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Ecoulements
supersoniques
II
22/10/2014
vaporisation due à l’augmentation
de la température et de la pression
à la traversée d’une onde de choc
22/10/2014
Ondes de choc obliques
sur une maquette de Concorde
observées par strioscopie
(image ONERA)
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Ecoulements 2D
Chocs obliques
Position du problème
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Méthode de résolution
 Choix d’un volume de contrôle :
ligne de courant
 au choc
t
 au choc
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n
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Méthode de résolution
 Forme intégrale des équations d’Euler 
 1u1   2 u 2
 1u12  p1   2 u 22  p 2
v  v
 1 u H2   u H
2 2
2
 1 1 1
* la composante tangentielle v est conservée
* la composante normale u vérifie les lois de conservation 1D
 choc oblique traité comme un choc 1D dans la direction n
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Méthode de résolution
 Formules de choc 1D s’appliquent avec comme nombre de Mach
incident le nombre de Mach normal défini par
M n 1
u1

a1
à bien distinguer du nombre de Mach défini pour l’écoulement 2D :

w1
u12  v12
M1 

a1
a1
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Relations de choc
 Relation géométrique angle d’inclinaison / Mach / Mach normal :
( M n )1
u1
sin(  )   
w1
M1
soit
(M n )1  M 1 sin(  )
 Choc droit (1D) / choc oblique (2D) :
2
1
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 fn ( M )
2
1
devient
2
1
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
 fn ( M 12 sin 2 (  ))
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Relations de choc
 Exemple : saut de pression à travers un choc oblique
p2
2
 1
( M 12 sin 2 (  )  1)
p1
 1
 Remarques :
i) l’existence d’un choc normal suppose
 inclinaison minimale du choc
M n 1  1
1
  sin ( )
M1
1
inclinaison maximale   
2
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(choc droit)
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Relations de choc
 Remarques (suite) :
ii)
M n 1  1
p2
1
p1
iii)

u1
1
u2
déflection de l’écoulement
vers le choc
et v1=v2
le choc oblique comprime l’écoulement
Mach normal en aval du choc :
M n 2
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w2
u2
u2



 sin(    ) M 2
a2
w2
a2
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Relations de choc
 Relation Mach normal amont / Mach normal aval :
  1 2
1 
M1
 2 
M 22 
 fn(M12 )  M 22 sin 2 (    )  fn( M12 sin 2 (  ))
 1
M 12  

2


 Relation vérifiée par l’angle de déflection :
u1
u 2 u 2 u1 v1
tan  
, tan    

   fn ( M 12 sin 2 (  ))  tan   1
v1
v2 u1 v1 v2
 relation --M (essentielle dans l’analyse des chocs obliques)
tan     tan   fn(M 12 sin 2 (  ))
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
cf. abaque
Annexe poly.
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Interprétation physique

Eclt supersonique sur un coin
 Démarche classique :
* état 1 connu + angle de déflection  connu
* relation --M  inclinaison   M1sin()
* état 2 évalué à partir de l’état 1 et du Mach normal (Mn)1
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Interprétation physique
 Relation --M  abaque
* M1 donné  il existe un angle max
* si  < max il existe deux valeurs
possibles pour l’angle d’inclinaison
du choc :
1   2
choc faible
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choc fort
avec M2 < 1
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Interprétation physique
La Nature favorise le choc faible (plus stable)
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Interprétation physique
 Relation --M :
* si  > max il n’y a pas
de solution physique
avec un choc oblique
* si  =0, =sin-1(1/ M1)
==angle de Mach
le choc devient une ligne de Mach
à travers laquelle il n’y a plus de
variations finies des propriétés
de l’écoulement
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Choc faible ou de faible intensité
Cas particulier
intéressant
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Choc faible ou de faible intensité
 Relation --M du choc de faible intensité :
Cas général :
tan     tan   fn(M 12 sin 2 (  ))
Choc de faible intensité :
  1  tan(   )  tan( ) 
tan( )  tan( )  O( ) 

2
M
(


1
)
1
M 12 sin 2 (  )  1 

2
2
M1 1
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
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
2
1

cos 2 (  )
1
M 1
2
1
 O( )
 fn ( M 12 , )
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Choc faible ou de faible intensité
 Relation de saut à travers un choc de faible intensité :
Cas général :
p2
2
 1
( M 12 sin 2 (  )  1)
p1
 1
p2
M 12
p
Choc de faible intensité :
 1


p1
p1
M 12  1
M 12
M 12  1

 Similairement : saut du module de la vitesse à la traversée du choc
w

w1
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
M 12  1
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Compression supersonique
w

w1
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
M 12  1
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
dw

w
dp

p
 d
M 2 1
M 2
M 1
2
d
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Détente supersonique
p1
dM > 0
dp < 0
dM > 0
dp < 0
dM > 0
dp < 0
> M1
p2 < p1
Détente supersonique
sur paroi convexe
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Détente centrée sur un coin
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Détente supersonique
 Fonction de Prandtl-Meyer :
* à travers chaque ligne de Mach
dw

w
d
M 2 1
* pour un angle  fini cette relation
doit être intégrée
* si dw/w = fn(M)dM alors


