Transcript 3eme_correction_BB_maths_2014

3◦ - 2013/2014 - Correction du brevet blanc
Quelques remarques d’ordre g´
en´
eral en pr´
eambule. Bonne lecture !
• il faut clairement r´epondre aux questions pos´ees en faisant des phrases ... le correcteur n’a pas `a faire le
tri dans une multitude de calculs pour trouver la r´eponse attendue !
• attention aux unit´es (longueurs exprim´ees en cm, aires en cm2 et volumes en cm3 par exemple)
• quatre points sont attribu´es pour l’orthographe et la pr´esentation (un effort est donc attendu et r´ecompens´e
; sauter une ligne sur deux si n´ecessaire ; des vocations pour l’exercice de la m´edecine peut-ˆetre ?)
• il faut savoir utiliser le brouillon (gracieusement mis `a disposition) `a bon escient : inutile de tout ´ecrire
dessus mais son emploi se r´ev`ele presque indispensable pour les questions d´elicates sur le plan calculatoire
(peu nombreuses) ou de recherche
• la g´eom´etrie est souvent consid´er´ee comme l’art de raisonner juste sur des figures fausses (qui ne sont
pas donn´ees en vraie grandeur afin d’induire en erreur les ´el`eves qui auraient la mauvaise id´ee d’en prendre
les mesures alors qu’un calcul est demand´e ...)
• le papier de composition `a petits carreaux (identique `a celui fourni le jour de l’examen) permet de construire des figures et des rep`eres avec le centim`etre comme unit´e
• toute d´emarche doit ˆetre expliqu´ee et justifi´ee, sauf indication contraire donn´ee de mani`ere explicite dans
le sujet (dans ce cas, la donn´ee d’une justification, quelle qu’elle soit, n’est qu’une
perte
√
√ de√temps√...)
• il n’est pas inutile de v´erifier les r´esultats obtenus (en particulier, ´ecrire 16 + 9 = 4 + 3 dans
l’exercice 1 laisse pr´esager du pire s’agissant du niveau du candidat ...)
• lorsque la v´erification d’un r´esultat donn´e dans le sujet est demand´ee, il serait du meilleur goˆ
ut (et du
plus bel effet) de bien vouloir s’assurer que le r´esultat obtenu est conforme `a celui attendu (sans chercher
`a escroquer le correcteur `a l’aide d’un tour de prestidigitateur qui serait irr´em´ediablement sanctionn´e ...)
• ne pas h´esiter `a utiliser un r´esultat fourni dans l’´enonc´e pour r´epondre `a la question suivante (mˆeme
s’il n’a pas ´et´e d´emontr´e) ; il est pr´ef´erable de commencer par lire la totalit´e d’un exercice plutˆot que de
foncer bille en tˆete
• l’´epreuve de math´ematiques fait appel `a de nombreuses notions et il y a toujours des questions assez
faciles auxquelles tous les candidats peuvent (ou devraient pouvoir ...) r´epondre
• le but de l’´epreuve n’est pas d’ˆetre exp´edi´ee au plus vite dans une oubliette (ou mieux encore dans
un gouffre insondable) mais bien de mettre en valeur les capacit´es et comp´etences des candidats (encore
faut-il que ceux-ci daignent prendre le temps de les retranscrire avec clart´e et pr´ecision sur la feuille de
composition) ; il faudrait donc songer `a utiliser la totalit´e du temps imparti (c’est-`a-dire deux heures ou
120 minutes ou 7 200 secondes) !
• pour finir, un peu de statistiques : 100 % des re¸cus ont tent´e leur chance ...
Exercice 1
Question 1 : r´eponse C (3030, 03) ; question 2 : r´eponse C (6x2 ) ; question 3 : r´eponse C (0, 005) ;
question 4 : r´eponse A (0 et −7) ; question 5 : r´eponse A (7) ; question 6 : r´eponse B (en avance).
