Transcript Corrige Eval 4 2013-2014 Simulations fluctuation d

Mathématiques
Février 2014
Corrigé Evaluation 4
Simulations – Fluctuation d'échantillonnage
EXERCICE 1 (3 points) QCM Choisir la bonne réponse en justifiant la réponse.
1) On lance 100 fois cette roue de loterie où le secteur gagnant est colorié.
L'intervalle de fluctuation de fréquences de gain au seuil de 95 % est :
a) [0,15 ; 0,35].
b) [0,24 ; 0,26].
c) [14,9 ; 15,1].
p=0,25
n=100
f
0,2 ≤ p ≤ 0,8 et n≥ 25 ,
L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% lié au gain est

1
1  
1
1 
 p − n ; p + n  =  0,25− 100 ;0,25+ 100  =[0,15;0,35] .

 

2) On tire au hasard n fois, avec remise, une boule dans une urne qui contient 30% de boules rouges. Si
l'intervalle de fluctuation de la fréquence des boules rouges au seuil de 95% est [0,1 ; 0,5], c'est que le
nombre de tirages effectués est égal à :
a) 20.
b) 25.
c) 100.
L'amplitude de l'intervalle de fluctuation est
2
. Ici elle est égale à 0,5−0,1=0,4.
n
2
2
= 0,4 ⇔ n =
= 5 ⇔ n = 25.
0,4
n
3) Le graphique ci-dessous représente des fréquences obtenues sur 50 échantillons aléatoires.
n étant positif,
On désigne par I l'intervalle [0,45 ; 0,65].
a) 5% des fréquences sont en dehors de I.
b) 4% des fréquences sont en dehors de I.
c) 2% des fréquences sont en dehors de I.
2 des 50 fréquences sont en dehors de l, donc
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4
=
, soit 4% des fréquences sont en dehors de I.
50 100
1
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EXERCICE 2 (3,5 points)
1) En réalité, et d'une façon étonnamment stable, il nait habituellement 105 garçons pour 100 filles.
Quelle est la proportion des garçons à la naissance ?
105
105 21
=
= .
100 +105 205 41
2) Dans la réserve indienne d’Aamjiwnaag, située au Canada à proximité d’industries chimiques, il est né
entre 1999 et 2003, 132 enfants dont 46 garçons.
Peut-on douter de l'effet des industries chimiques sur le taux de naissance de garçons ? Expliquer
Naissance de garçons
21
p = ≈ 0,51
41
n =132
46 23
f=
= ≈ 0,35
132 66
0,2 ≤ p ≤ 0,8 et n≥ 25 . L'intervalle de fluctuation au seuil de 95% est

1
1   21
1 21
1 
I =  p−
; p+
= −
; +
 ≈[0,425;0,599] .

n
n   41 132 41 132 

La fréquence de naissance de garçons observée dans la réserve indienne est environ 0,35, elle
n'appartient pas à l'intervalle I.
On peut donc conclure que les industries chimiques peuvent bien causer cette fréquence anormale.
Cependant, ce constat comporte un risque d'erreur de 5%.
EXERCICE 3 (3,5 points)
Le service clientèle du prestataire de services Internet "Verdunet" affirme que seulement 20% des
clients ayant recours à sa "hot line" ne sont pas entièrement satisfaits.
Pour vérifier cette affirmation, une association de consommateurs interroge un échantillon aléatoire de
300 clients ayant eu recours à la "hot line" de "Verdunet" : 93 clients de cet échantillon disent ne pas
être entièrement satisfaits.
Peut-on considérer exacte l'affirmation du service clientèle de "Verdunet" ? Expliquer.
Clients non satisfaits
p =?
n =300
93
f=
= 0,31
300
0,2 ≤ f ≤ 0,8 et n≥ 25 , l'intervalle de confiance au seuil de 95% lié aux clients non satisfaits est

1
1  
1
1 
 f − n ; f + n  =  0,31− 300 ;0,31+ 300  ≈[0,252;0,368] . La proportion 0,2 déclarée par Verdunet

 

n'appartient pas à cet intervalle, on peut donc confirmer, avec une confiance de 95%, que l'affirmation
du service clientèle n'est pas exacte.
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EXERCICE 4 (5 points)
Une expérience aléatoire consiste à tirer une boule d'une urne contenant 20 boules indiscernables au
toucher, dont 8 sont vertes. Ces deux algorithmes simulent cette expérience 500 fois.
Algorithme 1
1 Variables
2 x, S : réel ;
3 i : entier;
4 Début
5
S ←0 ;
6 Pour i allant de 1 à 500
7
x ← Ent ( Alea()*20 + 1) ;
8
Si ( x≤ 8 ) alors
9
S ← S +1 ;
10
Fin Si
11 Fin Pour
12 S ← S/500 ;
13 Afficher (S) ;
14 Fin
Algorithme 2
1 Variables
x, S : réel ;
2
3
i : entier;
4 Début
5
S ←0 ;
6
Pour i allant de 1 à 500
7
x ←.......... ;
8
S ← S + .... ;
9
Fin Pour
10 S ← S /500
11 Afficher (S) ;
12 Fin
1) Questions Algorithme 1
a) Expliquer ce que renvoie chacune des instructions Alea() ; Alea()*20 +1 et enfin Ent(Alea()*20+1).
Alea() renvoie un nombre aléatoire compris entre 0 et 1.
0 < Alea()<1 donc 0 < Alea()*20 < 20 et donc 1< Alea()*20 +1< 21 . Donc Alea ()*20+1 renvoie un nombre
compris entre 1 et 21.
Ent(Alea()*20+1) renvoie la partie entière d'un nombre aléatoire compris entre 1 et 21 donc un entier
aléatoire compris entre 1 et 20.
b) Que représente S de la ligne 9 ?
S de la ligne 9 représente le nombre de fois qu'une boule verte a été tirée jusqu'au ième tirage.
c) Que représente S dans la ligne 13 ?
S de la ligne 13 représente la fréquence de boules vertes tirées sur les 500 tirages.
2) Questions algorithme 2
a) Recopier et compléter la ligne 7 pour que x reçoive 1 si la boule tirée est verte et 0 dans le cas
contraire.
8
la proportion de boules vertes de l'urne étant
= 0,4 , la ligne 7 sera : x ← Ent (Alea()+ 0,4)
20
b) Recopier et compléter la ligne 8.
S←S+x
c) Expliquer les modifications à apporter pour simuler l'expérience N fois.
Avant la boucle itérative, on doit ajouter l'instruction "Lire (N)"
Ligne 6 : Pour i allant de 1 à N.
Ligne 10 : S ← S / N .
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