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Modulations analogiques des signaux
numériques
NAJJAR M.
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Liaison numérique simplifiée
NAJJAR M.
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Introduction
La transmission de signaux numériques doit souvent se faire dans un
canal à bande limitée. Par exemple, les communications radio, les
téléphones cellulaires, les systèmes de communication par satellites,…
etc) disposent des canaux situés quelque part dans le spectre des ondes
RF et leurs limites doivent être respectées pour ne pas causer
d’interférence aux canaux adjacents.
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Rappel des notions de base et principales définitions
La transmission de signaux numériques fait appel à quelques notions de
base qui sont rappelées ci-après :
Débit binaire : D= 1/Tb où Tb est la durée d'un bit en seconde
Taux d'erreur bits: TEB (BER)= =
Efficacité spectrale : h = D/B =
Fréquence intermédiaire (FI) : Fréquence interne à l'émetteur et au
récepteur servant de support à la modulation. Le signal modulé FI est
ensuite transposé à une fréquence HF porteuse pour émission
réception hertzienne. En pratique la valeur de FI peut être de 70 ou
140 MHz. Plus cette fréquence est élevée, plus le débit binaire
transmissible sera important.
Interférence intersymbole : Elle caractérise la qualité de la liaison et
l'aptitude du récepteur à discriminer les 0 et les 1 après une transmission
qui a altéré et déformé les bits. NAJJAR M.
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Les modulations analogiques des signaux numériques
La modulation a pour objectif d'adapter le signal à émettre au canal de
transmission. Cette opération consiste à modifier un ou plusieurs paramètres
d'une onde porteuse centrée sur la bande de fréquence du canal.
Les paramètres modifiables sont :
• L'amplitude : A
• La fréquence :
• La phase:
Dans les procédés de modulation binaire, l'information est transmise à l'aide d'un
paramètre qui ne prend que deux valeurs possibles.
Dans les procédés de modulation M-aire, l'information est transmise à l'aide d'un
paramètre qui prend M valeurs. Ceci permet d'associer à un état de modulation un
mot de n digits binaires. Le nombre d'états est donc
.
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Les technologies de modulations analogiques des signaux numériques s’appellent
ASK pour Amplitude Shift Keying,
Modulation par Déplacement d'Amplitude MDA.
FSK pour Frequency Shift Keying,
Modulation par Déplacement de Fréquence MDF.
PSK pour Phase Shift Keying
Modulation par Déplacement de Phase MDP.
QAM pour Quadratic Amplitude Modulation.
Modulation d'amplitude de deux porteuses en quadrature MAQ.
Le choix entre ces techniques se fait de manière à
Optimiser le taux de transmission (bit/sec)
tout en minimisant la largeur de bande du signal modulé
ainsi que le taux d’erreurs (BER pour bit error rate)
Optimiser le prix et la complexité du système.
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Principe des modulations analogiques de signaux numériques
Le message à transmettre est issu d'une source binaire.
Le signal modulant, obtenu après codage, est un signal en bande de base,
éventuellement complexe, qui s'écrit sous la forme :
=
La fonction
est une forme d'onde qui est prise en considération dans l'intervalle [0, T[
g (t  kT )   (t  kT )
La fonction porte
Le signal modulé s'écrit : m(t )   ak (t ). cosw0 t   0    bk (t ).sin w0 t   0 
k
ou encore :
en posant :
k
m(t )  a(t ) cosw0t  0   b(t ) sinw0t  0 
a(t )   ak (t )
k
et b(t )   bk (t )
k
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A chaque symbole émis correspond un signal élémentaire de la forme :
m(t )  ak g (t  kT ). cosw0t  0   bk g (t  kT ). sin w0t  0 
qui peut être représenté dans un espace à deux dimensions dont les vecteurs de
base sont : g (t  kT ). cosw0t  0  et  g (t  kT ). sin w0t  0


Position d'un symbole dans le plan de Fresnel
Une représentation dans le plan complexe qui fait correspondre à chaque signal
élémentaire un point
permet de différencier chaque type de modulation.
