Transcript Populasjon vs Utvalg

Forelesning 4 og 5
MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011
Løsninger
Alle oppgaver er merket ut fra vanskelighetsgrad på følgende måte:
* Enkel
** Middels vanskelig
*** Vanskelig
Hypotesetesting – testing av enkelthypoteser
Oppgave 1.*
Når vi tester enkelthypoteser ved hjelp av t-testen, er antall frihetsgrader gitt ved n − k hvor k
er antall parametrer i modellen. Vi har da: n − k = 88 − 5 = 83 .
C
Oppgave 2.*
Antall frihetsgrader er lik 21 − 4 = 17 . Kritisk verdi for en tosidig test hvor α = 5% er 2,11.
Ser først på X 2 : t =
2, 31
= 0, 74 . Siden 0, 74 < 2,11
3,12
kan vi ikke forkaste hypotesen:
H 0 : β2 = 0 . Vi konkluderer dermed at X 2 ikke er en signifikant forklaringsvariabel.
Ser nå på X 3 : t =
−1011,12
= −2,13 . Siden −2,13 > 2,11 forkaster vi hypotesen: H 0 : β3 = 0 .
475,11
Vi kan dermed konkludere at X 3 er en signifikant forklaringsvariabel.
Til slutt ser vi på X 4 : t =
0, 65
= 2, 03 . Siden 2, 03 < 2, 11 kan vi ikke forkaste hypotesen:
0, 32
H 0 : β4 = 0 . Vi konkluderer at X 4 ikke er en signifikant forklaringsvariabel.
C
1
Forelesning 4 og 5
MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011
Oppgave 3.*
Samme type oppgave som foregående oppgave. Antall frihetsgrader: n − k = 34 − 4 = 30 .
Kritisk verdi for en tosidig test hvor α = 5% er 2,042. Kritisk verdi for en ensidig test hvor
α = 5% er 1,697.
Starter med konstantleddet: t =
1,17
= 1,136 . Siden 1, 136 < 2, 042 kan vi ikke forkaste
1, 03
hypotesen H 0 : β1 = 0 . Konstantleddet er ikke signifikant forskjellig fra 0.
Ser på yt: t =
0, 45
= 3, 750 . Siden 3, 75 > 1, 697 forkaster vi H 0 : β3 = 0 til fordel H A : β2 > 0 .
0,12
Vi kan dermed konkludere at yt en signifikant positiv effekt på ln(qt ) .
Ser nå på ln(pt ) : t =
−0, 31
= −1, 824 . Siden −1, 824 < −1, 697 forkaster vi H 0 : β2 = 0 til
0,17
fordel for H A : β1 < 0 . ln(pt ) har dermed en signifikant negativ effekt på ln(qt ) .
Ser til slutt på ct: t =
0, 65
= 1, 274 . Siden 1, 274 < 1, 697 kan vi ikke forkaste H 0 : β4 = 0 til
0, 51
fordel for H A : β4 > 0 . Vi finner dermed ikke statistisk støtte for at ct har en signifikant positiv
effekt på ln(qt ) .
D
Oppgave 4.**
Når vi endrer signifikansnivået fra 5% til 10%, tillater vi i større grad å forkaste en sann
nullhypotese.
B
Oppgave 5.**
Signifikansnivået (α) er sannsynligheten for å forkaste en sann nullhypotese. Ut av t-tabellen
ser vi at høye verdier av tα (kritisk verdi) er knytte til lave sannsynligheter.
B
Oppgave 6.**
t-verdien er i dette tilfellet gitt ved t =
βˆ
SE (βˆ)
. Dersom SE (βˆ) er underestimert, da vil | t | bli
større enn den burde ha vært (gitt βˆ ≠ 0 ).
A
2
Forelesning 4 og 5
MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011
Oppgave 7.*
Antall frihetsgrader for testen: 22 − 2 = 20 .
t=
0, 71
= 0, 687
1, 0335
Hvis vi slår opp i t-tabellen og finner frem til 22 frihetsgrader for deretter å finne den
sannsynlighet som svarer til t = 0, 687 , finner vi at p-verdien er lik 25%. Legg merke til at dette
er en ensidig test.
