Transcript Module MCEN5 : Filtrage numérique Enoncés de Travaux Dirigés

Module MCEN5 : Filtrage numérique
Enoncés de Travaux Dirigés
Thierry CONTARET
Module MC-EN5 : TD n°1 - CONVERTISSEURS A. N. et N. A.
Montages fondamentaux
Exercice 1 : C.A.N. Flash
Entrée analogique
X
Vmax
max
Registre
R
R
R
+
b1
+
-
b0
Code
numérique
+
-
R
Comparateurs
Vmin
Transcodeur
Horloge
Bloc
potentiométrique
Le procédé de conversion analogique-numérique flash est comme son nom l’indique, le procédé le plus
rapide. La structure de principe est donnée sur la figure ci-dessus, dans le cas d’un CAN Flash 2 bits.
Analyser le schéma.
1. Exprimer les seuils de comparaison S1 , S2 , S3 des différents comparateurs.
L’entrée analogique X évolue entre Vmin et Vmax.
2. Définir les différentes bandes de quantification et les codes correspondants c3c2c1 obtenus en
sortie des comparateurs.
3. Ce codage est dit codage thermomètre. Justifier.
4. Quel est le rôle du registre ?
On désire en sortie du CAN un codage binaire b1b0.
5. Proposer une structure de réalisation du transcodeur.
6. Tracer la caractéristique de transfert du CAN.
Généralisation à n bits :
7. Que deviennent les différents blocs lorsque l’on désire une CAN n bits ?
8. Donner les caractéristiques des différents blocs pour n = 10 bits. Conclure.
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
1
Exercice 2 : C.A.N. à approximations successifs
Ce procédé est moins rapide que le précédent mais la structure de réalisation est plus simple quand le
nombre de bits augmente. Le schéma fonctionnel est le suivant :
Logique de
Commande
Entrée
analogique X
Echantillonneur
Bloqueur
+
-
Registre à
Approximations
Successives
Code
Numérique
CNA
Le CAN doit fournir en sortie le code binaire correspondant à la bande de quantification dans laquelle se
trouve la tension analogique X au moment de la conversion. Avec n bits, il y a 2n bandes de
quantifications et donc 2n codes possibles.
Le registre à approximations successives est un générateur de nombres N codés sur n bits. Ces n bits sont
appliqués aux entrées numériques d’un CNA qui délivre alors une tension Nq. Cette tension est comparée
à la tension d’entrée analogique X prélevée à des instants multiples d’une période Te. Chaque
comparaison doit permettre de diviser par 2 le nombre de codes possibles. Il suffit alors de n
comparaisons pour déterminer le bon code.
Supposons pour l’exercice que l’on ait un CAN 3 bits et que X évolue entre 0 et Xmax .
1. Combien y a-t-il de bandes de quantification ?
2. Quelle est la valeur de Xmax ?
3. Pour une tension analogique X = 5,5q , indiquer la succession des tensions de comparaison
fournies par le CNA et les codes testés.
4. Même question pour 1,2q.
5. Montrer qu’à chaque essai, on détermine un bit du code final.
Exercice 3 : C.N.A. à réseaux R – 2R
Ce procédé est moins rapide que le précédent mais la structure de réalisation est plus simple quand le
nombre de bits augmente. Le schéma fonctionnel est le suivant :
10kΩ
10kΩ
10kΩ
10kΩ
10kΩ
5
20kΩ
20kΩ
20kΩ
20kΩ
20kΩ
20kΩ
7
6
4
3
2
1
0
On désire réaliser un convertisseur Numérique-Analogique 6 bits délivrant une tension x= qN où q est le
quantum égal à 100mV et N est le nombre associé au mot mémoire b5b4b3b2b1b0 par le codage suivant :
b5 indique le signe de N : b5 = 0 si signe positif et b5 = 1 si signe négatif.
b4b3b2b1b0 représente la valeur absolue de N selon le code binaire naturel.
On dispose pour cela d'un circuit intégré ayant la structure indiquée ci-dessus. Cette structure est appelée
réseau R - 2R.
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
2
Ce composant est inséré dans le montage suivant :
R’
10V
5
-10V
7
-
6
+
Réseau R-2R
b5
4
3
2
1
0
x
b4
b3
b2
b1
b0
Lorsque les bits sont à un, les commutateurs associés sont connectés sur la ligne.
