨armningsprocesser d¨ar systemets volym inte a¨ndras (inget arbete utr¨attas) s˚
a har man i praktiken ∆Q = C · n · ∆T eftersom d˚
a g¨aller ∆Q = ∆U . L¨agg dock
m¨arke till att detta ¨ar korrekt bara om inget annat energiutbyte ¨an
v¨armeutbyte sker med omgivningen. Och som sagt, f¨or gaser har man
3
lite mer speciella formler.
¨
Varning! Overhuvudtaget
¨ar ber¨akning av v¨armeutbyten och arbeten i allm¨anhet mer komplicerat ¨ar jag beskriver h¨ar. Problemet ligger i att v¨armetekniska system beskrivs av ett antal tillst˚
andsvariabler
(tryck, volym, temperatur, materiam¨angd) som alla i egentligen varierar mer eller mindre under olika typer av processer. F¨or att g¨ora
det hela hanterligt r¨aknar man d¨arf¨or p˚
a processer under vilka olika variabler antas vara konstanta (of¨or¨andrade). Dessutom definieras
en upps¨attning tillst˚
andsfunktioner s˚
asom exempelvis entalpi, entropi och exergi som ¨ar anv¨andbara i m˚
anga sammanhang. I en f¨orsta
kurs ¨ar det dock inte vettigt att g˚
a in p˚
a allt detta. Som ytterligare
komplikationer har vi s˚
adant som ¨oppna och slutna system, reversibla
och irreversibla processer. Kring detta har mycket f¨orvirrat och felaktigt skrivits i literaturen, att behandla det korrekt och begripligt
f˚
ar vi v¨anta med. Vad som f¨oljer ¨ar f¨orenklat men korrekt. Den st¨orre
ber¨attelsen kommer i det fj¨arde h¨aftet ”Termodynamikens andra lag”.
Gaser
Orsaken till att gaser ¨ar s˚
a vanliga i v¨armetekniska sammanhang ¨ar att
de ¨ar det aktiva mediet i m˚
anga v¨armemaskiner. F¨orbr¨anningsmotorn
adan ¨ar ett kolv&cylindersystem.
¨ar ett tydligt exempel. Hj¨artat i en s˚
I en f¨orsta fas sugs en br¨ansle-luft blandning in i cylindern under
volymexpansion. D¨arefter komprimeras blandningen. Sedan ant¨ands
blandningen (v¨arme tillf¨
ors) och f¨orbr¨anningsgaserna expanderar (systemet utr¨attar arbete). I n¨asta fas minskar volymen igen och avgaserna pressas ut ur systemet. D¨arefter upprepas processen. Detta ¨ar
givetvis f¨orenklat, men ger principen f¨or en fyrtakts bensinmotor. I
alla de h¨ar beskrivna delprocesserna sker energiutbyte med omgivningen. Totalt har vi en kretsprocess, den upprepar sig regelbundet,
eller cykliskt. Efter en cykel ¨ar systemet tillbaka i ursprungstillst˚
andet
och processen upprepas.
Tillst˚
andsvariabler f¨or en gas ¨ar tryck p, volym V , temperatur T
samt antal molekyler n. Mellan dessa variabler g¨aller en tillst˚
andsekvation. Experimentellt har man kommit fram till att den allm¨anna
gaslagen g¨aller med stor noggrannhet f¨or de flesta gaser under normala
omst¨andigheter vad g¨aller tryck och temperatur
pV = nRT
4
(7)
H¨ar m¨ats trycket i N/m2 eller Pa, volymen i m3 , temperaturen i
K och antalet molekyler i mol.
R ¨ar den allm¨anna gaskonstanten som har v¨ardet
R = 8, 314 J/molK
(8)
Lagen kallas ocks˚
a f¨
or ideala gaslagen eftersom den faktiskt kan
h¨arledas fr˚
an grundl¨aggande (f¨orenklande=ideala) antaganden om gasmolekylernas r¨orelse. F¨or ideala gaser g¨aller dessutom ytterligare n˚
agra
enkla lagar. Exempelvis beror den inre energin enbart p˚
a temperaturen.
L¨agg dock m¨arke till att om man har en blandning av gaser s˚
a g¨aller
gaslagen f¨or varje gas f¨
or sig. I en gasblandning ¨ar givetvis volymen
och temperaturen de samma, men antalet gasmolekyler kan vara olika.
D¨armed f˚
ar gaserna ocks˚
a olika s˚
a kallade partialtryck.
Antalet molekyler m¨
ats i mol. Notera att
1 mol = 6, 022 · 1023 stycken
(9)
Detta tal kallas f¨or Avogadros tal.2
3
Ber¨
akning av arbete
Arbete a¨r heller ingen tillst˚
andsvariabel utan en processvariabel. Arbetet beror allts˚
a p˚
a vilken process man har. L˚
at oss studera ett enkelt
kolv&cylinder-system med en ideal gas som arbetsmedium.
p, V, n, T
dV
p, V, n, T
Figur 2: Model av kolv& cylinder-system.
2
Somliga blir f¨
orvirrade o
orkortning
¨ver Avogrados tal. Det a
¨r helt enkelt en praktisk f¨
f¨or ett stort antal precis som 1 dussin a
r
en
f¨
o
rkortning
f¨
o
r
12
stycken
och
1
tjog f¨
or 20
¨
stycken.