L'ensemble de ces points associés aux symboles porte le nom de constellation
Définition d'une constellation numérique
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Pour pouvoir distinguer deux symboles, il faut respecter une distance
minimale dmin entre les points représentatifs de ces symboles. Plus
cette distance est grande et plus la probabilité d'erreur sera faible.
La distance minimale entre tous les symboles est:
d min  Min(dij )
i j
avec d ij  Ci  C j
pour émettre ce symbole. La puissance moyenne d'émission des
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C
symboles est  i .
i
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Modulation par Déplacement d'amplitude (MDA)
Les Modulations par Déplacement d’Amplitude sont aussi souvent appelées par leur
abréviation anglaise : ASK pour "Amplitude Shift Keying".
Dans ce cas, la modulation ne s'effectue que sur la porteuse en phase
et
il n'y a pas de porteuse en quadrature. Cette modulation est parfois dite monodimensionnelle. Le signal modulé s'écrit alors :
m(t )   ak g (t  kT ). cos w0t  0 
k
La forme de l'onde g(t) est rectangulaire, de durée T et d'amplitude égale à 1 si t
appartient à l'intervalle [0, T[ et égale à 0 ailleurs
Modulation par tout ou rien ‘’OOK pour "On Off Keying’’.
Un exemple de modulation d'amplitude est la modulation (binaire) par tout ou rien
encore appelée par son abréviation anglaise : OOK pour "On Off Keying".
Dans ce cas, un seul bit est transmis par période T, et par conséquent n=1 et M=2.
Le symbole
prend sa valeur dans l'alphabet (0, a0). On observe donc sur un
chronogramme des extinctions de porteuse quand
.
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Chronogramme de modulation d'amplitude par tout ou rien (OOK)
Constellation de la modulation d'amplitude par tout ou rien (OOK)
A noter que la modulation d’amplitude est la seule utilisable sur fibre optique,
car les équipements utilisés actuellement ne sont pas en mesure d’appliquer
une autre modulation sur les ondes lumineuses. Dans ce cas, la modulation
s’effectue par tout ou rien ‘OOK’.
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Modulation à "M-états « ou M-aire
Dans ce cas on utilise plutôt la modulation symétrique.
Les constellations "MDA M Symétrique ‘’
On a toujours
amplitudes possibles du signal
Suivant les valeurs de n on obtient le tableau suivant :
n
M
Valeurs de l'alphabet
1
2
-1a0, 1a0
2
4
-3a0, -1a0, 1a0, 3a0
3
8
-7a0, -5a0, -3a0, -1a0, 1a0, 3a0, 5a0, 7a0
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Modulation d'amplitude MDA 4 Symétrique
Le modulateur ASK
Le démodulateur ASK
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La probabilité d'erreur par symbole est donnée par la relation :
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Modulation par déplacement de fréquence (MDF )
Frequency Shift Keying (FSK )
Chaque état est défini par une fréquence préalablement défini de la porteuse.
Si les deux fréquences sont assez différentes le spectre est constitué de deux lobes
de largeur 2/T, lorsque les fréquences sont voisines ces deux lobes viennent se
chevaucher, pour Df/f=1/2 le spectre est presque rectangulaire de largeur 1/T.
v(t )  A cos(2f (t )  0 )
avec
f (t )   ak  (t  kT )
k
Ou ak est le flot de bits et P(t) la fonction qui vaut 1 pendant une période d’horloge,
0 ailleurs.
Le signal FSK et son spectre
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Modulateurs FSK
Il y a plusieurs méthodes utilisées pour générer un signal FSK
La commutation de deux oscillateurs
indépendants.
Problème
Transitions de phase brutales qui élargissent
le spectre.
La commutation de deux signaux d’un même
Oscillateur suivi par deux diviseurs différents
VCO (voltage controlled oscillator)
Le passage d’une fréquence à l’autre est progressif
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Le détecteur FSK
Détection incohérente
Détection cohérente
La modulation FSK est utilisée pour des transmissions à faible débit sur le réseau
téléphonique commuté.
FSK Différentiel
Les bits sont codés par changement de fréquence. La norme Bluetooth développée
pour l’échange d’informations à faible distance code un 1 par un accroissement de
fréquence, un zéro par une diminution. Chaque saut de fréquence est compris entre
140 et 175 kHz, dans la bande des 2480MHz à raison de 1600 saut par seconde.
