Transcript Le circuit RLC en régime transitoire critique et apériodique

Le circuit RLC en régime transitoire
critique et apériodique
Manuel Gomez
Benoît Thiell
Pierre Soubrier
Thierry Gentès
Introduction
Cet exposé a pour objet l’étude du circuit RLC série en régime
transitoire apériodique et critique ; nous avons toutefois jugé utile
d’inclure le régime pseudopériodique bien qu’il est étudié dans le
premier sujet d’exposé.
Plan de l’exposé
•
•
•
•
A Modélisation du circuit
B Mise en équation et résolution
C Des maths à la physique
D Applications
A Modélisation du circuit
1. Les composants du circuit
2. La convention « récepteur ».
u(t )
R
Amortissement… ???
i (t )
B Mise en équation et résolution
En appliquant la loi des mailles dans le circuit, on trouve l’équation suivante :
E(t )  u L (t )  u R (t )  uC (t )
On considère un circuit ouvert
qu’on ferme à t  0
On considère dans l’étude un créneau
positif de tension…
B Mise en équation et résolution
Mise en équation ….
EN fait, on aboutit à l’équation complète suivante …
E(t ). 
2
0
Pulsation propre
1
 
L.C
2
0
0
d 2uC (t )
duC (t )
2

2
.



0 .uC (t )
2
dt
dt
Facteur d’amortissement

R

2 .L
PS: La signification de ces grandeurs physiques sera explicitée plus loin…
B Mise en équation et résolution
Equation homogène associée
0
d 2uC (t )
duC (t )
2

2
.



0 .uC (t )
2
dt
dt
On écrit ensuite l’équation caractéristique associée :
  4.(   )  4.
2
2
0
avec
r 2  2r  02  0
  2  02
B Mise en équation et résolution
Nous voyons dès lors que 3 cas sont à considérer selon le signe de
• si

>0, nous avons 2 solutions réelles distinctes
r1    
r2    
uC (t )  E(t )  Ae  Be
r1t
r2t

B Mise en équation et résolution
• si
 =0 , il n’y a qu’une racine double
r1  r2  
uC (t )  E (t )  e t ( A  Bt)
B Mise en équation et résolution
• si

<0 nous avons 2 solutions complexes distinctes
r1    i 02  2
Nous introduisons la pulsation
uC (t )  E(t )  e
t
r2    i 02  2
 2  02  2
( A cos(t )  B sin(t ))
B Mise en équation et résolution
Détermination des constantes :
uC (t  0)  0
Conditions initiales *:
i(t  0)  0
On considère un circuit initialement ouvert que l’on ferme à t=0
r2
r1
r1t
uC (t )  E (t ) 
E (t )e 
E (t )e r2t
.
r1  r2
r1  r2

>0
uC (t )  E(t )  et (E(t )  E(t ).t )

=0
u C (t )  E (t )  e
 t
E (t )
( E (t ) cos( t ) 
sin(t ))


<0
• NOTA : Cela correspond à la continuité de la tension aux bornes du condensateur, et à la continuité
du courant dans la bobine.
C. Des maths à la physique
Définitions des grandeurs physiques
Pulsation propre du système oscillant en l’absence d’amortissement

Facteur d’amortissement :
( R  0)
0 
1
LC
R
2L
Dans les circuits RLC, c’est la résistance qui est responsable de l’amortissement ; ici, on voit que si la valeur
de la résistance augmente, on dira que le circuit est de plus en plus amorti.
Coefficient d’amortissement :

R L
2 C
  0
Pseudo pulsation, pour le régime pseudopériodique uniquement
Résistance critique
RC  2
L
C
   02  2   0 1   2
C. Des maths à la physique
Après avoir traité le problème de façon purement mathématique
(signe du déterminant), on va maintenant passer à la physique
du problème en reliant le signe du déterminant à la valeur du
coefficient d’amortissement α par rapport à 1.
  1 R  RC
• si  >0, d’où
Le régime est apériodique car fortement amorti.
• si  <0, d’où
  1 R  RC
Le régime est dit pseudopériodique car faiblement amorti.
• si  =0, d’où
 1 R  R
C
Le régime est dit apériodique critique ou critique.
C. Des maths à la physique
Diagrammes et les explications qui vont avec….
Cf feuille Maple…
D. Applications
Le circuit RLC en régime transitoire n’a pas beaucoup d’applications
pratiques mais est très utile pour la modélisation d’oscillations
électriques avec amortissement (lié à la valeur de R).
Analogie tout à fait intéressante avec les oscillations mécaniques par
exemple avec les oscillations d’un pendule dans le vide et dans un
milieu plus dense. L’équation différentielle obtenue pour la tension aux
bornes du condensateur est par exemple tout à fait similaire à l’équation
de mouvement du pendule.