Transcript Komme i gang med EViews

Komme i gang med EViews
ved David Kreiberg
Høst 2010
© David Kreiberg 2010
Studenter i faget MET3592 Økonometri for studieåret 2011 kan kopiere dette heftet til personlig
bruk. Alt annet bruk inkludert salg og distribusjon er ikke tillatt uten samtykke fra forfatteren av
dette heftet.
Students enrolled in the course MET3592 Økonometri for the academic year 2011 may print and
copy these notes for their own use. Any other use, including sale and distribution, is not permitted
unless there is an explicit agreement with the author of these notes.
Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Komme i gang med Eviews
Innledning
Når man åpner Eviews for man et skjermebilde som ser slik ut
Importere data og åpne en arbeidsfil
Når man skal åpne eller opprette en arbeidsfil gjøres følgende: File Æ Open Æ Eviews Workfile
- 1 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Velg korrekt filformat og let frem katalogen hvor filen befinner seg. Filen kan ha alle de ulike filformater
som er spesifisert i listen under: ”Files of type”. Vi skal i dette eksemplet importere en Excel-fil. Vi velger
derfor Excel file (*.xls) i listen. Alternativt kan man ganske enkelt dra-og-slipp filen fra katalogen direkte
inn i Eviews.
I neste bilde velges Finish hvoretter vi får opp en tabell med alle variablene i datafilen. I vår videre
analyse trenger vi ikke denne tabellen. Vi velger derfor å lukke tabellen. I dialogboksen med tittelen Delete
untitled velges Yes. Vi har nå følgende arbeidsfil:
Vektor av parameterestimater
Vektor av residualer
- 2 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Arbeidsfilen består av 9 ulike objekter hvorav 7 av objektene er variabler fra den opprinnelige Excel-filen:
d01, fmagx, gabax, hml, rf, smb og sp500. I tillegg har vi en kolonnevektor av estimerte parameterestimater
(c) og en kolonnevektor av residualer (resid). Disse objektene er vektorer av parameterestimatene og
residualene fra den siste utførte modellestimeringen. Siden vi ennå ikke har estimert noen modell vil disse
kolonnevektorene være tomme. Vær også oppmerksom på at vi kan ha flere arbeidsfiler åpne på samme tid.
La oss i første omgang fokusere på variablene:
fmagx: Månedlig avkastning i aksjefondet Fidelity Magellan Fund (FMF).
gabax: Månedlig avkastning i aksjefondet Gabelli Asset Fund (GAF), som er et konkurrerende
aksjefond til FMF-fondet.
rf:
Månedlig avkastning på kortsiktige Amerikanske statsobligasjoner.
sp500: Indeksverdien av S&P500. Denne indeksen inneholder informasjon om aksjekursen på de
500 mest likvide aksjer handlet på NYSE (New York Stock Exchange).
Variablene er målt over perioden juni 1995 t.o.m. juni 2000. I arbeidsfilen er det imidlertid ikke spesifisert
noe tidspunkt får målingene. Hvis datasettet i utgangspunktet innholder en datovariabel i et kjent format,
vil Eviews automatisk spesifisere en ”range” for målingene i datasettet. Siden vår Excel-fil ikke inneholder
en slik variabel må vi selv spesifisere tidspunktet for målingene i vårt datasett. Dette gjøres ved å flytte
pekeren til Range (her angitt med pil) og dobbeltklikke
I dialogboksen velges det: Dated – regular frequency. Da frekvensen på våre målinger er månedlige velger
vi Monthly under Date spesification. Merk at det er tilstrekkelig a spesifisere startdatoen: 1995m06 (juni
1995). Eviews vil da selv regne seg frem til sluttdatoen i datasettet.
- 3 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Opprette tabellobjekter
Når vi jobber med et større datasett er det ofte ønskelig å gruppere ulike variabler. Anta vi ønsker å lage
en tabell med avkastningen i de to aksjefond (det kunne for eksempel være ønskelig å estimere
korrelasjonen til avkastningen i de to aksjefond). Hold Ctrl-knappen nede og markèr avkastningen til de to
aksjefond. Ved hjelp av høyre museknapp velges Open Æ as Group
Operasjonene gir følgende tabell:
- 4 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I utgangspunktet er denne tabellen ”låst” slik at vi ikke umiddelbart kan endre verdiene i tabellen.
Hensikten med å låse tabellen er å unngå utilsiktede endringer i våre data. Hvis man imidlertid ønsker å
endre eller redigere verdiene må man først klikke Edit+/-, hvoretter man kan utføre de ønskede
endringene. Tabellen låses igjen ved å klikke Edit+/-.
Som vist på illustrasjonen kan vi lagre tabellen ved å velge Object Æ Name...
I dialogboksen, under: Name to identify, gir vi tabellen et navn – for eksempel Tab1. Det vil da opprettes
et objekt med navnet Tab1 som inneholder avkastningen til de to aksjefond.
- 5 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi kan til enhver tid åpne tabellen ved å klikke på det nyopprettede objektet merket med G i arbeidsfilen.
Grafer og plots
I en innledende analyse ønsker man ofte en grafisk fremstilling av dataene. I Eviews finnes det et vell av
muligheter når det gjelder grafer og diagrammer. For eksempel, anta vi ønsker å en grafisk fremstilling av
utviklingen i S&P500-indeksen over tid. Dette gjøres ved å dobbeltklikke på objektet sp500 som inneholder
indeksverdien av S&P500. I tabellen som kommer opp velges View Æ Graph...