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Les performances
Il est possible de comparer les MDF-M entre elles, en utilisant la probabilité
d'erreur par bit en fonction du rapport Eb/N0. Les courbes données ici,
correspondent une MDF-M avec détection cohérente et sont voisines d'une MDFM avec détection non cohérent.
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Modulation par Déplacement de phase (MDP)
Phase Shift Keying (PSK )
Les Modulations par Déplacement de phase (MDP) sont aussi souvent appelés
par leur abréviation anglaise : PSK pour "Phase Shift Keying".
Reprenons
l'expression générale d'une modulation numérique :


m(t )  Re  cK (t ).e j w0t 0  
k

avec
On a toujours : ak (t )  ak g (t  kT ) et
Soit :
ck (t )  ak (t )  jbk (t )
bk (t )  bk g (t  kT )
Dans le cas présent, les symboles ck sont répartis sur un cercle unitaire, et par
conséquent c (t )  (a  jb ).g (t  kT )  c .g (t  kT )
k
k
k
k
j k
ck  ak  jbk  e . d'où : a  cos( ) , b  sin( )
k
k
k
k
et : ak (t )  cos(k ).g (t  kT )
, b (t )  sin( ).g (t  kT )

m(t )  Re Ae
j  w0 0  k 

k
k
m(t )  A cos(w0t  0  k )  A cos((w0t  0 ) cos(k )  A sin((w0t  0 ) sin(k )
Pour améliorer les performances par rapport au bruit, on impose aux symboles d'être
répartis régulièrement sur le cercle de constellation.
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Le signal PSK est représenté par l’expression suivante:
m(t )  A cos(2ft   (t ))
k 

M
k
2
M
avec  (t ) 
ou k
lorsque M > 2
2
lorsque M = 2.
et :   0 ou 
 g (t  kT)
k
On voit que ces symboles sont repartis de manière uniforme sur un cercle de rayon 1.
On appelle "MDP-M, PSK-M" une modulation par déplacement de phase
correspondant à des symboles M-aires. La figure suivante montre différentes
constellations de MDP pour M= 2, 4 et 8.
l’axe I (In-phase).
l’axe Q (Quadrate)
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La modulation de phase associe à un code binaire une valeur de la phase de la
porteuse. La vitesse peut être facilement augmentée en utilisant un code
binaire sur 2, 3 bits ou plus sans augmentation de la fréquence de la porteuse.
Ce type de modulation est utilisé pour des signaux m-aires mais le plus
souvent dans les cas m=2 et m=4. La PSK-m est la plus robuste vis-à-vis du
bruit. Typiquement, ce type de modulation est mise œuvre pour les
télécommunications par Satellite.
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Modulation à deux états de phase PSK2
BPSK (Binary Phase Shift Keying)
Démodulateur PSK2
Les méthodes utilisées pour démoduler le signal PSK2 sont:
Démodulation par restitution de porteuse (démodulation cohérente)
Démodulateur PSK2
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Détecteur à corrélation
La figure montre que le niveau atteint par l’intégrateur en fin de période positif si le
produit est effectué entre deux symboles identiques, négatif dans le cas
contraire.
Ce circuit peut encore fonctionner si les symboles sont un peut déformés
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Comparaison entre les différents PSK-m
avec
M
Modulation
Débit Binaire : D
Efficacité Spectrale : h
2
MDP-2
D
h
4
MDP-4
2.D
2.h
8
MDP-8
3.D
3.h
16
MDP-16
4.D
4.h
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La probabilité d'erreur par symbole est donnée par la relation :
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Conclusion sur la MDP
La tentation d'augmenter M (c'est à dire le nombre de bits transmis par symbole) est
grande et présente les avantages et les inconvénients suivants :
•L'efficacité spectrale
augmente, (pour une largeur de la bande B donnée).
•La probabilité d'erreur par symbole Ps(e) augmente aussi, et pour ne pas la dégrader
il est nécessaire d'augmenter le rapport signal sur bruit. Cette augmentation restant
raisonnable jusque M = 16.
