Transcript Du modèle géométrique de la lumière au modèle ondulatoire.

De l’optique géométrique à l’optique ondulatoire
PC
Objecti
Du modèle géométrique de la lumière au modèle ondulatoire.
1
. Comprendre les fondements d’optique géométrique : lois de Snell-Descartes, le problème de la formation
des images, ...).
. Comprendre les conditions suffisantes de l’approximation de Gauss pour la formation des images. Savoir
tracer des rayons en optique de Gauss.
. Connaitre les relations de conjugaison et de grandissement pour quelques systèmes simples : miroir plan,
lentilles minces.
. Comprendre le concept de chemin optique et son rôle dans les calculs de déphasages ou de différence de
marche (d.d.m.).
. Connaître le théorème de Malus - Dupin et savoir l’utiliser pour faire des calculs de d.d.m.
Rappels sur le modèle géométrique de la lumière.
1.1
1.1.1
Les lois de Snell - Descartes.
Le concept central en optique géométrique : le rayon lumineux.
c
, où c est la célérité
v
de la lumière dans le vide et v celle dans le milieu. On rappelle que depuis 1987, la célérité de la lumière dans
le vide a été fixée à :
c = 299 792 458, 0 m/s
Un milieu transparent est caractérisé par son indice de réfraction, défini comme n =
Pour tout milieu matériel transparent, n > 1 (Cas de l’air n = 1, 000 293).
1.1.2
Deux propriétés fondamentales du rayon lumineux.
Principe du retour inverse de la lumière : le trajet décrit par le rayon lumineux ne dépend pas du sens de
parcours.
Dans un milieu homogène (n = cste), la lumière se propage en ligne droite.
1.1.3
Les lois de Snell Descartes.
Les lois de l’optique géométrique exprimant le changement de direction par
réflexion ou par réfraction, d’un rayon lumineux rectiligne, à la traversée
d’une surface séparant deux milieux transparents, ont été énoncées par le
Hollandais W. SNELL en 1621 et retrouvées par R. DESCARTES en
1637 .
+
N
r
i1
(n1)
(n2)
I
i2
Définition. On appelle dioptre une surface séparant deux milieux d’indices n1 et n2 .
Soit un rayon lumineux tombant sur le dioptre au point I.
1. Les rayons réfléchis et réfractés appartiennent
au plan d’incidence, défini par le rayon incident et
~ .
la normale au dioptre au point de contact I, N
2. Les angles d’incidence et de réflexion sont égaux en valeur absolue (angles comptés par rapport à
la normale au dioptre) : ir = −i1 .
3. Les rayons incident et réfracté sont tels que : n1 sin(i1 ) = n2 sin(i2 ) ou en formulation vectorielle :
~ (angles comptés par rapport à I, N
~ ).
n2 ~u2 − n1 ~u1 = αN
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1.2
1.2.1
Le problème de la formation des images.
Classification des systèmes.
On distingue :
– Les systèmes dioptriques dans lesquels les rayons ne subissent que des réfractions.
– Les systèmes catadioptriques dans lesquels les rayons subissent des réfractions et au moins une réflexion.
– Les systèmes centrés invariant par rotation autour d’un axe appelé axe optique, dit aussi axe principal, noté souvent ∆.
1.2.2
Les conditions à réaliser pour former une image.
Soit A un point objet. On dira qu’un système optique donné forme une image A0 du point A, ou que A et A0
sont conjugués, si les deux conditions suivantes sont réalisées :
1. condition de stigmatisme (rigoureux) : on parle de stigmatisme entre deux poins conjugués A et A0
si tout rayon issu de A passe réellement ou virtuellement par A0 après la traversée du système optique.
2. condition d’aplanétisme : un système optique est dit aplanétique si l’image A0 B 0 d’un objet AB plan
situé dans un plan de front (plan ⊥ à l’axe optique 4) est elle aussi plane et perpendiculaire à ∆.
1.3
La construction des images en optique de Gauss.
La réalisation simultanée des conditions de stigmatisme rigoureux et d’aplanétisme est très sévère et n’est en pratique obtenue pour tout point de l’espace que par un seul instrument d’optique : le miroir plan.
D’autres systèmes optiques sont rigoureusement stigmatiques pour certaines
couples particuliers de points :
– les deux foyers d’un miroir elliptique.
– pour un miroir parabolique : le foyer du paraboloïde avec le point à l’infini
sur l’axe.
