Transcript D2301

Diélectriques
Courants de conduction
par
Yvan SEGUI
Directeur de Recherches au Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)
Laboratoire de Génie électrique ESA 5003. Université Paul Sabatier
1.
1.1
1.2
Généralités.................................................................................................
Conduction et structure des matériaux .....................................................
1.1.1 Rappel sur la théorie des bandes ......................................................
1.1.2 Métaux-Semi-conducteurs-Isolants ..................................................
1.1.3 Isolants réels .......................................................................................
Courants de conduction, de diffusion, de déplacement
et de polarisation .........................................................................................
D 2 301 - 2
—
2
—
2
—
2
—
3
—
4
2.
Conduction dans les gaz........................................................................
—
4
3.
Conduction ionique .................................................................................
—
5
4.
4.1
Conduction électronique .......................................................................
Mécanismes contrôlés par l’interface ........................................................
4.1.1 Généralités ..........................................................................................
4.1.2 Effet thermoélectronique (ou effet Schottky) ...................................
4.1.3 Effet Fowler-Nordheim .......................................................................
Mécanismes contrôlés par le volume du diélectrique..............................
4.2.1 Courants limités par charge d’espace...............................................
4.2.2 Effet Poole-Frenkel..............................................................................
4.2.3 Conduction par saut (hopping)..........................................................
4.2.4 Courants résultant de l’orientation dipolaire ...................................
4.2.5 Cas des courants non réversibles .....................................................
4.2.6 Polarisation interfaciale......................................................................
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
—
5
6
6
6
7
7
7
8
9
9
11
12
Références bibliographiques .........................................................................
—
12
4.2
ans cet article, on s’intéresse aux mouvements de charges sur des distances
beaucoup plus importantes que quelques distances interatomiques. Les
courants que l’on va mesurer sont même dus, pour une large part, à des porteurs qui, injectés à partir d’une des électrodes, vont traverser l’épaisseur du
matériau. Gardons tout de même en mémoire le fait qu’un mouvement localisé
de porteur donnera lieu à un courant mesurable dans le circuit extérieur, même
si le porteur ne sort pas du diélectrique.
Mesurer la conduction dans un diélectrique peut, à priori, apparaître comme
paradoxal ou inutile, puisque sa fonction principale est, en général, d’assurer
une isolation. Toutefois, ce que l’on appelle communément des isolants sont des
matériaux dont la résistivité varie de quelques 108 Ω · cm jusqu’à 1018 Ω · cm ou
plus. Cette variation de plus de 10 décades suggère fortement que plusieurs phénomènes ou mécanismes de conduction peuvent générer des courants.
En outre, d’un point de vue des composants et des systèmes, deux aspects
sont extrêmement importants :
— le cas de l’utilisation des matériaux à très faibles pertes (par exemple, les
condensateurs) ;
D
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 1
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
— le cas où l’évolution des très faibles courants de conduction est le signe
avant-coureur d’une dégradation des propriétés du matériau d’isolation qui va,
à terme, mettre fin à la vie du dispositif.
Il est donc utile, voire indispensable dans certains cas, de pouvoir mesurer,
analyser et comprendre l’origine des courants de conduction qui apparaissent
dans les isolants lorsqu’ils sont soumis intentionnellement ou non à un champ
électrique. Cette nécessité est renforcée par le fait que l’évolution actuelle du
matériel en construction électrique tend vers des puissances massiques et des
températures de fonctionnement plus élevées. Cette évolution conduit à un
accroissement des contraintes, notamment électriques, sur les isolants et ne
permet plus la solution de facilité qui consistait à augmenter l’épaisseur d’isolation, mais nous oblige à une utilisation plus proche des limites de tenue des
matériaux diélectriques.
Nota : le lecteur se reportera utilement à l’article [D 2 300] Diélectriques. Bases théoriques [10].
1. Généralités
Énergie E
1.1 Conduction et structure
des matériaux
Énergie E
Bande de conduction
Bande interdite
1.1.1 Rappel sur la théorie des bandes
Bande de valence
Les théories de la conduction consistent à décrire les phénomènes d’injection et de mouvements de porteurs sous l’action d’un
champ électrique. Outre ce champ extérieur, les porteurs sont, dans
la matière, en interaction avec les atomes et les molécules ; l’outil
qui nous permet de décrire ces interactions dans la matière organisée est connue sous le nom de théorie des bandes.
Cette théorie est parfaitement établie pour les solides monocristallins (voir, par exemple [1]). Rappelons-en ici les résultats principaux qui nous seront utiles pour décrire les mécanismes de
conduction. Cette description s’adresse aux porteurs de type électron ou trou (défaut d’électrons) ; le cas des ions échappe à ce type
d’analyse et sera envisagée au paragraphe 3.
a
Dans les bandes autorisées, le nombre de places varie en fonction
de l’énergie comme une fonction N (E ) (figure 1 b ), mais reste, de
toute façon, suffisamment élevé pour que l’on puisse l’assimiler à
un continuum. Aucun porteur ne peut exister avec une énergie correspondant à la bande interdite.
Le nombre d’électrons n (E ) susceptibles de participer à la conduction est déterminé par le produit de la fonction N (E ) [nombre de places disponibles] par une fonction f (E ), qui exprime la probabilité
que ces places soient occupées. Cette fonction f (E ) est appelée fonction de Fermi et s’écrit :
k
D 2 301 − 2
b
densité d'état
EF
est une valeur particulière de E appelé niveau de Fermi,
dont la valeur est liée à la nature du matériau étudié.
L’allure de la fonction f (E ) est donnée sur la figure 2 b).
A T = 0K, f (E ) prend la valeur :
1 pour E < EF
et
0 pour E > EF
L’augmentation de T tend à « adoucir » la marche d’escalier, mais
on reste quand même assez proche d’une transition abrupte.
En pratique, cela signifie que le niveau de Fermi sépare le
domaine d’énergie où les places occupables seront occupées de
celui où les places occupables seront vides.
1.1.2 Métaux-Semi-conducteurs-Isolants
(1)
■ Si la valeur du niveau de Fermi EF est située dans le domaine
d’une bande d’énergie autorisée, la répartition en énergie de la densité électronique n (E ) est donné par la figure 2 c qui est le résultat
des produits des fonctions représentées sur les figures 2 a et 2 b.
constante de Boltzmann et T température
thermodynamique,
On voit que n’importe quel petit accroissement d’énergie fourni
aux porteurs (par exemple à partir d’un champ électrique) peut être
accepté, puisque, dans la zone où se trouvent les porteurs d’énergie
1
f ( E ) = ---------------------------------------------------------1 + exp [ ( E Ð E F ) ⁄ kT ]
avec
diagramme de bandes
Figure 1 – Diagramme d’énergie des porteurs dans un matériau
isolant
La répartition en énergie des porteurs dans un matériau détermine largement les propriétés de conduction.
La mécanique quantique nous apprend que, dans un solide cristallin, les porteurs ne peuvent pas acquérir n’importe quelle énergie.
