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MECANIQUE DU SOLIDE
INDEFORMABLE
SM3-SMI3
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir
Contact : [email protected]
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE
« La cinématique est la science de
description du mouvement indépendamment
des causes de celui-ci »
1
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE
Objectifs pédagogiques
Décrire et caractériser les mouvements d’un solide
Déterminer la vitesse, l’accélération soit par dérivation
direct, soit par composition des mouvements
Déterminer le champ des vitesses (torseur cinématique)
Déterminer le champ des accélérations (formule de Rivals)
Paramétrer la position d’un solide (angles d’Euler)
Déterminer le mouvement relatif de deux solides en contact
(vitesse de glissement)
2
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE
Notions abordées
Paramétrage d’un solide - Angles d’Euler
Paramètres de position
Nombre de degrés de liberté
Dérivation composée - Formule de Bour
Solide indéformable
Equiprojectivité du champ des vitesses d’un solide
Torseur cinématique
Formule fondamentale de la cinématique du solide
(FFCS) ou relation de Varignon
3
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE
Notions abordées - suite
Champ des accélérations d’un solide - Formule de Rivals
Axe instantané de rotation et de glissement (AIRG)
Composition des mouvements
Composition des vecteurs instantanés de rotation
Composition des torseurs cinématiques
Mouvement particuliers (translation, rotation,…etc.)
Vitesse de glissement
Condition de roulement sans glissement (CRSG)
4
CHAPITRE 2 : CINEMATIQUE DU SOLIDE
PLAN DU COURS
1- Paramétrage d’un solide
2- Dérivation composée
3- Solide indéformable
4- Mouvement particuliers
5- Composition des mouvements
6- Cinématique de contact
5
1- Paramétrage d’un solide
Léonard Euler
6
1-1- PARAMETRES DE POSITION
3 paramètres pour définir
La position de (S)
O1(x, y, z)
+
3 paramètres pour définir
l’orientation de (S)
Angles d’Euler
(ψ , θ ,ϕ )
La position et l’orientation d’un solide dans l’espace,
sont définies par six paramètres indépendants appelés
paramètres de position.
7
1-2- NOMBRE DE DEGRES DE LIBERTE
Le nombre de degrés de liberté d’un solide = Nombre de
paramètres de position – Nombre d’équations de liaison.
Exemple: sphère roulant sur un plan
Paramètres de position 6 : 3 coordonnées du centre d’inertie +
3 angles d’Euler
1 équation de liaison: zG = R (rayon de la sphère)
Nombre ddl = 6 – 1 = 5
1-3- ANGLES D’EULER
On appelle Angles d’Euler, notées habituellement (ψ ,rθ ,rϕ )r
les trois angles qui permettent d’orienter une base ( x , y , z )
liée à un solide (S) par rapport à une base de référence
r r r
( x0 , y0 , z0 ).
8
Les 3 angles d’Euler (ψ ,θ , ϕ )
2
3
2
1
1
3
9
Les 3 rotations
r r r
r r r
Soient R0 (O , x0 , y0 , z0 ) et R (O , x , y , z ) deux repères de
même origine O, alors le passage du repère (R0) au repère (R)
nécessite la composition de trois rotations planes
successives :
r r r Rot.(ψ / zr0) r r r Rot.(θ /ur) r r r Rot.(ϕ/ zr) r r r
(x0, y0, z0) →(u,v, z0) 
→(u, w, z) 
→(x, y, z)
1
2
3
Voir la mise en œuvre
10
1-4- PROCEDURE ET MISE EN OEUVRE
Première rotation
r
r r r
r r r
Rot (ψ / z 0 )
R0 (O, x0 , y0 , z0 )  → R1 (O, u , v , z0 )
r
v
ψ
r
y0
+
ψ
r
z0
r r
r
u
Ω( R1 / R0 ) = ψ&z0
r
x0
11
Deuxième rotation
r
r r r
r r r
Rot (θ / u )
R1 (O , u , v , z0 )  
→ R2 (O , u , w, z )
r
r
z θ z0
r
u
+
r
w
θ
r
v
r
r
&
Ω( R2 / R1 ) = θu
12
Troisième rotation
r
r r r
r r r
Rot (ϕ / z )
R2 (O , u , w, z )  
→ R(O, x , y , z )
r
r
y ϕ w
r
z
+
ϕ
r
x
r
r
Ω( R / R2 ) = ϕ&z
r
u
13
Définitions
r r
r r
r
ψ = ( x0 , u ) = ( y0 , v ) mesuré autour de z0 s’appelle l’angle de précession
r
r
r r
θ = ( z0 , z ) = (v , w) mesuré autour de u s’appelle l’angle de nutation
r r
r r mesuré autour de r s’appelle l’angle de rotation propre
z
ϕ = (u , x ) = ( w, y )
La base
La base
r r r
(u , v , z0 ) s’appelle la première base intermédiaire.
r r r
(u , w, z ) s’appelle la deuxième base intermédiaire.
14
1-5- VECTEUR INSTANTANE DE ROTATION
r
r
r
r
r
Ω( S / R0 ) = Ω( R / R0 ) = Ω ( R / R2 ) + Ω( R2 / R1 ) + Ω( R1 / R0 )
r &r
r
= ϕ&z + θu + ψ&z0
D’où:
r
r & r
r
Ω( S / R0 ) = ψ& z0 + θ u + ϕ& z =
1442443
base non orthogonale
r r r
( u ,v , z0 )
θ&
θ&
− ϕ& sin θ =
ψ& + ϕ& cos θ
ψ& sin θ
ϕ& +ψ& cos θ
r r r
( u , w, z )
Vocabulaire
r r r
La deuxième base intermédiaire (u , w, z ) s’appelle aussi la base
de Résal.
15
1-6- FIGURES DE CALCUL
r
z
r
y
r
y0
r
x
r
x0
r
z
MOYEN MNEMOTECHNIQUE
r
x0
r
y0
r
z0
ψ
r
u
r
v
r
z0
θ
r
u
r
w
r
z
r
x
ϕ
r
y
r
z
16
1-7- TECHNIQUE DU W
r
u
r
x0
r
y0
r
v
ψ
r
z0
θ
r
x
r
w
r
y
ϕ
r
z
17
REGLES DE PROJECTION
A-PROJECTION DE GAUCHE A DROITE
Sens de
Fonction
projection attribuée
COS
SIN
- SIN
18
REGLES DE PROJECTION
B-PROJECTION DE DROITE A GAUCHE
Sens de
Fonction
projection attribuée
COS
- SIN
SIN
19
Exemple 1
r
u
1
r
x0
2
r
y0
θ
r
v
ψ
3
r
x
r
w
r
y
ϕ
r
z
r
z0
Dans cet exemple on a:
r
r
r
r
x0 = cosψ u − sinψ cosθ w+ sinψ sin θ z
123 14243 14243
(1)
( 2)
( 3)
20
Exemple 2
r
u
r
x0
1
r
y0
2
θ
r
v
ψ
3
r
x
r
w
r
y
ϕ
r
z
r
z0
Dans cet exemple on a:
r
r
r
r
y0 = sin
ψ
u
+
cos
ψ
cos
θ
w
−
cos
ψ
sin
θ
z
{ 142
4 43
4 14243
(1)
( 2)
( 3)
21
2- Dérivation composée
Jacques Edmond
Emile BOUR
(1832-1866)
22
CHANGEMENT DE BASE DE DERIVATION
Formule de Bour
(L’outil indispensable de la cinématique)
r
r
r
r
 dU 
 dU 
 dt  =  dt  + Ω( R / R0 ) ∧ U