Remarques
• on peut proc´eder par ´eliminations successives puisqu’il n’y a qu’une r´eponse par question pos´ee
• dans l’´ecriture 38,45 : le chiffre 4 est le chiffre des dixi`emes et le chiffre 5 est le chiffre des centi`emes
• 2x × 3x = 2 × 3 × x × x = 6 × x2 = 6x2
• 5 × 10−3 = 5 × 0, 001 = 0, 005
√
√
• 16 + 9 = 4 + 3 = 7
• Le produit A × B est nul si (et seulement si) A = 0 ou B = 0 ; la solution de l’´equation x + 7 = 0 est
−7 ; la solution de l’´equation x = 0 est 0 (tiens, une ´equation ´evidente `a r´esoudre)
• 7 h 38 min + 25 min = 7 h 63 min = 8 h 03 min car 63 minutes repr´esentent 1 heure et 3 minutes
(certains ´el`eves ne sont pas loin de penser qu’arriver `a 8 h 03 au coll`ege alors qu’il faut y ˆetre avant 8 h 05,
c’est ˆetre tr`es en avance ; je fais l’impasse sur les distorsions ´eventuelles de l’espace temps et les univers
parall`eles)
Exercice 2
1) 760 : 76 = 10 et 1 045 : 76 = 13, 75. Comme 76 n’est pas un diviseur de 1 045, il ne peut pas faire 76
sachets en utilisant la totalit´e des drag´ees.
2a) On calcule le PGCD de 1 045 et 760 en utilisant l’algorithme d’Euclide :
1
1 045 = 760 × 1 + 285
Le PGCD de 1 045 et 760 est donc 95.
Le
nombre maximal de sachets qu’il pourra r´ealiser est de 95.
760 = 285 × 2 + 190
285 = 190 × 1 + 95
2b) 1 045 : 95 = 11 et 760 : 95 = 8.
Chaque sachet contiendra 11 drag´ees aux amandes et 8 drag´ees au chocolat.
190 = 95 × 2 + 0
Remarques
• comme Flavien veut utiliser la totalit´e des drag´ees, le nombre de sachets identiques qu’il peut r´ealiser
doit ˆetre un diviseur commun `a 760 et 1 045 (il peut donc fabriquer 5 sachets, 19 sachets, 95 sachets ou 1
seul sachet)
• on peut utiliser la touche ÷R ou |− pour effectuer les divisions euclidiennes successives (Q = /R = )
• la fonction PGCD SECONDE CALC (pour acc´eder `a cette fonction) 7 6 0 SECONDE 3 (pour
obtenir le s´eparateur ; entre les deux nombres entiers) 1 0 4 5 ) EXE permet le calcul direct du
PGCD de deux nombres entiers mais le calcul d´etaill´e doit figurer sur la copie ...
• on peut utiliser l’algorithme des soustractions successives (moins rapide mais plus simple d’utilisation) :
1 045 − 760 = 285
760 − 285 = 475 (on effectue toujours la diff´erence entre les deux entiers les plus petits
475 − 285 = 190 pour passer `a la ligne suivante ; le PGCD cherch´e est le dernier nombre non nul)
285 − 190 = 85
190 − 85 = 85
85 − 85 = 0
Exercice 3
1a) Le volume d’un pav´e droit est V = longueur (en cm) × largeur (en cm) × hauteur (en cm)
Volume d’un parpaing : 50 cm × 20 cm × 10 cm = 10 000 cm3 .
Volume des 300 parpaings : 300 × 10 000 cm3 = 3 000 000 cm3 = 3 m3 .
Volume utile du camion : 2, 6 m × 1, 56 m × 1, 84 m = 7, 46304 m3 .
Comme 3 < 7, 46304 ,le volume utile du camion est suffisant pour n’effectuer qu’un seul voyage.
1b) Masse des 300 parpaings : 300 × 10 kg = 3 000 kg = 3 tonnes.
3 tonnes : 1, 7 tonne ≈ 1, 76.
La charge pouvant ˆetre transport´ee est de 1,7 tonnes, il devra donc effectuer deux voyages au minimum.