Il existe des bandes d’énergie permises (de valence et de conduction, § 1.1.2) et des bandes d’énergies interdites (figure 1 a ).
N (E)
Distance
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
_______________________________________________________________________________________________________________________ DIÉLECTRIQUES
Énergie E
Énergie E
On voit que, si ces conditions sont réunies pour les métaux, elles
ne le sont que très faiblement pour les semiconducteurs et pratiquement pas pour les isolants.
Énergie E
En effet, des porteurs existent bien dans la bande de valence
mais, comme toutes les cases disponibles sont presque totalement
remplies, ils ne pourront pas bouger.
f (E) à T = 0 K
EF
N (E )
a
densité d'état
Dans la bande de conduction, il existe, par contre, très peu de porteurs car f ( E ) ≈ 0 .
0
b
0,5
1 f (E )
fonction de Fermi
n (E )
c
densité des porteurs
Le produit de la densité d'état par la fonction de Fermi donne la densité
de porteurs en fonction de l'énergie
Énergie E
Ec
■ De nombreux travaux (par exemple, [2], [3]) se sont attachés à
montrer les effets du désordre structural sur les résultats de la théorie de bandes. Sans entrer dans les détails qui dépassent largement
le cadre de cet article, il ressort que, moyennant quelques modifications, les conclusions essentielles de la théorie des bandes restent
acceptables pourvu que l’ordre à courte distance soit conservé. Cela
est le cas des solides et des liquides. Si l’on veut s’en convaincre, il
suffit de mesurer la conductivité d’un isolant ou d’un semicristallin
à l’état solide, puis à l’état fondu. On n’observe pratiquement pas de
discontinuité lors du passage à l’état liquide.
Énergie E
Ec
Ef
Ev
Ev
N (E )
a
densité d'état
0
b
1 f (E )
fonction de Fermi
n (E )
c
1.1.3 Isolants réels
Les éléments théoriques développés dans les paragraphes 1.1.1 et
1.1.2 supposent un réseau d’atomes périodique et infini. Ce n’est évidemment pas le cas des isolants réels qu’ils soient solides, liquides
ou gazeux.
Figure 2 – Métal : densité d’état, fonction de Fermi et densité
de porteurs en fonction de l’énergie
Énergie E
De par la forme de la fonction de Fermi f (E ), cet effet sera d’autant
plus marqué que Ec et Ev seront éloignés de EF, autrement dit que la
bande interdite sera large.
densité
de porteurs
Figure 3 – Semi-conducteur ou isolant : densité d’état, fonction
de Fermi et densité de porteurs en fonction de l’énergie
les plus élevés, on se trouve dans un continuum d’état et que les
états immédiatement supérieurs aux états occupés d’énergie les
plus élevés sont inoccupés. Cette situation est typiquement celle
des métaux.
■ Si la valeur de EF est située dans le domaine d’une bande d’énergie interdite, la répartition en énergie des électrons est donné sur la
figure 3.
On voit que, pratiquement, tous les états situés dans la bande
inférieure sont occupés par des électrons alors que tous les états
situés dans la bande supérieure sont vides. Ces deux bandes sont
bien entendu séparées par la bande interdite où il n’y a ni place pour
les électrons, ni, par conséquent, d’électrons.
On appelle généralement Ec et Ev les bornes supérieure et inférieure de la bande interdite. Un porteur sera situé dans la bande de
conduction si son énergie est supérieure à Ec et dans la bande de
valence si son énergie est inférieure à E v . Cette situation est celle
des semiconducteurs et des isolants.
La seule différence entre ces deux types de matériaux réside dans
la largeur de la bande interdite Ec-Ev ; elle est de l’ordre de 1 eV pour
les semiconducteurs et peut atteindre 6 à 8 eV pour les isolants.
Physiquement, cela peut aussi s’admettre en observant que les
longueurs et angles des liaisons entre atomes ne peuvent pas beaucoup changer sans se rompre c’est-à-dire sans destruction du matériau (quelques pour-cent pour les longueurs et quelques degrés
pour les angles).
Les ajustements aux résultats de la théorie des bandes, qu’il faut
introduire pour expliquer le comportement des matériaux non cristallins, sont les suivants.
Les frontières entre la bande de valence, la bande interdite et la
bande de conduction ne sont plus parfaitement définies à un niveau
donné et on peut trouver une certaine densité d’états occupables
dans ce qui était précédemment la bande interdite. Ces états, qui
sont occupés ou vide selon leur position par rapport au niveau de
Fermi, sont dits « localisés », car ils sont énergétiquement distincts
de leurs plus proches voisins.
Par conséquent, la mobilité des porteurs occupant éventuellement ces états sera de plus en plus faible au fur et à mesure que l’on
se rapproche du milieu de la bande de conduction.
Les diagrammes de la densité de porteurs et de leur mobilité peuvent alors se représenter par les figures 4 a et 4 b.
Énergie E
Ec
Ev
■ Pour que des porteurs puissent se déplacer sous l’action du
champ électrique, il faut réunir deux conditions :
— il faut que de tels porteurs existent ;
— il faut que, à distance énergétique proche, il y ait des places
disponibles.
Énergie E
N (E )
a
densité d'état
b
mobilité
Figure 4 – Matériau non cristallin : densité d’état et mobilité
électronique
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 3
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
■ Pour les gaz, même l’ordre à courte distance est inexistant ;
l’approche est fondamentalement différente. Nous l’aborderons
brièvement au paragraphe 2. Pour une analyse plus détaillée concernant les gaz le lecteur se reportera aux références [11] et [12].
En fonction des valeurs de capacité et résistance équivalente du
circuit et de la source d’alimentation, la constante de temps de
décroissance de la densité JD du courant de déplacement varie. Elle
est, dans la plupart des cas, assez courte (typiquement inférieure à
1 s). Toutefois, lors de mesures des courants aux temps courts, elle
peut être largement prédominante tout en étant sans aucune relation avec un déplacement physique d’un porteur de charge à l’intérieur du matériau.
1.2 Courants de conduction, de diffusion,
de déplacement et de polarisation
2. Conduction dans les gaz
Nous étudierons, dans la suite de cet article, le mouvement de
porteurs entrant au niveau de l’une des électrodes et, éventuellement, sortant par l’autre. Il existe cependant deux autres sources de
courant qu’un mesureur de courant placé en série avec l’échantillon
est incapable de discerner des premières ; ce sont les courants de
déplacement et les courants de polarisation.
Le comportement des gaz, utilisés en tant qu’isolants, est détaillé
dans l’article Gaz isolants [13]. On ne donne ici qu’un bref aperçu, en
signalant que leur comportement est tout à fait différent de celui des
liquides et des solides diélectriques à cause de la faible densité de
matière et des libres parcours moyens des espèces qui y sont beaucoup plus importants.
La conduction dans les liquides et les solides diélectriques peut
être analysée à partir de cette description du matériau. Nous l’aborderons dans les paragraphes 3 et 4.