 R0 
R
Cas particulier mais très utilisé dans les calculs
r
Si U est fixe dans (R), on a alors:
r
r
r
 dU 

 = Ω( R / R0 ) ∧ U
 dt  R
0
23
3- Solide indéformable
24
1- DEFINITION
( S ) est un solide indéformable ⇔ ∀ A, B ∈ ( S ) ; AB = Cte
25
2- EQUIPROJECTIVITE DU CHAMP DES VITESSES
D’UN SOLIDE
r
r
AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 )
26
Démonstration
(S) est un solide indéformable
2
2
⇔ ∀ A, B ∈ (S ) ; AB = AB = Cte
  d AO 



d
O
B
 d AB 

=0
0
0
AB
2
+
Ou
encore




2 AB 
 =0
 dt

dt
dt
R 
R 


 R0
0
D’où:
0
r
r
AB.V ( A / R0 ) = AB.V ( B / R0 )
C.Q.F.D.
27
3- ANTISYMETRIE DU CHAMP DES VITESSES D’UN
SOLIDE
r
r
r
V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB
Relation de Varignon
Pierre VARIGNON
Voir Démonstration
28
Démonstration
Si (S) est un solide indéformable et (R) est un repère
lié à (S):
r
 d AB 
 d AB 
=


 + Ω( R / R0 ) ∧ AB
dt  R
 dt  R0
1
4
2
4
3
1
4
2
4
3
r
r
V ( B / R0 ) −V ( A / R0 )
Soit
D’où:
(Formule de Bour)
=0
r
r
r
V ( B / R0 ) − V ( A / R0 ) = Ω( R / R0 ) ∧ AB
r
r
r
V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( R / R0 ) ∧ AB
C.Q.F.D.
29
4- TORSEUR CINEMATIQUE
Le champ des vitesses d’un solide est à la fois équiprojectif et
antisymétrique c’est donc un torseur qu’on appelle le torseur
cinématique.
r
 Ω ( S / R0 )
[ϑ ( S / R0 ) ]=  r
V ( A ∈ S ) / R0 )
A
Résultante
Moment résultant
5- AXE INSTANTANE DE ROTATION ET DE
GLISSEMENT (AIRG)
On appelle axe instantané de rotation et de glissement (souvent
abrégé en AIRG ou AIR s’il n’ya pas glissement) l’axe central du
torseur cinématique.
30
6- CHAMP DES ACCELERATIONS D’UN SOLIDE
Relation de Varignon
r
r
r
V ( B / R0 ) = V ( A / R0 ) + Ω( S / R0 ) ∧ AB
Dérivation/temps
Formule de Rivals
r
r
r
 dΩ(S / R0 ) 
r
r
γ ( B / R0 ) = γ ( A / R0 ) + 
 ∧ AB + Ω(S / R0 ) ∧ (Ω(S / R0 ) ∧ AB)
dt

