Transcript Formler - Meccanica.no

Eksamen MEKANIKK
Vedlegg, s. 1/5
FORMLER
Momentteoremet
Resultantens moment om et vilkårlig punkt P er lik summen av enkeltkreftenes momenter om P, dvs.
R ⋅ a R = Σ(F i · a i )
Resultanten
Rx =
ΣFix
Ry =
ΣFiy
R=
Rx2 + Ry2
ϕ R = tan −1 (
aR =
Ry
Rx
)
ΣM p
R
Likevektslikninger
Alt. 1
ΣF x = 0,
for enhver
akseretn.
for enhver
ΣF y = 0,
akseretn.
ΣM p = 0, for ethvert momentpkt.
Alt. 2
ΣF x = 0 (evt. ΣF y = 0)
ΣM A = 0, ΣM B = 0
AB ikke parallell med y (evt. x)
Alt. 3
ΣM A = 0, ΣM B = 0, ΣM C = 0
ABC ikke på linje
Statisk bestemthet
Generelt:
3e = r
e= antall elementer
r = antall ukjente reaksjonskrefter
Fagverk:
s + o = 2k
s = antall staver
o = antall opplagerkrefter
k = antall knutepunkt
Arealsenter
ΣAi xi
1
=
x =
xdA
∫
AA
ΣAi
Tyngdepunktssetningen
ΣGi xi
x=
ΣGi
Kabler
p= pilhøyde
p o = pilhøyde midt mellom opphengspunktene
q o = egentyngden per meter kabel
Kabellengde:
s =L +
h 2 8 po2
+
2 L 3L
Lastintensitet i horisontalretning:
q = qo
s
L
Eksamen MEKANIKK
Vedlegg, s. 2/5
Snittkrefter
Sammenheng mellom lastintensitet, skjærkraft og bøyemoment
dV
dM
=
− q,
=
V
dx
dx
Fortegnsregler:
N
V
M
Materialegenskaper
Egenvekt, ρ
E-modul, E
Temperaturutvidelseskoeff., α
Stål
3
7,85t/m
206 000MPa
-6
11∙10 m/m°C
Fasthetslære, grunnleggende
F
Aksialspenninger: σ A =
Tøyning:
A
Hookes lov:
Termisk tøyning:
ε T = α ⋅ ∆T
Forlengelse av aksialbelastet stav:
Aluminium
3
2,7t/m
70 000MPa
-6
23,8∙10 m/m°C
∆L
L
σ = Eε
ε=
FL
∆L =
EA
Bøyespenningsformelen
M
σB =
y
Ix
=
σ Bo
Ix
M
hvor Wxo
=
Wxo
yo
=
σ Bu
Ix
M
hvor Wxu
=
Wxu
yu
Arealmoment
Annet arealmoment
Arealmoment
I x = ∫ y dA , om x-aksen
Sx =
i
i
Sy
i
i
2
I y = ∫ x 2 dA , om y-aksen
Steiners formel:
∫ ydA = Σy A
= ∫ xdA = Σx A
Eksamen MEKANIKK
Vedlegg, s. 3/5
Tverrsnittsegenskaper
Snittflate
Annet arealmoment
Motstandsmoment
bh 2
6
hb 2
Wy =
6
bh3
Ix =
12
hb3
Iy =
12
64
Ix =
( D 4 − d 4 ) W=
W=
x
y
π D4 − d 4
32
⋅
bh3
36
π
8
r4
Knekking
Knekklengde:
Elastisk knekking
(Eulerlast):
Fk
=
Treghetsradius:
i=
I0
A
π 2 EI 0
π 2E
alternativt σ k
=
L2k
λ
Slankhet:
λ=
Lk
i
D
bh 2
(h + b 2 )
12
IP =
32
I x = 0,12r 4
Iy =
=
IP
πd3
W=
W=
x
y
64
π
I=
I=
x
y
Wx =
πd4
I=
I=
x
y
Polart
arealmoment
=
IP
π
32
πd4
32
(D4 − d 4 )
Eksamen MEKANIKK
Vedlegg, s. 4/5
Tetmajers formler for plastisk knekning:
St37:
σ
=
310 − 1,14λ
k
St50/St60:
σ
=
335 − 0, 62λ
k
for
for
λ ∈< 10,105 >
λ ∈< 10,89 >
Torsjon
Torsjonsskjærspenning i sirkulærsylindrisk tverrsnitt
=
τT
MT
=
R hvor I P
IP
∫ R dA
2
Bøyeindusert skjærspenning
V
S ' hvor S ' = ∫ ydA = Σyi Ai
τ yx = τ xy =
Ib
A'
Rektangulært tverrsnitt
τ max
V
= 1,5
A
Sirkulært tverrsnitt
τ max
V
= 1,33
A
Tynnvegget rør
τ max = 2, 0
Sikkerhetsfaktor
konstruksjonens teoretiske kapasitet
n=
konstruksjonens største (tillatte) påkjenning
Dimensjoneringskriterium for flytning (von Mises)
R
Jevnføringsspenning:
σ j < e , hvor R e = Flytegrense
n
Kun normalspenning:
σ j =σx
En-akset spenningstilstand:
Plan spenningstilstand:
=
σj
σ x2 + 3τ yx2
σj=
σ x2 + σ y2 − σ xσ y + 3τ yx2
V
A
Eksamen MEKANIKK
Vedlegg, s. 5/5
Deformasjon av enkle bjelker
= konstant
= utbøyning på midten
δ
u maks = maksimal utbøyning
EI
u last = utbøyning under punktlast
x
ϕA
ϕB
1
2
3
4
umaks
=
= avstand fra A til punkt med maksimal utbøyning
= tangenthelning ved A
= tangenthelning ved B
qL4
qL3
17 qL4
, ϕB =
,δ
=
8 EI
6 EI
384 EI
FL3
umaks
, ϕB
=
=
3EI
ML2
umaks =
=
, ϕB
2 EI
FL2
5 FL3
,δ
=
2 EI
48 EI
ML
EI
ML2
3
ML
ML
ML2
umaks =, x =
(1 −
) L, ϕ A =
, ϕ B ==
,δ
3
3EI
6 EI
16 EI
9 3EI
3
5
Fb( L2 − b 2 ) 2
L2 − b 2
Fa 2b 2
=
umaks
=
,x =
, ulast
3
3LEI
9 3LEI
F ⋅ ab(a + 2b)
F ⋅ ab(b + 2a )
Fb(3L2 − 4b 2 )
=
=
ϕA
, ϕB =
,δ
6 LEI
6 LEI
48 EI
6
=
δ umaks
=
FL3
FL2
, ϕ=
ϕ
=
A
B
48 EI
16 EI
7
=
δ umaks
=
5 qL4
qL3
, ϕ=
ϕ
=
A
B
384 EI
24 EI