Transcript DM3 Muscles artificiels

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Devoir de S.I. n°3
Pour Jeudi 11 décembre 2014
P.C.S.I.
( La partie C pourra être rendue le Mercredi 17 décembre )
Bras de robot à muscles artificiels ( d’après Concours Communs Polytechniques 2001 )
L’utilisation de l’énergie pneumatique pour l’actionnement des manipulateurs présente des propriétés qui peuvent s’avérer
intéressantes pour les applications en milieu hostile ou du type biomécanique :
- L’absence de forts courants électriques écarte les risques d’explosion et réduit à néant les interférences
électromagnétiques.
- Les muscles artificiels sont économiques. Ils engendrent des forces de contraction du même type que celles
produites par les muscles humains. Leur puissance massique est très élevée par rapport à un actionneur classique.
Enfin, ils présentent naturellement une faible rigidité qui peut être mise à profit pour limiter les conséquences des
collisions et faciliter les tâches d’assemblage.
- En matière de préhension, l’usage d’actionneurs pneumatiques permet de moduler facilement les efforts de serrage,
indépendamment de la fermeture du préhenseur.
L’étude suivante concerne un manipulateur à muscles
artificiels développé au sein des équipas de recherche LGMT et
LESIA de l’INSA de Toulouse. Les Photographies 1 et 2
présentent le manipulateur à structure anthropomorphique
à 7 degrés de liberté activés par des paires de muscles artificiels
montés en opposition.
Photographie 1
Manipulateur
anthropomorphique
Photographie 2
Modèle CAO du
manipulateur
L’organisation des calculs à effectuer pour dimensionner ou piloter le manipulateur
peut être décomposée selon le schéma de la Figure 1. Dans un premier temps, la trajectoire
est définie dans l’espace opérationnel (repère lié à la base du robot).
Le mouvement sur la trajectoire est élaboré de façon à obtenir une évolution
régulière entre le point de départ et le point d’arrivée. Cet objectif est réalisé en adoptant un
profil d’accélération trapézoïdal, étudié dans la partie A de ce sujet.
Dans la partie B, le calcul du modèle géométrique permet ensuite de lier les coordonnées articulaires (espace des positions
relatives des corps du manipulateur) aux coordonnées opérationnelles, en fonction de la trajectoire opérationnelle adoptée. Ce calcul
fournit les consignes de position articulaires à émettre vers les actionneurs. Il donne également les débattements pour chaque position.
2
Tâche à réaliser
Générateur de
trajectoire
Séquence des
x0 , y0 , z0
(B)
Modèle
géométrique
Séquence des
x0 , y0 , z0
La partie C consiste à élaborer le modèle
cinématique qui lie les vitesse articulaires aux vitesses
opérationnelles et aux positions articulaires, connues à
(A)
.
Générateur de
mouvement
Consignes articulaires
Séquence des θ , ϕ , z
.
.
x0 , y0 , z 0
(C)
Modèle
cinématique
l’issue de la partie B. Ce calcul permet d’élaborer les
vitesses articulaires « objectifs » qui peuvent être
utilisées pour le dimensionnement des actionneurs ou
Vitesses articulaires
. . .
θ,ϕ,z
.. .. ..
x0 , y0 , z 0
(D)
Modèle
dynamique
comme signal d’anticipation pour leur commande.
Dans la partie D, on élabore le modèle dynamique qui lie les
accélérations articulaires aux accélérations opérationnelles ainsi qu’aux
.. .. ..
θ,ϕ, z
Efforts requis aux
actionneurs
vitesses et positions articulaires, connues à l’issue de la partie C. En
Accélérations
articulaires
appliquant les théorèmes de la dynamique (Principe fondamental et
Figure 1 : Organisation des calculs
théorème de l’énergie cinétique) on peut alors calculer les couples à
fournir par les actionneurs pour réaliser les mouvements désirés, dans le
but de dimensionner les actionneurs. Cette partie n’est pas reprise dans
ce sujet.
La partie E est consacrée à la modélisation du muscle artificiel utilisé comme organe moteur pour cette application.
Ce résultat permet au cours de la partie F de dimensionner l’actionneur réalisé par le montage de deux muscles en
opposition, conformément aux spécifications qui seraient obtenues par une étude générale, conduite selon la procédure développée
dans le cas particulier précédent.
Dans la partie G, on analyse certains aspects de la commande de l’actionneur.
A - Générateur de trajectoire.
Le générateur de trajectoire est chargé d’élaborer la stratégie de ralliement d’un point à partir d’un autre.