5
Systemet ¨ar ritat i tv˚
a l¨agen, i det andra har gasen pressat ut kolven ett litet stycke s˚
a att volymen ¨okat med dV . Symbolen d betyder
en liten f¨or¨andring p˚
a samma s¨att som symbolen ∆ anv¨ands f¨or en
st¨orre f¨or¨andring. Det arbete som gasen utr¨attar under denna lilla
volymf¨or¨andring best¨ams av
dW = pdV
(10)
Man t¨anker sig allts˚
a att trycket inte hinner ¨andras under en s˚
adan
liten volymf¨or¨andring. F¨or en st¨orre volymf¨or¨andring, s¨ag fr˚
an volymen VA till volymen VB (s˚
a att ∆V = VB − VA ) m˚
aste man summera
bidragen fr˚
an alla sm˚
a volymf¨or¨andringar mellan VA och VB . Arbetet
blir
Z
VB
∆W =
pdV
(11)
VA
allts˚
a en integral. Integralen anv¨ands ju som vanligt n¨ar vi vill summera n˚
agot som varierar. F¨or att kunna r¨akna ut just denna integral
m˚
aste vi veta hur trycket p beror p˚
a volymen V . Vi ska g¨ora det nedan f¨or ett antal typiska processer. Notera f¨orst att alla symbolerna
h¨anger ihop fint och snyggt
∆V =
Z
VB
h iVB
dV = V
VA
VA
= VB − VA
(12)
precis som det ska. H¨ar ser vi en (st¨orre) volymf¨or¨andring ∆V som en
summa av m˚
anga sm˚
a dV .
3.1
Isokor process, konstant volym
T¨ank p˚
a en gas i en st˚
alflaska. I en s˚
adan kan volymen inte ¨andras.
Eftersom volymen ¨ar konstant (∆V = 0) utr¨attas inget arbete
∆W = WA→B = 0
(13)
varf¨or v¨armeutbytet ¨ar lika med ¨andringen i inre energi ∆Q = ∆U .
Tryck¨okningen leder till en temperaturh¨ojning som kan ber¨aknas
via gaslagen
VA ∆p
VA (pB − pA )
=
(14)
nR
nR
Eftersom inre energin U f¨or en ideal gas enbart beror p˚
a temperaturen T kan man ber¨akna den som
∆T =
6
P
P
P
B
B
A
A
V
V =V
A B
Figur 3: Isokor process.
∆U = cv m∆T
(15)
D¨armed kan ¨aven v¨armeutbytet ber¨aknas till
∆Q = QB→A = cv m∆T
(16)
Detta ¨ar den ekvation man oftast ser. Man s¨ager att systemet
absorberar v¨arme ∆Q = QA→B isokort. I dessa ekvationer st˚
ar cv f¨or
den specifika v¨armekapaciteten vid konstant volym.
Viktigt att f¨
orst˚
a! Man m˚
aste ha klart f¨or sig att inget v¨arme
lagras upp av gasen. V¨arme a¨r en energiform som enbart kan fl¨oda, eller str¨omma, inte lagras. V¨arme tillf¨ors allts˚
a gasen. Det som d¨aremot
lagras ¨ar inre energi. H¨ogersidorna i formlerna 15 och 16 ser likadana
ut, och ger samma numeriska resultat, men deras betydelser ¨ar olika.
Om processen g˚
ar ˚
at andra h˚
allet, s˚
a att man ist¨allet har en trycks¨ankning, minskar inre energin och systemet l¨amnar v¨arme till omgivningen.
3.2
Isobar process, konstant tryck
T¨ank p˚
a en gas i en ballong. Trycket best¨ams av trycket i omgivningen.
Eftersom trycket ¨ar konstant (∆p = 0) kan det utr¨attade arbetet
ber¨aknas enkelt
WA→B =
Z
VB
VA
pdV = pA
Z
VB
VA
dV = pa (VB − VA ) = pa ∆V
7
(17)
P
A
B
P =P
A B
V
A
VB
V
Figur 4: Isobar process.
Volym¨okningen leder till en temperaturh¨ojning som kan ber¨aknas
via gaslagen
pA ∆V
pA (VB − VA )
=
(18)
nR
nR
Detta samband mellan ∆V och ∆T (som g¨aller vid konstant tryck)
kan anv¨andas f¨or att ber¨akna det isobara arbetet enligt
∆T =
WA→B = nR∆T
(19)
Systemet absorberar nu v¨arme ∆Q = QA→B isobart
∆Q = QA→B = cpm∆T
(20)
d¨ar man nu r¨aknar med en isobar specifik v¨armekapacitet cp .
Av historiska och praktiska sk¨al r¨aknar man p˚
a detta s¨att, men
notera att systemet inte lagrar upp hela denna energim¨angd i form
av inre energi. Ist¨allet utr¨attas ett arbete p˚
a omgivningen. Det absorberade v¨armet leder till en h¨ojning av den inre energin som ¨aven i
detta fall (f¨or en ideal gas) kan ber¨aknas via ∆U = cv m∆T . Samtidigt
utr¨attar gasen ett arbete p˚
a omgivningen ∆W = pa∆V .
Samband mellan cv och cp f¨
or en ideal gas
Detta resonemang kan vi nu anv¨anda f¨or att reda ut hur cv och cp
h¨anger samman f¨or en ideal gas. Det hela blir enklast om man r¨aknar
v¨armekapaciteterna per mol ist¨allet f¨or per kg. Man anv¨ander d˚
a beteckningarna ”stora” Cv och ”stora” Cp , och man skriver f¨or en isobar
process
∆Q = QA→B = Cp · n · ∆T
(21)
8
d¨ar Cp nu m¨ats i J/molK. H¨ar kan man l¨agga m¨arke till att detta ¨ar
samma enhet som gaskonstanten R m¨ats i.
Energiprincipen ger nu ∆Q = ∆U + ∆W . Vi s¨atter in allt vi vet
• Ekvation (20) som g¨aller f¨or isobart v¨armeutbyte
• Ekvation (15) som alltid g¨aller f¨or en ideal gas
• Ekvation (19) som g¨aller f¨or isobart arbete
s˚
a f˚
ar vi
Cp n∆T = Cv n∆T + nR∆T
(22)
Vi ser att (korta bort den gemensamma faktorn n∆T )
Cp = Cv + R
(23)
N¨ar man sl˚
ar upp v¨
armekapaciteter f¨or gaser i tabellverk m˚
aste
man ge noga akt p˚
a om det ¨ar Cp , Cv eller cp , cv som ¨ar angivet.