- 6 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi velger deretter OK i dialogboksen som kommer opp. Dette gir følgende graf:
Vi ser at det har vært en svært positiv utvikling i det Amerikanske aksjemarkedet i tidsrommet juni 1995
t.o.m juni 2000. Den positive trenden er kun avbrutt av en dipp i begynnelsen av 1998. Dippen er bedre
kjent som Asiakrisen – en krise – som hadde stor betydning for aksjemarkedene i hele verden. Grafens
utseende justeres ved å dobbeltklikke på grafen. Øverst i dialogboksen finner vi ulike valgmuligheter som
gjør oss i stand til å endre grafens utseende
- 7 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Deskriptiv statistikk
Beskrivende statistikk er ofte et viktig del av en innledende analyse. Beskrivende statistikk involverer
beregning av gjennomsnitt, median, standardavvik (evt. varians), maksimum, minimum osv. I Eviews
utføres beskrivende statistikk ved å åpne en tabell med den (de) variabel (variabler) som vi ønsker å
analysere. La oss her ta utgangspunkt i avkastningen til de to aksjefond i vårt datasett. Dobbeltklikk på
objektet Tab1. Velg deretter: View Æ Descriptive Stats Æ Individual Samples 1
1
Merk
at forskjellen på Common Sample og Individual Samples ligger i hvordan Eviews behandler manglene observasjoner i
datasettet (missing values). Når Individual Samples velges bruker Eviews all tilgjengelig informasjon i hver enkelt variabel i
beregningene. Under vanlige forhold vil man som oftest velge Individual Samples.
Common Sample og Individual Samples siden vårt datasett er komplett. - 8 - I vårt tilfelle er det ingen forskjell mellom
Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Beregningen gir følgende resultater:
Vi legger merke til at gjennomsnittlig månedlig avkastning i Fidelity-fondet (FMAGX) er litt høyere enn i
Gabelli-fondet (GABAX) – ca. 1,69% mot 1,64%. Dette svarer til en gjennomsnittlig årlig avkastning på
mer enn 20% for de to fondene. Når vi ser på standardavviket finner vi at avkastningen i Fidelity-fondet
(FMAGX) er litt mer usikker enn avkastningen i Gabelli-fondet (GABAX). Standardavviket er
henholdsvis ca. 4,6% og 3,9%. Videre ser vi at både skjevhet (Skewness) og kurtose (Kurtosis) er vesentlig
forskjellig fra null, noe som indikerer at avkastningen i de to fond avviker fra normalitet. Dette blir også
bekreftet av en test for normalitet (Jarque-Bera-testen). For avkastningen til begge fondene ser vi at
teststatistikken er ganske høy og vi må derfor forkaste hypotesen om normalitet. Testens p-verdi er i begge
tilfelle godt under 1%. Ved et signifikansnivå på 5% forkaster vi nullhypotesen som sier at avkastningen er
normalfordelt.
Eviews beregner også summen av de kvadrerte avvikene (Sum of Squared Deviations). Summen av de
kvadrerte avvikene kalles også for TSS (Total Sum of Squares) og bergenes ved hjelp av følgende uttrykk:
n
TSSy =
∑ (y
−y)
2
i
i =1
- 9 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Korrelasjonsanalyse
Et annet, og ofte viktig, element i forbindelse med beskrivende statistikk er korrelasjonsanalyse. Vi kan
beregne en korrelasjonsmatrise ved: View Æ Covariance Analysis...
I dialogboksen velger vi Correlation og Probability | t | = 0 . Eviews vil da både estimere korrelasjonen
mellom avkastningen til de to aksjefond, og gi oss en tosidig t-test av hypotesen: H 0 : ρ = 0 , hvor ρ er
korrelasjonsparameteren.
- 10 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Estimeringen av ρ gir følgende verdier:
Vi ser umiddelbart at det er en betydelig positiv korrelasjon mellom avkastningen til de to aksjefond. Den
estimerte korrelasjonen er nær 0,9. I tillegg ser vi at p-verdien er nær 0, hvilket betyr at vi forkaster
H 0 : ρ = 0 for alle rimelige signifikansnivåer (1%, 5% eller 10%). Hva kan være årsaken til den betydelige
korrelasjonen vi observerer? Det er svært nærliggende å tro at aksjefondene i stor grad investere i de
samme aksjene. Derfor vil også avkastningen til de to fond bli nokså lik. I neste avsnitt skal vi foreta en
test og se om gjennomsnittlig avkastning i de to aksjefond er signifikant forskjellig.
Test for like gjennomsnitt
Vi ønsker ofte å sammenligne gjennomsnittet i to ulike populasjoner. La oss se hvordan vi kan teste om
gjennomsnittlig avkastning i de to aksjefond er signifikant forskjellig. Hypotesen vi skal teste er på formen:
H 0 : μR(FMAGX ) = μR(GABAX )
H A : μR(FMAGX ) ≠ μR(GABAX )
Testen tar utgangspunkt i forskjellen i gjennomsnittlig avkastning mellom de to fond. I den deskriptive
analysen så vi at avkastningen i de to fond er svært lik. Dette gir oss et hint om at det vil bli vanskelig å
finne støtte for alternativhypotesen.
- 11 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Testen gjennomføres ved hjelp av følgende prosedyre: View Æ Test of Equality...
I dialogboksen som kommer opp velges: Mean. Dette gir følgende resultater:
Som vi ser er det ulike tester å velge imellom. La oss for enkelthets skyld ta utgangspunkt i den enkle
t-testen. Vi ser at teststatistikken er liten (0,0672), noe som også gir en svært høy p-verdi (94,65%). Gitt
et rimelig signifikansnivå kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Vi finner dermed ikke støtte for hypotesen
om at gjennomsnittlig avkastning i de to aksjefond er forskjellig.