L’expression générale de la densité de courant, mesurée dans le
circuit extérieur, due à l’application d’une différence de potentiel
entre les deux faces d’un diélectrique s’écrit :
∂n (x,t ) ∂D (x,t )
j ( t ) = q n ( x , t ) µ ( E , t ) E ( x , t ) Ð q D n ---------------------- + ---------------------∂x
∂t
(2)
Par souci de simplicité, on a ici restreint le problème au cas unidimensionnel et on a considéré un seul type de porteurs. Dans cette
expression, on a :
q
n (x , t )
µ ( E ,t )
E (x , t )
Dn
charge élémentaire (= 1,602 · 10−19 C) ;
densité de porteurs à l’abscisse x à l’instant t ;
mobilité des porteurs ;
champ local à l’abscisse x, à l’instant t, résultant de
l’application de la différence de potentiel aux bornes du
diélectrique ;
constante de diffusion des porteurs, liée à leur mobilité
par la relation d’Einstein ;
D (x,t ) vecteur induction électrique.
Pour un diélectrique qui présente une polarisation P, l’induction D
est donnée par la relation :
D (x , t ) = ε 0 E ( x ,t ) + P (x ,t )
(3)
εo étant la permittivité du vide.
L’expression de la densité de courant peut alors s’écrire :
∂E ∂P
j ( t ) = j ( x , t ) + ε 0 ------- + ------∂t ∂t
(4)
■ Le comportement d’un gaz sous champ électrique est généralement représenté par la caractéristique tension-courant. Elle a,
en champ homogène, l’allure représentée sur la figure 5.
● De l’origine de cette courbe jusqu’au point A, nous avons des
régimes dits non autoentretenus pour lesquels le courant, en général très faible, dépend de l’apport d’une source extérieure de rayonnements ionisants.
● À partir du point B, le champ appliqué conduit à une ionisation
du gaz suffisante pour que l’on puisse considérer que le gaz devient
conducteur de l’électricité. Dans une analyse plus fine on distingue
plusieurs régimes de décharge :
— entre B et C : décharge sombre ;
— entre C et F : décharges luminescentes subnormale (C à D),
normale (D à E) et anormale (E à F) ;
— au-delà de F, on assiste à une transition vers un arc électrique
pouvant véhiculer des courants très intenses.
■ Du point de vue des qualités d’isolation, c’est évidemment la
position du point B qui est importante. Elle dépend de la nature du
gaz, mais aussi de sa pression et de l’épaisseur de la lame de gaz
aux bornes de laquelle est appliqué la tension.
Les courbes qui donnent la valeur de la tension au point B en
fonction du produit pd de la pression par la distance interélectrodes
sont connues sous le nom de courbes de Paschen. Ces courbes
ont été tracées pour tous les gaz usuels (on peut consulter [4] et [5]).
À titre d’exemple, la figure 6 représente quelques courbes pour
des gaz simples.
j (x,t ) étant la densité de courant local à l’abscisse x et à l’instant t :
∂n (x,t )
j ( x , t ) = qn ( x , t ) µ ( E , t ) E ( x , t ) Ð qD n ---------------------∂ tx
(5)
Tension
Ce courant est composé :
— d’un courant dû au mouvement de charges sous l’action du
champ (courant de conduction) ;
— d’un courant dû au mouvement de charges sous l’action de
leur gradient de concentration (courant de diffusion).
● ε0 ∂E/∂t et ∂P/∂t sont respectivement les courants de déplacement et les courants de polarisation. Les deux sont des courants
transitoires qui décroissent jusqu’à s’annuler avec le temps.
Nous discuterons des courants de polarisation au paragraphe
4.2.4, quand nous envisagerons les conséquences en termes de
courant de l’orientation dipolaire.
Le courant de déplacement ε0 ∂E/∂t est lié à la variation de champ
électrique. C’est, par exemple, le courant transitoire recueilli aux
bornes d’un condensateur à air soumis à un échelon de tension.
D 2 301 − 4
F
B
C
D
E
A
Courant
Figure 5 – Caractéristique tension − courant d’un gaz
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
_______________________________________________________________________________________________________________________ DIÉLECTRIQUES
Énergie
V (V)
Air
2
104
8
6
4
2
H2
8
6
4
Ne
He
φd
A
ld
N2
li
Ar
2
Distance
102
10 –1
φi
φ
103
2
4
6 8
1
2
4
6 8
10
2
4
6 8
10 2
2
4
6 8
pd (cm . Torr)
10 3
Le Torr, bien qu'unité non légale, est l'unité usuelle pour ces mesures;
en fonction de l'unité normalisée, on a :
1 Torr = 133,3224 Pa.
Figure 6 – Courbes de Paschen pour quelques gaz simples
L’allure générale est semblable pour tous les gaz et indique qu’il
existe une valeur du produit pd qui rend l’amorçage de la décharge
plus facile. Pour un maximum de tenue à la tension, il faut donc
s’éloigner de cette zone.
Figure 7 – Position d’un ion dans une série de puits de potentiel
soumis à un champ électrique extérieur
■ Les courants direct Id et inverse Ii sont respectivement propor( φ Ð q ,d E )
( φ + q ,i E )
tionnels à exp Ð ---------------------------- et exp Ð --------------------------- . Le courant total
kT
kT
est la somme algébrique des deux.
En faisant l’hypothèse de sites uniformément distribués on peut
considérer :
,d = ,i = ,
La densité du courant total s’exprime alors par :
q,E
J = J 0 sh  ----------- 
kT
3. Conduction ionique
●
Des ions, en plus ou moins grandes quantités, existent dans tous
les matériaux diélectriques. Ils proviennent d’impuretés, dépendant
des procédés de fabrication, des processus d’ionisation liés, par
exemple, à l’absorption de rayonnement, des processus de dégradation du matériau ou, encore, de l’absorption de contamination,
comme des molécules d’eau qui peuvent, en se dissociant, former
des ions OH−.
Le transport des ions se différencie de celui des électrons par
deux facteurs principaux :
— la taille des espèces transportées est incomparablement plus
importante et les simples effets stériques peuvent, à eux seuls,
expliquer que les mobilités ioniques sont inférieures, de plusieurs
ordres de grandeurs, aux mobilités électroniques ;
— le transport d’ions résulte en un transport de matière.
Cas des champs faibles
Si q, E << kT alors :
q,E
J = J 0 ----------kT
Le courant est alors proportionnel au champ électrique et on
obtient un comportement ohmique.
● Cas des champs forts
On a typiquement des valeurs de champ de l’ordre de 107 V/m.
On peut alors négliger le courant inverse par rapport au courant
direct. Le courant s’écrit dans ce cas :
(φ Ð q,E)
J = J 0 exp Ð ------------------------kT
■ Le mécanisme de transport est, en fait, une série de sauts audessus des barrières de potentiel, qui permet aux ions de se mouvoir d’un site à un autre. Ces barrières de potentiel sont créées par
la structure locale du matériau et sont modifiées par le champ électrique extérieur appliqué. La figure 7 décrit cette situation.
Dans un diagramme ln J = f (E ), on doit donc obtenir une droite
dont la pente q , ⁄ kT permet de calculer la distance moyenne des
sauts.