0
d  
M2
M1
fn ( M ) M 2  1 dM     ( M 2 )   ( M 1 )
(M) = fonction de Prandtl-Meyer
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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Détente supersonique
 Fonction de Prandtl-Meyer :
 (M 2 )     (M 1 )
* (M) tabulée (cf. annexe)
* M1 (M1)  (M2) > (M1)  M2 > M1
(accélération de l’éclt)
 Température totale constante dans l’écoulement adiabatique :
 1 2
1
M1
T0
T0
T2
 1 2
 1 2
2
 1
M1 ,
 1
M2 

1
 1 2
T1
2
T2
2
T1
1
 Ecoulement isentropique :
p
2

M2
p 2  T2   1
 cste 
  
1

p1  T1 

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ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Chocs obliques
Compression supersonique
(isentropique)
 Raisonnement analogue
 ( M 2 )     ( M1 )
(M2) < (M1)
 (>0)
 M2 < M1
 Variation de température et de pression :
1
 1
M 12
T2
2

1
T1 1    1 M 2
2
2
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
p2  T2   1
  
1
p1  T1 
ECLTS 2D / CHOCS OBLIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul exact
choc oblique
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détente centrée
ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul exact
 Force aérodynamique exercée sur le profil :
 ( p 2  p3 )t 

F    p ndl  Di  L j  
profil
0


D = traînée d’onde propre à l’éclt supersonique
(D=0 pour un écoulement subsonique - cf. paradoxe de d’Alembert)
Rq : utilisation de la traînée d’onde pour capsule Apollo
 Théorie choc / détente  p 2 , p3  D, L
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
 Principe :
si le profil est mince et faiblement en incidence il n’existe pas
d’angles importants dans l’écoulement et on peut exploiter les
relations valables dans le cas d’une compression isentropique ou
d’une détente
M 12
p
p
p
2

  Cp 


2
2
1
1
p1
2
2
M1 1
M
1 1
1V1
p1 M 1
2
2
 > 0 compression
 < 0 détente
 Coefficient de pression local proportionnel à la déflection locale
de l’écoulement qui peut être reliée à l’équation du profil au niveau de
2
la paroi  L,D fonction de M 1 et d’intégrales dépendant de la géométrie
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Définition de la géométrie
Force aérodynamique totale :
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Décomposition de la force aérodynamique totale :
soit encore :
avec :
et de même :
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Pour un écoulement supersonique sur un profil mince :
d’où :
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Estimation des coefficients de portance et de traînée :
L
CL 

q1c
D
CD 

q1c
2
1
M 2  1 c
2
1
M 2  1 c
c  dy
L
  dx
0

c  dy
L
dyU 
dx

dx 
2
dy
  U 
 
 dx

0  dx 
 dx  


2
Remarque : intégration immédiate du coefficient de portance en
CL 
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2
1
c

y L ( x )  yU ( x )0 
M 2  1 c
ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
4
1
c

yU ( x )0
M 2  1 c
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Estimation du coefficient de portance :
CL 
yU(0)=0
4
yU (c)  yU (0)
c
M 2  1
CL=0
yU(c)=0
CL=0
yU(0)=0
CL 
4
M 2  1
c
α
yU (c)  c sin( )  c
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
α
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Estimation du coefficient de traînée :
 yU ( x )   tan( ) x  yc ( x )  h( x )  x  yc ( x )  h( x )

 y L ( x )  x  yc ( x )  h( x )
où on a décomposé le profil mince en :
i) une plaque plane placée à un angle d’attaque α
ii) la ligne moyenne du profil
iii) un profil symétrique de demi-épaisseur h(x)
dyc dh( x )
 dyU
 dx    dx  dx

 dyL    dyc  dh( x )
 dx
dx
dx
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ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
Estimation du coefficient de traînée :
D
CD 

q1c
4
1
M 2  1 c
soit
CD 
 dyc   dh  
    dx
  
0
 dx   dx  


c
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2
M 2  1
c  dy
c
2
1


 dx , H 
0  dx 
c

2
4( 2  Yc  H )
avec
1
Yc 
c
2
ECLTS 2D / FORCES
AERODYNAMIQUES
c  dh 
2
  dx  dx
0
Ecoulements 2D
Calcul de force aérodynamiques
Calcul approché : théorie des profils minces
En résumé :
CL 
4
M 2
1
CD 
4( 2  Yc  H )
M 2  1
En supersonique :
• seule contribution au coefficient de portance : mise en incidence
• contribution à la traînée : incidence, cambrure et épaisseur
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