Transcript Régime libre dissipatif

Dynamique des structures
Régime libre de l’oscillateur
élémentaire
Pr. Karim Houmy
Département Energie et Agroéquipement
IAV Hassan II
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Le régime libre est décrit par la solution de l ’équation homogène suivante :
La constante C a pour dimension L et st n’a pas de dimension donc s est
de dimension T-1
Posons
L’équation (1) devient
ଶ
ଶ
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Remplaçant
dans
ଶ
ଶ
௦௧
Cette équation est valide pour toute valeur de t si
Appelée équation caractéristique
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime conservatif : oscillateur harmonique (c = 0)
ଶ
ଶ
ଶ
ଶ
D’où
Après substitution des racines dans l’équation précédente nous obtenons
+
On peut écrire l’équation sous forme:
Composantes du mouvement
harmonique
On peut écrire l’équation sous forme:
Où A et B sont des réels
Avec les conditions initiales t= 0 nous avons u(0) et
Composantes du mouvement
harmonique
Le système décrit un cycle
d’oscillation
T est la période propre en s avec
ଶగ
ఠ
F la fréquence propre f=1/T en Hz
(cycle par seconde)
Autre représentation de la solution
)
଴
଴
ଶ
଴
La vitesse et
l’accélération sont
respectivement en
quadrature et en
opposition de
phase avec le
déplacement
గ
)
ଶ
)
Etude des systèmes à 1 ddl
Régime libre dissipatif
•
Deux solutions
ଵ
ଶ
ଶ
ଶ
ଵ
Trois types de mouvement sont possibles dépendant de la quantité
d’amortissement dans le système, ou dépendant de la valeur ଶ
1. Mouvement oscillatoire quand
2. Mouvement non oscillatoire quand
3. Mouvement non oscillatoire quand
ଵ
ଶ sont
ଵ
ଵ
des complexes
ଶ sont
réels et égaux
ଶ sont
réels distincts
La bifurcation entre un mouvement oscillatoire et un mouvement non
oscillatoire correspond à
.
Et
஼
est
஼೎ೝ
௖௥
ଶ
ଶ
le taux d’amortissement critique. On utilise en général le terme
court de taux d’amortissement
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement sous critique
ଵ
ଶ sont
des complexes
ଶ
ଵ
஽
஽
ଶ
ଶ
஽
Où ஽ est la pulsation propre amortie. La solution générale est donnée par
l’équation :
ିకఠ ௧ା௜ఠ ௧
ିక௪ ௧ି௜ఠ ௧
ଵ
On peut l’écrire sous la forme suivante
ିకఠ ௧
ଵ
ವ
௜ఠ ವ ௧
ವ
ଶ
ଶ
ି௜ఠ ವ ௧
Dans laquelle les constantes G1 et G2 sont complexes. Elles sont de plus des
conjugués puisque u(t) est réel.
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement sous critique
ିకఠ ௧
ଵ
De même cette équation peut s’écrire
ିకఠ ௧
௜ఠ ವ ௧
஽
ଶ
ି௜ఠ ವ ௧
஽
A et B sont des réels. La vitesse est obtenue par dérivation
ିకఠ ௧
஽
஽
஽
஽
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement sous critique
Pour les conditions initiales
(0) , on déduit les constantes A et B
కఠ ௨ ଴ ା௨̇ (଴)
ఠವ
, et
Tenant compte de A et B, le déplacement u(t) s’exprime
ିకఠ ௧
Et l’expression de la vitesse est
ିకఠ ௧
஽
కఠ ௨ ଴ ା௨̇ (଴)
ఠವ
஽
కఠ ௨̇ ଴ ାఠ మ̇ ௨(଴)
sin ஽
ఠವ
sin
஽
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement sous critique
De même cette équation peut s’écrire
଴
ଶ
஽
ଶ
଴
ିకఠ ௧
ିଵ కఠ ା௨̇ ሺ଴ሻ
)
ఠ ೏ ௨ሺ଴ሻ
஽
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
ఠವ
ఠ
en fonction
est cercle de rayon 1
߱஽
=
߱
ͳ െ ߦଶ
des taux d’amortissement des structures de génie civil
ଶ
avec
est négligeable par rapport à 1 et la pulsation
Par exemple pour
஽
஽
஽
ଶగ
ఠವ
peut être confondue
்
ଵିకమ
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Décrément logarithmique
଴
ିకఠ ௧
஽
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
‫ݑ‬଴݁ିకఠ ௧…‘•
ሺ߱ ஽ ‫ݐ‬െ ߠሻ
=
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬൅ ܶ஽ ) ‫ݑ‬଴݁ିకఠ ሺ௧ା்ವ ) …‘•
ሺ߱ ஽ ‫ݐ‬൅ ܶ஽ െ ߠሻ
mais
cos ߱ ஽ ‫ݐ‬൅ ܶ஽ െ ߠ ൌ …‘• ߱ ஽ ‫ݐ‬െ ߠ ൅ ߱ ஽ ܶ஽ = cos ߱ ஽ ‫ݐ‬െ ߠ ൅ ʹߨ ൌ …‘•
ሺ߱ ஽ െ ߠሻ
Donc l’équation précédente devient
‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ
݁ିకఠ ௧
=
= ݁కఠ ்ವ
‫ݐ(ݑ‬+ ܶ஽ ) ݁ିకఠ (௧ା்ವ )
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
‫)ݐ(ݑ‬
݁ିకఠ ௧
= ିకఠ (௧ା் ) = ݁కఠ ்ವ
ವ
‫ݐ(ݑ‬+ ܶ஽ ) ݁
Décrément logarithmique
Où la quantité
஽
஽
ଶ
஽
߱஽
=
߱
1 − ߦଶ
est appelée décrément logarithmique.