Si φ est la profondeur du puits de potentiel que voit un ion situé en
A en l’absence de champ appliqué, la hauteur de barrière qu’il aura
à franchir lorsqu’on applique un champ E est :
— dans le sens direct :
4. Conduction électronique
φd = φ Ð q ,d E
— dans le sens inverse :
φi = φ + q ,i E
Imaginons les phénomènes de conduction comme un flux de porteurs entrant dans le diélectrique, puis étant transporté au sein de
celui-ci pour, enfin, ressortir par l’autre face. Il est clair que le flux
maximal pour un champ donné sera contrôlé par celle des trois étapes autorisant le flux le plus faible. Donc ce flux de porteurs sera soit
contrôlé par des phénomènes d’interface électrode-diélectrique,
soit par des phénomènes de volume au sein du diélectrique.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 5
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
Ec
φ0
lnJ
1
βs
kT
φ
3
EF
2
Métal
Diélectrique
ln AT 2 –
Ev
φo
kT
Distance
Figure 8 – Diagramme de bande à l’interface électrode métalliquediélectrique
E 1/2 (V1/2 .m1/2)
On remarquera les valeurs théoriques de la pente
et de l'ordonnée à l'origine
4.1 Mécanismes contrôlés par l’interface
Figure 9 – Variation dans un diagramme semi-logarithmique,
de la densité de courant en fonction du champ électrique pour
un mécanisme d’injection de type Schottky
4.1.1 Généralités
La figure 8 représente le schéma de bande à l’interface électrode
métallique-diélectrique.
EF est le niveau de Fermi du métal d’électrode, et ne dépend que
de la nature de ce métal. Ev et Ec sont respectivement les énergies
correspondant au niveau supérieur de la bande de valence du diélectrique et au niveau inférieur de la bande de conduction.
Dans le métal, on trouve des électrons disponibles jusqu’au
niveau de Fermi et pratiquement aucun au-dessus. Un électron situé
au niveau EF à la cathode (métal de gauche sur la figure 8) a trois
possibilités pour pénétrer dans le diélectrique où il doit arriver jusque dans la bande de conduction pour pouvoir participer au
transport :
— voie 1 : passage par dessus la barrière ; elle est appelée effet
thermoélectronique (ou plus communément effet Schottky) ;
— voie 2 : passage au travers de la barrière à énergie constante ;
— voie 3 : passage au travers de la barrière après un gain d’énergie (énergie thermique kT par exemple).
Les voies 2 et 3 sont appelées effet Fowler-Nordheim et sont traitées comme l’effet tunnel à travers une barrière d’énergie triangulaire.
4.1.2 Effet thermoélectronique (ou effet Schottky)
Il s’agit du trajet 1 sur la figure 8.
■ La hauteur de barrière φ que doit franchir un porteur issu de
l’électrode métallique est déterminée par trois facteurs :
— la hauteur de barrière, en l’absence de champ appliqué :
φ 0 = Ec − EF
où Ec est le niveau de la bande de conduction de l’isolant et EF le
niveau de Fermi du métal ;
— le champ électrique extérieur, appliqué au système ; il est supposé uniforme dans l’isolant et donc égal à V/L où V est la différence
de potentiel appliqué entre les deux électrodes et L l’épaisseur de
l’isolant ;
— l’énergie liée à la force image ; cette force est due au champ
électrostatique créé par l’électron qui s’éloigne du métal et par la
charge de signe opposé induite par l’électron à la surface de ce
D 2 301 − 6
métal. Cet effet est bien décrit dans les livres d’électrostatique
classique ; par exemple on peut consulter la référence [6].
Le calcul détaillé [7] montre que la hauteur de barrière est donnée
par :
φ = φ0 − βSE 1/2
La constante de Schottky βS est donnée par :
βS = (q3/4εr ε0)1/2
εr étant la permittivité relative du diélectrique.
■ La densité de courant (quantité de charge par unité de temps et
de surface d’électrode) est alors donnée par :
( φ0 Ð βS E 1 ⁄ 2 )
(φ)
J = AT 2 exp Ð ------- = AT 2 exp Ð ----------------------------------kT
kT
(6)
où A, constante de Richardson-Schottky, est donnée par :
A = 4πmk2/h3 = 120 A/cm2
avec
m
masse de l’électron,
h
constante de Planck.
■ Pour reconnaître si un courant est contrôlé par ce type de
mécanisme, il suffit d’exploiter la relation (6). On peut l’écrire :
φ
βS E 1 ⁄ 2
ln J = ln ( AT 2 ) Ð ------0- + -----------------kT
kT
(7)
Un graphe liant lnJ à E1/2 doit être une droite (figure 9). On peut
calculer la pente théorique de cette droite, βS /kT, et la comparer à la
pente expérimentale. L’ordonnée à l’origine de cette droite vaut
φ
ln AT 2 Ð ------0- et sa valeur expérimentale permet de calculer φ0 .
kT
Par ailleurs, si l’on a possibilité d’étudier des échantillons dont on
peut changer la nature des électrodes, on peut avoir une action
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
_______________________________________________________________________________________________________________________ DIÉLECTRIQUES
directe et quantifiable sur EF (qui ne dépend que de la nature du
métal) et donc sur
φ 0 = E c − EF
4.2.1.2 Équations fondamentales
Dans le cas simple où l’on suppose un seul type de porteurs (ici,
des électrons) et un système undimensionnel, les phénomènes de
transport sont décrits par quatre équations :
Intervenant dans l’exponentielle, un changement de nature du
métal d’électrode peut entraîner une variation supérieure à une
décade de la densité de courant traversant l’échantillon.
∂n (x,t )
j ( x , t ) = qn ( x , t ) µE ( x , t ) Ð D n ---------------------∂x
(9)
∂E (x,t )
qn ( x , t )
---------------------- = ---------------------εr ε0
∂x
(10)
∂n (x,t )
∂j (x,t )
-------------------- = q ---------------------∂t
∂x
(11)
∫E x t
(12)
4.1.3 Effet Fowler-Nordheim
Il s’agit des trajets 2 et 3 sur la figure 8.
■ En première approximation, la densité de courant qui régit ce
type de mécanisme [8] est donnée par :
j = AE2 exp (− B/E )
avec
(8)
q3
A = ----------------- ,
8π hφ 0
B = 4 ( 2 m ) 1 / 2 φ 03 / 2
■ Il est aisé de reconnaître si un courant est contrôlé par ce
type de mécanisme. En effet, c’est le seul mécanisme ayant une
dépendance en exp(− 1/E ) ; donc un graphe :
ln ( j/E2) = f (1/E )
doit être une droite.
C’est, également, le seul mécanisme sur lequel la température a
un effet négligeable. Tous les autres sont activés thermiquement
selon des lois du type exp(− W/kT), où W est une énergie d’activation caractéristique du processus physique envisagé.
V =
( , ) dx
La relation (9) exprime que le courant local est, à tout instant, la
somme d’un courant de transport sous l’action du champ local et
d’un courant de diffusion lié à un gradient de concentration de
charge.