Pour limiter les effets d’inertie, pouvant conduire à des phénomènes vibratoires indésirables, on adopte un profil
d’accélération continu à l’ordre 0, c’est à dire que la dérivée de l’accélération, appelée Jerk, est constante par morceau conformément
à la figure du Document réponse DR1.
A.1 - Compléter la figure du Document réponse DR1. Les phases 1, 3, 7 et 9 ont une durée ta . Les phases 2, 4, 6 et 8 ont une
durée tb . La phase 5 a une durée tc .
Le dimensionnement des actionneurs sera ici réalisé dans le cas où la trajectoire désirée correspond à un déplacement de la
position xi = 0,5 m à la position xf = 0,75 m. On considère que la
trajectoire ne comporte plus les paliers d’accélération (1), (3), (5), (7)
Jerk
+J
et (9) de la figure du Document réponse DR1, conformément à la
Temps
Figure 2 . Le temps de parcourt est t4 = 1 s .
32 ( xf - xi )
Le calcul montre que le Jerk à adopter vaut J =
t43
A.2 - Exprimer, en fonction de xi , xf et t4 , les valeurs extrémales de la
0
t2 = t4/2
t4
-J
t1 = t4/4
t3 = 3t4/4
vitesse et de l’accélération sur la trajectoire au cours du mouvement.
Déterminer les valeurs numériques de ces grandeurs.
Figure 2
3
Modélisation du manipulateur.
→
z
Pour simplifier l’étude, on se limitera à un manipulateur dont la
chaîne cinématique ouverte est présentée sur les Figures 3 et 4 .
Le manipulateur est constitué :
- d’une base 0, à laquelle on attache un repère de référence
→ → →
R0 ( O1, x0 , y0 , z )
- d’un bras 1, dont le mouvement par rapport à la base 0 est
→
un mouvement de rotation d’axe (O1 , z ) paramétré par
l’angle variable θ et dont la géométrie est caractérisée par
la longueur est O1O2 = L
- d’un avant-bras 2, dont le mouvement
par rapport au bras 1 est un mouvement
→
de rotation d’axe (O2 , z ) paramétré par
→
z
→
x0
l’angle variable ϕ et dont la géométrie
est caractérisée par la longueur est
C
→
x1
→
x2
→
y3
→
y0
→
x3
Figure 3 : Schéma en perspective du manipulateur
O 2C = L - r
→
- d’un poignet 3, dont le mouvement par rapport à l’avant bras 2 est un mouvement de translation de direction z
→
→
→
paramétré par la distance variable z et dont la géométrie est caractérisée par le vecteur CO3 = z z + r x3 , O3 étant
le centre de la pince.
→
y1
→
y0
Par construction, les débattements admissibles sont
2π
π
π
tels que les angles θ et ϕ vérifient :
0<θ<
_
et <ϕ<
_
2
3
2
→
y2
La configuration du manipulateur est fixée par 3 coordonnées
→→ →
articulaires θ , ϕ et z qui fixent la position du repère R3 (O3, x3 ,y3 , z3 )
→ → →
lié à l’organe terminal, par rapport au repère R0 (O1, x0 , y0 , z ) lié à la
→
y3
base du manipulateur.
La position du point O3 peut être définie dans l’espace
→ → →
opérationnel par ses coordonnées dans le repère R0 (O1, x0 , y0 , z ) tel
→
→
→
→
que O1O3 = x0 x0 + y0 y0 + z0 z .
→
→
L’accélération de la pesanteur est telle que g = - g z .
Appelons O3’ la projection du point O3 , centre de la pince, sur le
→→
plan ( O1,x0 ,y0 ) . L’optimisation du volume atteignable par l’organe
→
x0
→
x3
dans le cas du bras humain).
a - Modèle géométrique direct.
→
x3
→
z
→
z
terminal conduit à adopter des longueurs O1O2 = O2O3’ = L (comme
B - Modèle géométrique.
→
x1
→
y2
→
x2
B.1 - Calculer les coordonnées opérationnelles x0 , y0 et z0 en fonction
des coordonnées articulaires θ , ϕ et z .
Figure 4 : Schéma en plan du manipulateur
b - Modèle géométrique inverse.
B.2 - Déterminer alors les cordonnées articulaires θ , ϕ et z en fonction des coordonnées opérationnelles x0 , y0 et z0 .
a+b
a-b
a+b
a-b
On rappelle les célèbres formules
cos a + cos b = 2 cos
cos
et
sin a + sin b = 2 sin
cos
2
2
2
2
4
c - Cas particulier.
