Transcript TD signaux, ondes progressives

TD signaux, ondes progressives
Questions de cours :
• Citer quelques ordres de grandeurs de fréquences dans les domaines acoustiques et
électromagnétiques.
• Qu’appelle-t-on analyse spectrale d’un signal ? Comment reconnaît-on un son pur ? un son
complexe ?
• Pour un signal périodique, comment définit-on la valeur moyenne du signal ?
• Etablir, dans le cas d’une onde progressive sinusoïdale, la relation entre la fréquence, la longueur
d’onde et la célérité de l’onde.
Exercice 1 :
On considère le signal : s(t) = A cos(2πf1t) cos(2πf2t − φ) où A et φ sont des constantes.
1) En utilisant la formule de trigonométrie cos a cos b =
fréquences contenues dans s(t).
(!"#(! ! !) ! !"#(! ! !))
!
, déterminer les
2) Représenter son spectre d’amplitude et de phase.
3) Examiner le cas où f1 = f2.
Exercice 2 :
1) On considère l’onde sinusoïdale progressive : 𝑠 𝑥, 𝑡 = 5 cos 2,4. 10! 𝜋𝑡 − 7,0𝜋𝑥 + 0,6𝜋 , où t est en
secondes et x en m. Identifier et donner les valeurs numériques de : la pulsation, la fréquence, la période,
le vecteur d’onde, la longueur d’onde et la vitesse de propagation.
2) Une onde sinusoïdale se propage à la vitesse c dans la direction des x croissants. En x = 0, on a s(0, t) =
!!" !
S0 cos( ! ). Donner l’expression de s(x, t) et tracer l’allure du signal temporel en x = ! .
3) Une onde sinusoïdale se propage à la vitesse c dans la direction des x décroissants. À t = 0 on a s(x,0) =
!!"
!
S0 sin( ! ). Donner l’expression de s(x,t) et tracer l’allure des variations spatiales du signal à t = ! .
Exercice 3 :
La figure ci-contre représente la surface d’une cuve à onde éclairée en éclairage stroboscopique. L’onde
est engendrée par un vibreur de fréquence f = 18 Hz. L’image est claire là où la surface de l’eau est
convexe, foncée là où elle est concave.
1) Par une mesure sur la figure, déterminer la longueur d’onde.
2) En déduire la célérité de l’onde.
3) On suppose l’onde sinusoïdale, d’amplitude A constante et
de phase initiale nulle en O. Ecrire le signal s(x,t) pour x > 0 et
pour x < 0.
4) Comment évolue l’amplitude lorsqu’on s’éloigne de O ?
Pourquoi ?
Exercice 4 :
Les tremblements de terre engendrent des ondes de différentes natures à 1’intérieur de la Terre. Dans un
modèle simplifié, la Terre est parcourue à la fois par des ondes transversales, notées S, et par des ondes
longitudinales, notées P. Les ondes P et S ont des célérités différentes considérées comme constantes : cS
= 4, 5 km.s-1 et CP = 8, 0 km.s-1.
Un sismographe enregistrant les ondes P et S provoquées par un séisme note que les premières ondes P
arrivent 3,0 min avant les premières ondes S.
1) Si on suppose que les ondes se propagent en ligne droite, à quelle distance D du sismographe le
tremblement de terre se produit-il ?
2) Pour un séisme, on mesure les distances D1 , D2 et D3 entre le foyer du séisme et trois stations de
mesures. Sans faire de calcul, montrer que cette information permet de localiser le foyer du séisme à
l’intérieur de la Terre. Quel système fonctionne sur ce même principe ?
Exercice 5 :
Un haut-parleur HP génère une
onde sonore (signal 1) de
fréquence f = 1,5 kHz. L’onde
se propage dans l’air à la
célérité c. Un micro M est
placé à la distance d de HP et
reçoit le signal 2. On visualise
sur un oscilloscope les signaux
1 et 2 respectivement sur les
voies 1 et 2.
1) Calculer le déphasage Δ𝜑 entre les 2 signaux.
2) Peut-on mesurer c à partir de cette seule expérience en mesurant d ? Pourquoi ?
3) On augmente progressivement d. On observe que les signaux sont en phase pour d1 = 35 cm puis
pour d2 = 57 cm. En déduire la valeur de c.
Exercice 6 :
Sur le schéma ci-contre, on a représenté une
onde sinusoïdale à t = 0 et à t = 0,5 s.
Déterminer l’expression de la fonction y(x, t)
qui représente cette onde, en supposant qu’elle
possède la plus petite vitesse de propagation
possible dans le sens positif de l’axe x.