Transcript 2.A TIDSSERIER - Drago Bergholt

Norwegian Business School
2.A TIDSSERIER
BST 1612 – ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5
Foreleser: Drago Bergholt
E-post: [email protected]
10. november 2011
INNHOLD
-
Gaussian white noise (hvit støy)
-
Forventninger
-
Lineære differenslikninger og random walk
-
Time series operators – the lag operator
-
Stasjonaritet
-
Autokorrelasjonsfunksjonen
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
2
TIDSSERIER
-
Tidligere lærte vi at en tidsserie er en samling observasjoner
indeksert med tidspunkt for hver observasjon, for eksempel
med starttid
-
og sluttid
.
Ofte kan en tidsserie identifiseres ved å beskrive elementet
på tidspunkt . En lineær tidstrend for eksempel, er
simpelthen tidspunktet for observasjonen:
-
En tidsserie kan også være lik en konstant :
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
3
White noise
-
En viktig tidsserie er såkalt Gaussian White noise:
-
Støyleddet
tilhører en uendelig lang sekvens av
uavhengige, tilfeldige variabler med identisk distribusjon
(independently, identically distributed, evt. i.i.d.):
-
har gjennomsnitt lik null og varians lik
Tenk deg at vi i hver periode
.
observerer en
realisering av en prosess med white noise. En slik sekvens
av observasjoner kan simuleres.
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
4
White noise
-
Eksempel:
der
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
(200 trekninger)
5
THE LAG OPERATOR
-
En tidsserieoperator transformerer en tidsserie til en annen,
for eksempel ved å multiplisere med et tall :
-
En lag operator transformerer en tidsserieverdi til verdien i
foregående periode, det vil si at:
-
Mer generelt kan en lag operator opphøyes i både positive
og negative tall. Følgende egenskaper gjelder:
,
-
,
Skriv om følgende:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
6
THE LAG OPERATOR
-
Mer generelt kalles et polynom av en lag operator et
polynomlag. For eksempel har vi følgende autoregressive
polynom:
-
Merk følgende:
⇔
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
7
STASJONARITET
-
En tidsserie er strengt stasjonær (strictly stationary) dersom
fordelingen ikke avhenger av tid.
-
Dersom verken gjennomsnittet
avhenger av tid kalles tidsserien
eller autokovariansen
”covariance weakly
stationary”. Da er:
for alle
for alle og
-
Hvorvidt en tidsserie er stasjonær er avgjørende for valg av
riktig analysemetode.
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
8
AUTOKORRELASJONSFUNKSJONEN
-
Dersom en prosess er stasjonær kan tidsserieegenskapene
oppsummeres ved å plotte kovariansen mellom
og
for
forskjellige .
-
Dette plottet kalles autokovariansfunksjonen og er gitt som:
-
Autokovariansen kan standardiseres ved å dele på variansen
til
, tidligere definert som
. Dermed har vi at
autokorrelasjonsfunksjonen er:
-
Merk at
.
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
9