Dans le calcul, on néglige très souvent le courant de diffusion, car
les valeurs des coefficients de diffusion Dn pour les diélectriques
sont très faibles. Cette approximation est, en général, légitime, sauf
aux endroits où le gradient de concentration dn/dx est très important, notamment près des électrodes.
La relation (10) est la traditionnelle équation de Poisson ; elle
exprime que le champ électrique local est lié à la distribution de
charge dans le volume entier du diélectrique.
La relation (11) est l’équation de continuité ; elle exprime qu’une
variation dans l’espace du courant (donc du flux de charge par unité
de temps) doit s’accompagner d’une variation de la densité de
charge locale dans le temps.
La relation (12) est l’expression bien connue selon laquelle le
champ dérive du potentiel.
4.2.1.3 Expression des lois courant-tension
4.2 Mécanismes contrôlés par le volume
du diélectrique
Une solution exhaustive de ce système d’équations différentielles
couplées et non linéaires est extrêmement lourde. On privilégie une
approche simplifiée pouvant aboutir à des expressions analytiques
liant le courant à la tension appliquée.
4.2.1 Courants limités par charge d’espace
■ On peut d’abord considérer le régime stationnaire pour lequel
[∂/∂t = 0] dans les équations.
Un traitement exhaustif de ce problème est donné dans la référence bibliographique [9].
En négligeant le courant de diffusion, en supposant µ = Cte et
qu’il n’existe ni porteurs intrinsèques, ni pièges dans le diélectrique,
on arrive à la relation :
9
V2
J = --- ε r ε 0 µ -----8
L3
4.2.1.1 Concept
Dans les mécanismes de transport que nous verrons dans la suite
de ce paragraphe 4.2, on considérera des phénomènes physiques
locaux dans lesquels le mouvement des charges est indépendant de
la situation existant dans l’environnement du site considéré. Les
mécanismes limités par charge d’espace considèrent, au contraire,
qu’un porteur se déplace sous l’effet du champ électrique selon une
loi très simple de type :
avec
L
épaisseur du diélectrique,
V
tension appliquée.
(13)
■ Si l’on suppose maintenant qu’il existe, dans le matériau, des
sites susceptibles de piéger une partie des porteurs, l’équation (13)
devient :
v = µE
9
V2
J = --- ε r ε 0 θµ -----8
L3
(14)
où v est la vitesse du porteur et µ sa mobilité souvent considérée
comme constante.
où
La valeur E du champ est imposée non seulement par le champ
appliqué, mais aussi par le champ induit par les charges déjà injectées dans le matériau et participant au transport. Il s’agit donc d’une
description de nature « mouvement collectif » et qui sera donc naturellement représentée par un système d’équations couplées.
■ La caractéristique générale courant-tension pour un tel processus est représentée sur la figure 10.
θ = η/n t
est la fraction de porteurs injectés libres par
rapport aux porteurs piégés ; plus θ est faible,
plus l’action des pièges est efficace et plus le
courant est faible.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 7
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
Courant
ln I
α =2
tM
α =2
Temps
Figure 11 – Caractéristique courant-temps pour un mécanisme
de conduction limité par charge d’espace en régime transitoire
α =1
plus possible et les lois de comportement sont déterminées par un
calcul numérique. Ces lois prennent des formes différentes selon les
distributions choisies. Le comportement général reste du type :
Vtr
VTFL
ln V
9
V,+1
J = --- ε r ε 0 µ ---------------8
L 2, + 1
Figure 10 – Caractéristique courant-tension pour un mécanisme
de conduction limité par charge d’espace en régime permanent
où , est un nombre variant entre 0 et 3 et dont la valeur dépend de
la distribution des pièges en énergie.
Lorsque la tension V est inférieure à une tension de transition
Vtr (V < Vtr ), la densité de porteurs injectés est négligeable devant la
densité de porteurs intrinsèques n0 ; le comportement est ohmique :
●
j = qn0µE
Cette situation se poursuit jusqu’à ce que les porteurs piégés remplissent tous les pièges. La valeur de la tension V appliquée vaut
alors VTFL (TFL est issu de l’appellation anglo-saxone « Trap Filled
Limit »).
● Pour V > VTFL , tous les pièges ont capté un porteur et ne sont
donc plus actifs pour de nouveaux piégeages ; la caractéristique
rejoint la caractéristique d’un diélectrique sans piège donné par
l’équation (13).
Les valeurs de Vtr et VTFL peuvent être déterminées à partir de
(13), (14) et (15) :
9
L3
= --- qn 0 -------------θε r ε 0
8
Vtr donne accès à la densité de porteurs intrinsèques n 0 ;
L2
V TFL = qN t ---------εr ε0
VTFL donne accès à la densité de pièges Nt .
Par ailleurs, l’exploitation des parties linéaires donne accès à la
mobilité des porteurs.
● L’équation (14) suppose que la tension V appliquée au diélectrique permet de remplir des pièges situés à un niveau d’énergie bien
défini, situé dans la bande interdite de l’isolant (cf. § 1.1.3). La réalité
est souvent plus complexe, les pièges pouvant être situés à des
niveaux énergétiques différents, on parle alors de distribution en
énergie des pièges. Dans ce cas, le calcul analytique précédent n’est
D 2 301 − 8
Dans un diagramme bilogarithmique, la caractéristique est toujours une droite, mais la valeur de la pente au lieu d’être 2, comme
dans le cas précédent, peut prendre des valeurs supérieures (typiquement entre 2 et 4).
(15)
et l’on obtient une droite de pente α = 1 dans un diagramme courant-tension en coordonnées bilogarithmique.
● Lorsque V est supérieur à Vtr , ce sont les porteurs injectés, dont
une partie est piégée, qui constituent l’espèce dominante. Le transport est contrôlé par une loi donnée par l’équation (14) et donc de
pente α = 2 dans un diagramme bilogarithmique.
V tr
(16)
4.2.1.4 Caractéristique particulière des courants limités
par charges d’espace
Les équations (9) à (12) montrent que ce mécanisme donne lieu à
un transitoire de courant lorsqu’une tension constante est appliquée
au matériau.
Une expression analytique explicitant j (t ) est impossible à établir.
Une courbe typique, établie à partir d’une solution numérique, est
représentée sur la figure 11.
On remarque que le régime transitoire montre une croissance
puis une décroissance du courant jusqu’à l’obtention d’un régime
stationnaire.
La valeur de t M est caractéristique du temps mis par les premiers
porteurs injectés pour atteindre la contre-électrode. En supposant
une loi de transport (par exemple v = µE ), t M permet donc d’avoir
accès à la mobilité.
La partie montante de cette courbe est rarement observable
car, au temps courts, d’autres mécanismes, tels que la relaxation dipolaire ou les courants de déplacement, qui donnent des
courants fortement décroissants dans le temps peuvent masquer le phénomène. La valeur de t M est alors seulement repérée
par la présence d’une anomalie dans la décroissance du courant.