- 12 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I neste avsnitt skal vi se på hvordan vi kan transformere og manipulere data. Men før vi lukker vinduet
for Tab1 kan det være hensiktsmessig å gå tilbake til datatabellen. Dette gjøres ved: View Æ
Spreadsheet
Transformering og manipulering av data
I forbindelse med empiriske analyser er det svært ofte vi ønsker å transformere eller manipulere data. I
Eviews finnes det en funksjon som er dedikert denne oppgaven. Funksjonen gir oss mulighet for å opprette
og beregne nye variabler basert på de eksisterende variablene i arbeidsfilen.
La oss i et eksempel beregne månedlig avkastning på S&P500-indeksen. Vi finner avkastningen ved hjelp
av følgende beregning:
RS &P 500 =
S & P 500t − S & P 500t −1
S & P 500t −1
Som vi ser av uttrykket er avkastningen gitt ved forskjellen i indeksverdien mellom tidspunkt t −1 og
tidspunkt t delt på indeksverdien på tidspunkt t −1 .
Vi utføre beregningen fra arbeidsfilen ved å velge: Object Æ Generate Series...
- 13 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I den etterfølgende dialogboks skriver vi inn følgende:
Merk at indeksverdien på tidspunkt t −1 skrives som SP500(-1).
Vi ser nå at det er opprettet et nytt objekt i arbeidsfilen med navnet r_sp500. Dette objektet inneholder
den prosentvise (gitt som desimaltall) endringen i S&P500-indeksen. En deskriptiv analyse utføres ved å
klikke på objektet og velge: Desriptive Statistics & Tests Æ Stats Table. Outputen ser slik ut:
- 14 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Resultatene avslører at gjennomsnittlig avkastning for S&P500 er litt høyere enn for de to aksjefond, mens
usikkerheten, gitt ved standardavviket, ligger omtrent på nivå med de to fond. Ikke overraksende ser vi at
hypotesen om normalitet forkastes.
I Eviews finnes det et betydelig antall ferdigprogrammerte funksjoner som kan brukes ved transformering
av data. Som illustrert nedenfor, kunne vi ha beregnet avkastningen til S&P500 ved hjelp av kommandoen
@pch().
- 15 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Denne fremgangsmåten gir selvsagt nøyaktig samme resultat. Nedenfor følger en lite knipe tilgjengelige
funksjoner i Eviews som kan være nyttige i forbindelse med datatransformering
Funksjon:
Beskrivelse:
@abs(x)
Returnerer absoluttverdien av x
@exp(x)
Returnerer e x
@log(x)
Returnerer den naturlige logaritmen til x
@sqrt(x)
Returnerer kvadratroten av x
@round(x)
Returnerer nærmeste heltall
@inv(x)
Returnerer den inverse verdien av x (1/x)
@iff(s,x,y)
Returnerer x dersom s er sann, ellers returneres y
d(x)
Returnerer endringen i x
@pa(x)
Returnerer den prosentvise endringen i x
@pch(x)
Returnerer den prosentvise endringen i x (gitt som desimaltall)
- 16 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Økonometrisk analyse
Nå er vi kommet til den mest sentrale delen av denne introduksjonen. Med utgangspunkt i et eksempel fra
finansiell økonomi skal vi nå illustrere hvordan vi kan estimerer og teste økonometriske (empiriske)
modeller ved hjelp av Eviews. Som vi skal se, er det en det en relativ enkel jobb å estimere en
økonometrisk modell i Eviews.
Fra teori til empiri
Vi skal nå se hvordan vi ut fra teori kan utvikle og formulere en empirisk modell. La oss ta utgangspunkt i
Kapitalverdimodellen. En teoretiske formulering av modellen er gitt ved
E (rj ) = rf + β j ⋅ ⎡⎢E (rm ) − rf ⎤⎥ ,
⎣
⎦
hvor E (rj ) er forventet avkastning til eiendel j (for eksempel en aksje eller et aksjefond), rf er
avkastningen på en risikofri investering, β j er eiendelens systematiske risiko og E (rm ) er markedets
forventede avkastning. Den empiriske formuleringen av modellen ser slik ut:
Rjt − rft = α j + β j ⋅ ⎡⎣⎢Rmt − rft ⎤⎦⎥ + ut
Legg merke til at den empiriske formuleringen på flere måter skiller seg fra den teoretiske. Blant annet ser
vi at den empiriske formuleringen innholder koeffisienten α . I den teoretiske formuleringen er α lik 0. I
tillegg ser vi at den empiriske formuleringen inneholder et feilledd. Dette feilleddet fanger opp den unike
variasjonen i avkastningen til eiendel j . Den unike variasjonen utgjør den variasjon i avkastningen som
ikke kan tilskrives variasjonen i markedsporteføljen. Den teoretiske formuleringen er en modell for
forventet avkastning og har dermed ikke noe feilledd.
Med utgangspunkt i den empiriske formuleringen av Kapitalverdimodellen setter vi opp en økonometrisk
modell for avkastningen i Fidelity-fondet
Rfmagx ,t − rft = αfmagx + β fmagx ⋅ ⎢⎡RS &P 500,t − rft ⎥⎤ + ut ,
⎣
⎦
hvor (Rfmagx ,t − rft ) og (RS &P 500,t − rft ) er henholdsvis fondets og markedets risikopremie. Vi har her brukt
avkastningen til S&P500-indeksen som en proxy for markedsavkastningen. På samme måte bruker vi
avkastningen på kortsiktige Amerikanske statsobligasjoner som en proxy for den risikofrie renten.
- 17 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Estimering
Estimering av modellen gjøres fra arbeidsfilen ved å velge: Object Æ New Object...
I feltet: Type of object, velges: Equation og i feltet: Name of object velger vi et passende navn for
ligningsobjektet. For eksempel: KVM_FMF.
- 18 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I den etterfølgende dialogboks skal vi spesifisere ligningen vi ønsker estimert, den anvendte
estimeringsmetoden og estimeringsperioden.