B.3 - Ecrire les équations du modèle géométrique direct puis du modèle géométrique inverse si le point O3’ suit une trajectoire
→
rectiligne selon l’axe (O1, x0 ) et le point O3 une trajectoire parallèle. Valider ce résultat graphiquement à l’aide d’un schéma.
B.4 - Définir alors la course des actionneurs, c’est à dire le domaine de variation, en degrés, des paramètres θ et ϕ , dans le cas où
3L
L < O 1O 3’ <
2
C - Modèle cinématique.
a - Cas général.
On considère que le centre de la pince O3 suit une trajectoire quelconque de l’espace.
→
C.1 - Déterminer le vecteur v (O3∈3/0) vitesse du point O3 dans le mouvement de la pince 3 par rapport à la base 0 en fonction
de L, θ, ϕ , z ou/et de leurs dérivées.
On exprimera ce vecteur vitesse de la façon la plus simple possible, sans chercher à projeter sur une base unique.
b - Cas particulier.
→
C.2 - Déterminer le vecteur v (O3∈3/0) dans le cas particulier de la partie Bc.
E - Modélisation d’un muscle artificiel.
Le muscle est constitué d’une vessie en caoutchouc
emprisonnée dans une tresse de fils. L’angle d’inclinaison de
Photographie 3a Muscle libre ( sans pression )
cette tresse permet de convertir le gonflement de la vessie, sous
l’effet de la pression qui lui est imposée, en effort de traction
(Photographies 3).
La caractéristique typique d’un muscle artificiel est
présentée sur la Figure 5 . L’effort de traction moyen Fm est
Photographie 3b Muscle rétracté ( sous pression )
tracé en pointillés pour 4 niveaux de pression P, tandis que
l’effort effectif pour un cycle de contraction
relâchement à très basse fréquence est tracé en
trait continu. Il apparaît bien que la modulation de
pression P permet de doser l’effort de traction.
Compte tenu de l’allure des courbes, on
modélise l’effort moyen de traction Fm par la loi
Fm = K1 P + K2
l
+ K3 où l est la longueur du
llib
muscle à l’instant considéré et llib est la longueur
du muscle libre sans pression.
On pose
α =
llib - l
appelé taux de
llib
contraction du muscle.
Figure 5 : Caractéristique mécanique d’un muscle artificiel
E.1 - Identifier sur la Figure 5 la valeur
numérique, en N ou N/bar selon le cas, de chacun des coefficients K1 , K2 et K3.
La différence pour une pression donnée, entre l’effort moyen et l’effort effectif est due au frottement de la tresse.
- Lorsque le taux de contraction α augmente ( contraction du muscle ), le frottement conduit à un effort effectif
développé inférieur à l’effort moyen d’une valeur F0 = 60 N.
5
- Lorsque le taux de contraction α diminue ( relâchement du muscle ), le frottement conduit à un effort effectif
développé supérieur à l’effort moyen d’une valeur F0 = 60 N.
Ce frottement produit la majeure partie de l’amortissement naturel de l’actionneur, mais sa caractéristique non linéaire,
empêche l’étude de la commande de l’actionneur par les outils classiques de l’automatique linéaire. On linéarise donc ce phénomène.
Pour effectuer cette opération, on remplace ce frottement non linéaire par un frottement visqueux de coefficient µ tel que pour
un cycle sinusoïdal de la longueur du muscle, de pulsation ω et d’amplitude lc données, l’énergie dissipée par les frottements soit égale
dans les deux modèles.
On peut montrer que l’énergie dissipée pour ce cycle par le modèle non linéaire est
EF0 = 4 F0 lc
Eµ = µ lc2 π ω
E.2 - Montrer que l’énergie dissipée pour ce cycle par le modèle linéaire est
E.3 - Déterminer la valeur numérique du coefficient de frottement visqueux µ pour lc = 1 cm et ω = 2 π rad/s
F - Dimensionnement d’un muscle artificiel.
L’activation en rotation d’angle θ de la
liaison entre le bras 1 et la base 0 est obtenue par
l’utilisation
de
deux
muscles
artificiels
conformément au schéma de la Figure 6.
On montre que le couple développé par
Figure 6 : Architecture d’un actionneur à muscles artificiels
cette association au niveau de la liaison entre
base et muscle est donné par la loi
On souhaite que :
.
2 r 2 K2
θ - 2 r2 µ θ
llib
- la course utile de la liaison soit ∆θ = 3 rad avec θ ∈ [ -1,5 rad ; 1,5 rad ]
.
- le couple nominal ( Cm pour θ = 0 et θ = 0 ) soit de 8 N.m
Cm = r K1 ( P1 - P2 ) -
sous un écart de pression P1 - P2 de 2 bars
- l’amplitude du taux de contraction du muscle soit ∆α = 0,2
avec
α ∈ [ 0,05 ; 0,25 ]
F.1 - Déterminer numériquement le rayon r de la poulie.
