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D.S.T. Mathématiques
Lycée
TSTI-EE-ITEC
maurice rondeau
D.S.T.
Épreuve : mathématiques
Durée : 2h
Calculatrices autorisées
La calculatrice individuelle est autorisée (. Tout échange de calculatrice entre
les candidats est strictement interdit.
Aucun formulaire fourni .
Il est rappelé que la présentation et la précision des raisonnements et des
calculs sont prises en compte dans l'évaluation de la copie.
.
Ce sujet comporte 6 pages.
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Octobre 2014
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TSTI-EE-ITEC
Exercice 1
5 points
x2 + 8x + 7
et Cf sa courbe
(x + 4)2
−ı , →
− )
représentative. dans un repère orthonormé (O, →
18
1. Vérier que f 0 (x) =
(x + 4)3
Soit la fonction f dénie sur ]−4; +∞[ par f (x) =
2. Étudier le signe de f 0 (x) puis les variations de f .
3. Calculer f (−2) et f (−1). Justier le nombre de solutions de l'équation
f (x) = −1 sur ] − 4; +∞[
4. Donner un encadrement d'amplitude 10−2 de la (ou des) solution(s)
trouvée(s).
5. Montrer que pour tout x de ] − 4; +∞[ on a :
f (x) = 1 −
9
(x + 4)2
6. En déduire la primitive F de f sur ] − 4; +∞[ dont la courbe passe par
le point M (−1; 0)
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Exercice 2
TSTI-EE-ITEC
: Distance de freinage d'une voiture
7 points
La législation impose à une voiture de tourisme une décélération minimale de
5, 5m.s−2 . On souhaite évaluer la distance de freinage Df ainsi que le temps
nécéssaire tf pour passer de la vitesse initiale Vi à la vitesse nulle (arrêt de la
voiture).
On commence le décompte du temps à l'instant où le conducteur appuie sur
la pédale de frein. Pour tout instant t en secondes compris entre 0 et tf , on
note :
• A(t) l'accélération de la voiture en m.s−2 à l'instant t
• V (t) la vitesse de la voiture à l'instant t en m.s−1
• D(t) la distance parcourue en m entre le départ et l'instant t on a alors
D(0) = 0.
On dénit ainsi trois fonctions A, V et D sur [0; tf ]
1. Freinage en ville
(a) La voiture roule à la vitesse maximale autorisée, soit 50km.h−1 . On
prend Vi = 13, 9m.s−1 .
On rappelle que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport
au temps. En déduire la forme de V (t) lorsque A(t) = −5, 5. A partir
de la valeur de V (0) ( soit Vi ), exprimer V (t) en fonction de t.
(b) On rappelle que la vitesse est la dérivée de la distance parcourue par
rapport au temps. à partir de la valeur D(0) montrer que D(t) =
−2, 75t2 + 13, 9t
(c) Résoudre V (t) = 0 . Donner une valeur approchée de la solution à
0, 01
(d) En déduire la distance de freinage dans le cas où la voiture roule à
50km.h−1 . On donnera le résultat arrondi au décimètre près.
2. Freinage sur autoroute
(a) La vitesse initiale est 130km/h soitV (0) = 36, 1m.s−1 . l'accélération
est la même 1 soit (A(t) = −5, 5).
Déterminer comme dans la question précédente V (t) et montrer que
D(t) = −2, 75t2 + 36, 1t
(b) résoudre V (t) = 0 en donnant une valeur approchée à 0, 01. En
déduire la distance de freinage du même véhicule sur autoroute alors
qu'il roulait à 130km/h. (arrondie à 0,1m)
3. Distance de freinage et vitesse
D'après les résultats précédents, la distance de freinage est-elle proportionnelle à la vitesse du véhicule ? Justier votre réponse.
1. on n'a pas renforcé les freins entre les deux tests ! !
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Exercice 3
TSTI-EE-ITEC
:
3 points
1. Ecrire les complexes suivants sous forme exponentielle :
√
(a) z1 = 1 − i 3
√
√
(b) z2 = −4 2 + i 32
2. Ecrire le produit z1 .z2 sour forme algébrique et exponentielle.
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Exercice 4 :QCM
Nom :
TSTI-EE-ITEC
À rendre avec la copie :
Prénom :
5 points
Date :
Pour Chaque armation ci dessous une seule réponse est exacte. Identiezla en entourant la bonne réponse. Une bonne réponse entraîne des points. Un
manque de réponse ou une réponse fausse entraîne 0 point.
3
2
1. Une primitive F de f (x) = x2 + 6x + 1 sur R est :
1
3
1 3
(b) F (x) = x + 3x2 + x + π
3
1
(c) F (x) = x3 + 6x2 + x + 10218
2
q
p
√
3
2
(d) F (x) = 0, 5x + 3x + x + 1 + 2 + 3
(a) F (x) = x3 + 3x2 + 1
2. Une primitive F de f (x) =
(x2
x
sur R est
+ 1)2
0, 5x
+1
(x2 + 1)
0, 5x
+2
(b) F (x) = 2
(x + 1)2
2x
(c) F (x) = 2
+3
(x + 1)
2x
(d) F (x) = 2
+4
(x + 1)2
(a) F (x) =
3. L'équation dans C : (1 + i)z = 2 a pour solution
(a) z = 1 − i
(b) z = 2 − 2i
(c) z = 1 + i
(d) z = 2 + 2i
4. Parmi les assertions suivantes, laquelle est fausse ?
(a) Un nombre complexe avec une partie imaginaire nulle est appelé
nombre réel.
(b) Un nombre complexe est réel si et seulement si z = z
(c) Si un nombre complexe est un réel alors son argument est nul.
(d) Le produit d'un complexe par son conjugué est toujours un nombre
réel positif.
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√
5. L'écriture algébrique du complexe z = 3 2ei 4 est
(a) z = −3 + 3i
(b) z = −3 − 3i
(c) z = 3 − 3i
(d) z = 3 + 3i
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