Titta p˚
a enheterna. C m¨ats per mol, c m¨ats per kg. Ibland anges bara
v¨armekapacitet vid konstant volym, ibland bara vid konstant tryck.
Dessa ¨ar dock relaterade p˚
a ett enkelt s¨att, n¨amligen via ekvation (23),
s˚
a har man den ena kan man f˚
a fram den andra.
Mer om ”stora” Cv och Cp f¨
or en ideal gas
N¨ar man f¨ors¨okte basera v¨armel¨aran p˚
a en mikroskopisk teori f¨or hur
molekylerna i en gas r¨or sig, kom man fram till att man m˚
aste r¨akna
med att varje frihetsgrad f¨or den enskilda molekylens r¨orelse bar p˚
a
en fundamental, mycket liten, energim¨angd
1
kB T
2
d¨ar kB ¨ar Boltzmanns konstant
e=
kB = 1, 38099 · 10−23 J/K
(24)
(25)
Det ¨ar inte helt fel att t¨anka sig kB som ett m˚
att p˚
a materiens
fundamentala v¨armekapacitet. Det blir tydligare om man r¨aknar inte
f¨or en enstaka frihetsgrad, utan f¨or 1 mol frihetsgrader.
Multiplicera allts˚
a med Avogadros tal NA = 6, 02204 · 1023 mol−1 ,
d˚
a f˚
ar man kB NA = 1, 38099 · 10−23 J/K · 6, 02204 · 1023 mol−1 =
8, 3144 J/Kmol vilket ¨ar precis gaskonstanten. F¨or en mol frihetsgrader har vi allts˚
a v¨armekapaciteten
9
1
1
kB NA T = RT
(26)
2
2
Nu kan man b¨orja r¨akna frihetsgrader f¨or gasmolekyler. En enkel
en-atomig molekyl har 3 frihetsgrader att r¨ora sig i: Riktningarna x, y
och z i rummet. Den inre energin f¨or n mol en-atomiga gasmolekyler
blir allts˚
a
E=
3
3
nRT ⇒ ∆U = nR∆T
(27)
2
2
J¨amf¨or nu denna formel med formeln ∆U = Cv n∆T s˚
a ser vi att
3
”stora” Cv f¨or en en-atomig gas blir 2 R.
U=
3
R
(28)
2
F¨or en tv˚
a-atomig gas kan molykylerna ¨aven rotera i tv˚
a riktningar
(vilka?). Antalet fundamentala frihetsgrader ¨ar allts˚
a 5, och ”stora”
Cv f¨or en tv˚
a-atomig gas blir 52 R.
Kvoten γ mellan v¨armekapaciteterna
Cv =
γ=
Cp
cp
=
Cv
cv
(29)
spelar en roll i vissa sammanhang. Tabellen nedan sammanfattar anv¨andbar
data f¨or en- och tv˚
a-atomiga ideala gaser.
Ideal gas
1-atomig
2-atomig
3.3
Cp
5/2 · R
7/2 · R
Cv
3/2 · R
5/2 · R
γ = Cp /Cv
5/3 = 1, 67
7/5 = 1, 4
Isoterm process, konstant temperatur
Man kan t¨anka sig att systemet st˚
ar i god v¨armekontakt med en stor
temperaturreservoar som h˚
aller T konstant under processen.
Eftersom temperaturen ¨ar konstant (∆T = 0) s˚
a ¨andras inte inre
energin
∆U = UA→B = 0
(30)
Enligt gaslagen ser vi d˚
a att tryck g˚
anger volym a¨r konstant
pA V A = pB V B
10
(31)
P
P
A
A
B
PB
V
A
V
V
B
Figur 5: Isoterm process.
Arbetet kan ber¨aknas eftersom gaslagen ocks˚
a ger p = nRT /V
WA→B =
Z
VB
VA
h
= nRT ln V
iVB
VA
VB
dV
VA V
VB
= nRT ln
VA
pdV = nRT
Z
(32)
Eftersom ∆U = 0 absorberar systemet ett lika stort v¨arme ∆Q =
QA→B = WA→B men inget av detta v¨arme lagras upp i systemet (kom
ih˚
ag ∆T = 0 och d¨armed ∆U = 0). Man kan se det som att systemet
absorberar v¨arme som helt och h˚
allet g˚
ar ˚
at till att utr¨atta ett arbete
p˚
a omgivningen.
Om processen ”g˚
ar˚
at andra h˚
allet” ¨ar det omgivningen som utr¨attar
arbete p˚
a systemet som d˚
a avger v¨arme till omgivningen. Detta framg˚
ar
av att tecknen p˚
a ∆W och ∆Q i det fallet ¨ar negativa.
˚
Aterigen ser vi att varken arbete eller v¨arme kan lagras, enbart
”fl¨oda” in eller ut ur ett system. Det blir v¨aldigt tydligt f¨or isoterma
processer f¨or gaser d¨ar ingen energi alls kan lagras av gasen!
3.4 Adiabatisk process, inget v¨
armeutbyte med
omgivningen
En process kan vara adiabatisk om systemet ¨ar v¨al isolerat mot omgivningen eller om processen sker ”snabbt” j¨amf¨ort med v¨armetransporten
som i regel a¨r ganska ”l˚
angsam”.
Vi har allts˚
a ∆Q = QA→B = 0 varf¨or
∆W = WA→B = −∆U
11
(33)
P
P
A
A
B
P
B
V
A
V
B
V
Figur 6: Adiabatisk process.
Systemet utr¨attar ett arbete och energin till detta tas fr˚
an den inre
energin. Vi kan ocks˚
a skriva detta i termer av ”sm˚
a” f¨or¨andringar med
hj¨alp av differentialer.3 Vi har dQ = dU + dW = 0 d¨ar dW = pdV
och allts˚
a
dU + pdV = 0
(34)
¨
Aven
om processen inte sker vid konstant volym s˚
a kan vi anv¨anda
(f¨or en ideal gas) dU = cv mdT f¨or att ber¨akna a¨ndringen i inre energi.