4.2.2 Effet Poole-Frenkel
La figure 12 représente la situation énergétique dans l’environnement d’un piège coulombien à l’intérieur du matériau lorsqu’on
applique un champ extérieur. Il existe une forte analogie entre cette
situation et celle décrite au paragraphe 4.1.2 pour l’effet Schottky. Le
potentiel en 1/r est, ici, dû à un piège, alors qu’il était dû au vide
laissé dans le métal par le départ de l’électron pour l’effet Schottky.
Le porteur venant de la bande de conduction en amont du site et
entraîné par le champ est piégé dans un site à une profondeur φ0 .
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
_______________________________________________________________________________________________________________________ DIÉLECTRIQUES
Énergie
EF
φ0
site vide
φ
site occupé
Figure 13 – Sauts de site à site dans un mécanisme de Hopping
Figure 12 – Diagramme de bande dans le cas de l’effet Poole-Frenkel
Physiquement, un tel site peut être une liaison pendante ou un
défaut dans un réseau. Pour continuer à contribuer au courant, le
porteur doit alors s’extraire du piège en franchissant une hauteur de
barrière. C’est l’énergie thermique kT qui permet ce saut.
■ La probabilité de saut par dessus une barrière de hauteur φ
s’écrit :
φ
P = P 0 exp  Ð ------- 
kT
Par conséquent, l’expression du courant est :
( φ0 Ð ∆ φ )
J = J 0 exp Ð ----------------------kT
(17)
Le calcul montre que l’abaissement de barrière ∆φ s’exprime par :
∆φ = βPFE1/2
où β PF
q3
=  ----------
 ε r ε 0
1/2
(18)
Lorsque les sites sont spatialement et/ou énergétiquement proches, il y a un recouvrement non négligeable des fonctions d’onde
et donc une probabilité de passage d’un site à l’autre.
Plus on se rapproche du niveau de Fermi, plus la probabilité
d’occupation se rapproche de 1/2 et plus on a de chance de trouver
des sites donneurs (occupés) ou accepteurs (vides) proches les uns
des autres. On peut donc avoir un processus de migration de porteurs d’origine purement quantique qui se manifeste autour du
niveau de Fermi. Pour être mis en évidence, il ne faut pas que ce
processus soit masqué par un transport plus classique qui se produit par émission vers la bande de conduction. C’est pourquoi il a
été le plus souvent mis en évidence à basse température.
■ En optimisant les compromis entre distance énergétique et distance spatiale N. Mott a montré que la conductivité pouvait
s’écrire :
σ = σ0 exp [− (AT −1/4)]
(20)
où A est une constante dépendant de la densité et de la nature des
pièges.
est appelée constante de Poole-Frenkel.
L’expression de la densité de courant s’écrit finalement :
( φ 0 Ð β PF E 1 / 2 )
J = J 0 exp Ð -----------------------------------kT
À chaque site est associé une fonction d’onde, qui d’après la
mécanique quantique est liée à la probabilité de présence.
(19)
β PF
■ L’équation (19) s’écrit ln J = Cte Ð  ---------  E 1 / 2 .
 kT 
On reconnaît qu’un transport est contrôlé par un mécanisme
de type Poole-Frenkel si un diagramme portant le logarithme du
courant en fonction de la racine carrée du champ est une droite. De
plus, la pente de la droite a une valeur théorique égale à βPF/kT, aisément calculable si l’on connaît la valeur de la permittivité.
On remarque également qu’un diagramme ln J = f (1/T), tracé à un
φ0 Ð ∆ φ
champ donné, représente une droite dont la pente ------------------- donne
k
accès à la profondeur φ0 du piège.
4.2.3 Conduction par saut (hopping)
■ Ainsi que nous l’avons vu au paragraphe 1.1, les défauts de structures entraînent l’existence de sites énergétiques que des porteurs
peuvent occuper. D’autre part, le niveau de Fermi EF est une valeur
d’énergie qui, en première approximation, sépare les niveaux occupés des niveaux vides. La situation autour du niveau de Fermi à
l’intérieur du matériau peut être représenté comme sur la figure 13.
La loi très particulière en T −1/4 est très caractéristique de ce mécanisme de transport. Elle a été vérifiée à de nombreuses reprises,
presque toujours à basse température (typiquement à la température de l’azote liquide ou inférieure).
4.2.4 Courants résultant de l’orientation dipolaire
4.2.4.1 Description phénoménologique
Un dipôle qui s’oriente dans un champ électrique occasionne un
déplacement de charge. Comme tout déplacement local de charge,
cela induit un courant dans le circuit extérieur. Si l’on applique un
champ continu, les dipôles se déplacent puis atteignent un état
d’équilibre. Statiquement, on peut alors considérer que les charges
sont immobiles et que le courant cesse.
Lorsqu’on supprime la contrainte, l’agitation thermique tend à
redistribuer aléatoirement l’orientation des dipôles. Il s’ensuit alors
un courant, de polarité opposée au courant précédent, qui décroît
jusqu’à s’annuler lorsqu’on atteint la nouvelle répartition.
Une autre façon de considérer l’étape de dépolarisation est de
supposer que l’on maintient la contrainte initiale (mais sa contribution en courant sera nulle puisque l’état d’équilibre a été atteint) et
de lui superposer une contrainte d’amplitude égale et de polarité
opposée. Cette approche permet de comprendre que, au signe près,
les courants dus à la polarisation et à la dépolarisation sont superposables.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 9
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
Courant
ln I
Courant de polarisation
ic
Temps
1 2
Courant de dépolarisation
τM
La figure 14 donne un exemple d’enregistrement du courant au
cours du temps lorsqu’on applique puis lorsqu’on supprime la contrainte.
ic est le courant de conduction ou courant permanent. Son origine n’est pas l’orientation dipolaire et peut être l’un des mécanismes que l’on vient de décrire.
Pour un diélectrique réel, on trouve un ensemble de dipôles dont
les temps de relaxation sont distribués. La densité du courant
mesuré est donc une somme d’exponentielles :
Ðt
1
J ( t ) = C 0 V 0 ( ε S Ð ε ∞ ) ∑ ---- exp  ------- 
τi
i τi
La partie positive du courant transitoire est appelée courant de
polarisation ip .
Si l’on soustrait le courant de conduction ic à ip on obtient le courant d’absorption :
ia = ip − i c
La partie négative du courant transitoire est appelée courant de
dépolarisation. Comme elle tend vers zéro, ce courant de dépolarisation est confondu avec le courant de résorption.
4.2.4.3 Expression du courant
La transformée de Laplace inverse permet de passer du domaine
des fréquences au domaine temporel.
La permittivité s’écrit alors :
εr (t ) = ε∞ + (εs − ε∞) [1 − exp−t/τ ]
(21)
εs étant la permittivité relative correspondant au champ statique et
ε∞ celle correspondant aux champs à fréquence élevée.
On a :
Q ( t ) = C (t ) V = ε r ( t ) C 0 V 0
C0 = ε0S/d capacité géométrique (c’est-à-dire la valeur de la
capacité sans la contribution du diélectrique) de
l’échantillon, s, et d, étant respectivement sa
surface et son épaisseur,
tension appliquée au diélectrique.