•Nous avons vu que la complexité de l'ensemble émission/réception de la MDP
augmente avec M. Cependant cette complexité n'est pas très élevée et fait de la MDP
une modulation fréquemment utilisée pour M allant de 2 à 16 avec de bonnes
performances.
•Dans les inconvénients de la MDP, citons l'existence de sauts de phase importants de
±  radiants qui font apparaître des discontinuités d'amplitude. Les modulations
Décalés ou à saut de phase sont une solution à ce problème.
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Modulation à saut de phase minimal
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Modulation différentielle par déplacement de phase MDDP
Differential Phase Shift Keying (DPSK)
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La comparaison de la MDA avec la MDP en fonction de M peut se faire à partir
des courbes de probabilité d'erreur par symbole Ps(e). Par exemple, pour une
probabilité d'erreur par symbole Ps(e) de 10-5 et pour un rapport signal à bruit
de 14 dB, la MDA ne peut émettre que 2 bits par symbole (M = 4), là où la MDP
peut en émettre 3 (M = 8).
Du point de vu de la simplicité de réalisation c'est la MDA qui est avantagée, ceci
venant du fait qu'elle est toujours mono dimensionnelle.
MDA
MDP
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Modulation d’Amplitude en quadrature
Quadratic Amplitude Modulation (QAM)
Modulation d’amplitude sur deux porteuses en quadrature (MAQ)
La MDA et la MDP ne constituent pas une solution satisfaisante pour utiliser
efficacement l'énergie émise lorsque le nombre de points M est grand. En effet,
dans la MDA les points de la constellation sont sur une droite, et dans la MDP
les points sont sur un cercle. Or, la probabilité d'erreur est fonction de la distance
minimale entre les points de la constellation, et la meilleure modulation est celle
qui maximise cette distance pour une puissance moyenne donnée. Un choix plus
rationnel est alors une modulation qui répartit les points uniformément dans le plan.
Le signal se présente sous la forme:
et
Modulation par Déplacement d'Amplitude et de Phase" (MDAP) parfois donnée à
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la MAQ.
L’expression précédente peut aussi se mettre sous la forme:
Avec
Plus généralement lorsque les symboles ak et bk prennent leurs valeurs dans
l'alphabet {± d, ± 3d, ± 5d,…,± (M-1)d} avec M = 2n,.on obtient une modulation
à 2(2n) états et une constellation avec un contour carré dont font partie la MAQ-4,
la MAQ-16, la MAQ-64 et la MAQ-256.
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Efficacité spectrale :
Pour une même rapidité de modulation
est multiplié par
, le débit binaire
de la MAQ-M
par rapport celui de la MAQ-2. Autrement dit, pour une
largeur de bande B donnée, l'efficacité spectrale
est multiplié par
n
M=2n
Modulation
Débit
Binaire : D
Efficacité
Spectrale :
h
1
2
MAQ-2
D
h
2
4
MAQ-4
2.D
2.h
4
16
MAQ-16
4.D
4.h
6
64
MAQ-64
6.D
6.h
8
256
MAQ-256
8.D
8.h
.
Le tableau ci-dessus montre le gain obtenu sur le débit binaire et sur l'efficacité
spectrale pour diverses modulations MAQ-M, ceci pour une même rapidité de
modulation. L'intérêt d'augmenter M, même au prix d'une complexité accrue,
est évident.
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Exemple : Pour la constellation PSK4 suivante (codage de 2 bits avec les
combinaisons 00, 01, 10, 11), tracer la représentation temporelle du code
10010111010000000101.
Remarque: la représentation à base d’un signal sinus
Exemple :Pour la constellation QAM8 suivante (codage de 3 bits avec les
combinaisons 000, 001, 010,…etc), tracer la représentation temporelle du code
100101110100000001010011111000.
Remarque: la représentation à base d’un signal sinus
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Exemple:
Pour un espacement minimale enter deux points d’un symbole égale à 1 V,
tracer la constellation numérique de BPSK, OOK, PSK4, QAM-16 V22 et QAM-16
V29. Déterminer le Rapport SNR dans chaque cas pour une valeur efficace de
bruit N égale à 0,148V.
eff
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