Transcript FON2 - Mathématiques en TSI-1

D érivée d’une fonction et applications
TSI-1
U n peu de technique
→
− →
−´
On a représenté dans un repère orthonormé O ; i , j d’unité graphique 1 cm
FON2 1
³
une fonction f définie sur l’intervalle [−1; 3].
(1). Construire la tangente à C f au point
d’abscisse 0 sachant que sa pente vaut
−2.
Cf
2
1
(5). f (x) = xe −x sur I = R et a = 0 ;
(6). f (x) = e
1−x 2
2
sur I = R et a = 1.
FON2 4
On considère la fonction f définie sur ]0; +∞[ par : f (x) =
µ ¶
¡ ¢
¡p ¢
1
e et f e 2 .
(1). Calculer f (e ), f
,f
e
(2). Déterminer la limite de f en 0 puis en +∞.
(3). Construire la tangente au point A (2, 0)
sachant que f ′ (2) = 2.
2
(4). f (x) = x ln(x) sur I = R∗+ et a = e ;
É tudes de fonctions
(2). Construire la tangente en x = 1 à C f sachant que f ′ (1) = 0.
1
−1
2014/15
¢p
(1). f (x) = x 2 − 1 x sur I = R∗+ et a = 1 ;
2
(2). f (x) = − p sur I = ]0; +∞[ et a = 2 ;
x
¸
·
4
2x − 1
sur I = −∞;
(3). f (x) =
et a = 1 ;
4 − 3x
3
¡
−1
ln(x)
x
(3). Calculer la dérivée de la fonction f , puis construire le tableau de variation de f .
(4). Donner une équation de la tangente à C f au point d’abscisse 1.
FON2 2
(5). Construire la courbe représentative de f .
f est une fonction définie sur [−4; 4], dont voici le tableau de variation.
FON2 5
x
−4
−3
−2
−1
2
Variations
de f
− 21
0
2
repère orthogonal, définie par f :
4
0
− 32
7−→
R
x
2
x +1
.
(2). Calculer lim f (x). Interpréter graphiquement.
x→+∞
− 52
(3). Calculer f ′ (x) pour tout x ∈ R, et en déduire le tableau de variation de f sur R+ .
(4). Déterminer l’équation réduite de la tangente T à C f au point d’abscisse 0.
−3
(5). Étudier la position relative de C f par rapport à T .
(6). Construire C f , ses asymptotes et tangentes horizontales éventuelles.
(7). (a). Démontrer que les tangentes à C f aux points d’abscisses −3 et 3 sont parallèles.
(b). Démontrer que si l’on trace les tangentes à C f en deux points d’abscisses opposées,
ces tangentes sont parallèles.
FON2 6
Soit f la fonction définie par f :
R
.
¢
1¡ 2
x 7−→
x + 1 − ln(x)
x
(1). On considère la fonction réelle g définie sur R∗+ par g (x) = x 2 + ln(x) − 2.
Pour chacune des fonctions f suivantes définies et dérivables sur l’intervalle I
R∗+
−→
(a). Étudier les variations de g .
considéré, calculer f ′ (x) pour tout x ∈ I, et déterminer une équation de la tangente à la courbe
représentative de la fonction f au point d’abscisse a donné.
Exercices - Fiche FON2
−→
(1). Étudier la parité de la fonction f .
0
³ →
− →
−´
(1). Dans un repère orthonormal O ; i , j , placer tous les points dont le tableau de variations donne les coordonnées.
µ
¶
1
1
3
(2). On donne f ′ (−3) = − , f ′ (−2) = 0, f ′ − = 0, f ′ (0) = −7 et f ′ (2) = − .
2
2
2
Placer les tangentes à la courbe représentative de la fonction f aux points d’abscisses
1
−3, −2, − , 0 et 2.
2
(3). Donner une esquisse de la courbe de f dans un repère orthonormal du plan.
FON2 3
R
x
1
2
0
On considère la fonction f , dont on note C f la courbe représentative dans un
(b). Montrer que l’équation g (x) = 0 admet une solution et une seule a. Donner un
encadrement de a d’amplitude 10−2 .
1
M.Chauvet - Lycée E. d’Alzon
D érivée d’une fonction et applications
TSI-1
(c). Préciser le signe de g (x).