Detta ger
cv mdT + pdV = 0 eller dT = −
pdV
cv m
(35)
Eftersom ingen av de variabler som ing˚
ar i gaslagen (utom antalet
¨ a g˚
molekyler n) ¨ar konstant, blir det lite mer komplicerat h¨ar. And˚
ar
det att f˚
a fram ett samband mellan tryck och volym som kan utnyttjas
f¨or att ber¨akna arbetet. Vi b¨orjar med att differentiera gaslagen
d(pV ) = d(nRT ) ⇒ pdV + V dp = nRdT
(36)
S¨atter man samman dessa tv˚
a ekvationer, (35) och (36), kan man
eliminera dT och f˚
ar
(1 +
nR
)pdV + V dp = 0
cv m
(37)
Anv¨ander man sig sedan av det samband mellan Cv och Cp som
vi tog fram ovan, se ekvation (23), s˚
a kan man r¨akna fram att
3
En differential kan s¨
agas vara en matematiskt liten f¨
or¨
andring.
12
nR
=γ
cv m
och vi f˚
ar en ganska enkel ekvation f¨or differentialerna
1+
γpdV + V dp = 0 eller
−γ
dp
dV
=
V
p
(38)
(39)
Det finns tv˚
a s¨att att l¨osa denna differentialekvation.
Metod 1 Man kan integrera den p˚
a f¨oljande vis
−γ
Z
dV
=
V
Z
dp
⇒ −γ ln V = ln p + konstant
p
(40)
Anv¨ander man sedan logaritmlagarna, f˚
ar man
pV γ = k
(41)
d¨ar konstanten k kan ber¨aknas i n˚
agon av processens ¨andpunkter
k = pA VAγ = pB VBγ
(42)
Metod 2 En annan metod ¨ar att skriva ekvation (39) p˚
a formen
p
dp
= −γ
(43)
dV
V
Vi vill best¨amma trycket p som en funktion av volymen V . Ekvationen fr˚
agar efter en funktion som har egenskapen att om man
deriverar den med avseende p˚
a V , s˚
a ¨ar det samma sak som att dividera med V och multiplicera med en konstant −γ. En s˚
adan funktion
¨ar just
p = kV −γ
(44)
eftersom ju
dp
= −kγV −γ−1
dV
och
−γ
p
= −kγV −γ−1
V
B˚
ada metoderna ger f¨orst˚
as samma l¨osning.
Nu kan arbetet ber¨aknas eftersom vi vet hur trycket beror p˚
a volymen, n¨amligen formel (44). Resultatet blir
WA→B =
Z
VB
kV −γ dV =
VA
13
k
(1−γ)
(1−γ)
(V
− VA
)
1−γ B
(45)
Detta ser inte s˚
a trevligt ut. Som tur ¨ar kan uttrycket f¨orenklas
om man anv¨ander sig av formeln (42). Man f˚
ar
WA→B =
1
(pB VB − pA VA )
1−γ
(46)
Vi l¨amnar det som en ¨ovning att med hj¨alp av de samband som
finns framme dessutom visa att detta ¨ar samma som
−cv m∆T
(47)
det vill s¨aga inget annat ¨an just −∆U , vilket vi ju kunde ha sagt med
en g˚
ang. Men nu ser vi en geng¨ald att allt h¨anger samman.
3.5
Sammanfattning processer f¨
or ideala gaser
Energiprincipen g¨aller alltid: ∆Q = ∆U + ∆W . I alla processer fr˚
an
A till B r¨aknas differenser som ∆X = XB − XA
Process A → B
Isokor
Isobar
Isoterm
Adiabat
∆Q = QA→B
∆U
cpm∆T
∆W
0
∆U = UA→B
cv m∆T
cv m∆T
0
cv m∆T
∆W = WA→B
0
p∆V = nR∆T
nRT ln(VB /VA )
−∆U
Processerna kan g˚
a˚
at b˚
ada h˚
allen. F¨or varje tillst˚
andsvariabel
(p, V, T, U ) eller processvariabel (Q, W ) kan ”∆variabel” d¨arf¨or vara positiv eller negativ, beroende p˚
a vilken typ av process man tittar
p˚
a (exempelvis ”expansion” eller ”kompression”).
14
Process A → B
Isokor
Isobar
Isoterm
Adiabat
4
”Ena h˚
allet”
Tryck¨okning: V¨arme absorberas som lagras i en ¨okning av
inre energin
Expansion: V¨arme absorberas
som dels lagras i en ¨okning
av inre energin, dels g˚
ar till
utr¨attat arbete
Expansion: V¨arme absorberas
som helt g˚
ar till utr¨attat arbete
Expansion: Arbete utr¨attas
genom en s¨ankning av inre
energin
”Andra h˚
allet”
Trycks¨ankning: V¨arme avges,
inre energin minskar motsvarande
Kompression: V¨arme avges,
inre energin minskar, arbete
utr¨attas p˚
a systemet
Kompression: V¨arme avges,
motsvarande arbete utr¨attas
p˚
a systemet
Kompression: Arbete utr¨attas
p˚
a systemet, inre energin o¨kar
motsvarande
Kretsprocesser
Praktiskt fungerande v¨
armemaskiner m˚
aste arbeta cykliskt. Processer som upprepas cykliskt kallas f¨or kretsprocesser. I ett pV-diagram
kommer en kretsprocess att representeras av en sluten kurva. Ett varv
runt i kretsprocessen kallas f¨or en cykel.