F.2 - Déterminer numériquement la longueur libre llib des muscles (on notera que l’amplitude de longueur du muscle est ∆l = r ∆θ ).
G - Commande de l’actionneur.
On ne s’intéresse ici qu’à l’activation de la première liaison du bras manipulateur ( paramètre θ ). Le couple de réaction
engendré sur le bras par le moteur d’activation de la seconde liaison ( paramètre ϕ ) est considéré comme un couple perturbateur Cext.
Le principe fondamental de la dynamique, appliqué au bras fournit alors l’équation
(a)
..
Cm(t) - Cext(t) = Ie θ (t)
( Ie = 0,5 kg m2 inertie du bras )
Le couple moteur est modélisé conformément aux résultats des parties E et F par :
.
(b)
Cm(t) = K4 ( P1(t) - P2(t) ) - K5 θ(t) - K6 θ(t)
K4 = 4 N.m/bar , K5 = 5,3 N.m/rad , K6 = 1 N.m.s/rad
Le schéma de la commande est représenté sur la Figure 7.
G.1 - Prendre la transformée de Laplace des équations (a) et (b) ( conditions initiales supposées nulles ). En déduire l’expression
littérale des fonctions de transfert
Cext(p)
H1(p) et H2(p) du schéma de la
Figure 7.
θc(p)
Uc(p)
+
G.2 - Donner la valeur numérique
-
Hc(p)
P1(p) - P2(p)
Hm(p)
H1(p)
de la souplesse naturelle σn de
Figure 7
θ(p)
+
H2(p)
6
- θ(p)
l’actionneur, définie comme le gain statique de la fonction de transfert
lorsque l’actionneur n’est pas commandé, c’est à dire
Cext(p)
que P1(t) - P2(t) = 0
Le modulateur de pression qui apparaît sur la Figure 6 a été dimensionné pour satisfaire la condition de vitesse de
P1(p) - P2(p)
l’actionneur. Les données constructeur de sa fonction de transfert Hm(p) =
sont représentées sur la Figure 8 ( pression
U(p)
en bars, tension en volts ).
Diagramme des Gains
Sa tension de
commande Uc(t)
est
élaborée
de
à
partir
0,1
1,0
10,0
100,0
1000,0
0
-5
l’écart entre la position
-10
angulaire souhaitée θc(t)
-15
et la position angulaire
-20
effective θ(t) par une loi
de
commande
-25
de
-30
fonction de transfert
-35
Uc(p)
Hc(p) =
.
θc(p) - θ(p)
Le
est
-45
modulateur
-50
dans
une
-55
pulsations
-60
utilisé
gamme
-40
de
dB
comprise entre 0 rad/s
degrés
et 25 rad/s.
G.3 - Justifier que l’on
puisse
retenir
fonction
de
Hm(p) =
Donner
-20
une
-40
transfert
-60
Km
.
1 + τm p
les
-80
valeurs
numériques de Km et τm .
On suppose que
-100
-120
un
-140
correcteur proportionnel,
-160
le
correcteur
c’est
à
Diagramme des Phases
0
est
dire
0,1
que
1,0
10,0
Figure 8
Hc(p) = k = 5 V/rad
100,0
1000,0
rad/s
G.4 - Déterminer l’expression des fonctions de transfert Hθ(p) et HCext(p) permettant d’écrire θ(p) = Hθ(p) θc(p) - HCext(p) Cext(p)
On écrira ces fonctions de transfert de la manière la plus simple possible, sans chercher à mettre sous forme canonique,
mais seulement sous forme de quotients de polynômes.
G.5 - Déterminer l’expression littérale de l’erreur, sur une consigne θc(t) nulle, résultant d’une perturbation de couple en échelon,
c’est à dire calculer εpert = lim - θ(t)
t→∞
pour
Cext(t) = C0 u(t)
Faire l’application numérique pour un couple de perturbation C0 = 2 N.m.
G.6 - Que devient cette erreur si on remplace le correcteur proportionnel de fonction de transfert Hc(p) = k par un correcteur
1
proportionnel intégral de fonction de transfert Hc(p) = k ( 1 +
) . Conclusion.
Tp
7
NOM :
Prénom :
P.C.S.I.
Document réponse
DR1
...
Jerk x
+J
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Temps
-J
..
Accélération x
maximale
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
Temps
minimale
.
Vitesse x
maximale
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
4
5
6
7
8
9
Temps
Position x
finale
1
2
initiale
Temps