– pour une lentille mince : les points dits de Young - Weiertrass (utilisés
en microscopie optique)
De plus, le stigmatisme rigoureux n’a aucun intérêt physique du fait de la structure même des détecteurs
(construits de cellules unitaires, de dimensions finies). On se contente alors d’un stigmatisme approché,
tel que tout rayon issu de A tombe, après traversée du système optique, sur une seule cellule réceptrice,
définissant ainsi le point image A0 . La réalisation simultanée, de façon approchée des conditions de stigmatisme
et d’aplanétisme définit l’approximation de Gauss.
Les conditions de Gauss supposent :
1. de prendre des rayons peu inclinés sur l’axe optique (typiquement moins de 15°)pour pouvoir écrire
sin(α) ≈ tan(α ≈ α) , avec α en radian .
2. de prendre des hauteurs des objets (perpendiculaires à l’axe optique) faibles devant les rayons de courbure
des dioptres (cette limitation pouvant être réalisée à l’aide de diaphragmes).
C’est pourquoi on dit que que les conditions de Gauss définissent le domaine de l’optique paraxiale (rayons
peu inclinés sur l’axe optique et peu écartés de l’axe optique).
L’utilisation de l’approximation de Gauss permet d’établir des relations de conjugaison et des formules de
grandissement transversal, propres à chaque système optique.
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2.1
Formulaire d’optique paraxiale.
Généralités sur les systèmes centrés.
Sens de la lumière incidente. Sauf indications contraires explicites, on considèrera toujours que la lumière
⊕
incidente vient de la gauche : −→
Classification des lentilles.
lentilles convergentes à bords minces
lentilles divergentes à bords épais
notée
biconvexe
plan
convexe
ménisque
convergent
notée
biconcave
plan
concave
ménisque
divergent
Le modèle des lentilles minces.
e
C1
S1
S2
C2

 e |S1 C1 |
e |S2 C2 |
la lentille est dite mince si

e |S1 C1 − S2 C2 |
Les éléments remarquables des systèmes centrés.
– Centre optique : on appelle centre optique le point d’intersection avec l’axe optique d’un rayon qui n’est
pas dévié par le système optique.
– Foyers principaux :
– foyer principal image F’ = point sur l’axe optique image d’un point objet à l’infini sur l’axe optique.
– foyer principal objet F = point sur l’axe optique donnant un point image à l’infini sur l’axe optique.
– un système est dit afocal si les deux foyers sont rejetés à l’infini .
– Plans focaux :
– plan focal image = plan de front (⊥ l’axe optique) contenant le foyer principal image F’.
– plan focal objet = plan de front (⊥ l’axe optique) contenant le foyer principal objet F.
– Foyers secondaires : on appelle foyer secondaire image (ou objet) tout point hors de l’axe optique du
plan focal image (ou objet).
Principe des constructions géométriques en optique de Gauss. Les constructions géométriques se font
en utilisant un ou plusieurs rayons auxiliaires qui réalisent simultanément les conditions de stigmatisme
approché et d’aplanétisme approché, en exploitant les propriétés suivantes :
1. Les rayons émergents et incidents sont confondus s’ils passent par le centre optique.
2. Tout rayon incident // l’axe optique émerge en passant réellement ou virtuellement par le foyer principal
image F’
3. Tout rayon passant réellement ou virtuellement par le foyer principal objet F émerge // l’axe optique.
4. En optique de Gauss, l’image d’un objet plan dans un plan de front est plane, elle aussi dans un plan de
front (c’est la condition d’aplanétisme).
5. L’image d’un faisceau incident de rayons parallèles entre eux, mais incliné par rapport à l’axe optique est
située dans le plan focal image, hors de l’axe optique.
6. L’image d’un faisceau divergent issu d’un point objet hors de l’axe optique situé dans le plan focal objet
est rejetée à l’infini hors de l’axe optique (donc donnant un faisceau de rayons // entre eux, mais incliné sur
l’axe optique).
2.2
Un détecteur naturel : l’œil humain.
En première approximation, les éléments principaux de l’œil sont :
– la pupille (joue le rôle de diaphragme pour limiter la lumière pénétrant dans l’œil).
– le cristallin (assimilable à une lentille mince de focale variable par sa déformation).
– la rétine (la surface photosensible), constituée de cônes au centre, responsables de la vision en couleur et de
bâtonnets à la périphérie, responsables de la vision noir et blanc.
Le nerf optique transmet l’image sous forme d’influx nerveux qui l’interprète :
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– retournement de l’image rétinienne,
– correction de la distorsion,
– impression de relief grâce à la vision binoculaire.
Le domaine de vision d’un œil « normal ».
ponctum
remotum
distance
oeil-objet
ponctum
proximum
vision nette
d
pour un œil normal : d = 25 cm et pr → ∞
2.3
Les relations propres aux lentilles minces.