Typexemplet ¨ar en f¨
orbr¨anningsmotor som genomg˚
ar en serie av
faser eller delprocesser som upprepas regelbundet. Efter en viss tid
angstillst˚
andet. Man kan f˚
a en uppfatt¨ar systemet tillbaka till utg˚
ning om frekvensen f¨or detta cykliska arbete genom att bet¨anka att
tomg˚
angsvarvtalet f¨or en typiskt bensinmotor a¨r ca 2000 varv/minut.
Under kretsprocessen absorberar systemet v¨arme (detta betalar man
f¨or i form av br¨ansle) och utr¨attar arbete (detta ¨ar nyttan), men systemet kommer ocks˚
a att avge v¨arme till omgivningen (detta ¨ar f¨orluster
varav en del tas tillvara f¨
or exempelvis kup´ev¨arme. I vissa faser av processen m˚
aste dessutom arbete utr¨attas p˚
a systemet (som n¨ar br¨ansleluft-blandningen i en bensinmotor komprimeras), detta arbete m˚
aste
subtraheras fr˚
an det utr¨attade arbetet.
T¨anker man s˚
ah¨ar s˚
a inser man att en vettig definition p˚
a kretsprocessens verkningsgrad ¨ar ”netto utr¨attat arbete”/”tillf¨ort v¨arme”.
Netto utr¨attat arbete (av systemet utr¨attat arbete p˚
a omgivningen
minus av omgivningen p˚
a systemet utr¨attat arbete) kan ber¨aknas
som arean av omr˚
adet som innesluts av kretsprocessens kurva i pVdiagrammet.
N¨ar man studerar kretsprocesser teoretiskt ¨ar det vanligt att dela
15
upp dem i en serie av enkla delprocesser av de slag vi studerat ovan.
En viktig s˚
adan teoetisk model ¨ar Carnotprocessen som best˚
ar av tv˚
a
isotermer och tv˚
a adiabater.
P
W
V
Figur 7: Kretsprocess.
4.1
Carnotprocessen
Carnotprocessen ¨ar en idealiserad kretsprocess som ¨ar teoretiskt intressant och ber¨akningsm¨assigt hanterlig. Historiskt har den varit viktig f¨or v¨armel¨arans utveckling. Den best˚
ar allts˚
a av fyra delprocesser:
Isoterm, adiabat, isoterm och adiabat. Ingen verklig v¨armemaskin ”g˚
ar
s˚
a rent”. Mycket av dess intresse ligger i att man kan bevisa att den
har den teoretiskt h¨ogsta m¨ojliga verkningsgrad som man kan uppn˚
a
f¨or en v¨armemaskin som arbetar mellan tv˚
a temperaturer, en h¨ogre
TV (varma reservoaren) och en l¨agre TK (kalla reservoaren).
Carnotprocessen kan beskrivas p˚
a f¨oljande s¨att om vi r¨or oss medurs
fr˚
an tillst˚
andet A i figuren via tillst˚
anden B, C och D tillbaka till A.
Tillst˚
andsf¨
or¨
andringar under en Carnotprocess
A → B Isoterm expansion ∆T = TB − TA = 0
∆p = pB − pA < 0, ∆V = VB − VA > 0
B → C Adiabatisk expansion ∆Q = QB→C = 0
∆p = pC − pB < 0, ∆V = VC − VB > 0, ∆T = TC − TB < 0
C → D Isoterm kompression ∆T = TD − TC = 0
∆p = pD − pC > 0, ∆V = VD − VC < 0
D → A Adiabatisk expansion ∆Q = QD→A = 0
∆p = pA − pD > 0, ∆V = VA − VD < 0, ∆T = TA − TD > 0
16
A
P
B
D
C
V
Figur 8: Carnotprocess.
Under dessa delprocesser kan vi allts˚
a med hj¨alp av vad vi tidigare
ber¨aknat skriva ned energif¨or¨andringarna.
Energif¨
or¨
andringar under en Carnotprocess
A → B Isoterm expansion
Arbete utr¨attas WA→B = nRTA ln(VB /VA ) > 0 (”nytta”).
Lika mycket v¨arme QA→B absorberas (”kostnad”).
B → C Adiabatisk expansion
QB→C = 0
Arbete utr¨attas (tas fr˚
an inre energin), (”nytta”). Det visar sig
att vi inte beh¨over r¨akna ut det dock.
C → D Isoterm kompression
Arbete utr¨attas p˚
a systemet WC→D = nRTC ln(VD /VC ) < 0
(”n¨odv¨andigt”).
Lika mycket v¨arme QA→B l¨amnas till omgivningen (”f¨orluster”).
D → A Adiabatisk kompression
QD→A = 0
Arbete utr¨attas p˚
a systemet (inre energin ¨okar), (”n¨odv¨andigt”).
Det visar sig att vi inte beh¨over r¨akna ut det dock.
Vi vill nu ber¨akna verkningsgraden η som kvoten mellan utr¨attat
arbete (”nytta”) och tillf¨ort v¨arme (”kostnad”). D˚
a skulle man i princip ocks˚
a beh¨ova ber¨akna det utr¨attade arbetet under den adiabatiska
expansionen D → C, men som vi ska se beh¨over vi inte det om vi utnyttjar energiprincipen.
17
Vi har en kretsprocess, detta betyder att den inre energin efter en
cykel ¨ar tillbaka till sitt ursprungliga v¨arden, eller ∆Ucykel = 0. Vi
finner allts˚
a att ∆Qcykel = ∆Wcykel .
Enligt v˚
ar genomg˚
ang av delprocesserna f˚
ar vi nu att enbart isotermerna bidrager till ∆Qcykel (eftersom v¨armeutbytet a¨r noll under
adiabaterna)
∆Qcykel = QA→B + QC→D = nRTA ln
VB
VD
+ nRTC ln
VA
VC
(48)
Det utr¨attade arbete (allts˚
a ”netto”-arbetet) ¨ar
∆Wcykel = ∆Qcykel = QA→B + QC→D .