De to koeffisientene vi skal beregne er gitt ved c(1) og c(2). Estimeringsmetoden er LS (Least Squares)
også kjent som OLS (Ordinary Least Squares) og estimeringsperioden er juni 1995 t.o.m juni 2000. En
alternativ og enklere måte å spesifisere ligningen på er illustrert nedenfor
- 19 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg hvor c refererer til konstanten i modellen. Resultatet av estimeringen er oppsummert i følgende tabell:
Først ser vi at R 2 er betydelig. Mer enn 90% av variasjonen i avkastningen til Fidelity-fondet kan
forklares av variasjonen i avkastningen til S&P500-indeksen. I tillegg finner vi at αˆfmagx er nær null. I tråd
med Kapitalverdimodellen ser vi at hypotesen: H 0 : α = 0 ikke kan forkastes siden p-verdien (24,17%) er
større enn ethvert rimelig signifikansnivå. Den estimerte risikoen målt ved βˆfmagx er svært nær markedets
risiko (husk βm = 1 ). Det ville være interessant å teste om Fidelity-fondets systematiske risiko er
signifikant forskjellig fra markedets risiko.
Det skjer at man ønsker å re-spesifisere modellen for eksempel ved at man enten tar ut forklaringsvariabler
eller legger til forklaringsvariabler. Dette gjøres ved å velge: Proc Æ Spesify/Estimate...
Viktig: I forbindelse med residualanalyse er det ofte hensiktsmessig å ta vare på residualene. Husk at
objektet resid innholder residualene fra den siste estimeringen. Det betyr at hvis man estimerer flere
modeller, da vil Eviews overskrive resid. Dersom man ønsker å ta vare på residualene må man derfor ta
en kopi av resid etter hvert som man estimerer modellene.
Vi bør derfor, innen vi går videre, opprette et nytt objekt som innholder residualene fra vår estimering.
Fra arbeidsfilen velger vi: Object Æ Generate Series...
- 20 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I dialogboksen spesifisere vi:
Vi oppretter nå et objekt med navnet u som er en kopi av resid.
- 21 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Testing av enkelthypoteser
Vi tar opp tråden fra forrige avsnitt og tester om Fidelity-fondets systematiske risiko er signifikant
forskjellig fra markedets risiko. Vi skal derfor evaluere hypotesen:
H 0 : βfmagx = 1
H A : βfmagx ≠ 1
Testens t-verdi beregnes på følgende måte:
t=
βˆfmagx − β * 1, 0046 − 1
=
= 0,1085
0, 0424
SE (βˆfmagx )
Ved et signifikansnivå på 5% finner vi at kritisk verdi for testen er lik 2,00. Siden teststatistikken ( 0,1086 )
er mindre enn kritisk verdi ( 2, 00 ) kan vi ikke forkaste nullhypotesen. Vi finner dermed ikke støtte for
hypotesen om at Fidelity-fondets systematiske risiko (gitt ved βfmagx ) er forskjellig fra markedets risiko.
La oss nå utføre testen ved bruk av programvaren. Testen i Eviews utføres imidlertid ikke som en t-test,
men som en F-test. De to testene vil imidlertid alltid gi samme konklusjon. Faktisk er det slik at F = t 2
(viktig: denne sammenhengen gjelder kun når vi tester enkeltrestriksjoner som i dette tilfellet). F-verdien
er dermed gitt ved: F = 0,10862 = 0, 0118 .
I Eviews utføres testen ved: View Æ Coefficient Tests Æ Wald – Coefficient Restrictions...
- 22 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I dialogboksen spesifisere vi restriksjonen under nullhypotesen:
hvor c(2) refererer til koeffisienten βfmagx . Resultatet av testen er gitt ved:
Vi ser at p-verdien (91,38%) (samme p-verdi som ved t-testen) er større enn ethvert rimelig signifikansnivå.
Vi kan dermed ikke forkaste hypotesen om at Fidelity-fondets systematiske risiko er lik markedets risiko.
Resultatene så langt tyder på at estimert avkastning er svært lik avkastningen til S&P500-indeksen. En
rimelig forklaring er at Fidelity-fondet i stor grad investere i de samme aksjene som inngår i S&P500indeksen.
- 23 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Testing av multiple hypoteser
Kapitalverdimodellens sterke teoretiske grunnlag har gitt modellen en særlig status innen finansfaget. Det
finnes imidlertid utvidelser av modellen. Fama og French (1993) forslår følgende empiriske modell:
Rjt − rft = αj + β j ⋅ ⎡⎢⎣Rmt − rft ⎤⎥⎦ + γ1, j ⋅ SMBt + γ2, j ⋅ HMLt + ut ,
hvor:
•
SMB (Small Minus Big) måler differansen i avkastning mellom en portefølje bestående av små
aksjer (liten markedsverdi) og en portefølje bestående av store aksjer (høy markedsverdi), og hvor
porteføljene har omtrent samme vektede gjennomsnittlige forhold mellom bok- og markedsverdi av
egenkapitalen.
•
HML (High Minus Low) måler differansen i avkastning mellom en portefølje bestående av aksjer
med høy markedsverdi relativ til bokverdi og en portefølje bestående av aksjer med lav
markedsverdi relativt til bokført verdi. Porteføljenes aksjer har omtrent samme vektede
gjennomsnittlige størrelse 2 .
La oss igjen ta utgangspunkt i avkastningen til Fidelity-fondet. Modellen til Fama og French er da gitt
ved:
Rfmagx ,t − rft = αfmagx + β fmagx ⋅ ⎢⎡RS &P 500,t − rft ⎥⎤ + γ1, fmagx ⋅ SMBt + γ2, fmagx ⋅ HMLt + ut
⎣
⎦
Vi kan nå teste om denne modellen representerer en signifikant bedre tilpasning enn Kapitalverdimodellen.
