TMHL09 2012-01-12 TMHL09 2012-01-12.01 (Del I, teori; 1 p.) 1.

En fast inspänd balk med kontinuerlig mass fördelning enligt figuren utför fria svängningar. Visa med enkla skisser hur 1a och 2a egensväng ningsmoderna frihetsgraderna ser ut.

------------

LÖSNING

-------------------------------

TMHL09 2012-01-12.02 (Del I, teori; 1 p.) 2.

Den axialbelastade strävan i figuren har en kritisk last . Om man vill öka längden till med samma material och bibehållen kritisk last måste man öka diametern från till . Hur stort måste i så fall göras?

------------

LÖSNING

-------------------------------

TMHL09 2012-01-12 TMHL09 2012-01-12.03 (Del I, teori; 1 p.) 3.

Rita i figuren in hur skärningen av von Mises resp. Trescas flytgränsytor med -planet ser ut.

------------

LÖSNING

-------------------------------

TMHL09 2012-01-12.04 (Del I, teori; 1 p.) 4 . Westergaards klassiska lösning av nära den skarpa sprickspetsen i figuren är Därmed borde man ha oändlig spänning vid sprickspetsen (där ) så snart d.v.s. ingen lastbärningsförmåga alls, om det , finns en spricka. Erfarenheten visar att det trots detta faktiskt finns en lastbärningsförmåga. För klara detta!

TMHL09 2012-01-12

------------

LÖSNING

-------------------------------

Westeraards lösning förutsätter linjärt elastiskkt materialuppträdande. Men vid sprickspetsen där Westergaards lösning , får vi en zon med plastisk flytning i stället. Det betyder att spänningen blir begränsad (d.v.s. inte ), och vi kan därför lägga på en ganska hög last innan sprickväxt ’löses ut’. TMHL09 2012-01-12.05 (Del II, problem; 3 p.) 5.

Bestäm fortvarighetslösningen för en fast inspänd balk med punktmassa , utsatt för störkraften (se figuren). Bestäm också fotvarighetslösningens amplitud, om störfrekvensen egenvinkelfrekvens. Svaren ska uttryckas i .

, där är balkens

------------

LÖSNING

-------------------------------

Rörelseekvation

(1)

Samband ; elementarfallssuperposition

 (2)

TMHL09 2012-01-12 Villkoret ger och

Svängningsekvation

Eqs. (1) och (6) ger nu (3) (4) (5) (6) (7)

Partikulärlösning

I fortvarighet har egensvängningen (homogendelen av lösningen) dött ut och endast partikulärlösning en finns kvar. Sätt alltså (8) Insättning i Eq. (7): (9) och Egenvinkelfrekvensen är

TMHL09 2012-01-12 (10) och om så blir amplituden enl. Eq. (9) TMHL09 2012-01-12.06 (Del II, problem; 3 p.) 6.

Ett vattenledningsrör är monterat med förskruvningar mellan två stela väggar enligt Fig. 1. Det kan därmed beräkningsmässigt behandlas som fast inspänt enligt Fig. 2. Monteringen har gjorts vid rums temperatur , och röret är då spänningsfritt. Röret är tunnväggigt med medeldiameter och vägg tjocklek , och avståndet mellan vägginfästningarna är . Materialet har E-modul och värmeutvidg ningstal . Fig. 1 Fig. 2 Under användning strömmar varmt vatten genom röret, som så småningom blir uppvärmt till homogen temperatur lika med vattentemperaturen . Röret blir då på grund av uppvärmningen utsatt för axiell tryckkraft. Beräkna hur hög temperaturen högst får vara om knäckning p.g.a. detta ska undvikas.

------------

LÖSNING

-------------------------------

Under uppvärmningen gäller att den axiella töjningen i röret måste vara = 0, d.v.s. (1) d.v.s. det bildas en

tryckkraft

P: Vi söker alltså den temperatur som gör så stor att vi får knäckning Euler 4: Med (2)

TMHL09 2012-01-12 alltså och TMHL09 2012-01-12.07 (Del II, problem; 3 p.) 7.

En lång rörledning är upplagd på stöd med jämnt avstånd enligt figuren. Röret är tunnväggigt (me delradie , väggtjocklek ). I röret transporteras gas med trycket . Röret är tillverkat av ett material med densiteten och belastas alltså (förutom av det inre övertrycket) också av sin egenvikt, som ger böjspänning i balken. Det är däremot konstruerat så att det inte kom mer att belastas av någon axiell kraft. Bestäm hur långt det maximalt får vara mellan stöden, om Trescas von Mises effektivspänning högst får vara Obs! Tänk noga över vilka symmetrisnitt som finns och vad detta betyder för utböjning resp. utböj ningsvinkel vid upplagspunkterna! Obs 2! I ursprunglig lydelse begärs Tresca, vilket här ändrats till von Mises!

------------

LÖSNING

-------------------------------

Inre övertryck enl. ’ångpanneformlerna’

(1) (2)

TMHL09 2012-01-12 (3)

Böjbelastning p.g.a. egenvikten (N per m rörlängd):

Elementarfallssuperposition enligt samma idé som i uppgift 5 men med elementarfallet för utbredd last i stället för elementarfallet för punktlast ger: Snittning och jämvikt för rörsektion enligt fig. ger och alltså Jämförelse mellan ekv. (4) och (5) visar att och vi har (4) (5) (6) (7)

Totalt spänningstllstånd

Maxspänningstillstånd alltså [ekv. (1)→(3), (7)]: (8) (9)

TMHL09 2012-01-12 (10)

von Mises-analys

TMHL09 2012-01-12.08 (Del II, problem; 3 p.) 8.

En plattstav enligt figuren med måtten ut sätts för en periodiskt varierande last . Materialet är stål 141550-01 med utmatt ningsdata Vi antar att varken geometriskt eller teknologiskt volymsberoende behöver beaktas. Beräkna högsta tillåtna , om säkerheten i amplituden mot utmattning ska vara 1.5. Två fall: (a) polerad yta, och (b) grovbearbetad yta.

------------

LÖSNING

-------------------------------

Haigh-diagram

För materialet och lastfallet gäller ett Haigh-diagram enligt nedan:

TMHL09 2012-01-12 a) Polerad yta ; övre linjen i Haigh-diagrammet b) Grovbearbetad yta ; undre linjen i Haigh-diagrammet

Lastanalys

Alltså: Nominellt lastfall vilket ger (1) (2) (3) (4) (5) (6)

TMHL09 2012-01-12 (7) Lastfallet ligger alltså någonstans utefter ’lastlinjen’ i Haigh-diagrammet

Tillåten last

F

0 .

Säkerhet m.a.p. amplitud ger att vi som högst kan ligga i punkt P a i fall a) polerat resp. punkt P b i fall b) grovbearbetat. Punkterna P a och P b ges av att resp- Avläsning i Haigh-diagrammet ger då i fall a) och i fall b) Motsvarande tillåtna laster fås efter återinsättning i ekv. (7): resp. Fotnot: Det finns lltid osäkerheter i ut ttnings n lys ( teri ld t , l st n lys, …). Dessuto n vänder vi just i det här fallet avläsning i diagram, vilket också inför en viss osäkerhet. Det är därför sällan befogat att ange noggranna resultatvärden, utan den noggrannhet som antyds av svaren 1700 N resp. 1500 N kan vara ganska lagom.