R
0
Conclusion
Le champ des accélérations d’un solide n’est pas
antisymétrique et par conséquent il n’ a pas la
structure de torseur.
31
4- Mouvements particuliers
32
4-1-MOUVEMENT DE TRANSLATION
Un solide (S) est en mouvement de translation par rapport à un
repère (R0) si son champ des vitesses est un champ uniforme :
r
∀A, B ∈ ( S ) : V ( A) = V ( B ) = V
Tous les points de (S) ont le même vecteur vitesse, qu’on
appelle vitesse de translation du solide (S) par rapport à (R0).
Théorème
Le mouvement d’un solide indéformable (S) par
r rapport à un repère(R0)
est un mouvement de translation de vitesse V si et seulement si son
Torseur cinématique est un couple :
r
0
[ϑ ( S / R 0 ) ]=
r
V
A∈( S ) 
33
4-2-MOUVEMENT DE ROTATION AUTOUR D’UN AXE FIXE
Un solide (S) est en mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et
seulement si :
r
r
∀A ∈ ( S ∩ ∆ ) : V ( A / R0 ) = 0
Théorème
Le mouvement d’un solide (S) par rapport à un repère (R0) est un
mouvement de rotation autour d’un axe fixe si et seulement si le
torseur cinématique est un glisseur :
r
 Ω ( S / R0 )
[ϑ ( S / R0 ) ]=  r
0
A∈∆ 
34
4-3-MOUVEMENT GENERAL D’UN
SOLIDE
Le mouvement général de (S) est à chaque instant la
composition de deux mouvements :
-Un mouvement de rotation
instantanée autour de l’AIRG
r
de vitesse angulaire Ω ( S / R0 ).
-Un mouvement
de translation
instantané le long de
r
r
vitesse V ( A ∈ ∆ ( t )) = λΩ( S / R ).
∆(t )
∆(t )
de
0
Le mouvement le plus général d’un solide
est un mouvement hélicoïdal tangent.
35
33
5-COMPOSITION DES
MOUVEMENTS
36
37
Loi de
composition
Formulation
r
r
Loi de composition des V ( A / R 0 ) = V ( A / R ) + V ( A ∈ R / R 0 )
1
42
4
3 14
142
4
3
42
44
3
r
r
r
vitesses
Vr
Va
Ve
r
r
r
r
Loi de composition des r
Γ(A/ R0) = Γ(A/ R) +Γ(A∈R/ R0) +2Ω(R/ R0) ∧V(A/ R)
42
4
3 142
1
42
4
3 1
4r 43
4 14442
4443
accélérations
r
r
r
Γa
Loi de composition des
rotations
Loi de composition des
torseurs cinématiques
Γr
Γe
ΓC
r
r
r
Ω ( S / R0 ) = Ω ( S / R ) + Ω ( R / R0 )
[ϑ ( S / R0 )] = [ϑ ( S / R )] + [ϑ ( R / R0 )]
Pour les détails de calcul voir cours polycopié
38
6-CINEMATIQUE DE CONTACT
39
6-1- VITESSE DE GLISSEMENT
« Les trois points I »
2
1
Point matériel I1
appartenant à (S1)
Point géométrique
de contact
( I ∈ S1 )
Plan tangent
(I)
3
Point matériel I2
appartenant à (S2)
( I ∈ S2 )
40
DEFINITION
On
r appelle vitesse de glissement au point I , notée
Vg ( I , S1 / S2 ) la vitesse du point I appartenant au
solide (S1) par rapport au solide (S2) :
r
r
r
r
Vg ( I , S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / S2 ) = V ( I ∈ S1 / R ) − V ( I ∈ S2 / R )
Composition des vitesses
Vitesse de glissement
Vitesse du point coïncidant
41
6-2- CONDITION DE ROULEMENT SANS
GLISSEMENT (CRSG)
On dit qu’il y a roulement sans glissement si :
r
r
V g ( I , S1 / S 2 ) = 0
CRSG
42
FIN DU CHAPITRE 2
MERCI DE VOTRE
ATTENTION
Rachid MESRAR
Professeur de l’enseignement supérieur
Département de physique
Faculté des sciences
Agadir
Contact : [email protected]