Legg merke til at dersom γ1, fmagx = 0 og γ2, fmagx = 0 , da sammenfaller Fama og French-modellen med
Kapitalverdimodellen.
Vi skal derfor evaluere hypotesen:
H 0 : γ1, fmagx = γ2, fmagx = 0
H A : γi, fmagx ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {1,2} 3
2
En fullstendig redegjørelse av Fama og French-modellen er mindre viktig her. Vi anerkjenner imidlertid at SMB og HML er to
variabler som potentielt representerer viktige forklaringsvariabler i en modell for avkastningen til de to aksjefond. For flere detaljer se
for eksempel Bodie, Kane and Marcus.
3
Alternativhypotesen
representerer komplementet til nullhypotesen, dvs. at alternativhypotesen er sann dersom enten
γ 1, fmagx ≠ 0 eller γ 2, fmagx ≠ 0 eller både γ 1, fmagx ≠ 0 og γ 2, fmagx ≠ 0 .
- 24 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Først estimere vi modellen ved hjelp av følgende spesifisering:
Estimeringen gir følgende output:
- 25 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg F-verdien for testen finnes ved
RSS KVM − RSS FF
0, 0117 − 0, 0091
2
=
= 8, 00
0, 0091
60 − 3 − 1
m
RSS FF
F=
n −k −1
Vi finner RSS for de to modeller i outputen under Sum of squared resid.
Ved et signifikansnivå på 5%, finner vi fra F-tabellen at kritisk verdi er gitt ved: F5%,(2;56) = 3,15 . Siden
teststatistikken (8,00) er større enn kritisk verdi (3,15) forkaster vi nullhypotesen. Vi kan dermed
konkludere
at
Fama
og
French-modellen
representere
en
signifikant
bedre
tilpassning
enn
Kapitalverdimodellen. Bemerk at konklusjonen kun gjelder for Fidelity-fondet. Vi kan ikke på generelt
grunnlag konkludere at Fama og French-modellen representere en bedre tilpasning for alle aksjefond.
La oss nå utføre testen ved hjelp av Eviews. Vi velger View Æ Coefficient Tests Æ Wald –
Coefficient Restrictions...
I dialogboksen som kommer opp spesifisere vi våre restriksjoner. Vi spesifisere restriksjonene på samme
måte som i nullhypotesen, dvs.:
- 26 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg hvor c(3) og c(4) refererer til henholdsvis til γ1, fmagx og γ2, fmagx . Vi kunne alternativt ha spesifisert
restriksjonene på følgende måte:
Legg merke til hvordan vi skiller restriksjonene ved hjelp av komma. Resultatet av testen:
- 27 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi ser at er testens p-verdi (0,0009) er mindre enn ethvert rimelig signifikansnivå, og konklusjonen er
(selvsagt) den samme som over. Merk også at F-verdien (8,03) beregnet i Eviews er litt forskjellig fra Fverdien i vår egen beregning (8,00). Dette avviket skyldes ene og alene avrundningsfeil i RSS for de to
modellene.
Viktig: innen vi går videre bør ta en kopi av residualene for Fama og French-modellen. Fra arbeidsfilen
velger vi: Object Æ Generate Series...
- 28 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Residualanalyse og robusthetssjekk
I arbeidet med en økonometrisk analyse bør man alltid sjekke robustheten av de oppnådde resultater.
Typisk involverer en slik sjekk en analyse av residualene. Man bør da sjekke følgende antakelser:
•
Antakelsen om homoskedastisitet.
•
Antakelsen om ingen autokorrelasjon.
•
Antakelsen om at feilleddet er uavhengig av modellens forklaringsvariabler (i denne innføringen
går vi ut fra at denne antakelsen er oppfylt).
•
Antakelsen om at feilleddet er normalfordelt (mindre viktig i store utvalg).
•
Antakelsen om at modellen er korrekt spesifisert.
Det er en kjent sak at OLS-estimatoren ikke lengre er BLUE (Best Linear Unbiased Estimator) dersom en
eller flere av disse antakelsene ikke er oppfylt. Det er ulike måter hvorved man kan sjekke antakelsene. I
noen sammenhenger kan en simpel plot av residualene være nok til å avdekke eventuelle brud antakelsene.
I andre sammenhenger trenger man imidlertid å utføre en formell test.
Vi skal nå se hvordan vi kan sjekke de ulike antakelsene i tur og orden.
Heteroskedastisitet
Vi starter med antakelsen om homoskedastisitet. Det finnes et vell av tester vi kan anvende til å sjekke
denne antakelsen. Vi skal først og fremst konsentrere oss om følgende to tester:
• White’s test
• Koenker-Bassett’s test 4
Vi starter med white’s test. Testligningen er gitt ved 5 :
2
= γ1 + γ2 ⋅ ⎢⎡RS &P 500,t − rft ⎥⎤ + γ 3 ⋅ SMBt + γ 4 ⋅ HMLt + γ 5 ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥
uˆfmagx
,t
⎣
⎦
⎣
⎦
+γ 6 ⋅ SMBt2 + γ 7 ⋅ HML2t + υt
2
Høyresiden består av de opprinnelige forklaringsvariabler pluss kvadratet av disse (vi ser bort fra
kryssproduktene, slik at testen blir en ren test for heteroskedastisitet).
4
5
Koenker-Basset-testen kan ses på som en robust formulering av den ellers svært etablerte Breusch-Pagan-testen.
I spesifiseringen av testligningen har vi utelatt kryssproduktene slik at testen blir en ren test for heteroskedastisitet.
- 29 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Fra arbeidsfilen velger vi Object Æ New Object...