(2). (a). Calculer f (x) pour tout x
′
∈ R∗+ .
(b). Étudier les variations de f .
1
(c). Montrer que f (a) = 2a − , et en déduire un encadrement de f (a).
a
sin(x)
.
FON2 7 On note f la fonction définie par f (x) =
2 − cos(x)
(1). Déterminer le domaine de définition D de f et expliquer pourquoi il est possible de restreindre l’étude de f à l’intervalle [0; π].
(3). Étudier le signe de f (x) pour x ∈ [0; π].
′
(4). Déterminer le tableau de variations sur [0; π] et tracer l’allure de sa courbe représentative.
(5). Déterminer les valeurs maximales
¯ et minimales atteintes par f sur R. En déduire la va¯
leur maximale atteinte par ¯ f (x)¯ lorsque x parcourt R.
FON2 8
Soit f la fonction définie par f :
]0; +∞[
x
−→
7−→
(1). Déterminer les limites de f en 0 et en +∞.
.
R
(x − e ) (ln(x) − 1)
(2). Déterminer la fonction dérivée de f .
(3). Soit g la fonction définie par g :
]0; +∞[
x
−→
7−→
R
e
ln(x) −
x
FON2 11
Soit λ ∈ R. Déterminer le nombre de solutions de l’équation
FON2 12
Soit f la fonction définie par f :
.
(b). Calculer g (e ) et en déduire le signe de g sur ]0; +∞[.
(c). En utilisant les résultats sur la fonction g , déterminer le sens de variation de f et
dresser son tableau de variation sur ]0; +∞[.
(4). Construire alors C f , ses asymptotes et tangentes horizontales éventuelles.
FON2 9
2
Déterminer le nombre de solutions sur R de l’équation : x(2x + 1) = 5.
¸
·
3π
−→ R
FON2 10 Soit f la fonction définie par f :
π;
.
2
2
x
7−→ −3sin (x) + 5
Montrer que f admet une fonction réciproque
g
dont
on
précisera les domaines de définiµ ¶
′ 11
tion et de dérivabilité. puis calculer g
.
4
Exercices - Fiche FON2
2
x
7−→
.
R
x −3
x +2
(3). Tracer les représentations graphiques de f et f −1 .
Soit f la fonction définie sur R par f :
R
.
e x − e −x
x 7−→
e x + e −x
(1). Justifier que f réalise une bijection de R sur un intervalle J à expliciter.
µ
¶
1+x
1
. Calculer g ◦ f et f ◦ g . Conclure.
(2). Pour x ∈ ]−1; 1[, on pose : g (x) = ln
2
1−x
R
−→
FON2 14 Montrer que la fonction f définie
par f :
]−1; 1[
−→
R
3
est bijective,
x
1 − x2
et exprimer ensuite f −1 (y) pour tout y ∈ R.
x
7−→
2
1
On considère la fonction définie
sur [0; π] par f (x) = cos3 (x).
(1). Montrer que f induit une bijection sur
un ensemble que l’on précisera.
(2). On donne ci-contre le tracé de la courbe
représentative de f . Tracer, en justifiant
la courbe représentative de f −1 .
FON2 16
B ijectivité et fonctions réciproques
−→
ln(x)
= λ.
x
(2). Déterminer explicitement f −1 .
FON2 15
(a). Déterminer le sens de variation de g .
[0; 2]
(1). Montrer que f admet une fonction réciproque f −1 .
FON2 13
(2). Justifier la dérivabilité de f sur D, puis calculer f ′ (x) pour tout x ∈ D.
2014/15
Soit g la fonction définie par g :
b
1
2
3
π
−1
i π πh
− ;
2 2
−→
x
7−→
R
s
.
1 + sin(x)
1 − sin(x)
i π πh
1
.
(1). Montrer que, pour tout x ∈ − ; , on a : g ′ (x) =
2 2
1 − sin(x)
i π πh
(2). Déduire que g est une bijection de − ;
dans un intervalle J que l’on précisera.
2 2
¡ −1 ¢′
2
(3). Montrer que g −1 est dérivable sur J, et que, pour tout x ∈ J, on a :
g
(x) = 2
.
x +1
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