(49)
Det tillf¨orda v¨armet ¨ar QA→B och verkningsgraden blir s˚
aledes
η=
∆Wcykel
QA→B + QC→D
QC→D
=
=1+
.
QA→B
QA→B
QA→B
(50)
Kvoten mellan QC→D och QA→B kan ber¨aknas (med ett viss besv¨ar)
TC ln VVD
QC→D
TC
C
=
=− .
VB
QA→B
TA
TA ln VA
(51)
Vi visar inte hela ber¨akningen, men det sista likhetstecknet kommer sig av att f¨or de adiabater vi har g¨aller VB /VA = VC /VD , ett
samband som f¨oljer av att f¨or de b˚
ada adiabaterna g¨aller T V γ−1 =
konstant.
Ber¨
akning av (51) H¨ar kommer ber¨akningen i alla fall f¨or den
som vill vara s¨aker p˚
a att det ¨ar r¨att!
F¨or de tv˚
a adiabaterna g¨aller
TB VBγ−1 = TC VCγ−1
γ−1
TA VA
γ−1
= TD VD
(52)
(53)
Att dessa ekvationer g¨aller kan man ¨overtyga sig om genom att
utnyttja pV γ = konstant (ekvation 41) f¨or en adiabat och byta ut
trycket p mot nRT /V med hj¨alp av gaslagen.
18
Dessutom vet vi att TA = TB och TC = TD f¨or isotermerna. Om vi
nu delar ekvationerna (52) och (53) med varandra s˚
a f˚
ar vi resultatet
VB /VA = VC /VD . (Man delar allts˚
a v¨ansterledet med v¨ansteledet och
h¨ogerledet med h¨ogerledet.)
Hela po¨angen med detta ¨ar att Carnotverkningsgraden blir
η = 1−
TC
TA
(54)
Eller om man vill uttrycka det med Tkall = TC och Tvarm = TA
η =1−
4.2
Tkall
Tvarm
(55)
N˚
agra till¨
ampningar av Carnotprocessen
Motorn
Carnotprocessen kan anv¨andas till beskriva ett antal v¨armemaskiner
s˚
asom f¨orbr¨anningsmotorn, kylsk˚
apet och v¨armepumpen. Kylsk˚
apet
och v¨armepumpen a¨r snarlika i sin tekniska utformning, b˚
ada bygger
p˚
a att man pumpar runt en kylv¨atska som i en fas av processen tvingas att f¨or˚
angas (tar upp v¨arme) och i en annan tvingas kondensera
(avl¨amna v¨arme). P˚
a s˚
a vis kan v¨arme ”pumpas” fr˚
an den kalla sidan
till den varma genom en insats av arbete. I kylsk˚
apet ¨ar den kalla
sidan (”nyttan”) inuti sk˚
apet. Vi vill pumpa v¨arme ur kylsk˚
apet f¨or
att h˚
alla insidan kall. I v¨armepumpen ¨ar den varma sidan (”nyttan”)
inomhus. Vi vill pumpa v¨ame utifr˚
an och in f¨or att h˚
alla huset varmt.
Notera dock att just p˚
a grund av f¨or˚
angnings- och kondensationsfaserna ¨ar Carnotprocess ingen riktigt bra modell. Vi r¨aknar med den
f¨or enkelhets skull. Den ¨overskattar effektiviteten (i j¨amf¨orelse med
verkliga kylmaskiner/v¨armepumpar med upp till tre till fyra g˚
anger).
F¨orbr¨anningsmotorn ¨ar naturligtvis helt annorlunda till sin tekniska uppbyggnad. B˚
ade kylsk˚
apet och v¨armepumpen a¨r slutna system,
medan f¨orbr¨anningsmotorn ¨ar ett ¨oppet system. Inte desto mindre kan
den abstrakt (men grovt) beskrivas som en Carnotprocess.4 F¨or verkliga f¨orb¨anningsmotorer finns ett antal kretsprocesser som beskriver
dem v¨al.
4
Hur det kan vara m¨
ojligt f¨
orklaras i del 3”Mer om kretsprocesser”.
19
L˚
at oss nu r¨akna med Carnot f¨or enkelhets skull. F¨or att beskriva Carnotprocessen anv¨
ander vi f¨oljande figur som visar energifl¨oden
mellan tv˚
a temperaturreservoarer, en varm med konstant temperatur
Tv och en kall med konstant temperatur Tk .
Tv
Qv
W
Tk
Qk
Figur 9: En Carnotmotor.
I denna typ av figur l˚
ater vi pilarnas riktning st˚
a f¨or positiva
v¨armen och arbeten. Fr˚
an figuren ser vi omedelbart att
Qv = W + Qk
eller W = Qv − Qk
(56)
Verkningsgarden ¨ar per definition
η=
W
Qv − Qk
Qk
=
=1−
Qv
Qv
Qv
(57)
Om vi j¨amf¨or detta med uttrycket f¨or Carnotverkningsgraden η =
1 − Tk /Tv f˚
ar vi
Qk
Tk
=
(58)
Qv
Tv
Detta ¨ar en formel som ¨ar mycket anv¨anbar n¨ar man r¨aknar p˚
a kylmaskiner och v¨armepumpar (d˚
a ¨ar verkningsgraden inte s˚
a relevant).
Kylsk˚
apet
I ett kylsk˚
ap pumpas v¨
arme ut ur kylsk˚
apet genom en insats av ett
arbete. Fl¨odena blir som i figuren r¨aknade positiva i pilarnas riktning.
F¨or kylsk˚
apet definierar man k¨
oldfaktorn som kvoten mellan bortkylt
v¨arme (”nytta”) och tillf¨ort arbete (”kostnad”)
Qk
(59)
W
Carnotverkningsgraden har ingen relevans f¨or kylsk˚
apet men formel (58) ¨ar anv¨andbar.
k =
20
Ute i köket
Qv
Tv
W
Från elnätet
Tk
Qk
Inne i kylskåpet
Figur 10: Ett Carnotkylsk˚
ap.