Vi kaller objektet for White og trykker OK
- 30 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi oppnår følgende resultater:
Hypotesen vi skal teste er på formen:
H 0 : γ2 = γ 3 = γ 4 = γ 5 = γ 6 = γ 7 = 0
(hypotesen om homoskedastisitet)
H A : γi ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {2, ..., 7}
(hypotesen om heteroskedastisitet)
Hypotesen kan evalueres ved både en χ2 -test og en F-test. La oss først evaluere hypotesen ved χ2 -testen.
Teststatistikken er gitt ved:
n ⋅ R 2 = 60 ⋅ 0, 0559 = 3, 354 .
Antall frihetsgrader er lik antall restriksjoner under nullhypotesen. Ved et signifikansnivå på 5% finner vi
at kritisk verdi er lik 12,592. Siden n ⋅ R 2 (3,354) er mindre enn kritisk verdi (12,592) kan vi ikke forkaste
nullhypotesen. Vi har dermed ikke klart å påvise tilstedeværelsen av heteroskedastisitet, hvilket selvsagt er
gode nyheter. Det viser seg at F-testen ofte fungere bedre i små utvalg sammenlignet med χ2 -testen. La
oss derfor gjennomføre testen som en F-test og se om vi får samme konklusjon. I dette tilfellet vi kan vi
- 31 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg bruke F-testen gitt i outputen over. Vi ser at F-verdien er ca. 0,52 og at den tilhørende p-verdi er 78,83%.
Vi kan dermed ikke forkaste nullhypotesen. Konklusjonen blir dermed den samme som ved χ2 -testen.
Vi skal nå teste antakelsen om homoskedastisitet ved hjelp av Koenker-Bassett-testen. Testligningen er
gitt ved:
2
uˆfmagx
= γ1 + γ2 ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥ + γ 3 ⋅ SMBt + γ 4 ⋅ HMLt + υt
,t
⎣
⎦
Vi ser at denne ligningen er et spesialtilfelle av White’s test hvor γ5 = γ 6 = γ 7 = 0 . Denne spesifikasjonen
har ofte vist seg å fungere bedre.
Vi skal nå implementere testligningen i Eviews. Fra arbeidsfilen velger vi Object Æ New Object...
Vi spesifisere testligningen på følgende måte:
- 32 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Resultatene av estimeringen er gitt ved:
Vi tester hypotesen:
H 0 : γ2 = γ 3 = γ 4 = 0
(hypotesen om homoskedastisitet)
H A : γi ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {2,.., 4}
(hypotesen om heteroskedastisitet)
Som ved White’s test kan vi evaluere hypotesen ved både en χ2 -test og en F-test. Teststatistikken basert
på χ2 -testen er gitt ved:
n ⋅ R 2 = 60 ⋅ 0, 0392 = 2, 352
Antall frihetsgrader er lik 3 (antall restriksjoner under nullhypotesen). Ved et signifikansnivå på 5% finner
vi at kritisk verdi er lik 7,815. Siden teststatistikken (2,353) er mindre enn kristisk verdi (7,815) kan vi
ikke forkaste hypotesen om homoskedastisitet.
Når vi benytter F-testen finner vi at p-verdien er ca. 52% (du finner tallet i outputen) som er større enn
signifikansnivået på 5%. Vi får dermed samme konklusjon som ved χ2 -testen.
- 33 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Eviews har innebygget et betydelig antall ferdigprogrammerte tester. La oss sjekke våre beregninger i
forbindelse med Koenker-Bassett-testen. Åpn outputfilen fra estimeringen av Fama og French-modellen
ved å dobbeltklikke på objektet ff_fmf i arbeidsfilen. Fra outputfilen velges: View Æ Residual Tests Æ
Heteroskedasticity Tests...
Viktig: I Eviews er Koenker-Bassett-testen kjent som Breusch-Pagan-Godfrey:
- 34 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Resultatet av testen er gitt ved følgende output:
Øverst ser vi at våre egne beregninger er konsistente med både χ2 -testen og en F-testen i Eviews.
Autokorrelasjon
Typisk når man har en modell basert på tidsseriedata, dvs data som er målt over en tidsperiode, bør man
sjekke modellen for eventuell tilstedeværelse av autokorrelasjon. Det finnes, som i tilfellet med
heteroskedastisitet, ulike tester som kan benyttes for å sjekke antakelsen om ingen autokorrelasjon. Vi skal
her ta utgangspunkt i to etablerte tester:
•
Durbin-Watson-testen
•
Breusch-Godfrey-testen
Durbin-Watson-testen er den enkleste av de to testene. Nullhypotesen om ingen autokorrelasjon er gitt
ved: H 0 : ρ = 0 , hvor ρ er autokorrelasjonsparameteren.
- 35 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Teststatistikken beregnes på følgende måte:
∑ (uˆ
d=
∑
n
t =2
t
− uˆt −1 )
n
t =1
2
uˆt2
Som det fremgår av formelen er Durbin-Watson-testen begrenset til å teste for 1. ordens autokorrelasjon.
Når vi estimerer en modell vil Eviews rutinemessig beregne d . La oss ta utgangspunkt i Fama og Frenchmodellen for Fidelity-fondets avkastning gitt ved:
Rfmagx ,t − rft = αfmagx + β fmagx ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥ + γ1, fmagx ⋅ SMBt + γ2, fmagx ⋅ HMLt + ut
⎣
⎦
Åpn outputfilen fra estimeringen av Fama og French-modellen ved å dobbeltklikke på objektet ff_fmf i
arbeidsfilen. Outputen ser slik ut:
Vi finner her at d = 1, 2161 . Kritiske verdier for testen finnes i Durbin-Watson-tabellen. I dette tilfellet er
de kritiske verdiene gitt ved: dL = 1, 480 og dU = 1, 689
- 36 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg 1, 2161
0 dL = 1, 480 dU = 1, 689 2
4 − du
4 − dL
= 2, 311
= 2, 520
4
Siden 1,2161 < 1,480 forkaster vi nullhypotesen og konkluderer med at feilledet er autokorrelert av 1.
orden.
