Transcript PCSI – Lycée Jacques Amyot (89) – Année 2014

PCSI – Lycée Jacques Amyot (89) – Année 2014-2015
Problème N°1
Diffraction
Informations récupérées sur : http://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9orie_de_la_diffraction
1. Diffraction par une ouverture rectangulaire
Le calcul de l'intensité diffractée par une telle ouverture, c’est-à-dire du carré du module de
l'amplitude E(M), donne :
2
I ( x , y)=I 0 sinc (
πa x
2 πa y
) sinc (
)
λD
λD
Dans cette expression, I0 correspond à l'intensité maximale sur l'écran (au centre) et « sinc » est la
fonction sinus cardinal définie par sinc(x)=sin(x)/x. On se repère dans le plan de l'écran avec les
coordonnées cartésiennes (x,y).
Faire un schéma légendé de l'expérience correspondante.
Expliquer ce que sont les quantités
légendé.
D ; λ ; a ; b . On reportera
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D ; a ; b sur le schéma
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2. Évaluation numérique
La figure ci-dessus est une simulation de la figure de diffraction obtenue avec une ouverture
rectangulaire de côtés a=0,1 mm et b=0,3 mm avec une longueur d'onde correspondant au jaune
(centre du spectre visible). L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin
de les rendre visibles.
Justifier l'affirmation suivante : « en l'absence de diffraction, la figure obtenue aurait
simplement été un point brillant au centre de l'écran correspondant à la focalisation par la
lentille des rayons incidents parallèles à l'axe ».
En utilisant la figure, proposer une valeur de D ainsi qu'une incertitude relative sur la valeur
proposée.
3. Diffraction par une ouverture circulaire
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La figure ci-contre est une simulation de la diffraction obtenue avec une ouverture circulaire de
diamètre d = 0,2 mm. On a pris λ = 0,5 µm et on s'est placé à une distance D = 1 m de l'ouverture.
L'intensité des maxima secondaires a été artificiellement rehaussée afin de les rendre visibles.
θ=1.22 λ qui donne l'ordre de
d
grandeur de la dispersion angulaire des ondes diffractées. On précisera à quoi θ
correspond sur un schéma.
Montrer que cette figure est compatible avec la relation
4. Pouvoir de résolution
Le rôle de la plupart des instruments d'optique (microscope, objectif d'appareil photo, télescope…)
est de former des images. Du point de vue de l'optique géométrique un instrument « parfait », c'està-dire exempt d'aberrations, fait correspondre à un point objet un point image.
En réalité, lors de leur cheminement à travers l'instrument, les faisceaux lumineux sont diaphragmés
par les montures des lentilles et donc diffractés. L'image d'un point source par un instrument
dépourvu d'aberrations n'est donc pas un point image mais une tache de diffraction. On peut
montrer que la répartition d'intensité dans le plan de l'image est donnée par les formules de
diffraction. Les montures des lentilles ou miroirs étant la plupart du temps circulaires, la figure de
diffraction obtenue est une tache circulaire.
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Ainsi, deux points objets rapprochés peuvent donner deux images trop proches pour être distinguées
si la distance entre ces images est du même ordre de grandeur que la taille de la tache de diffraction.
On appelle résolution l'écart minimal entre deux points objets pour qu'on puisse les distinguer avec
l'instrument d'optique considéré. Quantitativement, on utilise le critère de Rayleigh selon lequel
deux images A' et B' correspondant à deux points A et B sont distinctes si le sommet de la tache de
diffraction de l'une correspond au premier minimum nul de l'autre.
Si A' et B' sont suffisamment éloignés, les deux images sont nettement séparées. S'ils sont trop
proches, on ne distingue qu'une seule tache. Le brouillage des deux images se produit
approximativement lorsque le maximum d'une tache de diffraction correspond au premier minimum
de l'autre. C'est le critère de Rayleigh.
Prenons le cas simple de la formation d'une image par une lentille mince de diamètre d. On note l la
distance objet-lentille et l' la distance lentille-image. A' et B' sont séparés si A ' B ' >1.22 λ l '
d
l
Comme AB=A ' B '
, la condition précédente devient AB>1.22 λ l
d
l'
Justifier à l'aide d'un schéma et d'explications brèves l'affirmation suivante, valable pour un
microscope : « en pratique, le rapport l/d est supérieur ou voisin de 1. La résolution est donc
au mieux du même ordre de grandeur que la longueur d'onde de la lumière utilisée, entre 0,4
et 0,8 micromètres pour la lumière visible ».