Focale et vergence d’une lentille mince. Une lentille est l’association de deux dioptres de même axe, de
sommets S1 et S2 et de centres C1 et C2 . Les indices des milieux extrêmes sont supposés identiques et on note
n l’indice relatif du matériau entre les deux dioptres par rapport aux milieux d’entrée et de sortie. Soit O le
centre optique de la lentille.
Pour une lentille mince, on a S1 ∼
= S2 ∼
= O . Le plan ⊥ l’axe optique passant par O définit le plan de la
lentille.
f = OF
f = distance f ocale objet
On note
, appelées
, ou plus simplement la « focale » d’une
f 0 = distance f ocale image
f 0 = OF 0
lentille.
Dans le cas où les milieux extrêmes sont identiques, on a f = −f 0 .
1
: V > 0 pour une lentille convergente et V < 0 pour
f0
On appelle vergence d’une lentille la quantité V =
une lentille divergente.
Relations de conjugaison et de grandissement.
Formules de Descartes
1
1
1
−
= 0
0
f
OA
OA
0
0
0
AB
OA
=
AB
OA
Formules de Newton
formule de conjugaison
F A.F 0 A0 = −f 02
formule de grandissement
A0 B 0
F 0 A0
f
=− 0 =−
f
AB
FA
Associations de lentilles minces.
En optique paraxiale, l’association de deux lentilles minces accolées et de même axe, de vergences V1 et V2
est équivalente à une seule lentille mince de vergence V = V1 + V2 (résultat connu sous le nom du théorème
des vergences).
Remarque. Ce théorème des vergences ne s’applique pas si les deux lentilles ne sont pas accolées !
2.4
Le cas du miroir plan.
Un miroir plan peut être considéré comme un miroir sphérique dont le centre, et par conséquent le foyer est
rejeté à l’infini.
Le miroir plan est système afocal . C’est par ailleurs le seul système optique rigoureusement
stigmatique et aplanétique pour tout point de l’espace.
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3.1
Le modèle ondulatoire de la lumière (modèle scalaire).
La vibration lumineuse.
On sait depuis le XIX e` siècle que la lumière appartient au domaine des ondes électromagnétiques (O.E.M.),
dont l’évolution dans un milieu transparent et isotrope est décrite par une équation de d’Alembert à trois
dimensions. La "lumière visible" (sous entendu par l’œil humain) ne forme qu’une partie très restreinte des
O.E.M.
Une description complète des ondes électromagnétiques suppose une modélisation vectorielle de celles-ci, mais :
Pour le domaine de l’optique, et dans la plus grande majorité des milieux (isotropes et homogènes), la lumière
émise par une source, ainsi que sa propagation peut être décrite par une vibration scalaire s(M, t) appelée
vibration lumineuse.
L’onde lumineuse progressive harmonique (ou monochromatique).
c
(n est l’indice
n
de réfraction du milieu). Ce signal atteint un point M du milieu situé à al distance r = SM du point S avec
SM
. En admettant que le signal se propage dans le milieu sans déformation,
un certain retard temporel τ =
v
SM
la vibration issue de S s’écrit au point M à l’instant t : s(M, t) = s S, t −
.
v
2π
Considérons la vibration lumineuse comme périodique de période T ou de pulsation ω =
(nous reviendrons
T
sur cette hypothèse de périodicité) ; Le théorème de Fourier permet de décomposer cette vibration en ondes
sinusoïdales (ou harmoniques), encore appelées en optique monochromatiques de la forme générale :
Soit un signal s(S, t) émis au point source S qui se propage dans un milieu à la célérité v =
s(M, t) = A(M ) cos [ω (t − SM/v) + φS ]
où φS représente le déphasage initial de l’onde au point S, l’amplitude A(M ) pouvant dépendre (ou non) de
la distance de M à S.
Couleur d’une onde progressive harmonique.
Une onde monochromatique a une "couleur " parfaitement définie par sa pulsation ou fréquence temporelle (ω = 2πf ),qu’on peut aussi caractériser par sa longueur d’onde dans le vide, notée λ0 définie par
c
2πc
λ0 = =
.
f
ω
Dans un milieu matériel d’indice n on aura : λ =
v
c
λ0
=
soit λmilieu =
.
f
nf
n
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À noter :
Un changement de milieu ne modifie pas la pulsation temporelle (donc ni T , ni f ) d’une onde lumineuse, mais
change sa longueur d’onde (par l’indice du milieu).