V¨
armepumpen
I en v¨armepump pumpas v¨arme fr˚
an utomhusluften in i huset genom
en insats av ett arbete. Fl¨odena blir som i figuren r¨aknade positiva i
pilarnas riktning. F¨or v¨armepumpen definierar man v¨
armefaktorn som
kvoten mellan inomhus avgiven v¨arme (”nytta”) och tillf¨ort arbete
(”kostnad”)
Qv
(60)
W
Carnotverkningsgraden har ingen relevans f¨or v¨armepumpen men
formel (58) kan anv¨andas.
v =
Inomhus
Qv
Tv
W
Från elnätet
Tk
Qk
Utomhus
Figur 11: En Carnotv¨armepump.
4.3
Termodynamikens andra lag
Termodynamikens andra lag kan formuleras p˚
a n˚
agra olika s¨att.
21
Clausius formulering Det finns ingen process vars enda resultat ¨ar
att v¨arme ¨overf¨ors fr˚
an en kallare till en varmare reservoar (det
vill s¨aga utan n˚
agon insats av p˚
a systemet utr¨attat arbete).
Kelvins formulering Det finns ingen process vars enda resultat ¨ar
att v¨arme fr˚
an en enda varm reservoar helt omvandlas till arbete
(det vill s¨aga utan n¨arvaro av en kall reservoar).
D¨aremot kan v¨arme fr˚
an en varm reservoar helt omvandlas till
v¨arme vid kallare reservoar. Det ¨ar en naturlig process. Vidare kan
arbete helt omvandlas till v¨arme. Det ¨ar ocks˚
a en naturlig process.
Matematiskt formuleras termodynamikens andra lag med hj¨alp av
tillst˚
andsfunktionen entropi. H¨ar kr¨avs dock en djupare f¨orst˚
aelse av
sambanden mellan tillst˚
andsfunktioner och processfunktioner. Mer om
detta i del 4 ”Termodynamikens andra lag”.
5
V¨
armetransport
Man r¨aknar med tre former av v¨armetransport
Konduktion, v¨armen transporteras via mikroskopisk v¨axelverkan mellan materialets partiklar. Kallas ocks˚
a v¨armeledning.
Konvektion, v¨armen transporteras via makroskopisk materialtransport.
Str˚
alning, v¨armen transporteras via elektromagnetisk str˚
alning vars
frekvensspektrum best¨ams av temperaturen p˚
a den str˚
alande
ytan.
5.1
Konduktion
V¨armeledning r¨aknat som transporterat v¨arme per tidsenhet kallas
v¨armefl¨odet och betecknas med φ och m¨ats i W. F¨or att ber¨akna
v¨armeledningen genom en skiva av ett visst material med tjockleken
d och arean A anv¨ander man formeln
φ = λ·A·
Tv − Tk
d
d¨ar
λ ¨ar materialets v¨armekonduktivitet. M¨ats i Wm−1 K−1 .
A ¨ar den v¨arme¨overf¨orande arean. M¨ats i m2 .
22
(61)
φ
Tv Tk
d Figur 12: V¨armeledning genom en skiva.
Tv temperaturen p˚
a den ”varma” sidan. M¨ats i K.
Tk temperaturen p˚
a den ”kalla” sidan. M¨ats i K.
d materialets tjocklek. M¨ats i m.
Formeln ¨ar giltig om skivan inte ¨ar alltf¨or tjock. Dimensionerna
st¨ammer, vilket kan kontrolleras genom att multiplicera samman dimensionerna f¨or storheterna i h¨ogerledet
W m−1 K −1 · m2 ·
5.2
K
=W
m
Konvektion
D˚
a en yta med en viss temperatur T1 st˚
ar i kontakt med en v¨atska
eller en gas kommer det att ske en v¨armetransport genom konvektion.
Konvektion betyder i detta sammanhang materialtransport. V¨atskan
eller gasen kommer att cirkulera utanf¨or ytan och p˚
a s˚
a s¨att v¨armas
vid ytan och kylas en bit ut i v¨atskan/gasen. Man r¨aknar med en
v¨
armegenomg˚
angskoefficient, betecknad med α, som beskriver storleken p˚
a denna v¨armetransport. Den beror p˚
a v¨atska/gas men ¨aven p˚
a
str¨ommningsf¨orh˚
allanden.
T1
T2
Figur 13: V¨armekonvektion utanf¨or en yta.
23
Formeln f¨or v¨armekonvektion lyder
φ = α · A · (T1 − T2 )
(62)
d¨ar
α v¨armegenomg˚
angskoefficienten. M¨ats i Wm−2 K−1 .
A ¨ar den v¨arme¨overf¨orande arean. M¨ats i m2 .
Tv temperaturen p˚
a den ”varma” sidan. M¨ats i K.
Tk temperaturen p˚
a den ”kalla” sidan. M¨ats i K.
Formeln ¨ar giltig om ingen p˚
atvingad cirkulation finns. Vid p˚
atvingad
cirkulation (exempelvis via fl¨aktar, bl˚
ast, omr¨oring eller str¨omning)
arare att ber¨akna.
¨okar konduktionen, men ¨ar sv˚
5.3
V¨
armeledning genom flera materialskikt
Om man har flera v¨armeisolerande skikt med exempelvis inomhusluft
p˚
a ena sidan och utomhusluft p˚
a den andra, kan man s¨atta samma
dessa formler f¨or att ber¨akna den totala v¨armetransporten. Detta ¨ar
ju situationen i en husv¨
agg.
φ
T1
α1
k1
d1
k2
d2
α2
T2
Figur 14: V¨armetransport genom flera skikt.
Naturligtvis ¨ar det samma v¨armefl¨ode genom alla skikten. Utnyttjar man detta faktum kan man visa att v¨armefl¨odet kan skrivas som
φ = U · A · (T1 − T2 )
d¨ar
U ¨ar det s˚
a kallade U-v¨ardet m¨att i Wm−1 K−1 .
