Transcript Télécharger - Page d`accueil

EXERCICES DU THEME V. GRAPHES ETIQUETES. GRAPHES PONDERES.
I°)
Le graphe étiqueté suivant permet de reconnaître des mots.
Répondre par vrai ou faux aux affirmations suivantes et justifier.
a) Il reconnaît le mot « maman ».
b) Il ne reconnaît qu’un mot de 5 lettres.
c) Il reconnaît tous les mots commençant par « mam ».
II°)
Le graphe suivant représente les différents itinéraires pour aller de D à S.
Le poids des arêtes est le coût, en euros, du trajet effectué entre deux villes nommés par
les sommets.
a) Quel est le poids de la chaîne D-A-C-S,
b) Quelle est la chaîne de poids minimal ?
c) Quelle est la longueur de la chaîne D-A-C-S ?
III°)
Le graphe suivant donne le plan d’un quartier avec le sens de circulation
sur chaque artère, ainsi que le temps de parcours, en minutes, entre les
différents lieux.
Dimitri désire prendre sa bicyclette pour se rendre de son domicile D à la
piscine P.
Proposer à Dimitri un trajet le plus court possible lui permettant de
réaliser ce déplacement.
IV°)
Des touristes sont logés dans un hôtel noté A. Un guide fait visiter six
sites touristiques notés B, C, D , E, F et G. Les tronçons de route qu’il
peut emprunter sont représentés sur le graphe ci-contre : le long de
chaque arête figure la distance en kilomètres des différents tronçons.
1°)
a) A partir de l’hôtel, le guide peut-il emprunter tous les
tronçons de route en passant une fois et une seule fois sur
chacun d’eux ? Justifier la réponse.
b) Même question s’il doit obligatoirement terminer son circuit
à l’hôtel.
2°) Déterminer le plus court chemin menant de l’hôtel A au site E. Justifier votre réponse.
V°)
ZEBRE ET CROCODILES.
Dans la plaine du Serengeti en Tanzanie, huit près sont identifiés par les lettres A, B, C, D, E , F,
G et H.. Un troupeau de zèbres doit partir du pré A pour rejoindre le pré H en se déplaçant de
pré en pré. Pour passer directement d’un pré à l’autre, les zèbres peuvent, dans certains cas,
emprunter un chemin. Tous les chemins traversent un certain nombre de rivières. Bien entendu, la traversée d’une
rivière est extrêmement dangereuse pour les zèbres à cause des crocodiles qui les attendent impatiemment.
Les chemins possibles entre les prés sont représentés par les arêtes
du graphe ci-contre, dont les sommets représentent les prés. Le
nombre de rivières coupant un chemin est le poids affecté à l’arête
représentant ce chemin. Le poids de chaque arête est indiqué sur le
graphe.
a) Déterminer le nombre minimal de fleuves que les zèbres
devront traverser en utilisant l’algorithme de Moore –
Dijkstra. Indiquer alors l’itinéraire.
b) Existe-t-il d’autres parcours donnant ce même nombre minimal de fleuves ? Si oui, les donner tous.
VI°)
LA GRANDE SURFACE.
Une grande surface est conçue de telle façon que six secteurs (alimentation, Hi Fi,…..) notés A, B, C, D, E et F sont
reliés par des allées selon le graphe G ci-dessous.
1°)
a) Recopier et compléter le tableau suivant :
b) Le graphe G est-il connexe ? Pourquoi.
2°) Un visiteur désire parcourir l’ensemble des allées en ne passant par celles-ci qu’une seule fois.
a) Démontrer que son souhait est réalisable.
b) Donner un exemple d’un tel parcours.
3°) Le directeur désire associer chaque secteur à une couleur de sorte que deux secteurs (sommets) reliés entre eux
ne portent pas la même couleur.
a) Démontrer que le nombre chromatique n du graphe vérifie n ≥ 4 .
b) Expliquer pourquoi n ≤ 5 .
c) Proposer un coloriage du graphe permettant de déterminer son nombre chromatique.
4°) Une famille se trouve dans le secteur E et doit se rendre dans le
secteur F. Cela étant, les parents connaissent suffisamment les allées
pour savoir que, dans chacune d’elles, les enfants ne résistant pas, il
leur faudra débourser une somme (en euros) précisée dans le graphe cicontre.
Indiquer une chaîne qui minimise la dépense de cette famille.
VII°)
1°) On note G le graphe représenté ci-dessous et M sa matrice obtenue en prenant les sommets dans l’ordre
alphabétique. La matrice ci –dessous est M 3
Dire, en justifiant votre réponse, si les affirmations suivantes sont
vraies ou fausse.
a) L’ordre du graphe est égal au plus grand des degrés des
sommets.
b) Le graphe G contient un sous graphe complet d’ordre 3.
c) Les sommets de G peuvent être colorés avec trois couleurs
sans que deux sommets adjacents soient de même couleur.
d) Il est possible de parcourir ce graphe en passant une fois et
une seule par chaque arête.
e) Il existe au moins un chemin de longueur 3 qui relie chaque sommet à chacun des sept autres sommets du
graphe.
f) Il y a 72 chemins de longueur 3 qui relient le sommet e à chacun des huit sommets du
graphe.
2°) Le graphe précédent représente un réseau de ligne d’autobus. Les sommets du graphe
désignent les arrêts. Le poids des arêtes sont les durées de parcours, en minutes, entre deux arrêts
(correspondances comprises).
Déterminer, à l’aide d’un algorithme, la durée minimum pour aller de l’arrêt a à l’arrêt h et
donner ce trajet.