Le temps de relaxation d’un dipôle s’exprime en général par :
τ = τ0 exp(∆E/kT)
avec
(24)
∆E
énergie
d’activation
l’environnement du dipôle,
τ0
facteur dépendant de la nature physique du
dipôle.
dépendant
de
4.2.4.4 Représentation graphique
Les valeurs expérimentales des courants d’absorption sont généralement portées dans un diagramme bilogarithmique car les plages de variation du courant et du temps peuvent être très larges. La
figure 15 donne un exemple de ce type de résultat. On a porté la
représentation d’un temps de relaxation unique (exponentielle
décroissante pure), puis les résultats donnés par diverses distributions. Plus la largeur de la distribution est importante, plus les branches asymptotiques de la courbe s’écartent.
Le changement de pente se produit pour la valeur de t correspondant au temps de relaxation le plus probable, soit τ M .
On peut donc traduire le résultat par deux segments de droites
d’équations :
I = At −n
et
I = Bt −m
−n et −m étant les pentes des deux segments de droite (n < 1 et
m > 1).
La densité de courant :
dQ (t )
j ( t ) = -----------------dt
Il n’est pas rare que la fenêtre de temps accessible à l’expérimentation ne permette pas de voir le changement de pente et le résultat
est donc traduit par la loi dite de Curie-Von Schweidler :
s’écrit :
C0 V0
Ðt
j ( t ) = ------------- ( ε S Ð ε ∞ ) exp ----τ
τ
(23)
La distribution des τ peut porter sur τ0 , sur ∆E ou sur les deux.
On a vu dans l’article [D 2 300] que la permittivité s’exprime en
fonction de la fréquence.
I = At−n
(22)
Donc une famille de dipôles, de même temps de relaxation,
donne une décroissance exponentielle du courant de constante de
temps τ.
D 2 301 − 10
ln t
Figure 15 – Transitoires de courant dans le cas d’un mécanisme
d’orientation dipolaire
4.2.4.2 Vocabulaire
V0
4
– la courbe 1 correspond à un temps de relaxation τ M unique
– les courbes 2, 3 et 4 correspondent à des distributions de temps
de relaxation centrées sur τ M et de plus en plus larges lorsque
l'on passe de la courbe 2 à la courbe 4
Figure 14 – Allure classique des courants transitoires lors
de l’application, puis du retrait, d’un champ électrique
avec
3
où seule une des deux branches est visible.
Les courants d’absorption et de résorption étant réversibles, le
même comportement est attendu (à la polarité du courant près)
pour les deux types de courant.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
_______________________________________________________________________________________________________________________ DIÉLECTRIQUES
Courant
Courant i (A)
10–9
–1
10–10
Temps
10–11
220 °C
200 °C
10–12
175 °C
10–13
1
10
102
103
150 °C
104
Figure 17 – Courants transitoires anormaux
Temps t
Figure 16 – Caractéristiques courant-temps sur des films
de polyimide en réponse à un échelon de champ électrique appliqué
à différentes températures
ρ (x )
4.2.4.5 Caractéristiques des courants d’absorption
et de résorption d’origines dipolaires
On a vu (§ 4.2.4.1) qu’ils étaient réversibles ; ils dépendent du
champ et de la température.
E (x )
Épaisseur du diélectrique ,
■ Effet du champ
Si l’on trace I(t ) pour diverses valeurs du champ, on obtient un
réseau de courbes identiques à celles de la figure 15. Si l’on se fixe
un temps et que, à partir de ce réseau, on trace les caractéristiques
courant-tension (courbes isochrones), on doit obtenir une linéarité,
car les mécanismes d’orientation dipolaires sont linéaires jusqu’à
des valeurs de champ proches de la rupture diélectrique.
■ Effet de la température
Les temps de relaxation obéissent généralement à une loi d’Arrhenius en exp(W/kT ), où W est une énergie d’activation caractéristique
du mouvement d’orientation des dipôles ; on obtient donc une
bonne linéarité entre courant et inverse de la température dans un
diagramme ln I = f (1/T ).
De plus, si l’on considère la courbe :
ln i = f (ln t )
une variation de température tend à déplacer cette courbe selon une
direction donnée par une droite de pente − 1 vers les temps longs
(respectivement temps courts) si la température diminue (respectivement, augmente).
Un exemple expérimental de cette translation est donné sur la
figure 16.
Figure 18 – Exemple de distribution interne de charges conduisant
à des courants de dépolarisation anormaux
sions grandes par rapport à la taille d’un dipôle (ce qui est le cas en
pratique).
Cette condition n’est pas satisfaite pour des courants limités par
charge d’espace (§ 4.2.1) puisqu’une des bases même de ce concept
est le calcul de E (x,t ). Elle n’est pas, non plus, satisfaite dans le cas
d’un transport d’impuretés ioniques interne au matériau.
Exemple : supposons que, par effet de charge d’espace ou de
transport d’ions, la situation à la fin de l’étape de polarisation soit telle
qu’un feuillet de charges positives soit accumulé à la cathode.
La figure 18 montre la distribution de charge σ et du champ électrique E qui en résulte lorsque, à la fin de la polarisation, l’échantillon est
mis en court-circuit pour être dépolarisé.
On remarque que la mise en court-circuit se traduit par :
,
∫Ex
( ) dx = V d Ð V 0 = 0
(25)
0
4.2.5 Cas des courants non réversibles
Les transitions d’origine purement dipolaires sont superposables.
Dans la pratique, il n’est pas rare de constater que ce n’est pas le cas
ou même d’enregistrer des comportements anormaux comme celui
schématisé sur la figure 17 où le courant de résorption change de
polarité au cours du temps.
On voit bien que cette condition de court-circuit impose que le
plan de champ nul soit situé dans la zone où se trouvent les charges
et donc, que, puisque les charges sont de même polarité, certaines
fassent mouvement dans un sens et les autres dans le sens opposé.
Cela nous amène à réfléchir sur les raisons de la réversibilité. Elle
est liée essentiellement à une distribution uniforme du champ, à
tout instant, dans un matériau homogène.
Le courant résultant mesuré dans le circuit extérieur dépend de la
forme précise de la distribution de charge. La polarité initiale du
courant de décharge dépend de la forme que prendra la distribution
de charge à la fin de l’étape de polarisation. En cours de dépolarisation, la forme de la distribution évolue et on peut donc assister à des
inversions de polarité du courant de décharge au cours du temps.
Cette condition est satisfaite, dans un solide qui possède une distribution uniforme de dipôles, dès lors qu’on considère des dimen-
En général, la non-réversibilité des courants d’absorption et de
résorption doit nous orienter vers la présence d’une charge
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique
D 2 301 − 11
DIÉLECTRIQUES ________________________________________________________________________________________________________________________
d’espace. Ce peut être le cas typique de matériaux liquides ou solides contenant des impuretés chargées susceptibles de s’accumuler
aux électrodes.
