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LES AILETTES
Dans la pratique les ailettes sont utilisées pour augmenter
la surface d’échange entre un fluide et une paroi.
L’augmentation de cette surface favorise donc le transfert
de chaleur.
Quand la section de l’ailette est constante, on l’appelle
barre.
Surface d’échange
additionnelle
LES BARRES OU " AILETTES "
Radiateur
Divers types d’ailettes
Divers types d’ailettes
Mise en équation
Soit une barre dont les caractéristiques sont :
- épaisseur: e
Fluide à T
- longueur: y (parallèlement à la paroi)
- aire de la section droite: s = e.y
- périmètre: m = 2(e+y)
- hauteur: L
- conductivité: 
- coefficient d’échange convectif: h
La température ambiante (du fluide) T est supposée uniforme et constante.
Mise en équation
Hypothèses :
Mise en équation
Hypothèses :
Régime
permanent
T
0
t
Mise en équation
Hypothèses :
Régime
permanent
Milieu inerte
T
0
t
p=0
Mise en équation
Hypothèses :
Régime
permanent
T
0
t
Milieu inerte
p=0
Milieu
homogène
=Cte
On néglige toute variation de température sur une section droite: T = T (x)
Volume de contrôle :
dV = (y.e)dx=Sdx
Mise en équation
Bilan énergétique pour un élément volume
dV=(y.e)dx :
 x   x  dx   L  0
 x : Flux thermique (conductif) traversant la section droite S d’abscisse x.
 L : Flux thermique (convectif) relatif aux échanges latéraux.
Mise en équation
 dT 
 
 S
 dx  x
Mise en équation
 dT 
 
 S
 dx  x
hm(T ( x)  T )dx
Mise en équation
 dT 
 
 S
 dx  x
 dT 
 
S

 dx  x dx
hm(T ( x)  T )dx
Mise en équation
  dT 
 dT  
 


  S  hm ( T ( x )  T  ) dx  0
  dx  x  dx  dx  x 
Mise en équation
  dT 
dT  

 


 
  dx  x  dx  dx  x   hm (T ( x)  T )  0

dx
S
2
d T
2


(
T

T
)

0

2
dx
Mise en équation
Avec:
hm
 
S
2
α qui a la dimension inverse d’une longueur, caractérise la rapidité avec
laquelle l’échauffement s’estompe le long de la barre pour des abscisses
croissantes.
2
d T ( x)
2
  (T ( x)  T )  0
2
dx
d (T  T )
2
  (T  T )  0
2
dx
2
La solution générale de cette équation différentielle est :
T ( x)  T  C1e
x
 C2 e
x
Les constantes C1 et C2 sont déterminées à partir des conditions aux limites
(ou aux frontières) pour x = 0 et x = L.
Conditions aux limites:
La condition à la frontière x
=0
nous donne:
C1+C2 = T0-T.
Pour la condition à la frontière x = L il y a plusieurs possibilités:
a) TL est imposée: c’est le cas d’une barre infiniment longue dont
la température à l’extrémité est supposée égale à celle du fluide
(TL = T).
 dT 
0
b) Flux négligeable à l’extrémité:  
 dx  x L
c) Échange convectif à l’extrémité non chauffée:
 dT 
 S 
  hS T ( L)  T 
 dx  L
CAS D’UNE AILETTE (BARRE) TRÈS LONGUE
T ( x)  T  C1e
x
 C2 e
x
x
Si x   alors e  
Or la température doit rester finie, ce qui impose :
C2 = 0.
Le profil des températures est alors:
T ( x)  T  (T0  T )e
x
CAS D’UNE AILETTE (BARRE) TRÈS LONGUE
Le flux qui traverse une section d’abscisse x est donné par:
 dT 
x
 ( x)  S    S (T0  T )e
 dx  x
Ou bien :
 ( x)  hmS (T ( x)  T )
CAS D’UNE AILETTE (BARRE) TRÈS LONGUE
Le flux de dissipation sur toute la surface latérale de la barre (flux de chaleur
évacué par l’ailette) peut être calculé par intégration du flux de convection local:

 pertes   hmT ( x)  T dx
0
ou bien en remarquant que:
 pertes   ( x  0)
 (x=0) = Flux traversant la section de
la barre d’abscisse x=0.
 pertes  Shm (T0  T )
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
d 2
2


 0
2
dx
A x=0
  C1e x  C2 ex avec   T ( x)  T
T=T0 et 0 = T0-T
 0 = C1 + C2
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
d 2
2


 0
2
dx
A x=0
  C1e x  C2 ex avec   T ( x)  T
T=T0 et 0 = T0-T
 d 
 
 0
 dx  L
 0 = C1 + C2
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
d 2
2


 0
2
dx
A x=0
  C1e
T=T0 et 0 = T0-T
 d 
 
 0
 dx  L
  C1e x  C2 ex
x
 C2 e
x
 0 = C1 + C2
d 
L
L



C
e


C
e
0

1
2
dx  x  L
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
d 
 C1e L  C 2 eL  0

dx  x  L
L
 0e
C1  L L
e e
 0 = C1 + C2
L
 0e
et C2  L L
e e
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 0 e L
C1  L
e  e L
 0 e  L
et C2  L L
e e
L
 0 e L

e
 ( x)  L L e x  0L L ex
e e
e e
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 ( L x)
 ( L  x )
 0e
0e
 ( x)  L L  L L
e e
e e
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 ( L x)
 ( L  x )
 0e
0e
 ( x)  L L  L L
e e
e e
 ( x)
2
e ( L  x )  e  ( L  x )
 L
0
2
e  e L
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 ( L x)
 ( L  x )
 0e
0e
 ( x)  L L  L L
e e
e e
e x  e x
ch( x) 
2
e x  ex
sh( x) 
2
 ( x)
2
e ( L  x )  e  ( L  x )
 L
0
2
e  e L
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 ( L x)
 ( L  x )
 0e
0e
 ( x)  L L  L L
e e
e e
e x  e x
ch( x) 
2
e x  ex
sh( x) 
2
 ( x)
2
e ( L  x )  e  ( L  x )
 L L
0
2
e e
 ( x) ch ( L  x)