2a) Pour chaque aller-retour, il doit parcourir 20 km puisque le magasin de bricolage se trouve `a 10 km
de sa maison.
20 km × 2 = 40 km. La distance totale est de 40 km.
´
Le tarif A correspond `a 30 km maximum avec un supplement
de 2 euros par km au dela´ de 30 km.
40 − 30 = 10 km ; 10×2 = 20 et 48 + 20 = 68 euros. Le prix sera de 68 euros si on choisit le tarif A.
Le tarif B est de 55 euros pour une distance maximale de 50 km donc il est de 55 euros dans ce cas.
Les tarifs A,C etD sont sup´erieurs au tarif B pour 40 km de trajet; c’est donc le tarif B le plus avantageux.
2b) La consommation du camion est de 8 litres aux 100 km. On peut utiliser un tableau de proportionnalit´e :
8 × 40
Consammation (en L) kilom´
etrage (en km)
x=
8
100
100
x
40
x = 3, 2 litres.
Il faut utiliser 3,2 litres de carburant.
3, 2 × 1, 5 = 4, 8. 55 + 4, 8 = 59, 8.
Le coˆ
ut total du transport le plus avantageux est de 59 euros 80.
Remarques
• 1 m = 10 dm = 100 cm et 1 m3 = 103 dm3 = (100)3 cm3 = 1 000 000 cm3
• on peut v´erifier que les dimensions du camion permettent bien de disposer la totalit´
e des parpaings (on
peut poser 13 × 3 = 39 parpaings au sol, ce qui repr´esente une couche de 10 cm de haut ; on peut disposer
18 couches dans le camion)
• ne pas arrondir la consommation `a 4 litres de carburant ; il faut calculer en utilisant 3,2 litres.
Exercice 4
• On peut calculer le prix HT (hors taxe) des 4 menus :
4 × 16, 50 euros = 66 euros.
2
• On peut calculer le prix HT des 3 caf´es :
3 × 1, 20 euros = 3, 60 euros.
• On peut calculer le sous-total HT :
T V A (en euros) sous − total (en euros)
5, 5
100
4, 18
x
4, 18 × 100
5, 5
x = 76 euros.
x=
• On peut calculer le prix d’une bouteille d’eau min´erale :
76 euros − (66 euros + 3, 60 euros) = 6, 40 euros
• On peut calculer le montant total de la facture :
76 euros + 4, 18 euros = 80, 18 euros.
Remarques
= 4, 18
• on v´erifie que 4,18 repr´esente bien 5,5 % de 76 : 76×5,5
100
• on v´erifie que le total est bien ´egal `a 80,18 euros.
Exercice 5
2) Pour x = 5 :
A = 2 × 52 − 4 × 5 − 10
A = 2 × 25 − 20 − 10
A = 50 − 30
A = 20
1) Pour x = −3 :
A = 2 × (−3)2 − 4 × (−3) − 10
A = 2 × 9 + 12 − 10
A = 18 + 12 − 10
A = 20
L’expression A est ´egale `a 20 pour x = −3.
L’expression A est ´egale `a 20 pour x = 5.
3) On choisit x = 0 :
Pour cette valeur de x, on a
A = 2 × 0 2 − 4 × 0 − 10
A = −10
L’expression A n’est donc pas ´egale `a 20 pour toutes les valeurs de x.
