Transcript GRAPHES - Composantes et types

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- GRAPHES Composantes et types
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- GRAPHES : Composantes et types  Définitions
Les graphes sont des représentations mathématiques qui
servent à illustrer des situations qui ont une certaine
organisation.
Ex. : Organisation du système de santé.
Elles permettent souvent de faire des choix d’organisation
optimaux.
Ex. : Le facteur qui distribue le courrier de manière à minimiser ses
déplacements.
Les graphes sont constitués d’ensemble de points, appelés
« sommets » et de liens, appelés « arêtes » reliant ses sommets.
Sommets
A
Boucle
B
C
E
D
Arêtes
Note : La forme de l’arête n’a pas d’importance (ligne droite ou courbe)
Boucle : Arête qui débute et se termine au même sommet.
Les graphes illustrent les relations qui existent entre les sommets.
Ex. : Voici la représentation d’un mini-réseau Facebook de 5 personnes.
B
A
C
E
D
On constate donc, entre autres, que A est « ami » avec B.
Cependant, A n’est pas « ami » avec C.
Voici un graphe quelconque :
B
A
C
E
D
Degré d’un sommet : Nombre d’arêtes qui touchent au sommet.
Sommets
Degrés
A
B
C
D
E
1
2
4
3
2
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Chaîne : Suite d’arêtes consécutives.
Ex. : ADBE
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Chaîne : Suite d’arêtes consécutives.
Ex. : ADBE
Cycle : Chaîne qui commence et se termine au même sommet.
Ex. : BECDB
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête.
Ex. : ADBE est une chaîne simple.
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Chaîne simple : Chaîne qui ne passe pas deux fois par la même arête.
Ex. : ADBE est une chaîne simple.
Ex. : ADBECDB n’est pas une chaîne simple.
Cycle simple : Cycle qui ne passe pas deux fois par la même arête.
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle.
Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.
Voici un graphe quelconque :
A
B
C
E
D
Longueur d’une chaîne : Nombre d’arêtes dans la chaîne ou le cycle.
Ex. : La chaîne ADBE a une longueur de 3.
Distance entre 2 sommets : Longueur de la chaîne la plus courte entre
ces 2 sommets.
Ex. : La distance entre E et C est de 1.
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- GRAPHES : Composantes et types  Types de graphes
A) Graphe CONNEXE
Graphe où il existe une chaîne pour aller à n’importe quel des
sommets du graphe.
B
B
A
C
A
C
E
D
E
D
CONNEXE
NON-CONNEXE
B) Graphe ORIENTÉ
Graphe où chacune des arêtes est orientée (flèche).
B
B
A
C
A
C
E
D
E
D
ORIENTÉ
NON-ORIENTÉ
Terminologie des graphes orientés :
Arcs = Arêtes
Chemins = Chaînes
Circuits = Cycles
C) Graphe VALUÉ
Graphe où chacune des arêtes a une valeur numérique.
B
B
12
4
A
2
E
C
A
C
D
E
D
6
10
VALUÉ
NON-VALUÉ
Poids de l’arête : Valeur attribuée à l’arête
Poids d’une chaîne : Somme des valeurs attribuées à chaque
arête de la chaîne.
Poids du graphe : Somme des valeurs attribuées à chaque
arête du graphe.
Ex. : Le poids du graphe ABCDE est de 34.
D) ARBRE
Graphe, connexe et non-orienté, qui ne comporte aucun cycle
simple.
B
B
A
C
A
C
E
D
E
D
ARBRE
ARBRE
B
A
C
Cycle simple !
E
D
PAS UN ARBRE
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- GRAPHES : Composantes et types  Chaîne et cycle EULÉRIENS
A) Chaîne EULÉRIENNE
Chaîne qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe.
Conditions pour avoir une chaîne eulérienne dans un graphe :
Avoir exactement 2 sommets* de degré impair.
* Ces 2 sommets sont le début et la fin de la chaîne eulérienne.