0
ch(L)
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
 ( x ) ch  ( L  x ) 

0
ch ( L )
ch ( L  x)
T ( x)  T  (T0  T )
ch(L)
Lorsque L   on retrouve l’expression du profil des températures
relatif à une ailette infiniment longue.
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
Le flux à travers une section d’ailette à l’abscisse x est donné par :
dT ( x)
sh ( L  x)
 ( x )   S
 S (T0  T )
dx
ch(L)
avec :
hm
 
S
2
CAS D’UNE AILETTE DONT L’EXTRÉMITÉ NON
CHAUFFÉE EST ADIABATIQUE
Le flux évacué par l’ailette est donné par :
 pertes
dT ( x) 
sh(L)
 
 S  S (T0  T )
dx  x 0
ch(L)
 pertes  Shm (T0  T ) th(L)
Lorsque
L
on retrouve l’expression du flux évacué par une ailette
infiniment longue.
CAS D’UNE BARRE AVEC ECHANGE CONVECTIF
A L’EXTRIMITE NON CHAUFFEE
Lorsque la barre est courte, tout le flux n’est pas dissipé par sa surface
latérale et sa section droite extrême est encore traversée par un flux
convectif.
T ( x) x 0  T0  C1  T0  T .
 
 
h
sh
(

L
)

ch(L)
dT



 S 
 hS [T ( L)  T ]  C2  (T0  T )

 dx  x  L
ch(L)  h
 sh(L)
 
 
h
T ( x)  T ch[ ( L  x)]   sh[ ( L  x)]

T0  T
ch(L)  h
 sh(L)
 pertes



 S (T  T )
1  h th(L)

th(L)  h
0

ÉFFICACITÉ D’UNE AILETTE
Pour déterminer la qualité de l’ailette, on compare ses échanges
thermiques avec une ailette idéale faite d’un matériau de conductivité
 où la température serait uniforme et égale à la température de sa
base T0.
On définit l’efficacité par :

avec :
 réel
 max imum
échangé
échangeabl e
max  hmL(T0  T )
 1
ÉFFICACITÉ D’UNE AILETTE
Cas d’une ailette dont l’extrémité non chauffée est adiabatique
S (T0  T ) th(L)

hmL(T0  T )


hm
S
hm
(T0  T ) th(L)
S
hm
L(T0  T )
S
hm
(T0  T )
th(L)
S

hm
L(T0  T )
S
th(L)

1
L
ÉFFICACITÉ D’UNE AILETTE
Cas d’une ailette avec échange convectif
à l’extrémité non chauffée
h
th(L) 


L  hL  th(L)
ÉFFICACITÉ DES SURFACES AILETTEES
Le but recherché en implantant des ailettes est d’augmenter le flux de chaleur
échangé entre une surface et un fluide.
On augmente la surface d’échange du corps, d’aire initiale Si, en lui
adjoignant un nombre N d’ailettes identiques d’aire latérale Sl.
La surface totale est :
 réel

 max
St = Si + N Sl .
NS l
1 
hS i (T0  T )  NhS l (T0  T )
Si


NS l
hS i (T0  T )  NhS l (T0  T )
1
Si
EXERCICE D’APPLICATION
Un tube cylindrique (rayon intérieur r1 et extérieur r2) est pourvu sur sa paroi
extérieure de N ailettes identiques de hauteur L et d’épaisseur e, disposées
régulièrement le long du tube. Le tube est parcouru par un fluide chaud de
température T∞1, le coefficient d’échange fluide-paroi étant h1. Extérieurement
le fluide est en contact avec un fluide froid de température T∞2, le coefficient
d’échange étant h2.
Etablir l’expression de la résistance thermique totale. On supposera que les
extrémités non chauffées des ailettes sont adiabatiques.
EXERCICE D’APPLICATION
1

(T1  T 2 )
Rc1  R  Rc 2
1
Rc1 
h1 2r1
Résistance thermique relative à l’échange convectif sur la
paroi intérieure du tube.
 r2 
ln 
r1 

Rc 
2
Résistance thermique de conduction dans la paroi du
tube sans ailettes.
Rc 2  ?
Résistance thermique relative à l’échange convectif sur la
surface ailetée (tube+ailette).
EXERCICE D’APPLICATION
Rc2 est déterminée à partir de l’expression du flux échangé par convection
entre la paroi et le fluide froid (pour l’unité de longueur du tube).
  max  h2 2r2 (1 

NS l
) (T p 2  T 2 )
Si
(T p 2  T 2 )
Rc 2
Rc 2 
1
h2 2r2 (1 
NS l
)
Si
EXERCICE D’APPLICATION
Rc 2 
1
NS l
h2 2r2 (1 
)
Si
NS l

1 
 NS
Si
N ( 2 L  e)
l


; 
NS l
2r2
 Si
1 

Si


th(L)
2h2
; 

(L)
e