On appelle I6 et I7 les courants de sortie des broches 6 et 7.
1. Que peut-on dire des potentiels des sorties 6 et 7 ?
On appelle V5 le potentiel de la broche 5.
2. Exprimer les potentiels des différents points situés entre les résistances internes de 10kΩ.
3. Ces potentiels dépendent-ils de l'état des commutateurs ?
4. En déduire l'expression de l'intensité du courant I7 en fonction de V5 et des bits b4b3b2b1b0.
5. Montrer que l'on peut écrire I7 = kN.
6. En déduire l'expression de la tension de sortie x en fonction de k, R' et N.
7. Calculer R' pour obtenir la valeur du quantum q = 100mV.
8. Dans quelle position doit se trouver le commutateur associé à b5 quand b5 = 1 ?
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
3
Module MC-EN5 : TD n°2 - ANALYSE DE FILTRES NUMERIQUES
Filtres non récursif et filtres récursifs
Exercice 1 : analyse de filtres récursifs
On veut réaliser l’équivalent numérique d’un filtre passe-bas du premier ordre. Pour comparer
commodément le comportement du système numérique à celui du système analogique, on examinera la
réponse impulsionnelle et le comportement fréquentielle.
1. Donner la fonction de transfert analogique, l’équation différentielle et la réponse impulsionnelle
d’un filtre analogique passe-bas du premier ordre.
2. Simulation approchée : Déterminer l’équation de récurrence en utilisant un algorithme de dérivée
avant. Déduire la fonction de transfert en z, HAP(z).
3. Simulation exacte : la forme discrète d’un système continu du premier ordre est donnée par la
transformée en z de la fonction de transfert associée au bloqueur d’ordre 0 :
HB(z) = (1-z-1)[H(p)/p] = (1-α)z-1/(1-αz-1) avec α = exp(-Te/τ)
Déterminer l’équation de récurrence associée à HB(z).
4. Montrer que les deux équations de récurrence peuvent être considérées comme égales et quelles se
mettent sous la forme y(n) = A x(n-1) + B y(n-1). En déduire H(z) en fonction de A et B.
5. Quelle est l’expression du pôle de cette fonction ?
6. Quelle doit être la condition sur B pour que le filtre soit stable ?
7. On suppose cette condition réalisée par la suite. Exprimer alors la séquence réponse
impulsionnelle {h(n)}. En déduire la constante τ du filtre réalisé.
8. Déterminer la fonction de transfert H*(f).
9. Quelle condition doit-on satisfaire pour réaliser le filtre dans la bande d’échantillonnage ?
10. A partir de cette condition, retrouver τ.
11. A.N. : τ = 7 Te. Déterminer les coefficients A et B pour les deux équations de récurrence ainsi que
les fréquences de coupure. Calculer l’erreur de la réponse impulsionnelle à k = 100.
Exercice 2 : filtre numérique à moyenne mobile d’ordre 6
Les nombres de la séquence d’entrée sont fournis toutes les Te secondes avec Te=100µs. La valeur de
sortie est la moyenne de l’échantillon d’entrée présent et des 6 précédents. Le filtre numérique est dit à
moyenne mobile d’ordre 6. Il est programmé selon l’algorithme suivant :
s(n) = 0.142857 × [ e(n) + e(n-1) + e(n-2) + e(n-3) + e(n-4) + e(n-5) + e(n-6) ]
1. Le filtre est-il récursif ou non récursif ? Justifier
2. La valeur du coefficient de pondération des échantillons d’entrée est une valeur approchée ; quelle sa
valeur exacte ?