D'autre part, la résolution s'améliore lorsque le diamètre augmente. C'est pourquoi les miroirs des
télescopes font jusqu'à plusieurs mètres de diamètre.
Pour un télescope de diamètre 5m et de la lumière de longueur d'onde λ=0.5μ m ,
déterminer la distance angulaire minimale entre deux étoiles ponctuelles (très éloignées) que
l'on pourrait observer séparément.
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Problème N°2
Polarisation
Données récupérées sur : http://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Malus
1. Explication qualitative
Observation de l'effet d'un polariseur sur une lumière rectilignement polarisée provenant d'un écran
plat d'ordinateur : les images correspondent à une rotation progressive du filtre, toujours dans le
même sens.
a)
b)
c)
d)
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e)
Commenter la succession (a,b,c,d,e) en s'appuyant sur la loi de Malus. On pourra indiquer sur
des schémas les directions relatives du filtre et de la lumière issue de l'écran.
2. Quantitatif
Deux filtres polarisants sont intercalés successivement sur le passage d'un faisceau lumineux, leurs
directions sont alignées : l'intensité lumineuse qui sort a la valeur I 0 .
De quel angle faut-il tourner le second polariseur (« analyseur ») pour que l'intensité lumineuse soit
I0
divisée de moitié et prenne la valeur
?
2
Que se passe-t-il si ensuite on tourne le premier filtre d'un angle opposé ?
3. Lumière naturelle
La lumière dite naturelle est une superposition d'ondes lumineuses polarisées rectilignement de
directions de polarisation aléatoires.
On intercale un filtre polarisant sur le trajet d'un faisceau lumineux, quelle est la polarisation
de la lumière après passage au travers de ce filtre ?
Montrer que l'intensité lumineuse est alors divisée par 2.
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Problème N°3
Lois de Descartes – Arc en Ciel
Données provenant de : https://sites.google.com/site/theoriedelarcenciel/2---theorie-simplifiee et
http://pfz.free.fr/arc_en_ciel.htm
L’arc-en-ciel principal est un groupe d’arcs concentriques colorés dont la
couleur varie du violet à l’intérieur, au rouge à l’extérieur. Ce phénomène
optique est créé par la lumière du Soleil sur un « écran » formé par les gouttes
d’eau de la pluie, de la bruine, ou celles d’une chute d’eau ou encore d’un jet
d’eau. Ce phénomène est dû principalement à la réfraction et à la réflexion de
la lumière dans les gouttes d’eau. L’arc-en-ciel primaire est situé à l’opposé de
l’astre qui lui donne naissance, son centre se trouve sur la ligne joignant l’astre
à l’œil de l’observateur (figure 1), ce qui explique qu’un arc-en-ciel puisse être
observé comme un anneau complet lorsque l’observateur le regarde d’un
sommet élevé ou d’un avion. Les couleurs, dites couleurs de l’arc-en-ciel :
rouge, orangé, jaune, vert, bleu, indigo et violet, sont rarement aperçues
toutes à la fois. Parfois, on peut apercevoir, en plus de l’arc-en-ciel primaire,
un arc secondaire, moins lumineux que l’arc primaire, qui se situe au-dessus
de ce dernier, mais dont les couleurs sont inversées, rouge à l’intérieur et
violet à l’extérieur. Entre les deux arcs se situe une bande sombre, appelée
bande d’Alexandre. Dans certaines conditions, on peut observer d’autres arcs
appelés arcs surnuméraires, qui sont très peu lumineux.
Figure 1
Pour observer un arc-en-ciel, l’observateur doit tourner le dos au Soleil, et
regarder en direction du nuage de pluie (figure 1). L’arc-en-ciel est un
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phénomène de révolution autour d’un axe passant par le Soleil et l’œil de
l’observateur. On peut le considérer comme l’intersection entre le plan vertical
du nuage de pluie et un cône dont le sommet est l’œil de l’observateur et dont
le demi angle au sommet est appelé angle de sortie. L’angle de sortie est
l’angle formé par la direction de l’axe passant par le Soleil et l’œil de
l’observateur et la direction du rayon lumineux arrivant dans l’œil de
l’observateur. L’angle de sortie a une valeur de 42° sur la figure 5, il
correspond à l’angle sous lequel l’observateur voit l’arc de couleur rouge.
