Transcript 2.B AUTOREGRESSIVE PROSESSER

Norwegian Business School
2.B AUTOREGRESSIVE PROSESSER
BST 1612 – ANVENDT MAKROØKONOMI MODUL 5
Foreleser: Drago Bergholt
E-post: [email protected]
10. november 2011
INNHOLD
-
Autoregressiv prosess av orden
-
Moving average prosess av orden
-
Autoregressiv, moving average prosess av orden
-
Utregning av momenter
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
2
ARMA(
-
Repetisjon: White noise
-
Antagelser om restleddet:
)
Altså, gjennomsnittet er null:
Ingen seriekorrelasjon:
Konstant betinget varians:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
3
ARMA(
-
Autoregressiv prosess av orden ; AR( )
)
AR( )
Eksempel:
-
Autoregressiv prosess av orden ; AR( )
etc.
-
Autoregressiv prosess av orden ; AR( )
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
4
ARMA(
-
)
AR( ):
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
5
ARMA(
-
)
AR( ):
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
6
ARMA(
-
)
AR( ):
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
7
ARMA(
-
Moving average prosess av orden ; MA( )
-
Moving average prosess av orden ; MA( )
)
AR( )
etc.
-
Moving average prosess av orden ; MA( )
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
8
ARMA(
-
)
Moving average vs. white noise:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
9
-
ARMA(
)
Autoregressive moving average prosess av orden
;
ARMA(
-
Autoregressive moving average prosess av orden
ARMA(
-
)
;
)
Autoregressive moving average prosess av orden
; ARMA(
)
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
10
ARMA(
-
AR
vs ARMA(
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
)
):
11
ARMA(
-
En ARMA(
)
)-prosess kan også uttrykkes ved hjelp av lag-polynomer:
er det samme som
Eller, hvis vi flytter alle
-leddene over på venstre side:
er det samme som
er det samme som
der
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
12
FRA AR( ) TIL MA( )
-
Nå skal vi vise at en AR( ) kan uttrykkes som en MA( ), det vil si at:
der
.
-
Betrakt følgende AR( ):
-
Merk at vi kan sette inn for
-
Videre kan vi sette inn for
i
:
, etc. Denne
innsettingsprosedyren kalles rekursiv substitusjon.
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
13
FRA AR( ) TIL MA( )
-
Siden
er en del av en uendelig lang tidsserie,
-
Med andre ord, vi har funnet at AR( )-prosessen kan uttrykkes som en
MA( ), der lag lengre tilbake i tid gis lavere vekt fordi
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
, får vi følgende:
:
14
MOMENTER I EN AR( )-PROSESS
-
Betrakt følgende AR( ):
-
Vi har nettopp vist at denne kan skrives som:
-
Ta forventningen på begge sider for å få et uttrykk for gjennomsnittet:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
15
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
Hva med variansen? Ved å bruke resultatene ovenfor får vi, etter litt
mellomregning:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
16
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
Hva med kovariansen? Ved å bruke resultatene ovenfor får vi, etter litt
mellomregning:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
17
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
Hva med autokorrelasjonen? Ved å bruke resultatene ovenfor får vi:
-
Hva med autokorrelasjonsfunksjonen? Den blir ganske enkelt:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
18
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
La oss plotte autokorrelasjonsfunksjonen for utvalgte verdier på
. Dersom
:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
19
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
Dersom
ser vi at minnet i serien er kortere enn i det forrige tilfellet.
Generelt vil minnet i tidsserien være lengre desto nærmere
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
er .
20
MOMENTER I EN AR ( )-PROSESS
-
Dersom
”husker” tidsserien like godt som når
, men siden
fortegnet er negativt skifter autokorrelasjonsfunksjonen mellom positive og
negative verdier:
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
21
MOMENTER I EN MA( )-PROSESS
-
Øvelse (løsning gis i timen):
Betrakt en MA( )-prosess med konstantledd:
der
er iid
a.
Beregn forventet verdi
b.
Beregn variansen
c.
Beregn autokovariansen
d.
Er prosessen stasjonær? I så fall hvorfor?
e.
Skisser autokorrelasjonsfunksjonen i en figur for
f.
Anta nå i stedet at
figur for
,
og
.
.
.
.
. Skisser autokorrelasjonsfunksjonen i en
.
BST 1612 – Anvendt makroøkonomi
22