C
Oppgave 7.**
Antall frihetsgrader er 34 − 4 = 30 . t-verdien er gitt ved t =
−0, 31
= −1, 82 . Fra t-tabellen
0,17
finner vi at p-verdien som svarer til | t |= 1, 82 for en ensidig test ligger et sted mellom 2,5% og
5%.
B
Oppgave 9.**
Det er her opplagt at dette er en ensidig test siden økonomisk teori tilsier at β3 > 0 .
C
Oppgave 10.**
Antall frihetsgrader er 31 − 2 = 29 . Fra t-tabellen finner vi at sannsynligheten som svarer til
t = 1, 699 er 10% (merk at testen er tosidig).
D
Oppgave 11.***
Nullhypotesen forkastes dersom | t |> 1, 98 . Det betyr at kritisk verdi er lik 1,98. Dette svarer til
et signifikansnivå på 5% (slå opp i t-tabellen). Husk at signifikansnivået er sannsynligheten for å
forkaste en sann nullhypotese. Siden β = 0 (nullhypotesen er sann) kan vi forvente å forkaste
nullhypotesen i 0, 05 ⋅ 1000 = 50 av simuleringene.
B
3
Forelesning 4 og 5
MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Vår 2011
Oppgave 12.***
Legg merke til at signifikansnivået er 5% (1 − 0, 95) . Vi skal nå bruke regelen: forkast H 0
dersom β ∗ ligger utenfor konfidensintervallets grenseverdier. Vi ser at β ∗ = 0 ligger innenfor
konfidensintervallets grenser. Vi kan dermed ikke forkaste nullhypotesen. p-verdien må derfor
være større enn 5%.
B
Oppgave 13.***
Vi skal her bruke formelen for et tosidig konfidensintervall gitt ved: βˆ ± tα /2 ⋅ SE (βˆ2 ) . Vi har at
tα /2 = t5% . Antall frihetsgrader er 22 − 3 = 19 . Fra t-tabellen finner vi at t5% = 1, 729 . Vi kan nå
finne SE (βˆ2 ) ved å løse ligningen
0, 0713 − 1, 729 ⋅ SE (βˆ2 ) = 0, 0086
0, 0086 − 0, 0713
⇒ SE (βˆ2 ) =
= 0, 0363 .
−1, 729
C
Hypotesetesting – testing av enkelthypoteser
Oppgave 14.*
Vi ser at modell (2) er et spesialtilfelle av modell (1). De to modellene er like dersom: β3 = 0 ,
β4 = 0 og β5 = 0 . Antall restriksjoner er dermed 3 (3 likheter under H 0 ).
C
Oppgave 15.**
Vi trenger å finne kritisk verdi for testen. F-testen har 2 ulike verdier for antall frihetsgrader.
m = 2 (antall restriksjoner under H 0 ) og n − k = 64 − 4 = 60 . Ved et signifikansnivå på 5%
finner vi at kritisk verdi for testen er 3,15. Siden F = 3, 03 < F5% , (2;60) = 3,15 kan nullhypotesen
ikke forkastes. Derfor må p-verdien være større enn 5%.
B
4
Forelesning 4 og 5
MET3592 Økonometri ved David Kreiberg
Oppgave 16.**
Setter inn restriksjonene i modellen:
ln(Prisi ) = β1 + 1 ⋅ ln(Vurderingi ) + 0 ⋅ ln(Tomti ) + 0 ⋅ ln(FFi ) + 0 ⋅ Baderomi + ui
⇒
⇒
⇒
ln(Prisi ) = β1 + ln(Vurderingi ) + ui
ln(Prisi ) − ln(Vurderingi ) = β1 + ui
⎛ Pris
⎞⎟
i
⎟⎟ = β + u
ln ⎜⎜⎜
i
1
⎜⎝Vurderingi ⎠⎟⎟
A
5
Vår 2011