Remarques
• la question 1 n’est qu’une v´erification ; il faut ´ecrire le calcul (et v´erifier qu’on obtient bien la valeur
indiqu´ee dans le sujet). Si on trouve une valeur diff´erente de 20, c’est donc une erreur de calcul ... (en
particulier, le carr´e d’un nombre relatif est toujours un nombre positif ; on doit placer −3 entre parenth`eses
pour calculer son carr´e)
• On peut calculer la valeur de l’expression A `a l’aide de la calculatrice :
2 × X x2 − 4 × X − 1 0 (la lettre X peut ˆetre remplac´ee par une autre ; c’est une variable
qui est dite muette)
CALC (−) 3 EXE
la calculatrice affiche 20
CALC 5 EXE
la calculatrice affiche 20
CALC 0 EXE
la calculatrice affiche −10
L’avantage est de pouvoir tester rapidement pour diff´erentes valeurs de x
• pour affirmer que l’´egalit´e 2x2 − 4x − 10 = 20 est vraie, il faut la d´emontrer pour toutes les valeurs
possibles de x. Or, pour toute valeur de x diff´erente de −3 et de 5, l’expression A est n’est pas ´egale `a 20
(on a choisi x = 0 car c’est la valeur de x qui permet le calcul le plus facile)
• en fait, il suffirait que cette ´egalit´e soit vraie pour trois valeurs diff´erentes de x pour pouvoir affirmer
u
qu’elle est vraie pour toutes les valeurs de x (l’expression 2x2 − 4x − 10 est de la forme ax2 + bx + c, o`
a, b et c sont trois nombres relatifs ; on dit que c’est un trinˆome du second degr´e)
Exercice 6
1) (3x − 4)(x + 5, 5) = 3x × x + 3x × 5, 5 − 4 × x − 4 × 5, 5
(3x − 4)(x + 5, 5) = 3x2 + 16, 5x − 4x − 22
(3x − 4)(x + 5, 5) = 3x2 + 12, 5x − 22
3
2a) On choisit 2 comme nombre de d´epart :
Sous-programme 2 :
Sous-programme 1 :
22 = 4
2 × 12, 5 = 25
4 × 3 = 12
25 − 22 = 3
Le r´esultat du sous-programme 1 est 3.
Le r´esultat du sous-programme 2 est 12.
3 + 12 = 15.
Pour x = 2, le programme donne 15 comme r´esultat.
2b) On choisit x comme nombre de d´epart :
Sous-programme 2 :
Sous-programme 1 :
x2
x × 12, 5 = 12, 5x
x2 × 3 = 3x2
12, 5x − 22
Le r´esultat du sous-programme 2 est 3x2 .
Le r´esultat du sous-programme 1 est 12, 5x − 22.
Si on choisit x comme nombre de d´epart, le programme donne 3x2 + 12, 5x − 22 comme r´esultat.
D’apr`es la question 1), on a l’´egalit´e 3x2 + 12, 5x − 22 = (3x − 4)(x + 5, 5).
Le r´esultat du programme sera ´egal `a 0 si (3x − 4)(x + 5, 5) = 0.
On doit r´esoudre l’´equation produit nul (3x − 4)(x + 5, 5) = 0 :
Si (3x − 4)(x + 5, 5) = 0 alors 3x − 4 = 0 ou x + 5, 5 = 0
3x = 4 ou x = −5, 5
x = 43 ou x = −5, 5.
Les solutions de l’´equation (3x − 4)(x + 5, 5) = 0 sont 43 et −5, 5.
Le r´esultat du programme sera ´egal `a 0 pour les nombres 43 et −5, 5.
Remarques
• on peut ´ecrire (3x − 4)(x + 5, 5) = [3x + (−4)] (x + 5, 5) pour faciliter le d´eveloppement de l’expression
• dans la question 2a), il faut v´erifier que la valeur renvoy´ee par le programme lorsqu’on choisit 2 comme
nombre de d´epart correspond au r´esultat donn´e dans le sujet ... (ne pas oublier d’additionner les r´esultats
des sous-programmes 1 et 2 !)
• pour r´epondre `a la question 2b), il faut penser `a factoriser l’expression fournie par le programme de
calcul lorqu’on choisit x comme nombre de d´epart (la r´esolution de l’´equation 3x2 + 12, 5x − 22 = 0 sans
factorisation pr´ealable est au programme de la classe de premi`ere S ... il suffit alors d’appliquer les formules
ad´equates ; il est bien ´evident que cette technique n’est pas exigible en classe de troisi`eme et que l’´el`eve
qui se montrerait assez pr´esomptueux pour s’y attaquer aurait peu de chance de triompher en un temps
si court ...)