ଶ
Pour des valeurs faibles d’amortissement
est donnée par
ଶ
஽,
est une approximation de
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Décrément logarithmique
௡
௡
௡ା௠
௡ାଵ ௡ାଶ
௡ାଵ ௡ାଶ ௡ାଷ
௡
௡ା௠
௠ఋ
௡
௡ା௠
௡ା௠ ିଵ
௡ା௠
కఠ ்ವ ௠
஽
௠ కఠ ்ವ
஽
஽
௡
௡ା௠
ଶ
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Décrément logarithmique
Le nombre de cycles nécessaires pour réduire l’amplitude de 50 % a été
௨
calculé en posant ௨ ೙
et sa relation en fonction du taux
೙శ೘
d’amortissement est représentée dans la figure ci-dessous
௡
௡ା௠
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement critique
Les conditions initiales ‫( ̇ݑݐ݁ Ͳ ݑ‬0) permettent de déterminer les constantes
‫ܩ‬ଵ ൌ ‫ Ͳ ݑ‬ǡ ‫ܩ‬ଶ ൌ ߱‫ Ͳ ݑ‬൅ ‫( ̇ݑ‬0)
Après substitution de ces constantes dans les équations
et
‫ ݐ ݑ‬ൌ ሺ‫ ݑ‬0 ͳ ൅ ߱‫ ݐ‬൅ ‫ ̇ݑ‬ሺͲሻ‫ݐ‬ሻ݁ିఠ ௧
‫ ݐ ̇ݑ‬ൌ ሺ‫ ̇ݑ‬0 ͳ െ ߱‫ ݐ‬െ ߱ ଶ‫ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻ‫ݐ‬ሻ݁ିఠ ௧
on obtient
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement surcritique
L’amortissement est dit surcritique quand le taux d’amortissement ߦ et plus grand que l’unité
ߦ > 1 . Les racines de l’équation réelles et distinctes
‫ݏ‬ଵ = −ߦ߱ + ߱
ෝ‫ݏ‬ଶ = −ߦ߱ − ߱
ෝ
߱
ෝ = ߱ ߦଶ − 1
Les deux racines ‫ݏ‬ଵ݁‫ݏݐ‬ଶ sont négatives et on a les deux solutions particulières
෢
‫ݑ‬ଵ ‫(ି݁ = ݐ‬కఠ ିఠ )௧
Ces solutions sont linéairement indépendantes car
générale s’écrit
෢
‫ݑ‬ଶ ‫(ି݁ = ݐ‬కఠ ାఠ )௧
௨భ(௧)
௨మ(௧)
= ݁ିଶఠෝ௧ ≠ ܿ‫ ݁ݐ݊ܽݐݏ݊݋‬. La solution
u ‫ି݁ = ݐ‬కఠ ௧ ‫݁ܣ‬ఠෝ௧ + ‫ି݁ܤ‬ఠෝ௧ = ݁ିకఠ ௧(‫ܣ‬ଵܿ‫݄߱ݏ݋‬
ෝ‫ݐ‬+ ‫ܤ‬ଵ‫݄߱݊݅ݏ‬
ෝ‫)ݐ‬
‫ܣ‬ଵ = ‫ ܣ‬+ ‫ܤݐ݁ܤ‬ଵ = ‫ ܣ‬− ‫ܤ‬
La vitesse est obtenue par dérivation
‫ = ݐ ̇ݑ‬−݁ିకఠ ௧ (ߦ߱‫ܣ‬ଵ − ߱
ෝ‫ܤ‬ଵ ܿ‫݄߱ݏ݋‬
ෝ‫ݐ‬+ (ߦ߱‫ܤ‬ଵ − ߱
ෝ‫ܣ‬ଵ)‫݄߱݊݅ݏ‬
ෝ‫)ݐ‬
Pour les conditions initiales
ଵ
ଵ
Etude des systèmes à 1 ddl
•
Régime libre dissipatif
Amortissement surcritique
En tenant compte de
, le déplacement ‫ ݐ ݑ‬peut donc s’écrire
ෞ +
‫ ݐ ݑ‬ൌ ݁ିక௪ ௧ሺ‫ݐ݄߱ݏ݋ܿ Ͳ ݑ‬
Et la vitesse s’exprime
ߦ߱‫ Ͳ ݑ‬൅ ‫ ̇ݑ‬0
‫݄߱݊݅ݏ‬
ෝ‫ݐ‬ሻ
߱
ෝ
ߦ߱‫ Ͳ ̇ݑ‬൅ ߱ ଶ‫ ݑ‬0
ෞ −
ሺ‫ݐ݄߱ݏ݋ܿ Ͳ ̇ݑ‬
‫݄߱݊݅ݏ‬
ෝ‫ݐ‬ሻ
߱
ෝ
ିక௪ ௧
‫ ̇ݑ‬ሺ‫ݐ‬ሻൌ ݁
Les fonctions trigonométriques sont remplacées par des fonctions hyperboliques. Les graphes
des fonctions ‫ ݐ ̇ݑݐ݁ ݐ ݑ‬sont montrés à la figure . Ces fonctions sont apériodiques et il n’y a
pas d’oscillations par rapport à la position d’équilibre.
Les trois situations en fonction du taux
d’amortissement