On peut relier la charge q(t ) accumulée à l’interface des deux diélectriques aux valeurs instantanées e1 (t ) et e2 (t ) des champs électriques par :
ε r2 ε 0 e 2 ( t ) Ð ε r1 ε 0 e 1 ( t ) = q 1,2 ( t )
4.2.6 Polarisation interfaciale
(28)
soit, en dérivant par rapport au temps :
Certains matériaux d’isolation sont des matériaux hétérogènes
constitués de diélectriques à caractéristiques différentes. Maxwell a
élaboré une théorie, améliorée plus tard par Wagner, puis Sillars,
puis, plus récemment, par d’autres auteurs comme Bruggemann,
pour expliquer le comportement de ces diélectriques aussi bien en
alternatif qu’en continu.
d e2 ( t )
d e 1 ( t ) d q 1,2 ( t )
ε r2 ε 0 ------------------ Ð ε r1 ε 0 ------------------ = ------------------------ = i c1 ( t ) Ð i c2 ( t )
dt
dt
dt
Le courant traversant chacun des diélectriques s’écrit :
Disposons deux plaques d’isolants d’épaisseur , 1 et , 2 (que l’on
supposera égales par souci de simplification) entre les armatures
d’un condensateur et appliquons à t = O un échelon de tension
d’amplitude V0 . Soit ε r1 et σ1 (resp. ε r2 et σ2) la permittivité relative
et la conductivité de l’isolant 1 (resp. isolant 2).
A t = 0, les inductions électriques D1 et D2 sont égales puisqu’il n’y
a pas de charges interfaciales, d’où :
ε 0 ε r1 E 1 = ε 0 ε r2 E 2
(26)
Les courants de conduction ic1 et ic2 sont différents dans les deux
couches et il apparaît donc une charge interfaciale q1,2 .
En régime stationnaire, il faut atteindre la condition ic1 = ic2 , soit :
E1 σ 1 = E2 σ 2
(27)
Il existe un régime transitoire pour passer de la situation décrite
par (26) à celle décrite par (27).
On peut remarquer que si on a :
σ 1 ε r2 = σ 2 ε r1
les relations (26) et (27) sont satisfaites simultanément et il n’y a
donc ni régime transitoire, ni accumulation de charges à l’interface.
Si tel n’est pas le cas, l’accumulation de charges à l’interface a
pour conséquence d’abaisser le champ appliqué au matériau de
plus forte conductivité et de l’augmenter pour celui de plus faible conductivité de telle sorte que (27) soit satisfaite.
(29)
d e1 ( t )
i 1 ( t ) = i c1 ( t ) + ε r1 ε 0 ------------------dt
(30)
d e2 ( t )
i 2 ( t ) = i c2 ( t ) + ε r2 ε 0 ------------------dt
(31)
Les équations (29) à (31) permettent de calculer les expressions
de e1 (t ), e2 (t ), i1 (t ) et i2 (t ). Dans le cas simple où les deux diélectriques ont la même épaisseur , , on aboutit à :
σ 2 V 0 V 0 ε r2
σ2
Ðt
- Ð -----------------e 1 ( t ) = ------------------- ------ + ------ ------------------ exp  ------- 
 τ 
σ1 + σ2 ,
, ε r1 + ε r2 σ 1 + σ 2
(32)
V0
σ1 ε2 Ð σ2 ε1
V0 σ1 σ2
Ðt
i 1 ( t ) = -------------------------- + ---------------------------  ------------------------------ exp  ------- 
 τ 
, ( σ 1 + σ 2 ) , ( σ 1 + σ 2 )  ε r2 + ε r1 
(33)
On voit bien, dans la relation (33), que le courant est composé
d’un courant de conduction ne dépendant pas du temps ; il est uniquement fonction des conductivités des deux diélectriques et d’un
courant transitoire de type exponentiel décroissant dont la constante de temps dépend des conductivités et des permittivités relatives.
Des expressions similaires à (32) et (33) peuvent être évidemment
établies pour e2 (t ) et i2(t ).
On remarque que, pour t = ∞ (régime stationnaire), on trouve :
V0 σ1 σ2
i 1 = i 2 = -------------------------1 ( σ1 + σ2 )
alors que e2 est différent de e1 pour satisfaire l’équation (27).
Références bibliographiques
[1]
BRUNET (H.) et TEYSSIER (J.L.). – Introduction à la physique des matériaux conducteurs et semiconducteurs. 316 p. 1992.
Dunod Paris.
[2]
ANDERSON (P.W.). – Physical Review 109,
1958 p. 1492-1498.
[3]
MOTT (N.F.). – Conduction in non crystalline
materials (Conduction dans les matériaux
non cristallins). 128 p. 1987. Clarendon Press
Oxford university Press (GB).
[4]
RAIZER (Y.P.). – Gaz discharge physics (Physique des décharges dans les gaz). 449 p. 1991.
Springer Verlag Berlin.
[5]
NASSER (E.A.). – Fondamentals of gaseous
ionization and plasma electronics - part 1
(Bases de l’ionisation dans les gaz et de
l’électronique des plasmas − tome 1) 249 p.
1971 Wiley interscience New York (USA).
[6]
Cours de Physique de Berkeley Tome 2 : Electromagnetisme - Armand Colin.
D 2 301 − 12
[7]
LAMB (D.R.). – Electrical conduction mechanisms in thin insulating films (Mecanismes
de conduction électrique dans les films isolants minces) 114 p. 1967 Methuen and Co
LTD 11 new fetter lane, Londres EC4 (GB).
[8]
DUKE (C.B.). – Tunneling in solids (Effet tunnel dans les solides) 1969 Academic press 111
Fifth avenue New York, New York 10003 USA).
[9]
LAMPERT (M.A.) et MARK (P.). – Current
injection in solids (Injection de courant dans
les solides) 351 p. 1979 Academic press 111
Fifth Avenue, New York, New York 10003
(USA).
[11]
DELEROIX (D.-L.). – Gaz ionisés et plasmas
D 320. 1980.
[12]
POINTU (A.M.). – Plasmas
décharge. Applications et
D 2 835. 1997.
[13]
SÉGUR (P.). – Gaz isolants. D 2 530. 1990.
froids de
diagnostic.
Livres d’intérêt général
Dans les Techniques de l’Ingénieur
Traité Génie électrique
[10]
COELHO (R.). – Diélectriques. Bases théoriques. D 2 300. 2000.
[14]
FOURNIE (R.). – Les isolants en électrotechnique. Concepts et théorie. 1990 Eyrolles.
[15]
COELHO (R.) et ALADENIZE (B.). – Les diélectriques 1993 Hermès Paris.
[16]
BARTNIKAS (R.) et EICHORN (R.M.). – Engineering dielectrics Vol. 2A ASTM-STP 783,
1983 Am. Soc. for Testing and Materials.
[17]
von HIPPEL (A.). – Dielectric materials and
applications 1995 Artech House London.
Toute reproduction sans autorisation du Centre français d’exploitation du droit de copie est strictement interdite.
© Techniques de l’Ingénieur, traité Génie électrique