• l’id´ee lumineuse lorsque l’on est confront´e `a un probl`eme de brevet est d’utiliser les r´esultats obtenus
aux questions pr´ec´edentes ...
Exercice 7
Le triangle ABC est inscrit dans le cercle de centre O et de rayon OC et le cˆot´e [AB] est un diam`etre de
ce cercle donc il est rectangle en C (qui est distinct des points A et B).
L’angle ACB est donc un angle droit.
La somme des mesures des angles d’un triangle est ´egale `a 180 degr´es donc :
BAC + ACB + ABC
59◦ + 90◦ + ABC
ABC
ABC
=
=
=
=
180◦
180◦
180◦ − (59◦ + 90◦ )
31◦
La mesure de l’angle ABC est de 31 degr´es.
Remarques
• afin de tordre d´efinitivement le cou `a l’id´ee tenace qui veut qu’un triangle inscrit dans un cercle est
n´ecessairement un triangle rectangle, effectuer la construction suivante :
a) construire un cercle
b) placer trois points sur ce cercle sans qu’ils ne forment un diam`etre de ce cercle
c) que dire de la nature du triangle obtenu ? (Dame Nature est ainsi faite ...)
4
Une petite explication s’impose : un triangle (quelconque) peut toujours ˆetre inscrit dans un cercle (il
s’agit de son cercle circonscrit qui a pour centre le point de concours des m´ediatrices des cˆot´es du triangle ;
´
la construction de deux mediatrices
suffit pour obtenir le centre du cercle circonscrit a´ un triangle)
• on peut aussi utiliser le th´eor`eme de la m´ediane : si, dans un triangle, la m´ediane relative `a un cˆote´ a
pour longueur la moiti´e de ce cˆot´e, alors ce triangle est rectangle et ce cˆot´e est son hypot´enuse.
• une remarque moins anodine qu’il n’y paraˆıt :
D’apr`es le codage de la figure, les triangles AOC et BOC sont isoc`eles de sommet principal O.
Dans un triangle isoc`ele, les deux angles de base ont la mˆeme mesure donc OAC = OAC = 59◦ et
OBC = OCB.
La somme des mesures des angles d’un triangle est ´egale `a 180◦ donc dans le triangle AOC, on a :
OAC + ACO + AOC = 180◦
AOC = 180◦ − 2 × 59◦
AOC = 62◦
Comme le segment [AB] est un diam`etre du cercle de centre O, l’angle AOB est un angle plat : AOB =
180◦ .
Les angles AOC et COB sont adjacents (ils ont le mˆeme sommet O, le cˆot´e [OC] en commun et ils se
trouvent de part et d’autre de ce cˆot´e commun) ;
on a donc : AOC + COB = AOB
62◦ + COB = 180◦
COB = 180◦ − 62◦
COB = 118◦
On en d´eduit dans le triangle BOC :
COB + OCB + OBC = 180◦
118◦ + 2 × OBC = 180◦
180◦ − 118◦
OBC =
2
OBC = 31◦ .
Comme les points B, O et A sont align´es : OBC = ABC = 31◦ .
En voil`a un de joli exercice niveau classe de cinqui`eme sur les angles d’un triangle ... ou comment faire la
tˆete au carr´e `a un triangle rectangle !
(
Pour la petite histoire, nous retrouverons cette figure plus tard dans l’ann´ee :
- AOC est l’angle au centre du cercle C qui intercepte l’arc AB
AOC
62◦
=
- ABC est un angle inscrit dans le cercle C qui intercepte le mˆeme arc donc ABC =
= 31◦ .
2
2
Exercice 8
Le triangle OBA est rectangle en A et le triangle OCD est rectangle en C d’apr`es le codage de la figure.
Les droites (AB) et (CD) sont perpendiculaires `a la droite (OC) donc elles sont parall`eles entre elles.