Nombre d’onde (angulaire) k. Vecteur d’onde.
On définit le nombre d’onde (nombre d’onde angulaire) par k =
d’onde dans le vide : k =
ω
2π
, ou en notant λ0 la longueur
=
v
λ
2πn
, où n est l’indice du milieu.
λ0
−−→
SM
→
−
Soit u r =
le vecteur unitaire dirigé suivant la direction et le sens de la propagation de S à M .
SM
→
−
2π →
−
−
ur =
ur .
On appelle vecteur d’onde associé à une onde progressive harmonique le vecteur k = k →
λ
h
i
→
− −−→
L’onde progressive harmonique peut alors se mettre sous la forme s(M, t) = A(M )cos ωt − k .SM + φS .
3.2
Surfaces d’ondes. Ondes sphériques ; ondes planes.
Surface d’onde.
On appelle surface d’onde, notée souvent Σ, le lieu des points M dont la phase de l’onde lumineuse est
constante à une date t donnée.
Ondes sphériques.
Dans un problème à trois dimensions et pour une symétrie sphérique de centre O, on montre que les solutions
de l’équation des ondes s’écrivent comme superposition d’ondes progressives harmoniques sphériques, dont la
fonction d’onde Ψ ne dépend que du temps et de la distance r = OM :
Ψsph (r, t) =
A
cos (ωt ± kr)
r
On parle d’onde divergente à partir du point O si la phase est en ωt − kr (avec k > 0) et convergente vers
O si la phase est en ωt + kr (k > 0).
Les surfaces d’onde d’une telle onde sphérique sont des sphères de centre O.
Ondes planes.
Que deviennent localement les surfaces d’ondes sphériques quand on observe l’onde en un point très éloigné
de sa source ? La figure ci-dessous illustre cette situation :
Les surfaces d’ondes sont localement des plans parallèles entre eux : l’onde associée est dite plane. On
peut donc voir une onde progressive plane comme la limite d’une onde progressive sphérique lorsque la source
est rejetée à l’infini.
−
La direction de propagation d’une onde plane est constante, repérée par le vecteur unitaire →
u . Le vecteur
→
−
→
−
d’onde associé k = k u est donc un vecteur constant.
On néglige de plus les variations de l’amplitude de l’onde avec r, car la décroissance en 1/r varie beaucoup plus lentement que les variations de la phase (typiquement sur une échelle de λ car on a
λ extension de la zone d0 observation ).
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Phase d’une onde plane progressive. Expression de l’O.P.P.H.
Le problème qui se pose avec une onde plane est que SM → ∞ ! Mais, nous verrons qu’en pratique, seuls
comptent les déphasages entre ondes, et non leur phase instantanée :
Cela revient à pouvoir faire un changement de l’origine des phases, en fixant arbitrairement l’origine des
phases en un point donné O (souvent l’origine du système de cordonnées, mais cela n’a rien d’obligatoire). De
ce fait, le déphasage de O / S, est considéré comme une constante sans intérêt et pourra être omis dans les
expressions.
→
− −→
Cela revient à prendre k .SO = 0 (2π) .
On en déduit la forme générale d’une onde plane progressive harmonique :
→
− −−→
Ψplane (M, t) = A cos ωt − k .OM + φS
→
−
2π →
−
u
k =
λ
avec
→
− −−→ 2π →
−−→
−
En choisissant O comme origine des phases, on a ϕ(M ) − ϕ(O) = k .OM =
u .OM
λ
3.3
3.3.1
Chemin optique. Théorème de Malus - Dupin.
Image "géométrique" d’un déphasage ; chemin optique.
Le déphasage d’une onde entre deux points voisins M et M 0 peut s’écrire sous la forme dϕ = kM M 0 = kds,
en notant ds = M M 0 la variation élémentaire de l’abscisse curviligne de M à M 0 .
ω
2π
ω
ω
On peut aussi écrire dϕ =
ds = nds , où n est l’indice du milieu. Par ailleurs =
avec λ0 = longueur
vϕ
c
c
λ0
d’onde dans le vide.
ˆ
2π B
Pour un déplacement fini entre A et B, le déphasage est donné par ϕ(B) − ϕ(A) =
nds .
λ0 A
Définition. On appelle chemin optique élémentaire de M à M 0 voisin, distant de ds la quantité (scalaire)
dL = nds , où n est l’indice du milieu.
ˆB
Pour un chemin fini AB, le chemin optique vaut
nds , l’intégrale devant être prise sur le chemin
L =
A→B
A
suivi par la lumière pour aller de A à B.
Dans un milieu d’indice constant, les trajectoires sont rectilignes et
L = nAB .