Durbin-Watson-testen er basert på et sett av nokså restriktive antakelser. En mer fleksibel og mindre
restriktiv test for autokorrelasjon er utviklet av Breusch og Godfrey (1978). Med denne testen kan vi teste
for opptil p. ordens autokorrelasjon. For enkelthets skyld begrenser vi oss til å teste for 1. ordens
autokorrelasjon, slik at nullhypotesen er som før, dvs. H 0 : ρ = 0 . Testligningen er på formen:
uˆfmagx ,t = γ1 + γ2 ⋅ ⎢⎡RS &P 500,t − rft ⎥⎤ + γ 3 ⋅ SMBt + γ 4 ⋅ HMLt + ρˆ ⋅ uˆfmagx ,t −1 + εt
⎣
⎦
Fra arbeidsfilen velges: Object Æ New Object...
Testligningen spesifiseres ved hjelp av:
- 37 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Bemerk hvordan uˆfmagx ,t −1 spesifiseres ved hjelp av: u_(-1). Resultatet av estimeringen:
Dersom vi finner støtte for hypotesen: ρ ≠ 0 konkludere vi at feilleddet er autokorrelert av 1. orden.
Teststatistikken basert på χ2 -testen er gitt ved:
- 38 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg (n − p) ⋅ R2 = (60 − 1) ⋅ 0,1089 = 6, 4251
Antall frihetsgrader for testen er 1 (siden det kun er en restriksjon under nullhypotesen). Ved et
signifikansnivå på 5% finner vi at kritisk verdi er 3,84. Siden 6,4251 er større enn 3,84 forkaster vi
hypotesen om ingen autokorrelasjon.
Siden vi har begrenset oss til kun å teste for opptil 1. ordens autokorrelasjon er det i utgangspunktet
tilstrekkelig å benytte en t-test. Ved et signifikansnivå på 5% forkastes hypotesen om ingen
autokorrelasjon siden p-verdien knyttet til parameteren ρˆ (1,36%) er mindre enn signifikansnivået (5%).
Dersom man ønsker å teste for høyere ordens autokorrelasjon må man imidlertid benytte enten χ2 -testen
(som vist her) eller F-testen.
Som ved heteroskedastisitet kan vi la Eviews utføre testen for oss. Åpn outputfilen fra estimeringen av
Fama og French-modellen ved å dobbeltklikke på objektet ff_fmf i arbeidsfilen.
Fra outputfilen velges: View Æ Residual Tests Æ Serial Correlation LM test...
I dialogboksen med betegnelsen: Lags to include, velges 1 (siden vi tester for 1. ordens autokorrelasjon).
Resultatet av testen er gitt ved:
- 39 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Legg merke til at både χ2 -verdien og t-verdien for testen er noe forskjellig fra våre egne beregninger
(6,4251 vs. 5,1439 for χ2 -testen og 2,5519 vs. 2,2710 for t-testen). Den observerte forskjellen er størst i
små utvalg. I større utvalg er forskjellen neglisjerbar. I vårt tilfelle er konklusjonen imidlertid den samme.
p-verdien for χ2 -testen (2,33%) og for t-testen (2,71%) er begge mindre enn signifikansnivået på 5%.
Feilleddet er normalfordelt
I forbindelse med hypotesetesting forutsettes det at feilleddet er normalfordelt. Både t-testen og F-testen
bygger på antakelsen om normalitet. Antakelsen er spesiell viktig i små utvalg (liten n). I større utvalg
kommer sentralgrenseteoremet oss til unnsetning. Når n er stor vil både t-testen og F-testen være valide
tester selv om feilleddet avviker fra normalitet. Det finnes ulike tester for å sjekke normalitetsantakelsen.
Vi har så vidt allerede berørt Jarque-Bera-testen (JB-testen). Denne testen evaluere hypotesen:
H 0 : γ1 = γ 2 = 0
(hypotesen om normalitet)
H A : γi ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {1,2}
(hypotesen om ikke-normalitet)
- 40 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg hvor γ1 og γ 2 er parametrer for henholdsvis skjevhet (skewness) og for unormal kurtose (Excess kurtosis).
For normalfordelingen gjelder: γ1 = γ2 = 0 . Teststatistikken til JB-testen er gitt ved:
n⎛
1 ⎞
JB = ⎜⎜⎜b12 + b22 ⎟⎟⎟ ,
⎜
6⎝
4 ⎠⎟
n
1
uˆ3
∑
t =1 t
n
hvor b1 =
3/2
⎛1
⎞
n
2⎟
⎜⎜
⎟
ˆ
u
⎜⎝ n ∑ t =1 t ⎠⎟⎟
n
1
uˆ4
∑
t =1 t
n
−3
og b2 =
2
⎛1
⎞
n
2⎟
⎜⎜
⎟
⎜⎝ n ∑ t =1 uˆt ⎠⎟⎟
JB følger asymptotisk en χ2 -fordeling med 2 frihetsgrader (siden det er 2 restriksjoner under H 0 ). La oss
igjen ta utgangspunkt i Fama og French-modellen for Fidelity-fondets avkastning gitt ved:
Rfmagx ,t − rft = αfmagx + β fmagx ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥ + γ1, fmagx ⋅ SMBt + γ2, fmagx ⋅ HMLt + ut
⎣
⎦
Som før, åpn outputfilen fra estimeringen av Fama og French-modellen ved å dobbeltklikke på objektet
ff_fmf i arbeidsfilen.