Les points O, B, D et O, A, C sont align´es dans le mˆeme ordre.
On peut donc appliquer le th´eor`eme de Thal`es :
OA
OB
AB
=
=
OC
OD
CD
11
1, 5
=
11 + 594
CD
1, 5 × 605
CD =
11
CD = 82,5.
La hauteur CD de l’´eolienne est de 82,5 m`etres.
Remarques
• il faut d´emontrer que les droites (AB) et (CD) sont parall`eles pour justifier l’utilisation du th´eor`eme de
Thal`es ; c’est vraiment indispensable !
5
• le point A appartient au segment [OC] donc OC = OA + AB = 11 m + 594 m = 605 m
• on peut aussi ´ecrire que le triangle OCD est un agrandissement du triangle OAB (apr`es avoir d´emontr´e
OC
605 m
le parall´elisme) ; le coefficient d’agrandissement est :
=
= 55
OA
11 m
on a donc : CD = 55 × AB
CD = 55 × 1, 5 m
CD = 82, 5 m
• le calcul de la longueur OB `a l’aide de l’´egalit´e de Pythagore n’apporte rien (et conduit `a une perte de
temps) car la donn´ee des trois nombres OA, OC et AB suffit pour calculer la quatri`eme proportionnelle
CD
OB
OA
AB
• on a aussi l’´egalit´e
=
mais ces quotients sont diff´erents du quotient
:
AC
BD
CD
OC
OD
CD
En effet, le th´eor`eme de Thal`es montre que
=
=
OA
OB
AB
OD
CD
OC
ce qui permet d’´ecrire :
−1=
−1=
−1
OA
OB
AB
OC OA
OD OB
CD AB
−
=
−
=
−
OA OA
OB OB
AB
AB
OC − OA
OD − OB
CD − AB
=
=
OA
OB
AB
AC
BD
CD − AB
OA
OB
AB
soit :
ou encore (en passant aux inverses) :
=
=
=
=
OA
OB
AB
AC
BD
CD − AB
11
1, 5
594 × 1, 5
On peut v´erifier `a l’aide d’un calcul :
=
donc CD − 1, 5 =
= 81
594
CD − 1, 5
11
CD = 81 + 1, 5 = 82, 5 m
Exercice 9
2
´
(la base est un carre)
1) Aire de la base de la pyramide de Kh´eops : A = 230 m × 230 m = 52 900 m
2
52 900 m × 138 m
Volume de la pyramide de Kh´eops : V =
3
V = 2 433 400 m3 .
Le volume de la pyramide de Kh´eops est de 2 433 400 m3 .
1
= 0, 005.
2) La maquette est une r´eduction de la pyramide de Kh´eops ; le coefficient de r´eduction est 200
Le volume de la maquette est : V = (0, 005)3 × 2 433 400 m3
1 m3 repr´esente 1 000 dm3 .
V = 0, 304175 m3 .
V = 0, 304175 × 1 000 dm3
V = 304, 175 dm3 .
Le volume de la maquette est de 304 dm3 (ou 0,304 m3 ) au dm3 pr`es.
Remarques
• Volume de la maquette = Volume de la pyramide de kh´eops × (coefficient de r´eduction)3
3
1
1
• on peut aussi calculer le cube de 200
; on doit alors ´ecrire ce quotient entre parenth`eses : 200
• 1 m = 10 dm donc 1 m3 = 103 dm3 = 1 000 dm3
• un coefficient de r´eduction est un nombre compris entre 0 et 1 (qui s’exprime sans unit´e puisque c’est le
quotient de deux longueurs ayant la mˆeme unit´e)
Il est bien entendu que ces ´el´ements de correction sont fournis afin que leur r´edacteur puisse avoir la
conscience tranquille et que leur possible (souhaitable ?) utilisation `a des fins p´edagogiques (et/ou pour
l’am´elioration de la ”performance” des ´el`eves) n’est que pure sp´eculation ...
X. Brochier
6