3. Proposer une structure de réalisation de l’équation de récurrence sous forme de blocs fonctionnels.
4. Représenter sa séquence réponse impulsionnelle {h(n)}.
5. A partir de quel échantillon s’annule t-elle ?
6. Comment appelle-t-on un tel filtre ?
7. Représenter sa séquence réponse indicielle {d(n)}
8. A partir de quel échantillon atteint-on la valeur finale ?
9. Quelle est la valeur finale D atteinte ?
10. Exprimer la fonction de transfert H(z) du filtre.
11. Montrer qu’elle peut se mettre sous la forme :
H(z) = 1/7 × (1-z-7)/(1-z-1)
12. En déduire qu’il existe un filtre numérique récursif équivalent.
13. Donner son équation de récurrence et sa représentation sous forme de blocs fonctionnels.
14. Quel est l’intérêt de ce filtre par rapport au précédent ?
15. Exprimer la fonction de transfert H*(f), puis son module |H*(f)| et son argument Arg(H).
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
4
Exercice 3 : filtre RIF à phase linéaire
Intérêt de la phase linéaire :
Un filtre déphase une sinusoïde de fréquence F de ∆ϕ.
12. En déduire le retard ∆T correspondant.
Lorsque le déphasage ∆ϕ introduit par un filtre est proportionnel à la fréquence, le filtre est dit à phase
linéaire.
13. Que peut-on alors dire du retard ∆T introduit par ce filtre quand la fréquence varie ?
14. Quel est l’intérêt d’une phase linéaire ?
Filtre RIF
15. Rappeler l’expression générale de l’équation de récurrence d’un filtre RIF.
16. En déduire la réponse impulsionnelle du filtre.
On suppose que la réponse impulsionnelle {h(n)} du filtre présente un axe de symétrie.
17. Donner une représentation possible de cette réponse pour M = 4 puis pour M = 5.
18. Pour M = 5, montrer alors qu’en associant les termes de rang i et M-1-i dans l’expression de H*(f), on
fait apparaître une relation de la forme : H*(f) = ρeiθ où ρ est une somme de fonctions cos() et θ est
proportionnel à la fréquence f.
19. Que représentent ρ et θ ?
20. Que peut-on dire du filtre réalisé ?
21. En déduire l’expression du retard ∆T. Comparer à la valeur de l’axe de symétrie.
22. Que représente la somme des fonctions cos() vis-à-vis du module de la fonction de transfert du filtre
réalisé ?
23. En déduire une méthode de synthèse d’un filtre RIF à phase linéaire.
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
5
Module MC-EN5 : TD n°3 - ANALYSE DE FILTRES NUMERIQUES
Filtres à capacités commutées
Exercice 1 : Filtre passe-haut à capacités commutées, sans rétroaction
Soit le filtre à capacités commutées suivant :
Les interrupteurs (à transistors MOS) de type P et I sont respectivement fermés lorsque la commande est à 1 et
ouverts lorsqu’elle est à zéro (P est en phase avec les instants entiers et I est en phase inverse, c’est à dire fermé en
synchronisme avec les instants demi-entiers). Il n’y a pas de recouvrement des fermetures (en anglais : « break
before make switch »).
1) Ecrire les équations reliant les charges Q1 et Q2 aux tensions E et S pour le montage ci-dessus aux instants k-1,
k-½ et k ; c’est à dire Q1[k-1], Q2[k-1], Q1[k-½], etc, en fonction de E[k-1], S[k-1], E[k-½], etc.
Ecrire aussi la relation de conservation de la charge lors des transitions aux instants k-½ et k. En déduire, en
éliminant les grandeurs à l’instant k-½, la relation de récurrence entre E[k-1], S[k-1], E[k] et S[k].
2) Déterminer la transmittance en z du montage T(z) = S(z)/E(z) à partir de la TZ de l’équation précédente. On
peut poser b = 1/(1+a) < 1.
3) Déterminer les échantillons de la réponse indicielle de S(z) notée SU(z), c’est à dire lorsque E(z) = 1/(1-z-1), en
effectuant la division du numérateur par le dénominateur de SU(z) = T(z) E(z). Quelle est la valeur initiale et
vers quelle valeur finale convergent-ils ? Vérifier ces résultats par la méthode directe.
4) Pour les signaux sinusoïdaux, z = exp(jωTe) et si ωTe <<1, on peut écrire au premier ordre z-1 = 1–jωTe.
Déterminer dans ce cas T(jω), la nature de cette transmittance et sa constante de temps. Quelle doit être la
condition sur a pour que cette approximation s’applique encore à la pulsation de coupure ? Si elle est réalisée,
le théorème d’échantillonnage est-il respecté à la fréquence de coupure ?