Fra outputfilen velges: View Æ Residual Tests Æ Histogram – Normality Test
- 41 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Resultatet av testen:
- 42 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi finner at JB = 10, 61 . Ved et signifikansnivå på 5% er kritisk verdi for testen 5,99. Hypotesen om
normalitet forkastes siden teststatistikken er større enn kritisk verdi (vi ser også at testens p-verdi (ca.
0,5%) er mindre enn signifikansnivået (5%)). Bemerk at det er særlig verdien av unormal kurtose
(γˆ2 = 4, 76) som avviker fra 0, hvorimot skjevheten (γˆ1 = 0, 54) er nokså nær 0. Antakelsen er kanskje
mindre viktig i dette tilfellet siden n = 60 , hvilket må sies å være et nokså bra utvalg.
Funksjonell form
En økonometrisk modell kan være feilspesifisere på ulike måter. Vi kan for eksempel feilspesifisere en
modell ved enten å utelate viktige forklaringsvariabler eller ved å inkludere for mange forklaringsvariabler
i spesifikasjonen. I tillegg kan modellen feilspesifiseres ved at den funksjonelle formen spesifiseres feil.
Denne formen for feilspesifisering har fellestrekk med det å utelate viktige forklaringsvariabler fra modellen.
Vi skal nå se på en test kalt Ramsey’s RESET test som kan være til hjelp i å avdekke eventuelle
problemer knyttet modellens funksjonelle form.
Vi tar igjen utgangspunkt i Fama og French-modellen for Fidelity-fondets avkastning gitt ved:
Rfmagx ,t − rft = αfmagx + β fmagx ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥ + γ1, fmagx ⋅ SMBt + γ2, fmagx ⋅ HMLt + ut
⎣
⎦
Testligningen for Ramsey’s RESET test er gitt ved:
Rfmagx,t − rft = λ1 + λ2 ⋅ ⎢⎡RS &P 500,t − rft ⎥⎤ + λ3 ⋅ SMBt + λ4, ⋅ HMLt
⎣
⎦
2
3
n
n
+δ ⋅ R
− rf + δ ⋅ R
− rf + ... + δ
1
(
(
fmagx,t
n
Legg merke til at Rfmagx,t − rft
t
)
2
(
fmagx,t
t
)
n
− rf ) ... (R
− rf )
) , (Rn
2
)
p
+ εt
p
3
fmagx,t
(
n
⋅ R
− rft
p −1
fmagx,t
t
fmagx,t
t
fanger opp ikke-lineære sammenhenger
som det i den opprinnelige modellen ikke er tatt hensyn til. Hypotesen vi skal teste er på formen:
H 0 : δ1 = δ2 = ... = δp −1 = 0
(hypotesen om korrekt funksjonell form)
H A : δi ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {1,..., p − 1}
(hypotesen om feil funksjonell form)
Det store spørsmålet er nå: hvilken verdi av p vi skal velge. Eviews vil automatisk foreslå p = 2 . I dette
eksemplet velger vi p = 3 slik at testligningen og hypotesen vi skal teste er på formen:
Rfmagx,t − rft = λ1 + λ2 ⋅ ⎡⎢RS &P 500,t − rft ⎤⎥ + λ3 ⋅ SMBt + λ4 ⋅ HMLt
⎣
⎦
2
3
n
n
+δ ⋅ R
− rf + δ ⋅ R
− rf + ε
1
(
fmagx,t
t
)
2
(
fmagx,t
- 43 - t
)
t
Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg H 0 : δ1 = δ2 = 0
H A : δi ≠ 0 for minst èn i, hvor i ∈ {1,2}
Vi starter med å åpne outputfilen fra estimeringen av Fama og French-modellen ved å dobbeltklikke på
objektet ff_fmf i arbeidsfilen. Outputen ser slik ut:
n
Første steg er å beregne R
− rft . Dette gjøres ved å velge: Proc Æ Forecast
fmagx,t
- 44 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi får da opp følgende skjermbilde:
- 45 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Det er her viktig å velge FMAGX-RF siden det er denne serien vi skal beregne de predikerte verdiene for.
Navnet på den nye serien er: fmagxf (vi kan selvfølgelig spesifisere et annet navn dersom vi skulle ønske
det). Skjermbildet som viser seg etter vi trykker OK er mindre interessant. Vi kommer tilbake til
outputfilen ved å velge: View Æ Estimation Output
- 46 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi skal nå estimere testligningen. Fra arbeidsfilen velges: Object Æ New Object...
- 47 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Testligningen spesifiseres på følgende måte:
Resultatet av estimeringen er gitt ved:
- 48 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Vi tester hypotesen ved hjelp av en F-test. Testen utføres ved: View Æ Coefficient Tests Æ Wald –
Coefficient Restrictions... I dialogboksen spesifisere vi våre restriksjoner:
Resultatet av testen er som følger:
- 49 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Ved et signifikansnivå på 5% er kritisk verdi ca. 3,15. Siden F-verdien (2,6026) er mindre enn kritisk verdi
(3,15) kan vi ikke forkaste null-hypotesen for korrekt spesifisering. Dette bekreftes også av at p-verdien
(8,34%) som er større enn signifikansnivået på (5%).
Som for en del av de andre testene vi har sett på i denne innføringen, finner vi også RESET-testen som en
del av Eviews. La oss gå tilbake til outputen for Fama og French-modellen og Fidelity-fondets avkastning.
Fra outputfilen velges: View Æ Stability Tests Æ Ramsey RESET Test...
- 50 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg I dialogboksen spesifisere vi p = 3 , dvs. Number of fitted terms: 2
- 51 - Komme i gang med Eviews
© David Kreiberg Resultatet av testen ser slik ut:
Og vi får selvsagt de samme resultatene som over.
- 52 -