A→B
Conventions de signe pour les calculs de chemin optique.
– Pour un rayon réel, L est compté positivement.
– Pour un rayon virtuel, L est compté négativement, en prenant l’indice du milieu dans lequel se propage
le prolongement réel du rayon virtuel.
Cas d’une onde progressive plane dans un milieu d’indice constant :
→
−
−−→
k
→
−
→
−
L = n u .OM , où u =
.
O→M
k
3.3.2
Théorème de Malus - Dupin (admis).
Le lien vu précédemment entre déphasage et chemin optique montre que :
Les surfaces d’onde ou surfaces équiphases, sont également le lieu des points d’égal chemin optique
(c’est-à-dire le lieu des points atteints au même instant par la lumière).
En généralisant l’étude précédente sur les ondes sphériques ou planes, on établit et on admettra le résultat
général suivant, connu sous le nom de théorème de Malus - Dupin :
Dans tout milieu, homogène ou non, et après un nombre quelconque de réfractions ou de réflexions, les rayons
lumineux sont toujours perpendiculaires aux surfaces d’ondes.
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3.3.3
Lien entre stigmatisme et chemin optique.
Expression mathématique de la condition de stigmatisme.
On peut montrer et nous admettrons que A et A0 sont conjugués (au sens de l’optique géométrique) si et
seulement si :
L 0 = cste indépendante du rayon choisi allant de A à A0 si stigmatisme rigoureux,
–
A→A
–
L
A→A0
' cste , à des infiniment petits du 4e`me ordre près si stigmatisme approché (conditions de Gauss).
Interprétation de la condition de stigmatisme dans le cas d’une lentille mince.
Dire que A et A0 sont conjugués, ou que A0 est l’image de A par
la lentille, revient à pouvoir écrire :
I2
AI1 A0 = AI2 A0 = AI3 A0
I1
Ce résultat peut sembler surprenant d’un seul point de vue géométrique (cf Fig. a) ! : les longueurs des segments sont différentes,
commet pourrait-on avoir le même chemin optique ? ....
N’oublions pas que le chemin optique prend aussi en compte l’indice du milieu traversé. Or, avec une lentille convergente, les rayons
plus proches de l’axe optique traversent une épaisseur plus importante de verre que ceux qui passent près des bords (cf Fig. b).
Or nverre > nair . On comprend ainsi comment il est possible
d’avoir
L
A→I1 →J1 →A0
3.4
=
L
A→I2 →J2 →A0
=
A
I3
I2
J2
I1
J1
I3
J3
A
Fig. a
A'
Fig. b
A'
L
A→I3 →J3 →A0
Éléments de photométrie visuelle.
Les périodes temporelles des vibrations lumineuses sont typiquement de l’ordre de 10−15 s . Les photorécepteurs, même les plus rapides ont des temps de réponse beaucoup longs que la période des ondes : ∼ 40 ms pour
l’œil, 1 µs pour une photodiode courante, ∼ 10 ps pour un détecteur ultra-rapide.
les capteurs de lumière ne mesurent donc que la valeur moyenne (temporelle) du signal détecté, sur une
durée τ T . Il ne sert à rien de recueillir directement la vibration lumineuse car hcos(ωt − ϕ(M ))i = 0. C’est
pourquoi tous les détecteurs de lumière sont quadratiques,
sensibles à la puissance moyenne rayonnée
par l’onde, elle même proportionnelle à s2 (M, t) .
On définit différentes grandeurs énergétiques selon qu’on s’intéresse :
1. à la source de lumière :
– Le flux lumineux φ , exprimé en lumens (symbole lm), qui est proportionnel à la puissance
énergétique moyenne totale transportée par l’onde. La constante de proportionnalité correspond
à l’efficacité lumineuse du rayonnement émis.
dφ
, où dφ est le flux lumineux émis dans l’angle solide
– L’intensité lumineuse, définie par I =
dΩ
élémentaire dΩ. L’unité s.i. de I est la candela (symbole cd).
2. au récepteur :
dφ
– L’éclairement, noté E , exprimé en u.s.i. en lux , défini comme le rapport E =
, où dφ est le
dS
flux lumineux reçu sur l’aire dS. [E ] =
[puissance]
.
[surf ace]
Pour une vibration monochromatique, le flux lumineux,
l’intensité lumineuse et l’éclairement sont tous trois
proportionnels (pas avec la même constante) à s2 (M, t) . On ne cherchera pas à expliciter la constante, qu’on
pourra donc prendre égale à l’unité. On retient E (M ) = s2 (M, t) .
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