Transcript Exercices dSAnalyse III

Exercices d’Analyse III
Philippe Metzener FSB-SMA-MATHAA-EPFL
SGM,SEL et SMX EPFL
Corrigé de la série 5
______________________________________________________
1. Soit V la boule unité centrée en O et son bord, la sphère
3
P
noté !
n =
nk !
ek ; est extérieur à V:
; dont le vecteur normal unité,
k=1
Mise en place: Il s’agit de paramétrer V et son bord
et d’exprimer d ; n1 et n3 :
Pour la boule unité V , les coordonnées sphériques s’imposent:
8
8
< x = r sin cos ' < 0 r 1
y = r sin sin ' ;
0
et le jacobien vaut r2 sin :
:
:
z = cos
0 ' 2
La sphère unité
est paramétrée par:
!
r ( ; ') = (sin cos '; sin sin '; cos ) où 0
;0
'
2 :
On trouve d = sin d d'; !
n =!
r ( ; '), donc n1 = sin cos ' et n3 = cos :
ZZ
ZZZ
@f
dxdydz =
f n1 d ; où f = x + y + z:
(a) Véri…er que:
@x
V
ZZZ
ZZZ
@f
Solution: D’une part,
dxdydz = 34 et d’autre part,
dxdydz =
@x
V
ZZ
or,
Z2
Z Z2
f n1 d =
2
et
cos ' d' =
Z2
Z
sin
3
d =
0
(b) Véri…er que:
ZZZ
Solution:
ZZZ
r=0
rdr
=0
cos ' d' = 0; ainsi, il ne reste que
0
Z
@f
dxdydz =
@z
ez dxdydz =
sin (1
cos2 ) d =
cos
1
cos3
3
ZZ
=
0
4
3
f n3 d ; où f = ez :
Z1 Z Z2
er cos r2 sin dr d d' =
r=0 =0 '=0
V
Z
Z2
0
V
2
cos ' sin ' d' =
0
f n1 d =
Z1
sin2 cos ' (sin cos ' + sin sin ' + cos ) d d';
=0 '=0
0
ZZ
V
r cos
r sin e
d =2
Z1
rdr
r=0
r cos
e
=
=0
=2
Z1
0
1
r er
e
r
dr =
4
;
e
.
ZZ
f n3 d =
Z Z2
cos
e
Z
sin cos d d' = 2
=0 '=0
cos
e
sin cos d
=
cos =t
2
0
Z1
tet dt =
4
:
e
1
2. Soit le tonneau V; obtenu par la rotation autour de l’axe Oz du domaine D R3 , ci-dessous:
o
n
p
D = (x; 0; z) 2 R3 : 0 x
2 + 25 z 2 ; 3 z 3 ;
et considérer
Solution:
RRR
; le bord de V; dont le vecteur normal unité est extérieur à V:
ZZZ
ZZ
!
Véri…er que: 3
dxdydz =
r d! ou !
r = (x; y; z):
V
dxdydz représente le volume de V; qui se calcule comme suit.
V
V étant un volume de révolution, la méthode "des rondelles de salami" est toute indiquée;
ainsi, les tranches
p horizontales sont des cylindres circulaires droits, d’épaisseur dz et de rayon
R(z) = 2 + 25 z 2 pour 3 z 3; ainsi le volume in…nitésimal est: dV = R2 (z)dz.
0
1
ZZZ
Z3
Z3
Z3 p
p
dxdydz =
R2 (z)dz = 2
29 z 2 4 25 z 2 dz = 2 @78 4
25 z 2 dz A :
3
V
Z3 p
0
0
0
3
25
Z5 p
2
z dz = 25
1
z=5t
arcsin
t2 dt = 25
t=sin u
0
"
Z
3
5
arcsin
cos2 u du =
0
r
25
2
Z
3
5
(1 + cos 2u) du =
0
#
25
25
3 3
25
3
3
9
arcsin 53
=
arcsin +
=6+
arcsin :
arcsin + sin u cos uj0
1
2
5
2
5 5
25
2
5
ZZZ
3
3
dxdydz = 12 27 25 arcsin
:
5
V
Le bord de V est constitué de trois parties: de deux disques horizontaux,
(0; 0; 3) de rayons 2 et de la surface latérale l ; par suite on aura:
(a) Pour +3 : !
r (u; v) = (u; v; 3), où (u; v) 2 D = f(u; v) 2 R2 t.q. u2 + v 2
!
!
et d
= e3 du dv; ainsi:
ZZ
ZZ
!