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
6
Exercice 2 : Opérateur élémentaire de filtrage à capacités commutées et AOP parfait
Soit le filtre à capacités commutées suivant :
Les interrupteurs de type P et I sont respectivement les mêmes que l’exercice précédent.
1) Ecrire les équations reliant les charges Q0, Q1, Q2 et Q3 aux tensions V1, V2, V3 et S pour le montage ci-dessus
aux instants k-1, k-½ et k ; c’est à dire Q1[k-1], Q2[k-1], Q3[k-1], Q1[k-½], etc, en fonction de V1[k-1], V2[k-1],
V3[k-1], S[k-1], V1[k-½], etc.
Ecrire aussi les relations de conservation de la charge lors des transitions aux instants k-1 et k-½ puis k-½ et k.
En déduire la relation de récurrence entre les différentes tensions aux différents instants.
2) Déterminer en prenant la TZ de l’équation de récurrence précédente S(z) en fonction de V1(z), V2(z), V3(z), z-1,
a1, a2 et a3. Pour que le théorème d’échantillonnage s’applique, les tensions ne doivent pas beaucoup varier
entre les demi-instants d’échantillonnage ; on peut donc considérer que V1[k-½] = V1[k-1].
3) A quelle opération équivaut la transmittance z-1/(1-z-1) dans l’approximation ωTe<<1 dans z = exp(jωTe).
Déterminer sa réponse indicielle.
4) Déduire de la question n°2 précédente la transmittance du circuit ci-dessous. Montrer que si a2 = a3= 0 le filtre
est un passe-bas et si a1 = a2 le filtre est passe-haut.
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
7
Module MC-EN5 : TD n°4 - SYNTHESE DE FILTRES NUMERIQUES
Filtres passe-bas numérique à réponse impulsionnelle infinie
RAPPEL : Transformée bilinéaire
p=k
z −1
z +1
et
Equivalence à f c = f cA = f cN :
fA =
k=
 f 
k
tan π N 
2π
 Fe 
2πf c
 f
tan π c
 Fe



soit
f sA = f cN

tan  π


tan  π





f cN 

Fe 
f sN
Fe
Exercice 1 : synthèse de filtre numérique passe-bas RII d’ordre 1
Soit le signal numérique e(nTe) suivant :
Ve(t) = 10 sin(2π
πFt) + 2 sin(4*2π
πFt) + 5 sin(15*2π
πFt)
La fréquence d’échantillonnage Fe = 1/Te = 20KHz et la fréquence fondamentale F = 100 Hz. On se
propose de synthétiser un filtre numérique passe-bas (c'est-à-dire de déterminer ces coefficients) qui
respecte le gabarit suivant :
[500 Hz, -3dB, 2000, -12dB]
16. Représenter le gabarit du filtre numérique.
17. On choisit l’équivalence à fs ; déterminer le coefficient k de la transformée bilinéaire et la fréquence
de coupure fc du gabarit analogique équivalent.
18. Représenter le gabarit analogique
19. On veut réaliser le filtre numérique à partir d’une fonction de transfert analogique de Butterworth.
Déterminer l’ordre du filtre à partir du gabarit analogique équivalent.
20. Déterminer ensuite la fonction de transfert en Z.
21. En déduire l’équation de récurrence et les coefficients du filtre numérique.
Exercice 2 : synthèse de filtre numérique passe-bas RII d’ordre 2
On veut améliorer le filtrage précédent pour atténuer davantage la composante à 15*F. Pour cela, on
s’impose une atténuation de 94% minimum de cette troisième composante.
22. Proposer le nouveau gabarit numérique du filtre à réaliser. Représenter-le.
23. On choisit l’équivalence à fc ; déterminer le coefficient k de la transformée bilinéaire et la fréquence
de suppression fs du gabarit analogique équivalent.
24. Représenter le gabarit analogique modifié.
25. A partir de ce gabarit, déterminer le nouvel ordre du filtre de Butterworth équivalent.
26. Déterminer ensuite la fonction de transfert en Z.
27. En déduire l’équation de récurrence et les coefficients du filtre numérique.
Année 2013-2014 – IUT Marseille – Département GEII Salon de Provence
8