L’arc-en-ciel est provoqué par la dispersion de la lumière du Soleil par des
gouttes d’eau que nous supposons sphériques. Mais cette explication ne suffit
pas pour expliquer la formation de l’arc-en-ciel, il faut tenir compte de la
réflexion des rayons lumineux à l’intérieur des gouttes sur la surface eau-air,
ainsi que de leur réfraction lorsqu’ils pénètrent et lorsqu’ils sortent des gouttes
d’eau. Newton a précisé que : « C’est ainsi que seront formés deux arcs
colorés. L’un intérieur et composé de couleurs plus vives, par une seule
réflexion dans les gouttes, et l’autre extérieur et composé de couleurs plus
faibles, par deux réflexions : car la lumière s’affaiblit à chaque réflexion. Et les
couleurs de ces deux arcs seront dans un ordre opposé, l’une à l’égard de
l’autre. »
Etude de l’arc primaire
Considérons un rayon de lumière monochromatique, issu du Soleil, qui
pénètre dans une goutte d’eau sphérique, dont l’indice de réfraction est n pour
la longueur d’onde du rayon incident. Le rayon lumineux est d’abord réfracté
en pénétrant dans la goutte d’eau, il subit ensuite une réflexion partielle à
l’intérieur de la goutte sur la surface de séparation eau-air, puis il est à
nouveau réfracté en sortant de la goutte d’eau (figure 2).
Figure 2
La figure 2 montre le trajet d’un rayon lumineux à travers la goutte d’eau. Le
rayon incident SI1, émerge de la goutte d’eau en I2 après avoir été réfléchi en
J sur l’interface eau-air, et atteint l’œil de l’observateur O. L’angle de déviation
du rayon lumineux est l’angle noté D, que font les rayons incident et
émergent : D = (SI1, I2O) (figure 2).
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L’effet résultant est que la lumière incidente est principalement réfractée par
les gouttes de pluie en direction de l’observateur, sous un angle qui est
indépendant de la taille des gouttes d’eau. Mais, la valeur de l’angle de
réfraction dépend de la longueur d’onde, c’est-à-dire de la couleur de chacune
des radiations lumineuses, puisque le rayon se réfracte en entrant dans la
goutte d’eau en I1
1. Quelle est la relation entre les angles i et r ?
2. On définit la valeur de l’angle de déviation du rayon lumineux D comme étant l’angle que
font les rayons incident SI1 et émergent I2O : D = (SI1, I2O) (figure 2). Montrer que D = π
+ 2i – 4r.
3. Montrer que lorsque l'angle i varie,
cos (i )
dD
=2 (1−2
) .
di
n cos (r )
4. La direction dans laquelle la lumière de l'arc en ciel est observée correspond à un
minimum de D. Justifier que les différentes couleurs sont observées dans des directions
3100
différentes. L'indice de réfraction de l'eau suit la loi de Cauchy n=1.324+ 2
λ
(longueurs en nanomètres).
5. Vérifier que pour du violet
39,71°.
λ=427 nm les valeurs de i et r sont voisines de 59,23° et
6. Justifier l'affirmation suivante : « Quand le soleil dépasse 41° au dessus de l'horizon, il
ne peut plus se former d'arc-en-ciel. Aux latitudes moyennes, les arcs-en-ciel ne sont
donc visibles que le soir et le matin. »
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Problème N°4
Lois de Descartes, systèmes centrés
1. Une onde plane lumineuse de fréquence f se propage dans un milieu d'indice de réfraction n.
Quelle est sa longueur d'onde dans ce milieu ? Dans le vide (on note c la célérité de la
lumière dans le vide) ?
2. A.N. avec les extrêmes du spectre (rouge et violet) se propageant dans un verre d'indice
de réfraction 1.66
3. Reproduire le schéma ci-dessous et en l'annotant, retrouver la loi de Descartes pour la
réfraction. Les hachures correspondent aux surfaces d'onde.
4. Expliquer en quoi consiste l'approximation de Gauss. Quelles sont les conditions
correspondantes pour un système optique ?
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5. Un faisceau de rayons lumineux parallèles arrive sur une lentille constituée d'une demiboule de matériau d'indice de réfraction n. On supposera que cette lentille est « mince ».
Expliquer pourquoi α ;β sont bien les angles d'incidence et de réflexion. Dans les
conditions de Gauss, les exprimer en fonction de θ , n , R , y .
6. Déterminer la distance focale de la lentille en fonction de R et n.
Onde incidente, nœuds → onde réfléchie et réfractées
Minimum de temps de parcours
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