24
(63)
A ¨ar den v¨arme¨overf¨orande arean.
T1 temperaturen en bit in p˚
a den ”varma” sidan.
T2 temperaturen en bit in p˚
a den ”kalla” sidan.
och d¨ar U ber¨aknas med hj¨alp av
1
1
d1 d2
1
=
+
+
+
U
α1 k1 k2 α2
(64)
Har man fler skikt, f˚
ar man motsvarande formel med fler termer,
en f¨or varje skikt.
6
V¨
armev¨
axlare
I en v¨armev¨axlare korsar tv˚
a v¨armestr¨ommar varandra och energi
an den ena till den andra. V¨armen b¨ars i regel av en v¨atska
¨overf¨ors fr˚
eller en gas som str¨ommar f¨orbi varandra i kanaler ˚
atskilda av skiljev¨aggar. Beroende p˚
a str¨omningss¨att delar man upp dem i
(a) motstr¨oms
(b) medstr¨oms
(c) tv¨arstr¨oms
Motstr¨
oms v¨
armev¨
axlare
Vi betecknar den varma sidans temperaturer med Tv1 och Tv2 d¨ar 1
st˚
ar f¨or inloppet och 2 f¨or utloppet. Motsvarande f¨or den kalla sidan
blir Tk1 och Tk2 . Allts˚
a: v=varm, k=kall, 1=in, 2=ut. Temperaturer
och fl¨odesriktningar framg˚
ar av figuren.
Id´een ¨ar nu att vi vill kunna ber¨akna den ¨overf¨orda v¨armeeffekten
fr˚
an den varma till den kalla sidan med hj¨alp av en formel
P = k · A · Θm
d¨ar
k ¨ar v¨armegenomg˚
angskoefficienten (W m−2 K −1 )
A ¨ar den v¨arme¨overf¨orande arean
Θm ¨ar medeltemperaturdifferensen som definieras nedan.
25
(65)
Tv1
Tk2
T k1
Tv2
Tv1
Tv2
Tk2
T k1
Figur 15: Motstr¨oms v¨armev¨axlare.
L¨agg m¨arke till att denna formel ¨ar av samma typ som de vi anv¨ant
vid v¨armeledning. Detta ¨ar ju ocks˚
a en form av v¨armeledning.
I de b˚
ada ”¨andarna” av v¨armev¨axlaren har man temperaturdifferenserna
Θ1 = Tv1 − Tk2
(66)
Θ2 = Tv2 − Tk1
(67)
Man t¨anker sig att v¨arme¨overf¨oringen ”i snitt” drivs av en medeltemperaturdifferens som ber¨aknas som
Θm =
Θ1 − Θ2
ln(Θ1 /Θ2 )
(68)
F¨orutom denna ekvation som ¨ar specifik f¨or v¨armev¨axlaren, g¨aller
givetvis energiprincipen. Lika stor effekt som den varma sidan l¨amnar
kommer att tas upp av den kalla, f¨orutsatt att man f¨orsummar f¨orluster
till omgivningen. Detta ger att vi ocks˚
a har5
P
P
·
= mv cvarm (Tv1 − Tv2 )
(69)
·
= mk ckall (Tk2 − Tk1 )
5
Vi betecknar v¨
armekapaciteterna med cvarm och ckall f¨
or mediet i den varma respektive den kalla sidan f¨
or att inte blanda samman med cv f¨
or en gas.
26
”Prickarna” ¨over m betyder att vi r¨aknar massfl¨
ode, det vill s¨aga
massa per tidsenhet, och m¨ater i kg/s.
Medstr¨
oms v¨
armev¨
axlare
Vi betecknar ˚
aterigen den varma sidans temperaturer med Tv1 och Tv2
d¨ar 1 st˚
ar f¨or inloppet och 2 f¨or utloppet. Motsvarande f¨or den kalla
sidan blir Tk1 och Tk2 . Allts˚
a: v=varm, k=kall, 1=in, 2=ut. Temperaturer och fl¨odesriktningar framg˚
ar av figuren. Notera skillnaden mot
motstr¨oms.
Tv1
Tk1
Tk2
Tv2
Tv1
Tv2
Tk1
Tk2
Figur 16: Medstr¨oms v¨armev¨axlare.
I de b˚
ada ”¨andarna” av v¨armev¨axlaren har man nu ist¨allet temperaturdifferenserna.
Θ1 = Tv1 − Tk1
(70)
Θ2 = Tv2 − Tk2
(71)
J¨amf¨or med motstr¨
oms. Detta ¨ar enda skillnaden. Ekvationerna
(65), (68) och (69) ¨ar desamma.
F¨or korstr¨oms v¨armev¨axlare ber¨aknas Θm som ett medelv¨arde mellan v¨ardena f¨or motstr¨oms och medstr¨oms
Θmkors =
1
(Θmmot + Θmmed )
2
27
(72)
F¨
or˚
angare och kondensor
Om v¨atskan p˚
a den kalla sidan f¨or˚
angas har man en f¨or˚
angare. Den
undre temperaturgrafen a¨r d˚
a horisontell svarande mot konstant f¨or˚
angningstemperatur f¨or v¨atskan i fr˚
aga. D˚
a ¨ar allts˚
a Tk1 = Tk2 . Det
g¨or d˚
a ingen skillnad om man r¨aknar som motstr¨oms eller medstr¨oms.
Om v¨atskan p˚
a den varma sidan kondenseras har man en kondensor. Den ¨ovre temperaturgrafen ¨ar d˚
a horisontell svarande mot
konstant kondensationstemperatur f¨or v¨atskan i fr˚
aga. D˚
a a¨r allts˚
a
Tv1 = Tv2 .Det g¨or d˚
a ingen skillnad om man r¨aknar som motstr¨oms
eller medstr¨oms.
28