!
r d
=3
du dv = 12 :
3;
centrés en
4g
D
+3
!
2
2
2
(b) Pour
3 : r (u; v) = (u; v; 3), où (u; v) 2 D = f(u; v) 2 R t.q. u + v
et d! = !
e3 du dv; ainsi:
ZZ
ZZ
!
!
r d
=3
du dv = 12 :
D
3
2
4g
(c) Pour
l
:!
r (u; v) = (R(v) cos u; R(v) sin u; v) ; 3
!
ru = R(v) ( sin u; cos u; 0) ; !
rv =
!
ru
!
rv = R(v) cos u; sin u; R(v)
v
3; 0
u
2 ; on obtient:
R(v) cos u; R(v) sin u; 1 ;
= R(v) cos u; sin u; p
v
25 v 2
;
25
v2
!
dudv = R(v) 2 + p
dudv:
r d! = R(v) R(v) + p
25 v 2
25 v 2
ZZ
Z2
Z3
25
!
r d! =
du
R(v) 2 + p
dv =
25 v 2
u=0
l
4
Z3
v= 3
p
2 25
29
v2
p
0
4
3 29
Conclusion:
ZZ
8
<
4
3 29
:
2 6+
Z3 p
25
2
!
r d! = 12
25
dv =
9
Z3
=
dv
=
50 p
25 v 2 ;
v 2 dv
0
0
25
3
arcsin
2
5
50
25 v 2
50 arcsin
25 arcsin
3
5
= 12
25
25 arcsin
3
+12 +12 = 12
5
27
3
5
:
25 arcsin
3
5
3. Considérer une fonction f 2 C 2 (R3 , R); un point P 2 R3 et la sphère S" ; de centre P , de
3
P
rayon " 1; dont le vecteur normal unité, noté !
n =
nk !
ek ; est extérieur à S" :
k=1
Montrer qu’alors: lim 4
"!0
3
1
"3
ZZ
f nk d =
@f
(P ); k = 1; 2; 3:
@xk
S"
Solution: Une paramétrisation de S" est donnée par:
!
!
r ( ; ') = OP + "!
n ( ; '); !
n ( ; ') = (n1 ; n2 ; n3 ) = (sin cos '; sin sin '; cos )
et d = "2 sin d d', avec 0
;0
'
2 :
Maintenant, on peut écrire le développement de Taylor en fonction de " :
3 @f
P
!
(P ) nl ( ; ') + O("2 );
f (!
r ( ; ')) = f OP + "!
n ( ; ') = f (P ) + "
@x
l
l=1
ZZ
ZZ
Z
Z
ZZ
3 @f
P
ainsi,
f nk d = f (P )
nk d + "
(P )
nl nk d +
O("2 )nk d ; k = 1; 2; 3:
@x
l
l=1
S"
S"
S"
3
S"
:
Il s’agit de passer en revue tous les termes:
ZZ
n1 d = "
2
Z2
cos ' d'
0
S"
Z
sin
2
d = 0;
0
ZZ
ZZ
n3 d = "
2
n1 n2 d = "
2
n1 n3 d = "
2
S"
ZZ
n2 n3 d = "
Z2
Z2
2
cos ' d'
ZZ
0
Z2
Z
cos sin2 d = 0;
En résumé:
ZZ
cos ' d'
0
sin ' d'
2
3
d ="
Z2
sin ' d'
Z2
2
O(" )nk d = "
S"
f nk d = 0;
S"
0
2
ZZ
Z
1
cos2
sin d =
4 2
";
3
0
(n3 ) d = "
2
sin3 d = 0;
0
2
Z
sin3 d =
4 2
";
3
cos2 sin d =
4 2
";
3
0
Z
Z2
Z
O("2 )nk sin d = O("4 ):
2
0
2
Z
cos sin2 d = 0;
S"
ZZ
cos ' sin ' d'
sin
S"
ZZ
sin2 d = 0;
0
Z
Z
(n2 ) d = "
sin ' d'
Z
0
0
2
Z2
cos sin d = 0;
0
0
S"
Z2
2
S"
(n1 ) d = "
d'
Z
2
0
0
ZZ
2
Z2
0
S"
2
n2 d = "
S"
S"
ZZ
ZZ
0
d'
0
d'
0
0
4 2
"
nl nk d =
3
k;l
et
ZZ
O("2 )nk d = O("4 ); 1
k; l
S"
S"
ZZ
4 3 @f
ce qui implique:
f nk d =
"
(P ) + O("4 ) et le résultat est obtenu.
3
@xk
S"
4
3;