Exemple #1 :
Impair
B
Impair
A
C
E
D
La chaîne BADEC est une chaîne eulérienne.
La chaîne CEDAB est aussi une chaîne eulérienne.
Exemple #2 :
B
Impair
Impair
A
C
Impair
Impair
E
D
Il n’y a pas de chaîne eulérienne, car il n’y a pas
seulement 2 sommets de degré impair.
B) Cycle EULÉRIEN
Cycle qui passe une seule fois par toutes les arêtes du graphe.
Conditions pour avoir un cycle eulérien dans un graphe :
Avoir tous les sommets de degré pair.
Exemple #1 :
Pair
B
Pair
Pair
A
C
Pair
Pair
E
D
Le cycle BCEDAB est un cycle eulérien.
Exemple #2 :
Pair
B
Pair
Impair
A
C
Impair
Pair
E
D
Il n’y a pas de cycle eulérien, car tous les
sommets ne sont pas de degré pair.
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- GRAPHES : Composantes et types  Chaîne et cycle HAMILTONIENS
A) Chaîne HAMILTONIENNE
Chaîne qui passe une seule fois par tous les sommets du
graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non une chaîne hamiltonienne,
il faut procéder par essai-erreur.
Exemple #1 :
F
A
E
B
G
C
D
La chaîne ABCDEFG est une chaîne hamiltonienne.
Exemple #2 :
B
A
C
E
D
Ce graphe ne contient pas de chaîne hamiltonienne.
B) Cycle HAMILTONIEN
Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut
procéder par essai-erreur.
A
Exemple #1 :
F
E
B
C
D
Le cycle EFADCBE est un cycle hamiltonien.
B) Cycle HAMILTONIEN
Cycle qui passe une seule fois par tous les sommets du graphe.
Pour savoir si un graphe contient ou non un cycle hamiltonien, il faut
procéder par essai-erreur.
A
Exemple #2 :
F
E
B
C
D
Ce graphe ne contient aucun cycle hamiltonien.
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- GRAPHES : Composantes et types  Nombre CHROMATIQUE
C’est le plus petit nombre de couleurs qu’il est possible d’utiliser
pour colorier les sommets d’un graphe sans que deux sommets
adjacents soient de même couleur.
On utilise le nombre chromatique avec des graphes dont les arêtes
illustrent une situation d’incompatibilité ou de conflit.
MÉTHODE :
1. Placer les sommets en ordre décroissant de degré.
2. Attribuer une 1re couleur au sommet de plus grand degré.
3. Attribuer cette même 1re couleur au sommet suivant s’il ne lui est
pas relié, sinon utiliser une 2e couleur.
4. Répéter l’étape 3 jusqu’à ce que tous les sommets soient coloriés.
Exemple #1 : Trouver le nombre chromatique du graphe suivant :
A
Sommets
(en ordre décroissant de degré) :
A (3)
E (3)
B (2)
B
F
C
E
F (2)
C (1)
D (1)
Réponse : Le nombre chromatique
du graphe est 3.
D
Exemple #2 : Sébastien veut envoyer un message à tous ses amis par
Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits
entre eux et se bloquent l’accès, donc ils ne peuvent voir le
message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous
illustre les conflits entre les amis de Sébastien.
Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre
tous ses amis ?
Sommets
A
F
(en ordre décroissant de degré) :
D (4)
F (3)
A (2)
E
B
C (2)
E (2)
B (1)
C
D
Exemple #2 : Sébastien veux envoyer un message à tous ses amis par
Facebook. Cependant, certains de ses amis sont en conflits
entre eux et se bloquent l’accès, donc il ne peuvent voir le
message envoyé à l’autre personne. Le graphe ci-dessous
illustre les conflits entre les amis de Sébastien.
Combien de messages différents doit-il écrire pour rejoindre
tous ses amis ?
A
Le nombre chromatique
du graphe est 3.
F
E
B
Réponse : 3 messages.
C
D